精品解析：黑龙江省大庆市水利学校（职普融通部）2025届高三第一次模拟考试数学试题（暨复读班开学摸底考试）

黑龙江省水利学校（职普融通部）2025届高三第一次模拟考试 （暨复读班开学摸底考试） 数学试题 考试时间：75分钟；分值100分 一、单选题（8题，每题5分，共40分） 1. 已知复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 下列说法错误的是 A. 命题“若，则”的否命题是：“若，则” B. 如果命题“”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题. C. 若命题：，则； D. “”是“”的充分不必要条件； 3. 已知O为锐角三角形的外心，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 某篮球运动员练习罚篮，共20组，每组50次，每组命中球数如下表： 命中球数 46 47 48 49 50 频数 2 4 4 6 4 则这组数据的中位数和众数分别为（ ） A. 48，4 B. 48.5，4 C. 48，49 D. 48.5，49 5. 到定点的距离与到定直线的距离之比为的动点的轨迹方程（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆及以下3个函数:（1）；（2）;（3），其中函数图像能等分该椭圆面积的函数是（ ） A. （1）（2）（3） B. （1）（2） C. （1）（3） D. （2）（3） 7. 如图，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，点，分别在半圆弧，（均不含端点）上，且，，，在球上，则下列命题：①当点在的三等分点处，球的表面积为；②当点在的中点处，过，，三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形；③当点在的中点处，三棱锥的体积为定值.其中真命题的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 8. 已知函数对于一切实数均有成立，且，则当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二、多选题（3题，每题6分，共18分） 9. 函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的有（ ） A. 直线是图象的一条对称轴 B. 在上单调递增 C. 若在上恰有4个零点，则 D. 在上的最大值为 10. 已知圆：，：，过平面内点P分别作两圆的切线PA，PB，切点分别为A，B，若满足且，其中P与A，B均不重合，下列说法正确的是（ ） A. 点P的轨迹在直线上 B. 点P的轨迹在圆上 C. 点P的轨迹长度为 D. 点P的轨迹长度为 11. 已知是定义在上的奇函数，，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时， C. 的解集为 D. 若关于的方程在上有根，则所有根的和可能为0或或 三、填空题（3题，每题5分，共15分） 12. 已知数列，，，，成等差数列，数列，，，，成等比数列，则_________． 13. 已知，，则 ______． 14. 在某一天的幼儿园活动中，5名小朋友每人制作了一个小礼物，每人随机拿一个礼物，则这5名小朋友都没有拿到自己制作的礼物的概率为________________. 四、解答题（5题，77分） 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数的最小值及函数取最小值时x构成的集合． 16. 已知函数，其中为常数. （1）证明：函数的图象经过一个定点，并求图象在点处的切线方程； （2）若，求函数在上的值域. 17. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，是边长为的等边三角形，. （1）证明：平面平面； （2）若，，求点到平面的距离. 18. 某企业对500个产品逐一进行检验，检验“合格”方能出厂．产品检验需要进行三项工序A、B、C，三项检验全部通过则被确定为“合格”，若其中至少2项检验不通过的产品确定为“不合格”，有且只有1项检验不通过的产品将其进行改良后再检验A、B两项工序，如果这两项全部通过则被确定为“合格”，否则确定为“不合格”．每个产品检验A、B、C三项工序工作相互独立，每一项检验不通过的概率均为p（）． （1）记某产品被确定为“不合格”的概率为，求的值； （2）若不需要重新检验的每个产品的检验费用为120元，需要重新检验的每个产品两次检验费用为200元．除检验费用外，其他费用为2万元，且这500个产品全部检验，该企业预算检验总费用（包含检验费用与其他费用）为10万元．试预测该企业检验总费用是否会超过预算？并说明理由． 19. 已知数列的前n项和为，且，. （1）求的通项公式 ； （2）设若，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省水利学校（职普融通部）2025届高三第一次模拟考试 （暨复读班开学摸底考试） 数学试题 考试时间：75分钟；分值100分 一、单选题（8题，每题5分，共40分） 1. 已知复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出复数，再根据模长公式可求出结果. 【详解】因为， 所以. 故选：C 2. 下列说法错误的是 A. 命题“若，则”的否命题是：“若，则” B. 如果命题“”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题. C. 若命题：，则； D. “”是“”的充分不必要条件； 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据命题的否命题的形式为条件和结论同时否定，所以A是正确的，根据复合命题的真值表，可以确定B项是正确的，根据特称命题的否定形式，可知C是正确的，因为“”是“”的必要不充分条件，可知D是错误的，故选D． 考点：逻辑． 3. 已知O为锐角三角形的外心，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的定义和运算运算性质，结合余弦的二倍角公式、三角形外心的性质进行求解即可. 【详解】设锐角三角形的外接圆的半径为，即， ， ，显然是锐角， 因为O为锐角三角形的外心，所以O在锐角三角形内部， 由圆的性质可知：，显然是锐角， ，或舍去， 故选：A 4. 某篮球运动员练习罚篮，共20组，每组50次，每组命中球数如下表： 命中球数 46 47 48 49 50 频数 2 4 4 6 4 则这组数据的中位数和众数分别为（ ） A. 48，4 B. 48.5，4 C. 48，49 D. 48.5，49 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数和众数的定义即可求解. 【详解】数据总个数为20个， 因此中位数是第10个与第11个数据的中位数，即， 众数为出现最多的数据，即数据49（出现6次）， 故选：D. 5. 到定点的距离与到定直线的距离之比为的动点的轨迹方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先设动点，根据两点间距离公式和点到直线距离公式求出，之间的关系即可. 【详解】设动点， 则点到定点的距离， 点到定直线的距离， 由题知， 整理得. 故选：C. 【点睛】本题考查了两点间距离公式，点到直线的距离，点的轨迹方程，属于基础题. 6. 已知椭圆及以下3个函数:（1）；（2）;（3），其中函数图像能等分该椭圆面积的函数是（ ） A. （1）（2）（3） B. （1）（2） C. （1）（3） D. （2）（3） 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的对称性以及函数的奇偶性进行判断. 【详解】对于函数，其定义域为，且， 所以是奇函数，所以函数能等分该椭圆的面积； 对于函数，其定义域为，且， 所以是奇函数，所以函数能等分该椭圆的面积； 对于函数，其定义域为，且， 所以是偶函数，所以函数不能等分该椭圆的面积；故A，C，D错误. 故选：B. 7. 如图，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，点，分别在半圆弧，（均不含端点）上，且，，，在球上，则下列命题：①当点在的三等分点处，球的表面积为；②当点在的中点处，过，，三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形；③当点在的中点处，三棱锥的体积为定值.其中真命题的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】取中点，中点，中点，根据题意得球心在线段上，设，设，根据，得，进而得，当点在的三等分点处，，根据上述运算即可得①错误；对于②，当点在上时，可知其截面为五边形，故错误；对于③，根据等体积法求解即可判断. 【详解】如图1，取中点，中点，中点， 根据题意，球心在线段上，设， 则由余弦定理，设，则，，因为（为球的半径），所以，所以， 当点在的三等分点处，，则， 所以，所以球的表面积为，故①错误； 对于②，当点在上时，连接，在平面中过点作的平行线，与线段分别交于，延长与相交，连接交点与点交于， 此时，当点在的中点处，过，，三点的平面截正四棱柱所得的截面为五边形，故②错误； 对于③，当点在的中点处，三棱锥的体积为，为定值，故③正确. 故选：C． 8. 已知函数对于一切实数均有成立，且，则当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法及条件可得，则当时，恒成立，令，利用二次函数的性质可得，所以在上恒成立，再结合对数函数的性质即得. 【详解】∵函数对于一切实数均有成立， ∴令得，，又， ∴， ∴令得，，即， 当时，不等式恒成立， ∴当时，恒成立， 令，，则在上单调递增， ∴， ∴要使当时，恒成立， 则在上恒成立， 当时，，不成立， 当时，则有，所以. 故选：D. 二、多选题（3题，每题6分，共18分） 9. 函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的有（ ） A. 直线是图象的一条对称轴 B. 在上单调递增 C. 若在上恰有4个零点，则 D. 在上的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用函数的平移变换及三角函数的性质即可求解. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象. 对于A，当时，，故直线是图象的一条对称轴，故A正确. 对于B，由，得，则在上不单调，故B错误； 对于C，由，得，因为在上恰有4个零点，所以，解得，故C正确. 对于D，由，得，则在的最大值为，故D错误. 故选：AC. 10. 已知圆：，：，过平面内点P分别作两圆的切线PA，PB，切点分别为A，B，若满足且，其中P与A，B均不重合，下列说法正确的是（ ） A. 点P的轨迹在直线上 B. 点P的轨迹在圆上 C. 点P的轨迹长度为 D. 点P的轨迹长度为 【答案】AD 【解析】 【分析】设由题意可得再结合可得点P的轨迹在直线，设利用即可求出t的取值范围，进而确定点P的轨迹长度． 【详解】设则 由可得， 故点P的轨迹在直线上， 设 由得，即 即 即 故点P的轨迹长度为， 故选：AD 11. 已知是定义在上的奇函数，，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时， C. 的解集为 D. 若关于的方程在上有根，则所有根的和可能为0或或 【答案】BD 【解析】 【分析】根据奇函数的性质及，推出函数的对称性与周期性，利用周期性及对称性判断A，B，画出函数图象，即可判断C，将方程的根转化为与的交点横坐标，分类讨论，结合函数图象判断D. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 又，所以关于对称，， 即，所以，则是以为周期的周期函数， 当时，，所以，故A错误； 当时，则，所以， 所以时， 当时，所以，故B正确； 的部分图象如下所示： 所以当时，令，解得， 当时，令，解得， 所以在一个周期内的解集为， 则的解集为，故C错误； 关于的方程在上有根，即与在上有交点，则； 当时恰有两个交点，且交点横坐标为和，即方程两根的和为； 当时恰有两个交点，且交点横坐标为和，即方程两根的和为； 当时恰有五个交点，且交点横坐标为，，，，，即方程的根的和为； 当时恰有四个交点，记交点横坐标（从左至右）分别为、、、， 则，，所以，即方程的根的和为； 同理当时恰有四个交点，且四个交点的横坐标之和为，即方程的根的和为； 所以若关于的方程在上有根，则所有根的和可能为或或，故D正确. 故选：BD 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出函数的对称性与周期性，再一个即数形结合思想的应用. 三、填空题（3题，每题5分，共15分） 12. 已知数列，，，，成等差数列，数列，，，，成等比数列，则_________． 【答案】##0.375 【解析】 【分析】根据题意，求出数列的公差，得到，利用等比中项公式和等比数列的性质，求得，从而得解. 【详解】由，，，，成等差数列，可得公差，所以， 又由，，，，成等比数列，可得， 设等比数列的公比为，可得，所以， 所以. 故答案为：. 13. 已知，，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】由两角差的正切公式计算． 【详解】． 故答案为：． 14. 在某一天的幼儿园活动中，5名小朋友每人制作了一个小礼物，每人随机拿一个礼物，则这5名小朋友都没有拿到自己制作的礼物的概率为________________. 【答案】 【解析】 【分析】先计算出5人分配5个礼物(错排问题)，基本事件总数，再分两种情况计算出都没有拿到自己制作的礼物的基本事件数，从而求出概率. 【详解】5人分配5个礼物，基本事件总数， 都没有拿到自己制作的礼物所包含两类情况， 一是5人中有2人交换了礼物，此时有种情况，另外三人都没有拿到自己制作的礼物情况有2种，故共有种情况； 二是5人都没有交换礼物，不妨设甲同学有4种选择，若其拿到乙的礼物； 对于乙来说有3种情况，若其拿到丙的礼物；对丙来说有2种情况，而余下两人只有1种情况，故共有种情况， 故基本事件总数， 概率. 故答案为： 四、解答题（5题，77分） 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数的最小值及函数取最小值时x构成的集合． 【答案】（1）；（2），此时x构成集合为． 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式与两角和与差的正弦公式转化为：，再利用正弦函数的性质求解； （2）利用正弦函数的性质，当时，函数取最小值求解. 【详解】（1）函数 ∴函数的最小正周期， 由，解得 解得函数的单调递增区间为. (2) ，∴函数的最小值为， 取得最小值时x的取值集合满足: ， 解得：. ∴函数取得最小值时x的取值集合为： . 【点睛】方法点睛：函数的性质： (1) . (2)周期 (3)由 求对称轴，由求对称中心. (4)由求增区间；由求减区间. 16. 已知函数，其中为常数. （1）证明：函数的图象经过一个定点，并求图象在点处的切线方程； （2）若，求函数在上的值域. 【答案】（1）因为， 所以， 所以函数的图像经过一个定点， 因为， 所以切线的斜率，. 所以在点处的切线方程为， 即； （2） 【解析】 【分析】（1）将函数解析式重新整理，解得定点，再求导数，根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式得切线方程， （2）先解出，再利用导数求函数值域. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，所以， 故， 则， 由得或， 当变化时，，的变化情况如下表： 1 2 0 0 单调减 单调增 从而在上有最小值，且最小值为， 因为，， 所以， 因为在上单调减，， 所以， 所以，所以最大值为， 所以函数在上的值域为. 17. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，是边长为的等边三角形，. （1）证明：平面平面； （2）若，，求点到平面的距离. 【答案】（1） ， , 又, 平面, 平面, 平面平面 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可证平面，再由面面垂直的判定定理求证即可； （2）先证明平面，再利用三棱锥的等体积法求点到面的距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，,, 可得, 在中, ,可得, 因为，， 所以，又,, 所以平面, 所以平面, 所以, 是平面与平面的交线， 所以平面，即是棱锥的高， 因为直角三角形中，, 所以, 设点到平面的距离为h, 则 , , 解得：. 即点到平面的距离为. 18. 某企业对500个产品逐一进行检验，检验“合格”方能出厂．产品检验需要进行三项工序A、B、C，三项检验全部通过则被确定为“合格”，若其中至少2项检验不通过的产品确定为“不合格”，有且只有1项检验不通过的产品将其进行改良后再检验A、B两项工序，如果这两项全部通过则被确定为“合格”，否则确定为“不合格”．每个产品检验A、B、C三项工序工作相互独立，每一项检验不通过的概率均为p（）． （1）记某产品被确定为“不合格”的概率为，求的值； （2）若不需要重新检验的每个产品的检验费用为120元，需要重新检验的每个产品两次检验费用为200元．除检验费用外，其他费用为2万元，且这500个产品全部检验，该企业预算检验总费用（包含检验费用与其他费用）为10万元．试预测该企业检验总费用是否会超过预算？并说明理由． 【答案】（1）； （2）预测不会超过预算，理由如下： 设每个产品检验的费用为X元，则X的可能取值为120，200， 依题意，，， 则，， 令函数，，求导得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 因此，即， 则该企业检验总费用的期望最大值为（万元）， 所以预测不会超过预算. 【解析】 【分析】（1）利用互斥事件的概率加法计算公式及独立重复实验的概率计算公式进行求解即可. （2）根据给定条件，求出每个产品检验费用的数学期望表达式，通过构造函数，利用导数判断函数的单调性求最值即可. 【小问1详解】 依题意，每个产品首次检验被确定为“不合格”的概率为， 首次检验有且只有1项检验不通过的产品再次检验被确定为“不合格”的概率为， 因此， 所以. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 19. 已知数列的前n项和为，且，. （1）求的通项公式 ； （2）设若，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由递推关系化简求得数列通项公式. （2）先用错位相减法求得bn的通项公式，然后求最大值，即可求得参数的取值范围. 【详解】（1）由， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 则. （2）由（1）知，①， 两边同乘得，②， ①-②得，， 故，， 取， 当时，恒成立，则恒成立， 即数列从第二项开始是单减的，又， 故数列的最大项为， 若恒成立，则. 【点睛】方法点睛：（1）递推关系构造新数列，从而求得待求数列通项； （2）错位相减法求等差数列与等比数列乘积的前n项和，作比法求数列单调性，从而求得数列最值，解得参数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $