构造辅助数列求通项公式（2）课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第4章 数列 培优课⓭ 构造辅助数列求通项公式（2） 要点深化·核心知识提炼 2 类型 通项的求法 , 为常数且 ， , 方法一 （“化 为1”转化为等差数列来求）等式两边同时除以 ，得 .令 即化为数列 ，且满足 ， ，这样只要求得 便可得 用累加 法求得 . 方法二 （“化 为0”转化为等比数列来求）设 ,展开得 ,联立 得 .令 ，则数列 为等比数列. 3 类型 通项的求法 , 为常数且 ， , 方法三 由已知递推公式得 ， ，两 式相减，得 ，此时说明数列 是公比为 ，首项为 的等比数 列，则 ，再用累加法求 续表 4 类型 通项的求法 为常数且 ， 为 多项式或指数函 数形式 方法一 由 得 的值，可得数 列 为等比数列. 方法二 等式两边同时除以 ，得 .令 ， 即化为数列 ，且满足 ，对此可用累加法求通 项. 方法三 若 ，也可以在原递推公式两边同时除以 ， 得 .引入辅助数列 ，得 ，再用待定系数法解决 续表 5 类型 通项的求法 （其中 ， 均为常数） 先把原递推公式转化为 ，其中 , 满 足 此时说明数列 是首项为 ，公比 为 的等比数列，则 ，再用上 一类型的解法求得 双数列问题 根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等 方法求解，或者通过消元转化为一个数列的递推公式，进而求解 续表 6 题型分析·能力素养提升 7 【题型一】 其中 , 均为常数，且 ， ， 型 例1 设数列 满足 ，且 ，则数列 的通项公式为 _ ______. <m></m> [解析] 因为 ，所以 ，所以 . 因为 ，所以 ，所以数列 是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以 ，所以 8 规律方法 求 型数列通项公式的最常用方法 设 ，得 ，与题设 比 较系数得 ，所以 ，所以 ，因此 数列 是以 为首项， 为公比的等比数列. 9 跟踪训练1 在数列 中， ， ， ，则该数列的通项公式 为 __________. <m></m> [解析] 因为 ，即 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，则 ，所以 . 10 【题型二】 型 角度1 为一次函数类型（即等差数列） 例2 已知数列 满足 ， ，则数列 的通项公式为 _ ___________. <m></m> [解析] 因为 ，所以 ，由此可得数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，所以 ， 所以数列 的通项公式为 . 11 规律方法 求此类型数列通项公式的方法 方法一 设 ，通过待定系数法确定 ， 的值，转化成以 为首项， 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的通项,整理可得 . 方法二 当 的公差为 时，由递推公式得 ， ，两式相减得 .令 ，得 转化为题型一，求出 ，再用累加法便可求出 . 12 跟踪训练2 已知数列 满足 ， . （1）证明数列 是等比数列并求数列 的前 项和 ; 解 因为 ，所以 ，即 ， ，所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以 ，故 ，所以 . 13 （2）设 ，求数列 的前 项和 . 由（1）可知 ,所以 ,所以 , , ，得 , 所以 . 14 角度2 为指数函数类型（即等比数列） 例3 已知在数列 中， ， ，则 ( ) A A. B. C. D. [解析] 因为 ， ，所以 ，整理 得 ，所以数列 是以 为首 项， 为公比的等比数列，所以 ，所以 ．故选A. 15 规律方法 求此类型数列通项公式的方法 方法一 设 ，通过待定系数法确定 的值，转 化成以 为首项， 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通 项公式求出 的通项,整理可得 . 方法二 当 的公比为 时，由递推公式得 ①， ，两边同时乘 得 ②， ，得 ，即 ，再转化为题型一便可求出 . 16 方法三 递推公式为 （其中 ， 均为常数）或 （其中 ， ， 均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以 ，得 ，引入辅助数列 其中 ，得 ， 再应用题型一的方法解决. 17 跟踪训练3（1） 在数列 中， , , ，则数列 的通项公式为 ___________________. [解析] 由 ，得 ，所以 ，即数列 是首项为1，公差为2的等差数列，所以 ，得 18 （2）在数列 中， ， ，则 的值为( ) A A. B. C. D.无法确定 [解析] 因为 ， ，所以 ，解得 . 因为 ，所以 ，两式相减，得 ， 所以 ， 所以 是以 为首项，2为公比的等比数列，所以 ，两边同时除以 ，得 ，所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，所以 ，所以 ，所以 .故选A. 19 【题型三】 型 例4 已知在数列 中， ， ， ，则 ( ) A A. B. C. D. [解析] 设 ，则 ， 所以 解得 或 当 ， 时， ， 20 所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ， 所以 .当 ， 时, ，所以数列 是首项为 ，公比为1的等比数列，所以 . 设 ，解得 ，所以数列 是首项为 ， 公比为 的等比数列，所以 ，所以 . 故选A. 题后反思 解此类题目用待定系数法，化为特殊数列 的形式求解.方法：设 ，比较系数得 , ，可解得 ， ，于是数列 是公比为 的等比数列，这样就化归为 型. 22 跟踪训练4 已知数列 满足 ， ，且 . （1）设 ，求证:数列 是等比数列； 证明 因为 ，所以 .又因为 ，所以数列 是首项为3，公比为3的等比数列. 23 （2）求数列 的通项公式. 解 由（1）知， ，从而 . 不妨令 ，则 ， 故 ，即 . 又因为 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， 故 ，从而 . 24 【题型四】双数列问题 例5 已知数列 满足 ， ， ,设 ， ,则 _____. <m></m> [解析] 依题意， , , ， ，所以数列 是首项为 ，公比为3 的等比数列，所以 ，所以 ， 也符合上式，所以 ，所以 ，所以 . 25 题后反思 由方程组 解出 或 ，转化为上面的题型. 26 跟踪训练5（1） 已知数列 和 满足 ， ， ， ，则 _______. <m></m> [解析] 因为 ， ，且 ， ，则 .由 可得 ，代入 ，可得 ，所以 ，且 ，所以数列 是以1为 首项，2为公比的等比数列，所以 .在等式 两边同时除以 ，得 ，所以数列 为等差数 列，且首项为 ，公差为1，所以 ，所以 ，则 ，因此 . 27 （2）数列 , 满足 且 , ①求证:数列 为等比数列； 证明 由 ，可得 ， 所以 ，代入 ，可得 ，化为 ， , ，所以数列 是首项为 ，公 比为3的等比数列. 28 ②求数列 和 的通项公式. 解 由①可得 ，化为 ， 所以数列 是首项为16，公比为2的等比数列，所以 ，可得 ，所以 29 $$