第13讲函数零点及其应用讲义-2025届高三数学一轮复习

第13讲 函数零点及其应用 一.【基础知识整合】 1．函数的零点：(1)定义：函数图像与x轴的交点的 叫做函数的零点 (2)几个等价关系：方程f(x)＝0 ⇔函数y＝f(x)的图象 ⇔函数y＝ 2．零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象 ，并且在它的两个端点处的函数值 ，即 ，则这个函数在这个区间上， 零点，即存在一点x0∈(a，b)，使 . 3．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：第一步，确定区间[a，b]，验证 第二步，求区间(a，b)的中点c1；第三步，计算 ：(1)若 ，则c1就是函数的零点； (2)若 ，则令b＝c1(此时零点x0∈(a，c1))；(3)若f(b)f(c1)<0，则令a＝c1(此时零点x0∈(c1，b))；第四步，判断x0是否满足给定的精确度；否则重复第二、三、四步． 4．一元二次函数（）零点分布问题（一元二次方程根的分布）主要解决含参的二次函数零点或二次方程的根——参数范围问题 根的分布 图像 条件转化 在有且只有一个根 二.典例精析 题型一：函数的零点问题 例1：（1）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为 （2）已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　) A．(0，1)　　　B．(1，2) C．(2，4) D．(4，＋∞) (3)函数f（x）＝｜x－4｜－的零点的个数为 【变式训练1】(1)已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为 (2)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　A　) A．(a，b)和(b，c)内　 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 (3)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝log3|x|的解的个数是(　　) A．0 B．2 C．4 D．6 题型二：二次函数函数的零点分布问题 例2：已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围； (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的取值范围． 【变式训练2】关于x的一元二次方程x2－2ax＋a＋2＝0，当a为何实数时： (1) 有两不同正根； (2)不同两根在(1,3)之间； (3)有一根大于2，另一根小于2； (4)在(1,3)内有且只有一解． 题型三：函数零点的应用 例3：（1）已知函数f（x）＝log2（x＋1）－＋m在区间（1，3]上有零点，则实数m的取值范围为 （2）已知函数f（x）＝若关于x的方程f（x）＝2a（a∈R）恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围为 【变式训练3】（1）若函数f（x）＝e－x－ln（x＋a）在（0，＋∞）上存在零点，则实数a的取值范围是 （2）已知函数f（x）＝函数g（x）＝mx，若函数y＝f（x）－2g（x）恰有三个零点，则实数m的取值范围是 3. [方法规律总结 1．有关函数零点的结论 （1）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点； （2）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号； （3）周期函数如果存在零点，则必有无穷个零点. 2．确定函数f（x）的零点所在区间的常用方法 （1）利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f（a）·f（b）＜0.若有，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内必有零点； （2）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 3．函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要结合函数性质进行分析判断. 4．判断函数零点个数的3种方法 （1）直接法：令f（x）＝0，方程有多少个解，则f（x）就有多少个零点； （2）定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等； （3）图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数. 5．解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组． 四.课后练习作业 一、单项选择题 1．下列说法，正确的是(　　) A．函数的零点就是函数的图象与x轴的交点. B．函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）·f（b）＜0. C．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）在b2－4ac＜0时没有零点. D．只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值. 2．函数f（x）＝的零点个数为（　　） A.3　 B.2 C.7　 D.0 3．