第35讲直线、平面垂直的判定与性质课件-2025届高三数学一轮复习

第35讲　直线、平面垂直的判定与性质 第七章　 立体几何 1 1．已知直线m，n和平面α，如果n⊂α，那么“m⊥n”是“m⊥α”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 激 活 思 维 【解析】 B 2．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是 (　　) A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α B．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ C 【解析】 A中，若m⊂β，α⊥β，则m与α相交、平行或m⊂α，故A错误． B中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故B错误． C中，若m⊥β，m∥α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确． D中，若α⊥γ，α⊥β，则β与γ相交或平行，故D错误． 3．(多选)下列说法正确的是 (　　) A．垂直于同一条直线的两条直线平行 B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β C．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β D．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β 【解析】 对于A，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，故A错误； 对于B，若平面α⊥平面β，则两平面一定相交，设交线为直线a，显然a⊂α，但直线a与平面β不垂直，故B错误； 对于C，若平面α⊥平面β，它们的交线记为直线l，显然直线l⊂平面β，在平面α内一定有直线m∥l，则直线m∥平面β，故C正确； 对于D，若平面α内存在直线垂直于平面β，则根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，所以如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，故D正确． 【答案】CD 4．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则A1C与侧面BCC1B1所成角的正弦值为 (　　) B 【解析】 如图，取B1C1的中点E，连接A1E，CE.根据题意易得A1E⊥侧面BCC1B1，所以∠A1CE即为A1C与侧面BCC1B1所成的角． 5．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的动点，当点M满足条件：①BM⊥DM，②DM⊥PC，③BM⊥PC中的____________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件的序号即可)． ②(或③) 【解析】 连接AC(图略).因为PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PA⊥BD.因为底面各边都相等，所以AC⊥BD. 因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC.当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD. 1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理 两条相交直线都垂直 聚 焦 知 识 2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理 3．角与距离   定义 备注 线面角 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的角 范围：________ 二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形   二面角的平面角 以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角 范围：____________ 面面夹角 两个平面相交所得的小于等于90°的二面角 苏教版教材需补充此概念 点面距 过一点作垂直于已知平面的直线，该点与垂足间的线段长度 线面距和面面距转化为点面距 [0，π] 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.若直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则下列说法正确的是(　　) A．α∥β，l∥α B．α⊥β，l⊥β C．α与β相交，且交线平行于l D．α与β相交，且交线垂直于l 与线、面垂直相关命题的判定 举 题 说 法 1 C 【解析】 由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，故A，B错误．又l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则交线平行于l，故C正确，D错误． 变式　已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列结论正确的是(　　) A．若m⊥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，α∥β，则m∥β C．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β D．若α⊥β，m∥α，则m⊥β 【解析】 对于A，过直线n找一个平面与平面α相交，设交线为l，根据线面平行的性质定理可得n∥l，又因为m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故A不正确． 对于B，若m∥α，α∥β，则m⊂β或m∥β，故B不正确． 对于C，因为m⊥α，m⊥n，所以n∥α或n⊂α.当n⊂α时，因为n⊥β，所以根据面面垂直的判定定理可得α⊥β；当n∥α时，过n作平面γ∩α＝l，根据线面平行的性质定理可得n∥l，又因为n⊥β，所以l⊥β，又因为l⊂α，所以α⊥β.综上，C正确． 对于D，若α⊥β，设α∩β＝l，作直线m∥l，则m∥α，m∥β，故D不正确． 【答案】C 如图，在三棱锥S-ABC中，底面三角形ABC为等腰直角三角形，∠SAB＝∠SCB＝∠ABC＝90°.求证：AC⊥SB. 线面垂直的判定定理与性质定理的应用 2 【解答】 如图，取AC的中点E，连接SE，BE.因为AB＝BC，所以BE⊥AC. 在△SCB和△SAB中，∠SAB＝∠SCB＝90°，AB＝BC，SB＝SB，所以△SCB≌△SAB，所以SA＝SC. 因为E为AC的中点，所以SE⊥AC.又因为SE∩BE＝E，SE，BE⊂平面SBE，所以AC⊥平面SBE.因为SB⊂平面SBE，所以AC⊥SB. 变式　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别为棱PB和PC上的点，且AE⊥PB，AF⊥PC，求证：EF⊥PC. 【解答】 由PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，知PA⊥BC.由底面ABCD为正方形，知AB⊥BC. 又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，而AE⊂平面PAB，则BC⊥AE. 又AE⊥PB，PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC.又PC⊂平面PBC，所以AE⊥PC. 因为AF⊥PC，AE∩AF＝A，AE，AF⊂平面AEF，所以PC⊥平面AEF.又EF⊂平面AEF，所以EF⊥PC. 面面垂直的判定定理与性质定理的应用 3 【解答】 设BF∩AO＝Q，则Rt△QBO∽Rt△BAO，所以∠QBO＝∠BAO＝∠BCA，所以BF＝CF.又∠ABC＝90°，故F为AC中点． 又E为AP中点，所以EF∥PC.因为PC∥DO，所以EF∥DO.又EF⊄平面ADO，DO⊂平面ADO，所以EF∥平面ADO. 又BF⊥AO，BF∩EF＝F，BF，EF⊂平面BEF，所以AO⊥平面BEF.又AO⊂平面ADO，所以平面ADO⊥平面BEF. (2) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为线段A1B1的中点，E为线段CC1的中点，AC＝CE＝1，平面ABE⊥平面AA1C1C，求证：AB⊥AE. 3 如图，取AE的中点F，连接CF.因为AC＝CE，所以CF⊥AE. 【解答】 又平面ABE⊥平面AA1C1C，平面ABE∩平面AA1C1C＝AE，CF⊂平面AA1C1C，所以CF⊥平面ABE. 又AB⊂平面ABE，所以CF⊥AB.依题意知CC1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以CC1⊥AB.又CC1∩CF＝C，CC1，CF⊂平面AA1C1C，所以AB⊥平面AA1C1C.又AE⊂平面AA1C1C，所以AB⊥AE. 又AC⊂平面ABC，所以PB⊥AC.又AC⊥PC，PB∩PC＝P，PB，PC⊂平面PBC，所以AC⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，所以BC⊥AC. 【解答】 垂直关系的综合应用——角与距离的计算 4-1 图(1) 图(2) 【解答】 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为直角梯形，AB＝AD＝2，CD＝3，∠ADC＝∠BAD＝90°，平面PAD⊥平面ABCD. (1) 求证：PB⊥BC； 如图，取AD的中点O，连接BO，CO，PO.由侧面PAD为正三角形知PO⊥AD. 又因为平面PAD⊥平面ABCD，PO⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD. 4-2 【解答】 由勾股定理知OB2＋BC2＝OC2，所以BC⊥OB.又因为PO⊥BC，PO，OB⊂平面POB，PO∩OB＝O，所以BC⊥平面POB.因为PB⊂平面POB，所以BC⊥PB. 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为直角梯形，AB＝AD＝2，CD＝3，∠ADC＝∠BAD＝90°，平面PAD⊥平面ABCD. (2) 求CD与平面PBC所成的角的正弦值． 4-2 【解答】 随 堂 练习 1．设α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，则下列说法正确的是(　　) A．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β B．若a⊥α，b⊂β，a⊥b，则α⊥β C．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α⊥β D．若a⊥α，a⊥b，α∩β＝b，则α⊥β A 【解析】 对于A，若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β，故A正确． 对于B，若a⊥α，b⊂β，a⊥b，则α与β相交或α∥β，故B错误． 对于C，若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β，故C错误． 对于D，若a⊥α，a⊥b，α∩β＝b，则α与β相交，不一定垂直，故D错误． 2．如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥ AC，过C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则点H在 (　　) A．