第11讲 指数函数与对数函数讲义——2025届高三数学一轮复习

第11讲 指数函数与对数函数 一．基础知识整合 1．指数函数的定义：函数 (a>0，a≠1)叫作指数函数，自变量x在指数位置上． 2．指数函数的图象与性质 y＝ax a>1 0<a<1 图 象 性 质 定义域： 值域： 过点 ，即x＝ 时，y＝ 当x>0时， 当x<0时， 当x>0时， 当x<0时， 在 上的 函数 在 上的 函数 3. 当0<a<1时，指数函数的底数越小函数图像越接近坐标轴，当a>1，指数函数的底数越大函数图像越接近坐标轴 4．对数函数的定义：一般地，我们把函数 (a>0，a≠1)叫作对数函数，a叫作对数函数的底数，x是真数，定义域是 ，值域是 . 5．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图 象 性 质 定义域： 值域： 过点 ，即x＝ 时，y＝ 当x>1时， 当0<x<1时， 当x>1时， 当0<x<1时， 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 6．当0<a<1时，对数函数的底数越小函数图像越接近坐标轴，当a>1，对数函数的底数越大函数图像越接近坐标轴 7．反函数：指数函数 与对数函数 互为反函数，它们的图象关于直线 对称． 二．典例精析 题型一：指数函数的性质及应用 例1：(1)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为 (2).已知函数f（x）＝e｜x－a｜（a为常数），若f（x）在区间[1，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围是　　. (3)函数f(x)＝的单调减区间为______. （4）已知不等式≤（）x－2的解集为A，则A＝ 【变式训练1】（1）已知2x－1＜23－x，则x的取值范围是________ (2已知a＝，b＝，c＝2，则a，b，c的大小关系为 (3)已知函数在区间(－∞，3)内递增，则a的取值范围为 （4）函数f(x)＝－＋1在x∈[－3，2]上的值域是________ 题型二：指数型函数的综合问题 例2：已知函数f（x）＝2x的定义域是[0，3]，设g（x）＝f（2x）－f（x＋2）. （1）求g（x）的解析式及定义域； （2）求函数g（x）的最大值和最小值. 【变式训练2】已知函数f(x)＝(＋)x3. (1) 求f(x)的定义域；(2)证明：f(－x)＝f(x)； (3)证明：f(x)>0. 题型三：对数函数的性质及应用 例3：（1）已知实数则a，b，c的大小关系为 (2)若loga（a2＋1）＜loga（2a）＜0，则a的取值范围是 (3)已知函数f(x)＝lg在区间[1,2]上是增函数，则实数a的取值范围是______ 【变式训练3】(1)已知实数则a，b，c的大小关系为 (2设函数f（x）＝则满足f（x）≤2的x的取值范围是 (3)已知函数f(x)＝ax＋logax(a>0，a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为 题型四：对数型函数的综合问题 例4：已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1. (1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)若a>1时，求使f(x)>0的x的解集． 【变式训练4】已知函数f（x）＝log4（ax2＋2x＋3）. （1）若f（1）＝1，求f（x）的单调区间； （2）若f（x）的最小值为0，求a的值. 三．方法规律总结 1．比较两个指数幂大小时，尽量化同底数或同指数，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小． 2．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c<d<1<a<b.在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大． 3．求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤：(1)确定定义域；(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)；(3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则y＝f(g(x))为增函数，若一增一减，则y＝f(g(x))为减函数，即“同增异减”． 4．用对数函数的性质比较大小：(1)同底数的两个对数值的大小比较 例如，比较logaf(x)与logag(x)的大小，其中a>0且a≠1.①若a>1，则logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)>0. ②若0<a<1，则logaf(x)>logag(x)⇔0<f(x)<g(x)． (2)同真数的对数值大小关系如图：图象在x轴上方的部分自左向右底逐渐增大，即0<c<d<1<a<b. 5．常见对数方程式或对数不等式的解法：(1)形如logaf(x)＝logag(x)(a>0且a≠1)等价于f(x)＝g(x)，但要注意验根．对于logaf(x)>logag(x)等价于0<a<1时，a>1时，(2)形如F(logax)＝0、F(logax)>0或F(logax)<0，一般采用换元法求解． 四．课后练习作业 一．单项选择题 1．函数f（x）＝（）x在区间[1，2]上的最大值是（　　） A．.　 B．. C．.3　 D．.2 2．函数f(x)＝的定义域是(　　) A．(－3，0)　　B．(－3，0] C．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－3，0) 3．函数y＝（的单调递增区间是（　　） A．[1，2]　B．.[1，3] C．