线线角与线面角课件-2025届高三数学一轮复习

第37讲　空间角与距离的计算 第七章　 立体几何 1 1．在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BCA＝90°，D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是(　　) 激 活 思 维 【解析】 【答案】A 如图，建立空间直角坐标系． 【解析】 以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 【答案】 A 3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在BB1，DD1上，且A1C⊥平面AEF，AD＝3，AB＝4，AA1＝5，则平面AEF和平面D1B1BD夹角的余弦值为 (　　) 【解析】 【答案】 C 4．如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1，已知AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为(　　) B 【解析】 5．若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则点O到平面ABC1D1的距离为(　　) 【解析】 【答案】 B 1．两条异面直线所成角的求法 设a，b分别是两条异面直线l1，l2的方向向量． 聚 焦 知 识 3．平面与平面的夹角的求法 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． 5．点面距的求法 (1) 定义法：自点向平面作垂线，利用三角形知识求垂线段的长度； (2) 等积法：利用体积相等求棱锥的高，如VP-ABC＝VA-PBC. 说明：线面距和面面距可转化成点面距求解． 第1课时　线线角与线面角 16 如图，等边三角形ABC的边长为3，DE⊥AB分别交AB，AC于D，E两点，且AD＝1，将△ADE沿DE折起(点A与P重合)，使得平面PED⊥平面BCED，则折叠后的异面直线PB，CE所成角的正弦值为 (　　) 异面直线所成角的计算 举 题 说 法 1 【解析】 【答案】 D 由题意可知DB，DE，DP两两垂直，以D为坐标原点，DB，DE，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图． 【解析】 【答案】 A 以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 设PA＝AB＝6，则B(6，0，0)，C(6，6，0)，P(0，0，6)，E(3，6，0)，F(0，0，3). 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，A1C⊥底面ABC，∠ACB＝90°，A1到平面BCC1B1的距离为1. (1) 求证：AC＝A1C； 线面所成角的计算 2 因为A1C⊥底面ABC，BC⊂底面ABC，所以A1C⊥BC.又∠ACB＝90°，所以AC⊥BC.又AC∩A1C＝C，A1C，AC⊂平面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1.又BC⊂平面BCC1B1，所以平面BCC1B1⊥平面ACC1A1，且交线为CC1. 【解答】 如图(1)，过A1作CC1的垂线，垂足为M，则A1M⊥平面BCC1B1.又A1到平面BCC1B1的距离为1，所以A1M＝1. 在△A1CC1中，A1C⊥A1C1，CC1＝AA1＝2＝2A1M，所以M为CC1的中点，又M为垂足，所以△A1CC1为等腰三角形，所以A1C1＝A1C，进而A1C＝AC. 图(1) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，A1C⊥底面ABC，∠ACB＝90°，A1到平面BCC1B1的距离为1. (2) 若直线AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值． 2 方法一：由(1)知，CA，CB，CA1两两垂直，如图(2)，建立空间直角坐标系Cxyz. 【解答】 过C作CH⊥A1A，则H为AA1的中点．连接BH，则BH⊥AA1. 图(2) 方法二：连接A1B，AC1.因为AC＝A1C，BC⊥A1C，BC⊥AC，所以Rt△ACB≌ Rt△A1CB，所以BA＝BA1.过B作BD⊥AA1，交AA1于D，则D为AA1中点． 如图(3)，延长AC，使AC＝CQ，连接C1Q，由CQ∥A1C1，CQ＝A1C1知四边形A1CQC1为平行四边形，所以C1Q∥A1C，所以C1Q⊥平面ABC. 图(3) 如图，过点E作EF′∥AB交PA于点F′，连接DF′. 因为底面ABCD为正方形，所以AB∥CD，则EF′∥CD，所以C，D，E，F′四点共面，即平面CDE延伸至平面CDF′E，所以F′即为棱PA与平面CDE的交点F，所以AB∥EF. 【解答】 因为PD⊥平面ABCD，且底面ABCD为正方形，所以DA，DC，DP两两垂直. 【解答】 直线与平面所成角的探索性问题 3 因为侧面A1B1BA为菱形，所以A1B⊥AB1.又因为A1B⊥AC，AC∩AB1＝A，AC，AB1⊂平面AB1C，所以A1B⊥平面AB1C. 【解答】 3 【解答】 因为平面A1B1BA⊥平面ABC，平面A1B1BA∩平面ABC＝AB，B1O⊂平面A1B1BA，所以B1O⊥平面ABC.又AC⊂平面ABC，所以B1O⊥AC. 方法二：设A1B∩AB1＝F.因为A1B⊥平面AB1C，A1B⊂平面A1BE，所以平面A1BE⊥平面AB1C，EF为交线． 随 堂 练习 1．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AB，AD＝3AB，则PC与底面ABCD所成角的正切值为 (　　) C 【解析】 如图，因为PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，所以PA⊥AC，所以PC与底面ABCD所成的角为∠PCA. 【解析】 【答案】 A 【解析】 如图，过点A作AO⊥底面BCD，垂足为O，连接AN，ON，OC，过点M作MG⊥OC，垂足为G，连接NG. 【答案】 C 【解析】 配套精练 42 【解析】 B 2．