精品解析：四川省江油市太白中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

江油市太白中学高2022级第四学期半期教学质量测试 数学试卷 总分：150分 考试时间：120分钟 命题人：刘建英 审题人：刘沁 一、单选题（每题5分共40分） 1. 函数的导函数是（ ） A. B. C. D. （来自大优70页第4题） 2. 某物体运动方程是（的单位为），该物体在时瞬时速度是（ ） A. B. C. D. （来自小优133页第2题） 3. 已知函数的导函数的图象如图，则下列叙述正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在处取得极小值 C. 函数在处取得极值 D. 函数只有一个极值点 4. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A. B. C. D. 5. 函数在上是减函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 数列{an}满足(n∈N*)，数列{an}前n和为Sn，则S10等于（ ） A. B. C. D. 7. 函数在处的切线方程为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，其中是函数的导函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题5分共20分） 9. 下列数列是等比数列的是（ ）． A. 1，1，1，1，1 B. 0，0，0，0，… C. ，，，… D. ，，1，，… 10. 判断下列命题正确的是（ ） A. 函数的极小值一定比极大值小． B. 对于可导函数，若，则为函数的一个极值点． C. 函数在内单调，则函数在内一定没有极值． D. 三次函数在R上可能不存在极值． 11. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除的问题.现将1到500这500个数中能被2除余1且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 数列共有84项 12. 已知，函数有两个极值点，则（ ） A. B. 时，函数的图象在处的切线方程为 C. 为定值 D. 时，函数在上的值域是 三、填空题（每题5分共20分） 13. 等比数列中，若，则____． （来自午练19第4题） 14. 已知函数，则___________. 15. 已知数列满足数列的前n项和为，且．设，则数列的前n项和为_______________． 16. 已知定义在上的函数，其导函数为，则不等式的解集为______． 四、解答题 17. 已知函数． （1）求函数在点处的切线方程 （2）求函数在上的最大值和最小值 18. 已知在等差数列中，. （1）求数列的通项公式： （2）设，求数列的前项和. 19. 已知函数，若在处取得极值10，. （1）求的值； （2）方程在有解，求实数的范围. 20. 为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足4万件时，，在年产量不小于4万件时，.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本.） （2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 21. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，且数列的前项和为，若都有不等式恒成立，求的取值范围. 22. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有个不同的零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江油市太白中学高2022级第四学期半期教学质量测试 数学试卷 总分：150分 考试时间：120分钟 命题人：刘建英 审题人：刘沁 一、单选题（每题5分共40分） 1. 函数的导函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的运算法则即可求解. 【详解】. 故选：B. （来自大优70页第4题） 2. 某物体运动方程是（的单位为），该物体在时瞬时速度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出关于的导数，然后将代入导数可得出答案． 【详解】，， 当时，， 所以，当时，物体的瞬时速度是， 故选：C. （来自小优133页第2题） 3. 已知函数的导函数的图象如图，则下列叙述正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在处取得极小值 C. 函数在处取得极值 D. 函数只有一个极值点 【答案】D 【解析】 【分析】由图象得出函数的单调性以及极值. 【详解】由导函数的图象可知，函数在上单调递增，故A选项错误； 在的左右，所以函数在处不能取得极值，故C选项错误； 当时，；当时，，即函数在上单调递增， 在上单调递减，即函数在出取得极大值， 且是函数的唯一极值点，故B选项错误，D选项正确. 故选：D. 4. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意设人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，即可得到，从而求出、，即可得解. 【详解】设人分到的面包数量从小到大记为，设公差为， 则，即，解得， 即最小的一份为. 故选：A. 5. 函数在上是减函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数的正负性与原函数的单调性的关系，结合指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】由， 因为在上是减函数， 所以在上恒成立，， 当时，，于是有， 故选：D 6. 数列{an}满足(n∈N*)，数列{an}前n和为Sn，则S10等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意得到，（），与条件两式作差，得到，（），再验证满足，得到，进而可求出结果. 