1.2.3 直线的一般式方程课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第1章 直线与方程 1.2.3 直线的一般式方程 【课标要求】 1.掌握直线的一般式方程的形式特征. 2.理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系. 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化. 4.能运用直线的一般式方程解决有关问题. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.直线的一般式方程 在平面直角坐标系中，任何一个关于 ， 的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于 ， 的二元一次方程 （ ， 不全为0）叫作直线的一般式方程. 名师点睛 解题时，若无特殊说明，应把求得的直线方程化为一般式. 4 知识点2.直线的一般式与斜截式、截距式的互化 直线的一般式、斜截式、截距式如下表： 一般式 斜截式 截距式 （ , 不全为0） （ , , 都不为0） 5 题型分析·能力素养提升 6 【题型一】求直线的一般式方程 例1 根据下列条件求直线的一般式方程： （1）过点 ，斜率是直线 的斜率的 ； 解 设所求直线的斜率为 ，依题意，得 .又直线经过点 ，所以所求直线方程为 ，即 ． 7 （2）经过点 ，且在 轴上的截距等于在 轴上的截距的2倍； 当直线不过原点时，设所求直线方程为 ，将点 代入可得 ， 解得 ，所以直线方程为 ；当直线过原点时，设直线方程为 ，则 ，解得 ，所以直线方程为 ，即 .综 上，所求直线方程为 或 ． （3）过 ， 两点. ①当 时，直线 的方程为 ； ②当 时，直线 的方程为 ，即 . 因为将 代入方程 ，得 ，所以直线 的方程为 ． 8 规律方法 求解直线的一般式方程的策略 （1）当 时，方程可化为 ，只需确定 ， 的值；当 时，方程可化为 ，只需确定 ， 的值.因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程. （2）在求直线方程时，根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式. 9 跟踪训练1 根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式： （1）斜率是 ，经过点 ； 解 由点斜式方程，得 ，化简，得 ． （2）经过点 ，且与 轴垂直； 直线方程为 ，即 ． （3）斜率为 ，在 轴上的截距为7； 由斜截式方程，得 ，化成一般式为 ． （4）经过点 ， ; 由两点式方程，得 ，化成一般式为 ． 10 （5）经过 ， 两点； 由两点式方程，得 ，整理得 . （6）在 轴、 轴上的截距分别是 ， . 由截距式方程，得 ，整理得 11 【题型二】直线一般式方程的应用 例2 [2023无锡调研] 已知直线 ，直线 过点 ，________.①直线 的斜率是直线 的斜率的2倍；②直线 不过原点且在 轴上的截距等于在 轴上的截距的2倍.在这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答下列问题. 12 （1）求直线 的方程； 解 选择①．由题意，可设直线 的方程为 .因为直线 的斜率是直 线 的斜率的2倍，所以 ，所以直线 的方程为 ， 即 ．选择②．由题意,可设直线 的方程为 .因为直线 过 点 ，所以 ，解得 ，所以直线 的方程为 ，即 ． 13 （2）若直线 与 在 轴上的截距相等，求直线 在 轴上的截距. 由（1）可知,直线 的方程为 ，令 ，可得 ，所以直线 在 轴上的截距为 ，所以直线 在 轴上的截距为 ．故直线 过点 ，代入 ，得 ，所以直线 的方程为 因此直线 在 轴上的截距为6． 14 规律方法 直线一般式方程的解题流程 15 跟踪训练2 设 为实数，若直线 的方程为 ，根据 下列条件分别确定 的值： （1）直线 的斜率为 ； 解 因为直线 的方程为 ，所以直线 的斜率为 ，于是得 ，解得 ，即 的值为5． （2）直线 在 轴、 轴上的截距之和等于1. 因为直线 的方程为 ，当 时， ，当 时， ，于是得 ，解得 ，即 的值为2． 16 成果验收•课堂达标检测 17 A层 基础达标练 1.直线 的倾斜角为( ) A A. B. C. D. 2.若直线 在 轴、 轴上的截距分别是 和3，则 ， 的值分别为 ( ) D A.3，2 B. ， C. ，2 D.3， 3.[2023徐州调研] 已知直线 ， 的方程分别为 ， ，其图象如图所示，则有( ) C A. B. C. D. 18 4.直线 过定点( ) C A. B. C. D. 5.