如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，E是棱PD的中点，则异面直线PC与BE所成角的余弦值为 (　　) 【解析】 【答案】D 【答案】B 【解析】 【解析】 方法一：不妨取PA＝PB＝PC，如图，把PA放在正方体中，PA，PB，PC的夹角均为60°，建立如图(1)所示的空间直角坐标系， 图(1) 【答案】B 方法二：如图(2)，过点C作CQ⊥平面PAB，由题知Q在∠BPA的平分线上，过Q作QD⊥PA，连接CD. 图(2) 【解析】 【答案】2 6．在正四棱锥S-ABCD中，已知O为顶点在底面内的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角为________． 【解析】 【答案】30° 三、 解答题 7．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点． (1) 若BF∥平面ACE，求EF的长度； 【解答】 如图(1)，连接BD交AC于点O，连接OE. 图(1) 7．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点． 【解答】 图(2) (1) 求证：DD1∥平面AB1C； 【解答】 (1) 如图，连接BD交AC于点O，连接OB1，B1D1. (2) 若B1A＝B1C，求直线BC1与平面AB1C所成角的正弦值． 【解答】 因为B1A＝B1C，O为AC的中点，所以OB1⊥AC.又平面AB1C⊥平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，OB1⊂平面AB1C，所以OB1⊥平面ABCD，又OB1∥DD1，所以DD1⊥平面ABCD. 9．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，PA＝AD＝2，AB＝4，M，N分别是线段AB，PC的中点． (1) 求证：MN∥平面PAD. 【解答】 如图，取PB中点E，连接ME，NE.因为M，N分别是线段AB，PC的中点，所以ME∥PA. 又因为ME⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以ME∥平面PAD，同理得NE∥平面PAD.又因为ME∩NE＝E，所以平面PAD∥平面MNE. 因为MN⊂平面MNE，所以MN∥平面PAD. 9．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，PA＝AD＝2，AB＝4，M，N分别是线段AB，PC的中点． 【解答】 因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为PA⊥平面ABCD，所以AP，AB，AD两两垂直．以AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 谢谢观赏 l1与l2所成的角θ a与b的夹角β 范围 (0，π) 求法 cos θ＝ cos β＝ 4．点P到直线 l 的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量＝a，则向量在直线l上的投影向量为＝(a·u)u，点P到直线l的距离为PQ＝___________． 由＝2得＝＝(4，4，－4)，则H(4，4，2)，＝(－2，4，2). 因为AP与平面A1BE所成的角为，所以sin ＝|cos 〈，n〉|＝＝＝，所以5λ2－2λ＝0，解得λ＝或λ＝0(舍去)，故＝. A． B．3 C． D． A． B． C． D． 3．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，AP＝2，则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 (　　) A． B． C． D． 如图，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，所以＝(0，1，－2)，＝(1，0，0)，＝(1，0，－2). 4．已知PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是 (　　) A． B． C． D． 设正方体的棱长为1，则P(1，0，0)，C(0，0，1)，A(1，1，1)，B(0，1，0)，所以＝(－1，0，1)，＝(0，1，1)，＝(－1，1，0). 设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，则n＝(1，1，－1)，所以cos 〈，n〉＝＝＝－. 易知PC与平面PAB所成的角是∠CPQ.设PC＝a，则PD＝，PQ＝＝a，从而cos ∠CPQ＝＝. 二、 填空题 5．已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，SD⊥平面ABCD，线段AB，SC的中点分别为E，F，若异面直线EC与BF所成角的余弦值为，则SD＝_______． 如图，以D为原点，，，分别为x，y，z轴 正方向建立空间直角坐标系． 因为BF∥平面ACE，平面BEF∩平面ACE＝OE，BF⊂平面BEF，所以BF∥OE.又EF∥BO，所以四边形BOEF为平行四边形，则EF＝BO＝. 如图(2)，以点C为坐标原点，，，方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 则D1(1，0，1)，B1(0，1，1)，A(1，1，0)，B(0，1，0)，1＝(－1，1，0)，＝1＝，＝＋＝，＝－＝. 8．如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，平面AB1C⊥平面ABCD，DD1＝DA＝A1B1＝AB＝2，∠BAD＝. 在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，因为DD1＝DA＝A1B1＝AB＝2，所以OD∥B1D1且OD＝B1D1，所以四边形OB1D1D为平行四边形，所以OB1∥DD1.又DD1⊄平面AB1C，OB1⊂平面AB1C，所以DD1∥平面AB1C. 8．如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，平面AB1C⊥平面ABCD，DD1＝DA＝A1B1＝AB＝2，∠BAD＝. $$