【详解】因为数列满足， ，（） 则，则，（）， 又满足，所以， 因此. 故选：B 7. 函数在处的切线方程为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题知切点坐标为，切线的斜率为，即时的导数为，分别求出和的值，进而求出，结合对数函数的性质求解即可. 【详解】由题知，切点坐标为，切线的斜率为， ，，解得， ，，， ， 即，解得， 不等式的解集为. 故选：A. 8. 已知函数，，其中是函数的导函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导判断的单调性，将转化为，分离参数，构造新函数求新函数的单调性以及最值，从而求出实数的取值范围. 【详解】由题意知，所以， 又，所以在上单调递增. 因为，所以，故， 所以对任意的恒成立. 令，则，令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，即实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】思路点睛：由函数的不等关系求解参数的范围，先判断函数的单调性，从而得到内层函数的不等关系，再结合不等关系分类讨论或参变分离求参数的范围. 二、多选题（每题5分共20分） 9. 下列数列是等比数列的是（ ）． A. 1，1，1，1，1 B. 0，0，0，0，… C. ，，，… D. ，，1，，… 【答案】AC 【解析】 【详解】解：A选项，由等比数列的定义可知，该数列首项为1，公比为1的等比数列，故A正确； B选项，由等比数列的定义可知，等比数列的每一项都不能为0，一定不是等比数列，故B错误； C选项，由等比数列的定义可知，首项为，公比为的等比数列，故C正确； D选项，由等比数列的定义可知，，故不是等比数列，故D错误. 故选：AC. 10. 判断下列命题正确的是（ ） A. 函数的极小值一定比极大值小． B. 对于可导函数，若，则为函数的一个极值点． C. 函数在内单调，则函数在内一定没有极值． D. 三次函数在R上可能不存在极值． 【答案】CD 【解析】 【分析】根据导数与极值的关系依次判定即可. 【详解】对于A选项，根据极值定义，函数的极小值不一定比极大值小，则A选项错误； 对于B选项，若或恒成立，则无极值点，此时导函数的零点为函数拐点，则B选项错误； 对于C选项，在内单调，因为区间为开区间，所以取不到极值，则C选项正确； 对于D选项，三次函数求导以后为二次函数，若或恒成立，则无极值点，故D选项正确； 故选：CD. 11. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除的问题.现将1到500这500个数中能被2除余1且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 数列共有84项 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意得现将1到500这500个数中能被2除余1且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，则它们构成首项为1，末项为499，公差为6的等差数列，由此即可逐一判断每一个选项. 【详解】1到500这500个数中能被2除余1的数有：1，3，5，7……499， 1到500这500个数中能被3除余1的数有：1，4，7……499， 由题意现将1到500这500个数中能被2除余1且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列， 构成首项为1，末项为499，公差为6的等差数列， 所以， 所以，，，数列共有84项. 故选：ACD. 12. 已知，函数有两个极值点，则（ ） A. B. 时，函数的图象在处的切线方程为 C. 为定值 D. 时，函数在上的值域是 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项：由函数的导数等于0的方程有两个根可得；选项：由导函数的几何意义得到切线的斜率，再由点斜式写出方程即可；选项：由函数的极值点互为相反数代入计算可得；选项：由导数求出极值，再求出区间端点的值，即可得到函数在闭区间上的值域. 【详解】对于A，由题意，当时，，无极值点， 当时，， 时，，函数单调递减，无极值点， 当时，令，得，解得， 当，解得或，上单调递增， 当，解得，上单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点， 所以当时，函数有两个极值点，故正确； 对于B，若，则，则，则，， 所以函数在处的切线方程为，即，故正确； 对于C，因为， 当时，由，得，则， 所以为定值，故C正确； 对于D，当时，则，则， 令，解得或， 所以当时，， ，， 上的值域是，故错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：对含参的问题，要注意对参数的讨论；利用导数求切线方程问题要注意是“在”某处还是“过”某处；利用导数求函数在闭区间上的最值或值域问题，要注意舍去不在区间内的极值. 三、填空题（每题5分共20分） 13. 等比数列中，若，则____． 【答案】8 【解析】 【分析】利用等比数列的性质直接求解即可 【详解】因为数列为等比数列，， 所以， 故答案为：8 （来自午练19第4题） 14. 已知函数，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】求出函数的导函数，令，即可求出，从而得到函数解析式，再代入计算可得. 【详解】∵，则， ∴，解得， ∴， ∴. 故答案为： 15. 已知数列满足数列的前n项和为，且．设，则数列的前n项和为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列、等比数列的定义及求和公式，结合与的关系计算即可. 【详解】因为所以为首项是1，公差为2的等差数列， 所以． 又当， 当，作差得 所以是首项为1，公比为的等比数列，故． 所以， 所以． 故答案为：. 16. 已知定义在上的函数，其导函数为，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】因为的导函数为，故考虑构造函数，利用导数分析得出函数在上为增函数，分别在条件下化简不等式，并结合函数的单调性解不等式可得结论. 【详解】构造函数，则， 所以函数在上为增函数， 且. ①当时，由可得， 即， 即，可得，解得，此时； ②当时，由可得， 即. 即，可得，解得，此时. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：利用导数不等式求解函数不等式，思路如下： （1）根据导数不等式的结构构造原函数； （2）分析原函数的奇偶性，并利用导数分析出函数的单调性； （3）将所求不等式变形为或（偶函数）； （4）利用函数的单调性可得出关于、的不等式进行求解. 四、解答题 17. 已知函数． （1）求函数在点处的切线方程 （2）求函数在上的最大值和最小值 【答案】（1）； （2）的最小值是，的最大值是. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可； （2）利用导数研究函数的单调性求其极值、最值即可. 【小问1详解】 由题意可知，则， 所以在点处的切线方程为； 【小问2详解】 因为，所以， 令，解得：或， 令，解得：， 故在上递增，在上递减， 而，，， 的最小值是，的最大值是； 18. 已知在等差数列中，. （1）求数列的通项公式： （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）等差数列通项公式基本量运算求参得出通项公式； （2）应用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，可得 解得， 所以等差数列的通项公式可得； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以. 19. 已知函数，若在处取得极值10，. （1）求的值； （2）方程在有解，求实数的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得，根据题意，列出方程组，求得的值，结合极值定义，进行验证，即可求解； （2）由（1）得到，且，利用导数求得函数的单调性与最值，得出的值域，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 因为在处取得极值10，所以， 解得或， 当时，， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，符合题意； 当时，， 所以在上单调递增，此时无极值，不符合题意， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，且， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，函数取得最小值，最小值为， 又由，所以函数在上的值域为， 要使得方程在有解，则. 20. 为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足4万件时，，在年产量不小于4万件时，.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本.） （2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1）； （2）当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元. 【解析】 【分析】（1）分以及，分别求解得出表达式，写成分段函数即可； （2）当时，求导得出.然后根据基本不等式求出时，的最值，比较即可得出答案. 【小问1详解】 由题意，当时，；当时，. 所以. 【小问2详解】 当时，，令，解得. 易得在上单调递增，在上单调递减，所以当时， . 当时，， 当且仅当，即时取等号. 综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元. 21. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，且数列的前项和为，若都有不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先得，进一步由的关系得是以为首项，为公比的等比数列，由此即可求解； （2）由等差数列求和公式、错位相减法求得表达式，进一步原问题等价于不等式恒成立，由此即可求解. 【小问1详解】 因为，① 当时可得，即. 当时，，② 由①-②得，即， 即是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， ， 两式相减得，， 即，则， 故. 由，得，即， 依题意，不等式恒成立， 因为随着增大而减小， 所以，即的取值范围为. 22. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时在上单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递减.（2） 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论导数的符号后可得函数的单调区间. （2）根据（1）可知且，后者可得实数的取值范围为，再根据，结合零点存在定理可知当时函数确有两个不同的零点. 【详解】（1）解：因为， ①当时，总有， 所以在上单调递减. ②当时，令，解得. 故时，，所以在上单调递增. 同理时，有，所以在上单调递减. （2）由（1）知当时，单调递减， 所以函数至多有一个零点，不符合已知条件， 由（1）知当时，， 所以当时，解得，从而. 又时，有，因为，， 令，则， 所以在为增函数，故， 所以，根据零点存在定理可知： 在内有一个零点，在内有一个零点， 故当函数有个零点时，的取值范围为. 【点睛】导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明．取点时要依据函数值容易计算、与极值点有明确的大小关系这两个原则，讨论所取点的函数值的正负时，可构建新函数，通过导数讨论函数的最值的正负来判断. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $