解三角形中范围最值专项训练-2025届高三数学一轮复习

解三角形中范围最值专项训练-2025届高三数学一轮复习 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在中，角所对的边分别为，若，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且，若，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则面积的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 4．在中，角所对的边分别为，是上的点，平分，且，，则面积的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 5．在中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知M是内一点且，，若，和的面积分别为，x，y，则的最小值是（   ） A．16 B．10 C．8 D．6 8．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，，，则面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．不存在 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知的半径为为其内接三角形，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则周长的最大值为 C．若，则 D．若，则面积的最大值为 10．在中，，（为常数），的最大值为12，则（    ） A．为锐角 B．面积的最大值为8 C． D．周长的最大值为 11．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.可用公式（其中，，，为三角形的三边和面积）表示.在中，，，分别为角，，所对的边，若，且，则（    ） A． B．面积的最大值是 C．当的面积最大时，其内切圆半径为 D．若角的平分线与边相交于点，则的取值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知分别为内角的对边.若，则的最小值为 . 13．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是 . 14．已知的内角的对边分别为若，且.则周长的最大值为 . 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 已知的三内角所对的边分别是分别为，且. (1)求； (2)若，求周长的最大值. 16.（本小题15分） 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，其中S为的面积. (1)求角A； (2)若，求周长的取值范围. 17.（本小题15分） 已知在中，分别为角所对的边，设外接圆的半径为，且． (1)求角的大小； (2)若的外接圆半径为，求的周长的取值范围. 18.（本小题17分） 已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若的面积为； ①已知为的中点，求边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值． 19.（本小题17分） 已知函数（） (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求面积的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 解三角形中范围最值专项训练解析版-2025届高三数学一轮复习 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在中，角所对的边分别为，若，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，由正弦定理角化边为：， 再由余弦定理得：， 因为，所以，又， 由余弦定理，即， 因为，所以，即， 当且仅当时等号成立， 故的面积， 所以面积的最大值为. 故选：B. 2．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且，若，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则， 整理可得，且，可知， 由题意可得：，解得， 由正弦定理可得， 则面积， 因为，则，可得， 所以面积. 故选：B. 3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则面积的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为，且，即， 整理可得， 由余弦定理可得，则， 且，可知，则， 又因为，当且仅当时，等号成立， 则，即， 所以面积的最大值为. 故选：C. 4．在中，角所对的边分别为，是上的点，平分，且，，则面积的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】因为，由正弦定理得， 又 ，可得，即 ， 因为，所以， 平分，且，得， 整理得： ，所以，解得 所以，则，当且仅当时等号成立， 故面积的最小值为， 故选：B. 5．在中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由余弦定理得, 所以由正弦定理得, 所以, 所以， 所以, 可得 由余弦定理可得, 又因为基本不等式所以, 所以, 当且仅当时，取最大值2， 因为,所以, 所以. 故选：B. 6．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题有， 所以，故， 所以. 故选：B. 7．已知M是内一点且，，若，和的面积分别为，x，y，则的最小值是（   ） A．16 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【详解】因为，， 所以，即， ，即， ， 当且仅当 ，即时等号成立， 故选：B． 8．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，，，则面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．不存在 【答案】D 【详解】由及，得， 在中，由正弦定理得， 即，整理得， 而，即，因此，即， ，当且仅当时取等号，即，， 等号无法取到，面积的最大值不存在. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知的半径为为其内接三角形，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则周长的最大值为 C．若，则 D．若，则面积的最大值为 【答案】ABC 【详解】A选项，，故， 则，A正确； B选项，由正弦定理得，故， 由余弦定理得，故， 即，解得， 当且仅当时，等号成立， 故周长的最大值为，B正确； C选项，若，则， 故， ，C正确； D选项，由C选项可知，， ，故， 因为，所以， 解得，因为为锐角，故， 由余弦定理得，故， 由基本不等式得，即， 当且仅当时，等号成立， 故，解得， 所以面积的最大值为，D错误. 故选：ABC 10．在中，，（为常数），的最大值为12，则（    ） A．为锐角 B．面积的最大值为8 C． D．周长的最大值为 【答案】BD 【详解】对于A，由的最大值为12, （为常数）知点的轨迹为圆（去除BC两点），且BC不是直径，故可以为钝角，故A错误； 对于B，C,记由余弦定理，， 即，可得，当且仅当时取等号，于是， 即得，依题意，，解得，，此时，即， 面积，故其最大值为：，故B正确，C错误； 对于D，因的周长为， 由正弦定理，可得，， 于是，其中，， 故当时，的周长取得最大值为，故D正确. 故选：BD. 11．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.可用公式（其中，，，为三角形的三边和面积）表示.在中，，，分别为角，，所对的边，若，且，则（    ） A． B．面积的最大值是 C．当的面积最大时，其内切圆半径为 D．若角的平分线与边相交于点，则的取值范围为 【答案】ACD 【详解】对于A，因为， 所以， 所以， 由正弦定理得，故A正确； 对于B， ， 所以当，即时，的面积取得最大值，故B错误； 对于C，由选项B可知，当的面积最大时，，，， 设内切圆半径为， 因为， 所以，解得，故C正确； 对于D，设，其中，则， 因为， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以，， 所以的取值范围为，故D正确． 故选：ACD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知分别为内角的对边.若，则的最小值为 . 【答案】/0.6 【详解】因为，所以， 所以由余弦定理得， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 故答案为：. 13．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由已知， 根据正弦定理的， 则， 再根据正弦定理可得， 即， 化简可得， 由为锐角三角形， 则，，则， 所以，即， 所以， 又，即， 则， 故答案为：. 14．已知的内角的对边分别为若，且.则周长的最大值为 . 【答案】 【详解】因为，所以. 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以，得， 则，即周长的最大值为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 已知的三内角所对的边分别是分别为，且. (1)求； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， 整理得，所以， ，， ，，， ，所以. （2）由余弦定理，得， 即，即， ，当且仅当时取等号， ，解得，当且仅当时取等号， ，所以周长的最大值为. 16.（本小题15分） 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，其中S为的面积. (1)求角A； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，， 所以，则，即， 又，所以. （2）的周长为， 因为，即， 因为，所以， 所以，则，即， 又，所以，即， 所以的周长的取值范围为. 17.（本小题15分） 已知在中，分别为角所对的边，设外接圆的半径为，且． (1)求角的大小； (2)若的外接圆半径为，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理，，故， 结合题干条件，， 即， 又，故， 于是 （2）由正弦定理，故， 由余弦定理，， 即， 即，当且仅当时等号成立， 即，于是， 由三角形三边关系可知，， 故的周长为 18.（本小题17分） 已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若的面积为； ①已知为的中点，求边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值． 【答案】(1) (2)①，② 【详解】（1）由正弦定理得，即， 由余弦定理有，又， 所以； （2）①由（1）知，又的面积为， 则，解得， 也， 则 ， 当且仅当时，等号取得到， 所以； ②由题，， 所以， 因为，所以， 所以， 又，， 故， 由基本不等式，当且仅当时，等号取得到， 故， 故，所以． 19.（本小题17分） 已知函数（） (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求面积的取值范围. 【答案】(1)，单调递增区间是，. (2) 【详解】（1）由题意可得： ， 所以的周期， 令，，可得，. 所以的单调递增区间是，. （2）因为，可得， 且，则，可得，即， 由正弦定理有， 可得， 则 ， 因为，且为锐角三角形， 则，且，解得， 解得，可得， 则， 所以面积的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$