三角形的最值与范围问题专项训练-2025届高三数学一轮复习

三角形的最值与范围问题专项训练-2025届高三数学 一轮复习 一、 三角形边的范围问题 二、三角形的面积的最值 三、三角形周长的最值 一、 三角形边的范围问题 1．已知锐角的面积为，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，AC边的中线，则的最大值是 ． 3．在中，，若此三角形恰有两解，则BC边长度的取值范围为 ． 4．在中，内角所对的边分别为，若，，则的最大值为 . 5．在中，内角，，的对边分别为，，.若，.若满足条件的三角形有两个，则边的取值范围为 . 6．在中，为边的中点，的平分线交于点，若的面积为1，则的面积为 ，的最小值为 . 7．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是 . 8．在以下三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答. ①；②；③的面积为（如多选，则按选择的第一个记分） 问题：在中，角，，的对边分别为，，，且 . (1)求角； (2)若，求面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若为锐角三角形，求的取值范围. 二、三角形的面积的最值 1．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且，若，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则面积的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 3．在中，角所对的边分别为，是上的点，平分，且，，则面积的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”，可用公式（其中为三角形的三边和面积）表示，在中，分别为角所对的边，若，且，则面积的最大值为 ． 5．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，，且，则 ，面积的取值范围为 . 6．如图，已知，，为边上的两点，且满足，则的面积的最大值为 .      7．已知的内角的对边分别为，且为锐角三角形，，则面积的取值范围为 ． 8．已知点是的内心，，则面积的最大值为 . 9．已知分别为三个内角的对边，且，则面积的最大值是 . 10．已知为锐角三角形，角的对边分别为，若，，则面积的取值范围为 ． 三、周长的最值 1．为锐角三角形，其三个内角的对边分别为，且，则周长的取值范围为 . 2．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________. (1)求角B； (2)若，求周长的最小值. 3．设的内角的对边分别为，且． (1)求的大小 (2)若，求周长的范围 4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，其中S为的面积. (1)求角A； (2)若，求周长的取值范围. 5．在中，角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 6．在中，角所对边分别为，从以下两个条件中选择一个作为已知：①；②. (1)求； (2)若，且，求的周长的取值范围. 7．已知中，角所对的边分别是，其中，． (1)求的外接圆半径； (2)求周长的最大值． 8．已知分别为锐角三角形三哥内角的对边，且. (1)求； (2)已知，点为的垂心，求的周长的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三角形的最值与范围问题专项训练解析版-2025届高三 数学一轮复习 一、 三角形边的范围问题 二、三角形的面积的最值 三、三角形周长的最值 一、 三角形边的范围问题 1．已知锐角的面积为，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，    因为在锐角中，，则， ，则， 由正弦定理可得：，则， 所以，即 因为，所以 所以， 因为，则，则，即， 所以，所以，即， 故选：C 2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，AC边的中线，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】如图，    设，则 ．，，. 由于AC边的中线，， 用余弦定理，知道， . ,则. 故答案为：. 3．在中，，若此三角形恰有两解，则BC边长度的取值范围为 ． 【答案】 【详解】若恰有两解，则，解得， 即边长度的取值范围为． 故答案为： 4．在中，内角所对的边分别为，若，，则的最大值为 . 【答案】 【详解】中，，， 所以，所以， 根据正弦定理，， 即， 因为，所以， 由为三角形内角可知，， 根据正弦定理，， 所以 ， 其中，， 当时取得最大值，所以的最大值为. 故答案为： 5．在中，内角，，的对边分别为，，.若，.若满足条件的三角形有两个，则边的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为在中，，， 所以根据正弦定理， 可得，由，得， 若满足条件的三角形有两个，则，即， 解得：，即边的取值范围为； 故答案为： 6．在中，为边的中点，的平分线交于点，若的面积为1，则的面积为 ，的最小值为 . 【答案】 6 【详解】在中，设对应的边分别为， 因为为的中点，所以. 因为为的平分线，， 所以， ，所以， 因为，所以. 在中，，所以， 因为 ， 当且仅当时，等号成立，所以，所以. 故答案为：6； 7．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由已知， 根据正弦定理的， 则， 再根据正弦定理可得， 即， 化简可得， 由为锐角三角形， 则，，则， 所以，即， 所以， 又，即， 则， 故答案为：. 8．在以下三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答. ①；②；③的面积为（如多选，则按选择的第一个记分） 问题：在中，角，，的对边分别为，，，且 . (1)求角； (2)若，求面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【详解】（1）若选①：由正弦定理得， 则， ， ， ． 若选②：，切化弦，得到， 则由正弦定理得，，即，， ， 若选③：， 则， 由正弦定理得， ， . （2）由余弦定理得，， 则，当且仅当“”时，取“＝”号，即． ，则，当且仅当“”时取得最大值． （3）由正弦定理得， 则， ，由于为锐角三角形， 则， . . 二、三角形的面积的最值 1．