[2023新海调研] 设直线 的方程为 .若 不经过第一 象限，则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 6.[2023长沙月考] 点 是直线 上的点，则直线方程可表示为 ( ) A A. B. C. D. 19 7.设直线 的方程为 . （1）若直线 在 轴上的截距为 ，求 ； 解 由直线 在 轴上的截距为 ，得直线 过点 ，代入方程得 ，即 ， 解得 或 ，经检验可知 时，直线 的方程为 ，不符合题意， 舍去，所以 . （2）若直线 的斜率为1，求 . 由直线 的斜率为1，得直线方程中 , 的系数互为相反数，且不为0，所以 ，解得 或 ，当 时， ，不符合题意，舍去，所以 . 20 B层 能力提升练 8.已知直线 过点 ，则( ) C A.点 一定在直线 上 B.点 一定在直线 上 C.点 一定在直线 上 D.点 一定在直线 上 9.（多选题）[2023泰安月考] 直线 与直线 的图象可能是( ) BC A.&1& B.&2& C.&3& D.&4& 21 10.[2023常州质检] 直线 的倾斜角的取值范围是( ) C A. , B. , C. , , D. , , 22 11.（多选题）已知直线 的方程是 ，则下列说法中正确的是 ( ) ABD A.若 ，则直线 不过原点 B.若 ，则直线 必过第四象限 C.若直线 不过第四象限，则一定有 D.若 且 ，则直线 不过第四象限 23 [解析] 对于A，若 ，则 , , 都不等于0，当 时， ，所以直线 不过原点，故A正确； 对于B，若 ，则直线斜率 ，则直线一定过第二、四象限，故B正确； 对于C，若直线 不过第四象限，当直线 过第一、二象限时， ，则 ， 故C错误； 对于D，若 且 ，则 , ，所以直线的斜率大于0，在 轴上的截距小于0，所以直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故D正确.故 选 . 12.（多选题）已知直线 过点 ，且与直线 以及 轴围成一个 底边在 轴上的等腰三角形，则( ) AB A.直线 的方程为 B.直线 与直线 的倾斜角互补 C.直线 在 轴上的截距为2 D.这样的直线 有两条 [解析] 因为直线 与 及 轴围成一个底边在 轴上的等腰三角形，所以 与 的倾 斜角互补，故B正确； 由直线 的斜率为 ，知直线 的斜率为 ，因为直线 过点 ，所以直线 的 方程为 ，即 ，故A正确； 将 代入 ,得 ，所以 在 轴上的截距为1，故C错误； 过点 且斜率为 的直线只有一条，故D错误.故选 . 25 13.若直线 过点 ，则该直线在 轴与 轴上的截距之 和的最小值为___. 4 [解析] 因为直线 ，当 时， ;当 时， ，所以该直线在 轴、 轴上的截距分别为 ， .又直线 过点 ，所以 ，即 ，所以 ，当且仅当 时等号 成立.所以直线在 轴与 轴上的截距之和的最小值为4. 26 14.[课本改编题] 已知两条直线 和 都过点 ， 则过两点 ， 的直线方程为_ _______________. <m></m> 15.在①直线 的斜率为 ，②直线 的斜率为 这两个条件中任选一个，补充在 下面的横线上，并解答下面的问题. 已知以角 为顶角的等腰三角形 的顶点 , ，___. 27 （1）求直线 的一般式方程； 解 因为 , ，所以 轴. 选①：直线 的斜率为 ，则直线 的倾斜角为 .因为 是以角 为顶角 的等腰三角形，所以直线 的倾斜角为 ，如图所示.因为 ， 的倾斜角 为 ，所以直线 的方程为 ，其一般式方程为 . 28 选②：直线 的斜率为 ，则直线 的倾斜角为 .因为 是以角 为顶角 的等腰三角形，所以直线 的倾斜角为 或 ，如图所示. 因为 ， 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，其一般 式方程为 . 29 （2）求直线 的一般式方程； 选①：因为 ，直线 的倾斜角为 ，所以直线 的方程为 ，其 一般式方程为 . 选②：因为 ，直线 的倾斜角为 或 ，所以直线 的方程为 或 ，其一般式方程为 或 30 （3）求角 的平分线所在直线的一般式方程. 选①：由（2）可知，角 的平分线所在直线的倾斜角为 ，斜率为 ，所以 角 的平分线所在直线的方程为 ， 其一般式方程为 . 选②：由题意可知，角 的平分线所在直线的倾斜角为 或 ，其斜率为 或 ，所以角 的平分线所在直线的方程为 或 ， 其一般式方程为 或 . 31 C层 拓展探究练 16.已知直线 的方程是 . （1）直线 的斜率是多少？ 解 当 时，直线 的斜率是 ；当 时，直线 的斜率不存在. （2）系数 ， ， 取什么值时，方程 表示经过原点的直线？ 因为直线 过原点，所以 ，所以当 且 , 不全为0时，方 程 表示经过原点的直线. 32 $$