直线AC上 B．直线AB上 C．直线BC上 D．△ABC内部 【解析】 如图，连接AC1. B 因为BC1⊥AC，BA⊥AC，且BC1∩BA＝B，BC1，BA⊂平面ABC1，所以AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABC1. 因为平面ABC∩平面ABC1＝AB，要过C1作C1H⊥平面ABC，则只需过C1作C1H⊥AB即可，故点H在直线AB上． 3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(　　) A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D 【解析】 对于A，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，则有EF⊥BD.又BB1⊥EF，从而EF⊥平面BDB1.又因为EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确． 对于B，因为平面A1BD∩平面BDB1＝BD，显然BD不垂直于平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面A1BD不成立，故B错误． 对于C，由题意知直线AA1与直线B1E必相交，故平面B1EF与平面A1AC有公共点，从而C错误． 对于D，连接AC，AB1，B1C，易知平面AB1C∥平面A1C1D.又因为平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，所以平面AB1C与平面B1EF不平行，则平面A1C1D与平面B1EF不平行，故D错误． 【答案】 A 4．(多选)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD交于点O，则 (　　) A．AD1∥平面BOC1 B．BD⊥平面COC1 C．C1O与平面ABCD所成的角为45° 【解析】 如图，因为AD1∥BC1，AD1⊄平面BOC1，BC1⊂平面BOC1，所以AD1∥平面BOC1，故A正确． 因为CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥CC1，又BD⊥CO，CO∩CC1＝C，CO，CC1⊂平面COC1，所以BD⊥平面COC1，故B正确． 【答案】ABD 配套精练 32 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．下列说法中错误的是 (　　) A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β D 2．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法正确的是 (　　) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β C 【解析】 对于A，若m∥α，n∥α，则m，n平行、相交或异面，故A错误； 对于B，若α⊥γ，β⊥γ，则α，β相交或平行，故B错误； 对于C，若m⊥α，n⊥α，则m∥n(垂直于同一平面的两条直线互相平行)，故C正确； 对于D，若m∥α，m∥β，则α，β相交或平行，故D错误． 3．如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下列结论不成立的是 (　　) A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC D 【解析】 因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故A正确； 在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，易证BC⊥平面PAE，又DF∥BC，则DF⊥平面PAE，而DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面PAE.因此B，C均正确． 因为点P在平面ABC的射影为△ABC的中点，并不在DE上，所以D不成立． 4．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是 (　　) 【解析】 【答案】B 对于A，因为A1D1⊥平面A1AP，A1D1⊂平面D1A1P，所以平面D1A1P⊥平面A1AP，故A正确； 对于C，因为△B1D1C的面积是定值，A1B∥平面B1D1C，所以点P到平面B1D1C的距离是定值，所以三棱锥B1-D1PC的体积为定值，故C正确； 对于D，因为DC1⊥D1C，DC1⊥BC，D1C∩BC＝C，D1C，BC⊂平面BCD1A1，所以DC1⊥平面BCD1A1，又D1P⊂平面BCD1A1，所以DC1⊥D1P，故D正确． 二、 多项选择题 5．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MN⊥OP的是(　　) 【解析】 图(1) 对于B，如图(2)，取NT的中点Q，连接PQ，OQ，则OQ⊥NT，PQ⊥MN，在正方体SBCM-NADT中，SN⊥平面NADT，而OQ⊂平面NADT，故SN⊥OQ，而SN∩TN＝N，故OQ⊥平面SNTM，又MN⊂平面SNTM，故OQ⊥MN，又OQ∩PQ＝Q，所以MN⊥平面OPQ，因为PO⊂平面OPQ，所以MN⊥OP，故B正确； 对于C，如图(3)，连接BD，则BD∥MN，同理可得OP⊥BD，则OP⊥MN，故C正确； 图(2) 图(3) 对于D，如图(4)，取AD的中点Q，连接PQ，QO，OD，BD，OA，则MN∥BD∥PQ，所以∠QPO或其补角为异面直线PO与MN所成的角， 图(4) 【答案】BC 6．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则 (　　　) A．直线BC1与DA1所成的角为90° B．直线BC1与CA1所成的角为90° C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45° D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45° ABD 【解析】 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，所以BC1⊥DA1，BC1⊥CA1，故A，B正确； 直线BC1与平面ABCD所成的角为∠C1BC＝45°，故D正确． 三、 填空题 7．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足____________________时，平面MBD⊥平面PCD. BM⊥PC(或DM⊥PC) 【解析】 由题知△PAB≌△PAD，所以PB＝PD，可知△PDC≌△PBC，当BM⊥PC时，则有DM⊥PC，又BM∩DM＝M，故PC⊥平面MBD，因为PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD. 8．已知圆锥DO的轴截面为等边三角形，△ABC是底面圆O的内接 正三角形，点P在DO上，且PO＝λDO.若PA⊥平面PBC，则实数λ＝______. 【解析】 【解析】 如图，过点P作PD⊥AC于点D，PE⊥BC于点E，PO⊥平面ABC，连接CO. 因为CD⊥PD，CD⊥PO，PD∩PO＝P，所以CD⊥平面PDO，又OD⊂平面PDO，所以CD⊥OD. 【解答】 如图，连接AB1，A1B，设AB1∩A1B＝O，连接OM.在△B1AC中，因为M，O分别为AC，AB1的中点，所以OM∥B1C，又因为OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，所以B1C∥平面A1BM. 【解答】 因为侧棱AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，所以AA1⊥BM.因为M为棱AC的中点，AB＝BC，所以BM⊥AC.又因为AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面ACC1A1，所以BM⊥平面ACC1A1，因为AC1⊂平面ACC1A1，所以BM⊥AC1.因为AC＝2，所以AM＝1. 【解答】 因为BM⊥平面ACC1A1，所以DN⊥平面AA1C1C.又因为DN⊂平面AC1N，所以平面AC1N⊥平面AA1C1C. 11．如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C⊥底面ABC，且BB1＝B1C1＝C1C＝1，BC＝2，底面△ABC为正三角形． (1) 求三棱台ABC-A1B1C1的体积； 【解答】 (1) 在三棱台ABC-A1B1C1中，因为△ABC为正三角形，所以△A1B1C1也为正三角形． 因为侧面BB1C1C⊥底面ABC，侧面BB1C1C∩底面ABC＝CB，C1H⊥CB，C1H⊂平面CBB1C1，所以C1H⊥平面ABC，所以C1H为三棱台ABC-A1B1C1的高． 11．如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C⊥底面ABC，且BB1＝B1C1＝C1C＝1，BC＝2，底面△ABC为正三角形． (2) 过点B1作平面B1DE∥平面AA1C1C，分别交BC，AB，A1B于D，E，F，求证：B1E⊥平面A1BC. 【解答】 如图，连接DF，A1E.因为平面B1DE∥平面AA1C1C，平面A1CB∩平面ACC1A1＝CA1，平面A1CB∩平面DB1E＝DF，所以CA1∥DF，同理CC1∥DB1.由CB∥C1B1，知四边形CDB1C1为平行四边形． 因为A1B1∥EB，A1B1＝EB＝B1B＝1，所以四边形A1B1BE为菱形，所以A1B⊥B1E，F为A1B中点．又DE＝DB1，所以DF⊥B1E.又DF∥CA1，所以CA1⊥B1E.又A1B∩CA1＝A1，A1B⊂平面A1BC，CA1⊂平面A1BC，所以B1E⊥平面A1BC. 【解析】 【解析】 AB 谢谢观赏 文字语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的______________________，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 文字语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 对于B，当P与A1重合时，∠APD1＝，故B错误； 因为正方体的棱长为2，故PQ＝BD＝，OQ＝＝＝，OA＝＝，PO＝＝＝，因为OQ2＜PQ2＋OP2，所以∠QPO不是直角，即PO，MN不垂直，故D错误． 设A1C1∩B1D1＝O，易得A1C1⊥平面BB1D1D，所以直线BC1与平面BB1D1D所成的角为∠C1BO，在Rt△C1BO中，sin ∠C1BO＝＝，故∠C1BO＝30°，故C错误； 如图，设圆锥DO的母线长为1，连接AO并延长交圆于点E，则AE＝AD＝1，BA＝，DO＝，PA2＝PB2＝λ2＋. 因为PA⊥平面PBC，PB⊂平面PBC，所以PA⊥PB.在Rt△PAB中，由勾股定理得PA2＋PB2＝BA2，所以2＝，解得λ＝. 因为PD＝PE＝，PC＝2，所以sin ∠PCE＝sin ∠PCD＝，所以∠PCB＝∠PCA＝60°. 四、 解答题 10．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点，AB＝BC，AC＝2，AA1＝. (1) 求证：B1C∥平面A1BM. 10．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点，AB＝BC，AC＝2，AA1＝. (2) 求证：AC1⊥平面A1BM. 因为D，M分别为AC1，AC的中点，所以DM∥CC1，且DM＝CC1.又因为N为BB1的中点，所以DM∥BN，且DM＝BN，所以四边形BNDM为平行四边形，所以BM∥DN. B组　滚动小练 12．函数y＝sin 的单调递减区间是___________________. $$