在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(1，2)内，则下一步可以断定该根所在区间为(　　) A. B. C. D. 4.下列说法，正确的是(　　) A．对于函数f(x)＝，因为f(－1)·f(1)<0，所以函数f(x)在区间(－1，1)内必有零点 B．对于函数f(x)＝x2－x，因为f(－1)·f(2)>0，所以函数f(x)在区间(－1，2)内没有零点 C．对于函数f(x)＝x3－3x2＋3x－1，因为f(0)·f(2)<0，所以函数f(x)在区间(0，2)内必有零点 D．对于函数f(x)＝x3－3x2＋2x，因为f(－1)·f(3)<0，所以函数f(x)在区间(－1，3)内有唯一零点 5.函数f（x）＝ln x－的零点所在的区间是（　　） A.（0，1）　B.（1，2） C.（2，e）　D.（e，3） 6．函数f（x）＝2x＋x－5的零点x0∈（a－1，a），a∈N*，则a＝（　　） A.1　 B.2 C.3　 D.4 7．已知函数f（x）＝ln｜x－2｜＋x2与g（x）＝4x，则两函数图象所有交点的横坐标之和为（　　） A.0　 B.2 C.3 D.4 8．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x），则f（x）在[－3，3]上的零点个数至少为（　　） A.6 　 B.7 C.12　 D.13 2、 多选题 9．下列函数图象与x轴均有交点，其中能用二分法求图中函数零点的是（　　） 10．下列说法不正确的为（　　） A.函数f（x）的零点为x0，则函数f（x）的图象经过点（x0，0）时，函数值一定变号 B.相邻两个零点之间的所有函数值一定同号 C.函数f（x）在区间[a，b]上连续，若满足f（a）·f（b）＜0，则方程f（x）＝0在区间[a，b]上一定有实根 D.“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效 11．设函数f（x）＝则以下结论正确的为（　　） A.f（x）为R上的增函数 B.f（x）有唯一零点x0，且1＜x0＜2 C.若f（m）＝5，则m＝33 D.f（x）的值域为R 三、填空题 12．已知函数f（x）＝则f（x）的零点为　　. 13．若函数f（x）＝2ax2－x－1在（0，1）内恰有一个零点，则实数a的取值范围是　　. 14．已知函数f（x）＝｜1－x2｜＋a，若f（x）有四个零点，则实数a的取值范围是　 　. 四、解答题 15．.函数f（x）＝x2＋bx＋c的两个零点为2，3. （1）求b，c的值； （2）若函数g（x）＝f（x）＋mx的两个零点分别在区间（1，2），（2，4）内，求m的取值范围. 16．已知函数，其中． (1)直接写出的零点； (2)讨论关于x的方程的解的个数； (3)若方程有四个不同的根，，，，直接写出这四个根的和． 17．关于的方程满足下列条件，求的取值范围. (1)有两个正根； (2)一个根大于1，一个根小于1； (3)一个根在内，另一个根在内； 18．已知函数f（x）＝－x2－2x，g（x）＝ （1）求g[f（1）]的值； （2）若方程g[f（x）]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围. 19．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c，且f（1）＝－，3a＞2c＞2b.求证： （1）当a＞0时－3＜＜－； （2）函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 函数零点及其应用 一.【基础知识整合】 1．函数的零点：(1)定义：函数图像与x轴的交点的横坐标叫做函数的零点(2)几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 2．零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0. 3．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：第一步，确定区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0； 第二步，求区间(a，b)的中点c1；第三步，计算f(c1)：(1)若f(c1)＝0，则c1就是函数的零点； (2)若f(a)f(c1)<0，则令b＝c1(此时零点x0∈(a，c1))；(3)若f(b)f(c1)<0，则令a＝c1(此时零点x0∈(c1，b))；第四步，判断x0是否满足给定的精确度；否则重复第二、三、四步． 根的分布 图像 条件转化 在有且只有一个根 或或或 4．一元二次函数（）零点分布问题（一元二次方程根的分布）主要解决含参的二次函数零点或二次方程的根——参数范围问题 二.典例精析 题型一：函数的零点问题 例1：（1）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为 （2）已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　C　) A．(0，1)　　　B．(1，2) C．(2，4) D．(4，＋∞) (3)函数f（x）＝｜x－4｜－的零点的个数为 【解析】(1)令x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)2＋3x＝x2＋3x.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．所以当x＜0时，f(x)＝－x2－3x.所以当x≥0时，g(x)＝x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.