第2章 圆与方程章末总结提升课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第2章 圆与方程 2.3 圆与圆的位置关系 网络构建·知识导图 2 3 要点归纳·典例提升 4 要点一 直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：设圆心到直线的距离为 ，圆的半径为 .若 ，则直线和圆相 交；若 ，则直线和圆相切；若 ，则直线和圆相离. （2）代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方 程，其判别式为 直线和圆相切； 直线和圆相交； 直 线和圆相离. 2.研究直线与圆的位置关系，集中体现了直观想象和数学运算的核心素养. 5 【典例1】 [2023扬州调研] 已知圆 . （1）若圆 截 轴所得弦的弦长等于半径的一半，求 的值； 解 将圆 的方程化为标准方程为 ，所以圆心为 ， 半径 ．因为圆 截 轴所得弦的弦长等于半径的一半，所以 ，所以 ，即 ，解得 ． 6 （2）当 时，若圆 的切线在 轴和 轴上的截距相等，求此切线方程. 当 时，将圆 的方程化为标准方程为 ，其圆心为 ，半径 ． ①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为 ，所以圆心到切线的距离 为 ，即 ，解得 ，所以切线方程为 或 ． ②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为 ，所以圆心到切 线的距离为 ，即 ，解得 或 ，所以切线方程为 或 综上，所求切线方程为 或 或 或 . 7 规律方法 直线与圆问题的类型 （1）求切线方程：可以利用待定系数法结合图形求得. （2）求截得弦长：常用几何法（垂径定理），也可用代数法结合弦长公式求解. 8 跟踪训练1 [2023海安检测] 已知圆 和直线 相切于点 . （1）求圆 的标准方程及直线 的一般式方程； 解 把点 代入圆 的方程，可得 ，解得 ，所以圆 的方程为 ，即 ，所以圆心为 ，所以直线 的斜率为 由圆的几何性质可知 ，则直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，即 . 9 （2）已知直线 经过点 ，并且被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程. 由（1）可知，圆 的直径为 ，故直线 经过圆心 ，且直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，即 ． 10 要点二 圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系：一般利用圆心间的距离与两半径和与差的绝对值的大小关系判断两圆的位置关系. 2.圆与圆的位置关系的转化，体现直观想象、逻辑推理的数学核心素养. 【典例2】（1） 已知圆 过圆 与圆 的公共点.若圆 ， 的公共弦恰好是圆 的直径，求圆 的面积. 11 解 和 两式相减，化简可得 ，即为圆 , 的公共弦所在直线方程. 又 到 的距离 ，故公共弦长为 ，故圆 的半径为 ，圆 的面积为 ． 12 （2）求半径为4，且与圆 和直线 都相切的圆的方程. 所求圆与直线 相切且半径为4，则设圆心为 或 ． 圆 的圆心坐标为 ，半径为3． 若两圆相切，则 或 ①当圆心为 时， 或 （无解）， 解得 ，故所求圆的方程为 或 ； 13 ②当圆心为 时， 或 （无 解），解得 ，故所求圆的方程为 或 ． 综上，半径为4，且与圆 和直线 都相切的圆的方程为 或 或 或 ． 题后反思 （1）当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，那么两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在直线方程.两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心.求公共弦长时，几何法比代数法简单易求. （2）对于典例 两圆相切有两种情况：内切和外切，解题过程中若只考虑了两圆相切的某一种情况，会造成漏解. 15 跟踪训练2 （多选题）已知圆 和圆 的交点为 ， ，则( ) ABD A.圆 和圆 有两条公切线 B.直线 的方程为 C.圆 上存在两点 和 使得 D.圆 上的点到直线 的最大距离为 16 [解析] 对于A，因为两圆相交，所以有两条公切线，故A正确；对于B，将两圆方程作 差可得 ，即直线 的方程为 ，故B正确；对于C， 直线 过圆 的圆心 ，所以线段 是圆 的直径，故圆 中不存在比 长的弦，故C错误；对于D，圆 的圆心坐标为 ，半径为2，圆心到直线 的距离为 ，所以圆 上的点到直线 的最大距离为 ，故D正确．故选 ． 17 要点三 “隐圆”问题的简单运用 有类题目在条件中并未直接给出有关圆方面的信息，而是以隐性的形式出现，但是通过分析和转化，最终都可以利用圆的知识求解.这类题目构思巧妙，综合性强,关键在于能否把“隐圆”找出来. 【典例3】 [2023南通月考] 在平面直角坐标系 中，已知点 ， .如果 圆 上总存在点 使得 ，那么圆心 的横坐 标 的取值范围是_ _______. <m></m> ， <m></m> 18 [解析] 设 ，由 ，得 ， 化简为 ，其表示以 为圆心，半径为2的圆， 如图，则圆 与圆 有公共点，得 ，解得 ，所以 的取值范围是 ， ． 19 题后反思 由两定点 ， ，动点 满足 确定隐形圆（阿波罗尼奥斯 圆）. 本题条件中 可确定点 的轨迹是一个圆. 跟踪训练3 [2023无锡调研] 若圆 上总存在两个点到原点 的距离为1，则实数 的取值范围是_ _________. <m></m> ， <m></m> 20 $$