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且，若，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则， 整理可得，且，可知， 由题意可得：，解得， 由正弦定理可得， 则面积， 因为，则，可得， 所以面积. 故选：B. 2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则面积的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为，且，即， 整理可得， 由余弦定理可得，则， 且，可知，则， 又因为，当且仅当时，等号成立， 则，即， 所以面积的最大值为. 故选：C. 3．在中，角所对的边分别为，是上的点，平分，且，，则面积的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】因为，由正弦定理得， 又 ，可得，即 ， 因为，所以， 平分，且，得， 整理得： ，所以，解得 所以，则，当且仅当时等号成立， 故面积的最小值为， 故选：B. 4．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”，可用公式（其中为三角形的三边和面积）表示，在中，分别为角所对的边，若，且，则面积的最大值为 ． 【答案】 【详解】由题设，结合余弦定理知： ， 即，而， 所以， 则 ， 所以当时，． 故答案为：. 5．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，，且，则 ，面积的取值范围为 . 【答案】 【详解】解：在锐角中， ，且， 由余弦定理得：，解得； 由余弦定理得， 因为是锐角三角形，所以 ， 即 ，解得 ， 所以， 故答案为：， 6．如图，已知，，为边上的两点，且满足，则的面积的最大值为 .    【答案】3 【详解】    如图，不妨设,分别记的面积为, 则①② 由①，②两式左右分别相乘，可得：,故得：. 以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， 则，设，，则，即， 化简得，，在图中作出其轨迹，根据圆关于轴对称，可取上半部分研究， 根据的底，则当的高最大时，其面积最大， 显然当点位于圆的最高点时面积最大，此时其高等于圆的半径2， 此时三角形面积为， 故答案为：3.    7．已知的内角的对边分别为，且为锐角三角形，，则面积的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由，，则， 即，又， 又，所以. 由正弦定理得， 所以， 又，，，所以， 则，得，所以， 所以. 即的面积的取值范围为. 故答案为： 8．已知点是的内心，，则面积的最大值为 . 【答案】/ 【详解】因为点是的内心，，所以. 由余弦定理得， 所以， 则， 故的面积. 故答案为：. 9．已知分别为三个内角的对边，且，则面积的最大值是 . 【答案】/ 【详解】由题意得：， 由余弦定理得： 即，当且仅当时取等号. 故答案为：. 10．已知为锐角三角形，角的对边分别为，若，，则面积的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由正弦定理有，即， 所以， 所以面积的表达式为， 又已知为锐角三角形， 所以，解得， 所以的取值范围是，的取值范围是， 所以面积的取值范围为. 故答案为：. 三、周长的最值 1．为锐角三角形，其三个内角的对边分别为，且，则周长的取值范围为 . 【答案】 【详解】由正弦定理可得， 则，， 则周长为 ， 由为锐角三角形，则，解得， 故，则， 即周长的取值范围为. 故答案为：. 2．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________. (1)求角B； (2)若，求周长的最小值. 【答案】(1). (2)6 【详解】（1）选①， 由正弦定理可得，即得， 即有，由于，可得，即. 选②， 由正弦定理可得， 因为，，所以，即. 由于，可得. 选③， 由正弦定理和诱导公式可得，即为， 由余弦定理可得. 由于，可得. （2）由（1）知，由余弦定理可得， 即为，而，即. 若，则，可得（当且仅当时取得等号）， 则，所以周长的最小值为6. 3．设的内角的对边分别为，且． (1)求的大小 (2)若，求周长的范围 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 且，则，可得，即， 且，所以. （2）由（1）可知：， 由余弦定理可得， 即，整理可得， 又因为，即， 解得，即，当且仅当时，等号成立， 由三角形可知：，即，可得， 所以周长的范围为. 4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，其中S为的面积. (1)求角A； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，， 所以，则，即， 又，所以. （2）的周长为， 因为，即， 因为，所以， 所以，则，即， 又，所以，即， 所以的周长的取值范围为. 5．在中，角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理， 又，所以 （2）由余弦定理，即， 所以，又，所以，显然， 所以，当且仅当时取等号， 又，所以， 所以周长的取值范围为. 6．在中，角所对边分别为，从以下两个条件中选择一个作为已知：①；②. (1)求； (2)若，且，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）选择①，由正弦定理得， 所以， 即，由余弦定理得， 因为，所以； 选择②，由得， ， 即， 由正弦定理得，由余弦定理得， 因为，所以； （2）由，得，由，得， 又，得， 则周长为 ， 因为，则， 所以的周长的取值范围为. 7．已知中，角所对的边分别是，其中，． (1)求的外接圆半径； (2)求周长的最大值． 【答案】(1)3 (2)． 【详解】（1）依题意，解得， 故的外接圆半径． （2）由（1）知，， 由余弦定理，， 因为，则， 则， 当且仅当时，等号成立， 故， 所以周长的最大值为． 8．已知分别为锐角三角形三哥内角的对边，且. (1)求； (2)已知，点为的垂心，求的周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题，由正弦定理， 得， 由，得，代入得 ， 即， 由，得， 得， 由，得. （2）解法一：如图，由为锐角三角形的垂心，有，垂足为，垂足为，即. 由，四边形内角和为，得 设 在中，由余弦定理， 得，即， 由，得，当且仅当时，等号成立 ，得 当时，的最大值为2 故周长的最大值为 解法二：由为锐角三角形的垂心，有，垂足为，垂足为，即. 由，四边形内角和为，得 设则, 在中，由正弦定理, 则, , 因为,故当时，， 故周长的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$