当x＜0时，g(x)＝－x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2＋4x－3＝0，解得x＝－2＋＞0(舍去)或x＝－2－.所以函数g(x)有三个零点，故其集合为{－2－，1，3}（2）由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(1)＝6－0＝6>0，f(2)＝3－1＝2>0，f(4)＝－log24＝－2＝－<0，由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2，4)上必存在零点．（3）令f（x）＝｜x－4｜－＝0，得｜x－4｜＝，在同一坐标系中分别画出函数y＝｜x－4｜与y＝的图象如图所示，由图象可知两个函数图象有三个交点，所以函数有3个零点. 【变式训练1】(1)已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为 (2)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　A　) A．(a，b)和(b，c)内　 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 (3)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝log3|x|的解的个数是(　C　) A．0 B．2 C．4 D．6 【解析】(1)当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x＞1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x＞1，所以此时方程无解．综上函数f(x)的零点只有0.(2)选A.∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，∵a<b<c，∴f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．(3)画出周期函数f(x)和y＝log3|x|的图象，如图所示，方程f(x)＝log3|x|的解的个数为4. 题型二：二次函数函数的零点分布问题 例2：已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围； (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的取值范围． 【解】(1)由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，如图(1)所示，得 ⇒故m的取值范围是.(2)抛物线与x轴交点均落在区间(0，1)内，如图(2)所示，列不等式组(2) ⇒即－<m≤1－. 故m的取值范围是. 【变式训练2】关于x的一元二次方程x2－2ax＋a＋2＝0，当a为何实数时： (1) 有两不同正根； (2)不同两根在(1,3)之间； (3)有一根大于2，另一根小于2； (4)在(1,3)内有且只有一解． 【解】设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，Δ＝4a2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)＝4(a－2)(a＋1)．(1)由已知条件解得a>2.(2)由已知条件解得2<a<.(3)由已知条件f(2)<0，解得a>2.(4)由已知条件f(1)f(3)<0，解得<a<3.检验：当f(3)＝0，即a＝时，方程的两解为x＝，x＝3，当f(1)＝0，即a＝3时，方程的两解为x＝1，x＝5，可知≤a<3.当⇒a＝2.即a＝2时f(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，方程的解x1＝x2＝2，∴a＝2，综上有a＝2或≤a<3. 题型三：函数零点的应用 例3：（1）已知函数f（x）＝log2（x＋1）－＋m在区间（1，3]上有零点，则实数m的取值范围为 （2）已知函数f（x）＝若关于x的方程f（x）＝2a（a∈R）恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围为 【解析】（1）由于函数y＝log2（x＋1），y＝m－在区间（1，3]上单调递增，所以函数f（x）在（1，3]上单调递增，由于函数f（x）＝log2（x＋1）－＋m在区间（1，3]上有零点，则即解得－≤m＜0.因此实数m的取值范围是.（2）作出函数f（x）的图象如图所示，因为关于x的方程f（x）＝2a恰有两个不同的实根，所以y＝2a与函数y＝f（x）的图象恰有两个交点，结合图象，得2a＞2或＜2a≤1.解得a＞1或＜a≤. 【变式训练3】（1）若函数f（x）＝e－x－ln（x＋a）在（0，＋∞）上存在零点，则实数a的取值范围是 （2）已知函数f（x）＝函数g（x）＝mx，若函数y＝f（x）－2g（x）恰有三个零点，则实数m的取值范围是（　　） A.（－，）　 B.（－，1） C.（－，＋∞）　 D.（－∞，） 【解析】（1）由题意，函数y＝e－x与g（x）＝ln（x＋a）的图象在（0，＋∞）上有交点，当a＞0时，g（x）＝ln（x＋a）的图象是由函数y＝ln x的图象向左平移a个单位长度得到的，根据图象可得只需要g（0）＝ln a＜1，即0＜a＜e；当a≤0时，g（x）＝ln（x＋a）的图象是由函数y＝ln x向右平移a个单位长度得到的，此时在（0，＋∞）上恒有交点，满足条件，综上可得：a＜e，即实数a的取值范围是（－∞，e）（2）根据题意，画出函数f（x）＝的图象如图所示，因为函数y＝f（x）－2g（x）恰有三个零点，所以f（x）＝2g（x）有三个不等实根，即f（x）的图象与y＝2g（x）＝2mx的图象有三个不同的交点，由图象可知，当直线y＝2mx的斜率在kOA，kOB（OB与直线y＝x－4平行）之间时，有三个交点，即kOA＜2m＜kOB，因为kOA＝－，kOB＝1，所以－＜2m＜1，解得－＜m＜. 