立体几何专项训练-2025届高三数学一轮复习

立体几何专项训练-2025届高三数学一轮复习 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若一个圆台的高为，母线与底面所成角为，上底面半径为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 2．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为1，高为1的正四棱锥，所得棱台的体积为（    ） A．18 B．21 C．54 D．63 3．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 4．如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，平面的法向量为，若，则（    ） A． B．3 C．4 D．5 6．已知点，则点A到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 7．蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为，底面半径为是圆柱下底面的圆心．若圆锥的侧面与以为球心，半径为的球相切，则圆锥的侧面积为（    ）    A． B． C． D． 8．边长为1的正方体中，，分别是，中点，是靠近的四等分点，在正方体内部或表面，，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（    ） A．异面直线与所成角为 B．平面 C．三棱锥的体积不变 D．直线与平面所成角正弦值的取值范围为 10．在空间直角坐标系中，，，，下列结论正确的是（    ） A． B．向量与夹角的余弦值为 C．点关于轴的对称点坐标为 D．向量在上的投影向量为 11．如图，点是边长为2的正方体的表面上一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．当点在侧面上时，四棱锥的体积为定值 B．存在这样的点，使得 C．当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 D．当时，点的轨迹长度为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知正四面体棱长为4，棱上有一点，棱上有一点，棱上有一点.若，则的最大值为 . 13．已知矩形中，，，现沿折起，使得平面平面，连接，得到三棱锥，则其外接球的体积为 ． 14．如图，已知正方体的棱长为是棱的中点，平面过点且与直线平行，则平面截正方体所得截面的周长是 . 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为AB的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 16.（本小题15分） 如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求二面角的正弦值. 17.（本小题15分） 如图，矩形所在平面与所在平面垂直，，    (1)证明：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值是，求异面直线与所成角的余弦值. 18.（本小题17分） 如图，为圆柱的轴截面，是圆柱异于的母线．    (1)证明：平面； (2)若，，求二面角的余弦值． 19.（本小题17分） 如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面的夹角正弦值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 立体几何专项训练解析版-2025届高三数学一轮复习 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若一个圆台的高为，母线与底面所成角为，上底面半径为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】CC 【详解】如图，过作于，由题知，， 所以，， 又，记上底面半径为，下底面半径为，则， 所以圆台的侧面积为， 故选：C. 2．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为1，高为1的正四棱锥，所得棱台的体积为（    ） A．18 B．21 C．54 D．63 【答案】B 【详解】如图所示， 因为上下边长比为， 所以， 则棱台高， 根据体积公式可得， 故选：B． 3．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】A 【详解】对于A，因为，，可知. 对于B，若，，则或； 对于C，当，时，和位置关系不一定可以是也可以是； 对于D，若，，，和位置关系不一定垂直，也可以平行. 故选：A. 4．如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图正八面体，连接和交于点， 因为，， 所以，，又和为平面内相交直线， 所以平面，所以为正八面体的中心， 设正八面体的外接球的半径为，因为正八面体的表面积为，所以正八面体的棱长为， 所以， 则． 故选：B． 5．已知，，平面的法向量为，若，则（    ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】因为，， 所以，即，解得. 故选：A. 6．已知点，则点A到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，, 则与同方向的单位向量为，又, 于是，点A到直线的距离是：. 故选：B. 7．蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为，底面半径为是圆柱下底面的圆心．若圆锥的侧面与以为球心，半径为的球相切，则圆锥的侧面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设为圆锥高，为圆锥母线长   以为球心，半径为4的球与圆锥侧面相切，则， 在中，，可得， 且，则，解得， 所以圆锥的侧面积为. 故选：C. 8．边长为1的正方体中，，分别是，中点，是靠近的四等分点，在正方体内部或表面，，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】    如图，建立空间直角坐标系，设， 则， 所以，则， 因为，又， 所以，即， 所以， 又，所以，当且仅当，此时时，等号成立， 所以的最大值是. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（    ） A．异面直线与所成角为 B．平面 C．三棱锥的体积不变 D．直线与平面所成角正弦值的取值范围为 【答案】BCD 【详解】 对于A，因为正方体中，故异面直线与夹角为， 故A错误； 对于B，由正方体的性质可知，，面， 平面，又因为面 ，同理可得平面，又因为面 ， 又因为面, 平面，故B正确； 对于C，因为面,面，所以面 所以为定值，故C正确； 对于D，建立如图所示直角坐标系，设正方体的棱长为1，设， ，，，，， 则， 所以， 由正方体的性质知：平面的法向量为， 直线与平面所成角正弦值为， 因为，，所以当时取得最大值，若时取得为，所以，故D正确. 故选：BCD. 10．在空间直角坐标系中，，，，下列结论正确的是（    ） A． B．向量与夹角的余弦值为 C．点关于轴的对称点坐标为 D．向量在上的投影向量为 【答案】ABD 【详解】解：A．点，，， 则，，， ，故A正确； B．，故B正确； C．点关于轴的对称点坐标为，故C错误； D．在上的投影向量为：，故D正确． 故选：ABD． 11．如图，点是边长为2的正方体的表面上一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．当点在侧面上时，四棱锥的体积为定值 B．存在这样的点，使得 C．当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 D．当时，点的轨迹长度为 【答案】ACD 【详解】对于选项A，点到侧面的距离即为2，， 故四棱锥的体积， 所以四棱锥的体积为定值，故A选项正确； 对于选项B，因为， 而，因此点是的中点， 所以这样的点不在正方体的表面上，故B选项错误； 对于选项C，①当点在侧面，侧面上时（不包括正方形 的边界），过点作平面的垂线，垂足为，连，在 中，由，可得；②当点在上底面 上时，过点作平面的垂线， 垂足为，若，必有，又由，有 ，此时点的轨迹是以为圆心，2为半径的四分之一圆， 点的轨迹长度为；③当点在侧面上时， 点在线段上符合题意， 此时点的轨迹长为；由上知点的轨迹长度为，故C选项正确； 对于选项D，①当在底面上时，点的轨迹为以为圆心， 为半径的圆与底面的交线，记圆与相交于点，与交于点， 有，可得， 则点的轨迹与底面的交线长为； ②当点在侧面上时，， 可得点的轨迹与侧面的交线为以点为圆心， 为半径的四分之一圆，交线长为． 由对称性可知，点的轨迹长度为，故D选项正确． 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知正四面体棱长为4，棱上有一点，棱上有一点，棱上有一点.若，则的最大值为 . 【答案】/ 【详解】由题意棱上有一点，棱上有一点，棱上有一点， 则， 在中，由余弦定理有:，得， 同理在有. 一方面：若，则为方程两根， 则得，又两根都为正，故即， 但此时不可能最大，理由如下：不妨， 则在上取一点使，在上取一点使，则为等边三角形， 由对称性可知， 而，从而， 所以这个时候取不到最大值， 另一方面：当重合时，即时，最大，且的最大值为. 当时，为等边三角形，此时， 由题存在这样的，使得成立， 则的最大值为，故当且仅当时取等. 故答案为：. 13．已知矩形中，，，现沿折起，使得平面平面，连接，得到三棱锥，则其外接球的体积为 ． 【答案】 【详解】    设，且在矩形中， ∵，∴． 则三棱锥的外接球球心为O，半径， 所以体积为． 故答案为： 14．如图，已知正方体的棱长为是棱的中点，平面过点且与直线平行，则平面截正方体所得截面的周长是 . 【答案】 【详解】取棱靠近点的四等分点，棱靠近点的四等分点， 棱靠近点的四等分点，连接，， 由正方体性质得，，所以四边形为平行四边形， 所以，同理，所以，则四点共面. 由正方体性质得，，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. 所以平面即为平面截该正方体所得截面， 由题可知四边形是菱形，且， 所以平面截正方体所得截面的周长是. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为AB的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）以为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，，，， 所以，，， ，，． 因为，所以， 又平面，平面， 所以平面． （2）设平面的法向量为， 则，取，则，． 所以，是平面的一个法向量， 又因为平面， 所以为平面的一个法向量， 则， 设平面与平面的夹角为， 则，即平面与平面的夹角的余弦值为． 16.（本小题15分） 如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）平面平面，且两平面交于，又， 平面. 在中，，，. 且，是等腰直角三角形， ，. ，， 又，为等腰直角三角形，. ，， 又，所以，平面,平面， 平面. （2）由（1）得平面，且，所以建立如图所示空间直角坐标系. 可得，，， 即，. 设平面的法向量为，则， 解得. 平面的法向量为. 设二面角为，所以， 则. 17.（本小题15分） 如图，矩形所在平面与所在平面垂直，，    (1)证明：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值是，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为四边形为矩形， 所以， 因为，即， 又， 所以， 因为平面平面， 所以平面. （2）由题意可知，平面平面,平面平面, 且, 所以平面, 所以. 因为, 所以平面, 又因为平面，所以. 所以. 如图所示以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，且， 则， 所以， 设为平面的法向量， 则，取， 则. 因为平面,则为平面的法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 解得. 即,,, 所以异面直线与夹角余弦值为 .    18.（本小题17分） 如图，为圆柱的轴截面，是圆柱异于的母线．    (1)证明：平面； (2)若，，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【详解】（1）    由题意，所以是平行四边形，即四点共面， 因为为圆柱的轴截面，所以为底面圆的直径，所以， 因为平面，平面，所以， 又，，，平面，平面， 所以平面； （2）由（1）知两两相互垂直， 如图，以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 若，， 则， 由题意，所以是平行四边形，即四点共面， 因为为圆柱的轴截面，所以为底面圆的直径，所以， 因为平面，平面，所以， 又，，，平面，平面， 所以平面，平面的法向量可取为. 设平面的法向量为，由，， 则有，可取， 设二面角的平面角为， 则， 由图可知为锐角，所以二面角的余弦值为.    19.（本小题17分） 如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面的夹角正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1） 如图，取的中点，连接，因，，则，， 易得，因，， 则，解得，即， 则点在以为直径的圆上，故， 又平面，平面，则， 因平面，故平面. （2）由（1）已得平面，， 则点到平面的距离是点到平面的距离的倍，即. （3） 如图，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系. 则， 由上平面，故为平面的一条法向量， 又，设平面的一条法向量为， 则，故可取. 设平面与平面的夹角为，则， 故. 平面与平面的夹角正弦值是. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$