培优课：构造辅助数列求通项公式（1）课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第4章 数列 培优课⓬ 构造辅助数列求通项公式（1） 要点深化·核心知识提炼 2 知识点1.累加法求通项 形如 的递推公式：有 ， ， ， ， ，两边分别相加得 . 知识点2.累乘法求通项 形如 的递推公式：有 ， ， … ， ， ，两边分别相乘得 . 3 知识点3.倒数变换法求通项 形如 为常数且 的递推公式：两边同时除以 ， 转化为 的形式，从而求出 的表达式，再求 . 知识点4.对数变换法求通项 形如 的递推公式：常常两边取对数转化为等比数列求解. 4 题型分析·能力素养提升 5 【题型一】利用累加法求数列的通项公式 例1 已知数列 满足 , ,求数列 的通项公式. 解 依题意，得 , 所以 , 即 , , , ， .将以上各式两边分别相加,得 , , 得 , . 经检验， 符合上式, 所以 . 6 规律方法 求形如 的通项公式 将原递推公式转化为 ,再用累加法（逐差相加法）求解,即 7 跟踪训练1 已知数列 满足 , ,则 ______. <m></m> [解析] 因为 ， ，所以 ， ， ， ，所以 ，所以 ， 也符合上式，故 . 8 【题型二】利用累乘法求数列的通项公式 例2 已知数列 满足 ， ,则该数列的通项公式是_______. <m></m> [解析] 由已知得 ，所以 ，两式相减得 ，即 ，所以 ，所以 ， ， ， ， .将以上各式两边分别相乘,得 ， 也符合上式，所以 . 9 规律方法 求形如 的通项公式 将原递推公式转化为 ,再利用累乘法（逐商相乘法）求解,即由 , , , ,累乘可得 ,即 . 10 跟踪训练2 已知数列 满足 , ,求 . 解 由条件知 ,则 , , , ， ,将以上各式 两边分别相乘,得 ， 所以 . 又 ,所以 . 经检验， 符合上式,所以 . 11 【题型三】利用倒数变换法求数列的通项公式 例3 已知数列 满足 ， ，则满足 的 的最大 值为( ) C A.7 B.8 C.9 D.10 [解析] 因为 ，所以 ，所以 .又 ，所以数 列 是以1为首项，4为公差的等差数列，所以 ，所以 .由 ，得 ，即 ，解得 .因为 为正整数，所以 的最大值为9.故选C. 12 题后反思 对于 ，两边取倒数，得 .当 时， 数列 是等差数列. 13 跟踪训练3 已知数列 满足 , （1）求证：数列 是等差数列； 证明 由题意,得 ， ，所以数列 是以3为首项，3为公差 的等差数列. （2）求 的通项公式； 解 由（1）得 ，所以 . （3）试判断 是否为数列 中的项，并说明理由 解 是，理由：令 ，解得 ， ，故 是数列 中 的项 14 【题型四】利用对数变换法求数列的通项公式 例4 已知数列 满足 , ，则 ______. <m></m> [解析] 因为 ，所以 ， ， .设 ，则 ， ，两边取对 数，得 ， ，所以数列{ 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ，所以 ，所以 ，所以 . 15 题后反思 对于 ，两边取对数，得 .令 ，得 ，化归为 型，求出 之后得 .（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择） 16 跟踪训练4 已知数列 的首项为9，且 .若 ，则数列 的前 项和 __________. <m></m> [解析] 数列 的首项为9，且 ，所以 ，两边同时取对数，得 ，整理得 ，所以数列{ 是以 为首项，2为公比的等比数列， 所以 ，所以 .因为 ，所以 ，两边同时取倒数，得 ，所以数 列 的前 项和 . 17 $$