三.方法规律总结 1．有关函数零点的结论 （1）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点； （2）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号； （3）周期函数如果存在零点，则必有无穷个零点. 2．确定函数f（x）的零点所在区间的常用方法 （1）利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f（a）·f（b）＜0.若有，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内必有零点； （2）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 3．函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要结合函数性质进行分析判断. 4．判断函数零点个数的3种方法 （1）直接法：令f（x）＝0，方程有多少个解，则f（x）就有多少个零点； （2）定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等； （3）图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数. 5．解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组． 四.课后练习作业 一、单项选择题 1．下列说法，正确的是(　C　) A．函数的零点就是函数的图象与x轴的交点. B．函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）·f（b）＜0. C．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）在b2－4ac＜0时没有零点. D．只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值. 【答案】C【解析】根据函数零点的相关概念可知答案为C 2．函数f（x）＝的零点个数为（　　） A.3　 B.2 C.7　 D.0 【答案】B【解析】由或解得x＝－2或x＝e，故f（x）有两个零点. 3．在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(1，2)内，则下一步可以断定该根所在区间为(　　) A. B. C. D. 【答案】D【解析】设f(x)＝x3－2x－1，因为一根在区间(1，2)内，根据二分法的规则，取区间中点，因为f(1)＝－2<0，f＝－4<0，f(2)＝3>0，所以下一步可以断定该根所在区间是， 4.下列说法，正确的是(　　) A．对于函数f(x)＝，因为f(－1)·f(1)<0，所以函数f(x)在区间(－1，1)内必有零点 B．对于函数f(x)＝x2－x，因为f(－1)·f(2)>0，所以函数f(x)在区间(－1，2)内没有零点 C．对于函数f(x)＝x3－3x2＋3x－1，因为f(0)·f(2)<0，所以函数f(x)在区间(0，2)内必有零点 D．对于函数f(x)＝x3－3x2＋2x，因为f(－1)·f(3)<0，所以函数f(x)在区间(－1，3)内有唯一零点 【答案】C【解析】由函数f(x)＝的图象可知在区间(－1，1)内无零点，故A错；令f(x)＝x2－x＝0，可得x＝0或x＝1，故f(x)在区间(－1，2)内有两个零点，B错；函数f(x)＝x3－3x2＋3x－1的图象在区间(0，2)内连续，且f(0)·f(2)<0，所以在区间(0，2)内必有零点，C正确；由x3－3x2＋2x＝0，解得x＝0，x＝1或x＝2，即函数f(x)在区间(－1，3)内有三个零点，D错 5.函数f（x）＝ln x－的零点所在的区间是（　　） A.（0，1）　B.（1，2） C.（2，e）　D.（e，3） 【答案】C【解析】因为函数f（x）＝ln x－在定义域（0，＋∞）内是一条连续不断的曲线，且f（2）＝ln 2－1＜0，f（e）＝ln e－＝1－＞0，所以必存在x0∈（2，e），使得f（x0）＝0.所以函数f（x）＝ln x－的零点所在的区间是（2，e），故选C. 6．函数f（x）＝2x＋x－5的零点x0∈（a－1，a），a∈N*，则a＝（　　） A.1　 B.2 C.3　 D.4 【答案】C【解析】函数f（x）＝2x＋x－5是连续增函数，f（2）＝4＋－5＝－＜0，f（3）＝8＋－5＝＞0，所以函数f（x）＝2x＋x－5的零点在（2，3）内，所以a＝3.故选C. 7．已知函数f（x）＝ln｜x－2｜＋x2与g（x）＝4x，则两函数图象所有交点的横坐标之和为（　　） A.0　 B.2 C.3 D.4 【答案】D【解析】原问题可以转化为求方程ln｜x－2｜＝4x－x2的所有根之和，易知y＝ln｜x－2｜和y＝4x－x2的图象均关于直线x＝2对称，且两个函数的图象有2个交点，故两个交点的横坐标之和为4. 8．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x），则f（x）在[－3，3]上的零点个数至少为（　　） A.6 　 B.7 C.12　 D.13 【答案】D【解析】因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，又由f（x＋1）＝f（x）得f（x）的周期为1，所以f（－3）＝f（－2）＝f（－1）＝f（0）＝f（1）＝f（2）＝f（3）＝0.又f＝f，f＝－f，因此f＝f＝0，则f＝f＝f＝f＝f＝f＝0，故f（x）在[－3，3]上至少有13个零点，故选D. 2、 多选题 9．下列函数图象与x轴均有交点，其中能用二分法求图中函数零点的是（　　） 【答案】BCD【解析】根据二分法的概念可知A不能用二分法求零点. 10．下列说法不正确的为（　　） A.函数f（x）的零点为x0，则函数f（x）的图象经过点（x0，0）时，函数值一定变号 B.相邻两个零点之间的所有函数值一定同号 C.函数f（x）在区间[a，b]上连续，若满足f（a）·f（b）＜0，则方程f（x）＝0在区间[a，b]上一定有实根 D.“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效 【答案】ABD【解析】由结论知A错误；当函数不连续时，B不一定成立，故B错误；由零点存在定理可得C正确；由于“二分法”是针对连续不断的函数的变号零点而言的，所以D错误.故选ABD. 11．设函数f（x）＝则以下结论正确的为（　　） A.f（x）为R上的增函数 B.f（x）有唯一零点x0，且1＜x0＜2 C.若f（m）＝5，则m＝33 D.f（x）的值域为R 【答案】BC【解析】作出f（x）的图象如图所示.由图可知A错误；对于B，由图象可知，f（x）有唯一零点x0，f（x）在（－∞，2]上单调递增，且f（1）＜0，f（2）＞0，B正确；对于C，当x≤2时，2x－3≤1，故log2（m－1）＝5，解得m＝33，C正确；对于D，f（x）的值域为（0，＋∞）∪（－3，1]，即（－3，＋∞），D错误.故选B、C. 三、填空题 12．已知函数f（x）＝则f（x）的零点为　－1和1　. 【解析】令f（x）＝0，得或解得x＝1或x＝－1，所以f（x）的零点为－1和1. 13．若函数f（x）＝2ax2－x－1在（0，1）内恰有一个零点，则实数a的取值范围是　（1，＋∞）　. 【解析】当a＝0时，函数的零点是x＝－1，不符合题意.当a≠0时，若Δ＞0，f（0）·f（1）＜0，则a＞1.若Δ＝0，即a＝－，函数的零点是x＝－2，不符合题意. 14．已知函数f（x）＝｜1－x2｜＋a，若f（x）有四个零点，则实数a的取值范围是　（－1，0）　. 【解析】函数y＝f（x）有四个零点，即y＝－a与y＝｜1－x2｜有四个交点，作出函数y＝｜1－x2｜的图象如图，由图可知0＜－a＜1，即－1＜a＜0. 四、解答题 15．.函数f（x）＝x2＋bx＋c的两个零点为2，3. （1）求b，c的值； （2）若函数g（x）＝f（x）＋mx的两个零点分别在区间（1，2），（2，4）内，求m的取值范围. 【解】（1）∵2，3为方程x2＋bx＋c＝0的两根，∴∴ （2）由（1）知f（x）＝x2－5x＋6.∴g（x）＝x2＋（m－5）x＋6，依题意得解得－＜m＜0，故实数m的取值范围是. 16．已知函数，其中． (1)直接写出的零点； (2)讨论关于x的方程的解的个数； (3)若方程有四个不同的根，，，，直接写出这四个根的和． 【解】（1）解方程，即，解得或，所以，函数的零点为－1和3；（2）则函数的图象如下图所示：方程的解的个数等于函数和图象的交点个数，如下图所示：当时，方程无实根；当或时，方程有2个实根；当时，方程有4个实根；当时，方程有3个实根． （3）由图象可知，函数的图象关于直线对称，因此． 17．关于的方程满足下列条件，求的取值范围. (1)有两个正根； (2)一个根大于1，一个根小于1； (3)一个根在内，另一个根在内； 【解】（1）令，设的两个根为. 由题得，解得.（2）令，设的两个根为.若方程的一个根大于1，一个根小于1， 由于，开口向上， 故只需，解得.（3）令，设的两个根为.若方程一个根在内，另一个根在内，结合开口向上，则，解得. 18．已知函数f（x）＝－x2－2x，g（x）＝ （1）求g[f（1）]的值； （2）若方程g[f（x）]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围. 【解】（1）利用解析式直接求解得g[f（1）]＝g（－3）＝－3＋1＝－2. （2）令f（x）＝t，则原方程化为g（t）＝a，易知方程f（x）＝t在t∈（－∞，1）上有2个不同的根， 则原方程有4个根等价于函数y＝g（t）（t＜1）与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g（t）（t＜1）的图象，如图所示，由图象可知，当1≤a＜时，函数y＝g（t）（t＜1）与y＝a有2个不同的交点，故所求a的取值范围是. 19．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c，且f（1）＝－，3a＞2c＞2b.求证： （1）当a＞0时－3＜＜－； （2）函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点. 【证明】（1）∵f（1）＝a＋b＋c＝－，∴c＝－a－b.∵3a＞2c＝－3a－2b，∴3a＞－b. ∵2c＞2b，∴－3a＞4b.∵a＞0，∴－3＜＜－. （2）∵f（0）＝c，f（2）＝4a＋2b＋c， f（1）＝－，Δ＝b2－4ac＝b2＋4ab＋6a2＝（b＋2a）2＋2a2＞0. 当c＞0时，f（0）＞0，f（1）＜0， ∴f（x）在（0，2）内至少有一个零点； 当c＝0时，f（0）＝0，f（1）＜0，f（2）＝4a＋2b＝a＞0，∴f（x）在（0，2）内有一个零点；当c＜0时，f（0）＜0，f（1）＜0，b＝－a－c，f（2）＝4a－3a－2c＋c＝a－c＞0，∴f（x）在（0，2）内有一个零点. 综上，f（x）在（0，2）内至少有一个零点. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$