（－∞，2]　 D．[2，＋∞） 4．已知f（x）＝a－x，g（x）＝logax，且f（2）·g（2）＞0，则函数f（x）与g（x）的图象是（　　） 5．函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是(　　) A．f(－4)＞f(1) B．f(－4)＝f(1) C．f(－4)＜f(1) D．不确定 6．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－2，1) B．(－4，3) C．(－1，2) D．(－3，4) 7．设函数f（x）＝ln｜x＋3｜＋ln｜x－3｜，则f（x）（　　） A．是偶函数，且在（－∞，－3）上单调递减 B．是奇函数，且在（－3，3）上单调递减 C．是奇函数，且在（3，＋∞）上单调递增 D．是偶函数，且在（－3，3）上单调递增 8．偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0，1]时，f(x)＝x，则关于x的方程f(x)＝在x∈[0，4]上解的个数是(　　) A．0 B．4 C．6 D．8 2． 多选题 9．函数y＝loga（x＋c）（a，c为常数，其中a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（　　） A．a＞1　 B．0＜c＜1 C．0＜a＜1 D．c＞1 10．若函数f（x）＝a＋（x∈R）是奇函数，下列选项正确的是（　　） A．a＝－1 B．f（x）是增函数 C．f（x）是减函数 D．不等式f（2t＋1）＋f（t－5）≤0的解集为 11．已知函数f（x）＝ln x＋ln（2－x），则（　　） A．f（x）在（0，2）上单调递增 B．f（x）在（0，2）上的最大值为0 C．f（x）的图象关于直线x＝1对称 D．f（x）的图象关于点（1，0）对称 三．填空题 12．已知函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）在[1，2]上的最大值比最小值大，则a＝　　. 13．写出一个具有性质①②③的函数f（x）＝　 　. ①f（x）的定义域为（0，＋∞）；②f（x1x2）＝f（x1）＋f（x2）；③当x∈（0，＋∞）时，f（x）单调递减. 14． 已知f（x）＝的值域为R，那么实数a的取值范围是　 　. 四．解答题 15．已知函数f（x）＝ax＋b（a＞0，且a≠1）. （1）若f（x）的图象如图①所示，求实数a，b的取值范围； （2）若f（x）的图象如图②所示，｜f（x）｜＝m有且仅有一个实数解，求m的取值范围. 16．已知定义域为R的函数f（x）＝ax－（k－1）a－x（a＞0且a≠1）是奇函数. （1）求实数k的值； （2）若f（1）＜0，判断函数f（x）的单调性，若f（m2－2）＋f（m）＞0，求实数m的取值范围. 17．设f（x）＝loga（1＋x）＋loga（3－x）（a＞0，且a≠1），且f（1）＝2. （1）求实数a的值及f（x）的定义域； （2）求f（x）在区间［0，］上的最大值. 18．已知函数f（x）＝log2（＋a）. （1）若函数f（x）是R上的奇函数，求a的值； （2）若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围. 19． 已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)． (1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间； (2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 指数函数与对数函数 一．基础知识回顾 1．指数函数的定义：函数y＝ax叫作指数函数，自变量x在指数位置上，底数a是一个大于0且不等1的常量． 2．指数函数的图象与性质 y＝ax a>1 0<a<1 图 象 性 质 定义域：R 值域：(0，＋∞)　 过点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1当x<0时，y>1； 在R上是增函数 在R上是减函数 3. 当0<a<1时，指数函数的底数越小函数图像越接近坐标轴，当a>1，指数函数的底数越大函数图像越接近坐标轴 4．对数函数的定义：一般地，我们把函数y＝logax(a>0，a≠1)叫作对数函数，a叫作对数函数的底数，x是真数，定义域是(0，＋∞)，值域是R. 5．对数函数的图象与性质 y＝logax a>1 0<a<1 图 象 性 质 定义域：(0，＋∞) 值域：R　 过点(1,0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0 当0<x<1时，y>0 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 6．当0<a<1时，对数函数的底数越小函数图像越接近坐标轴，当a>1，对数函数的底数越大函数图像越接近坐标轴 7．反函数：指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 二．典例精析 题型一：指数函数的性质及应用 例1：(1)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为 (2).已知函数f（x）＝e｜x－a｜（a为常数），若f（x）在区间[1，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围是　　. (3)函数f(x)＝的单调减区间为______. （4）已知不等式≤（）x－2的解集为A，则A＝ 【解析】(1)∵指数函数y＝1.01x是增函数，又0.6＞0.5，∴1.010.6＞1.010.5，故b＞a.∵幂函数y＝x0.5是增函数，又1.01＞0.6，∴1.010.5＞0.60.5，故a＞c.∴b＞a＞c.(2)令t＝｜x－a｜，∴y＝et，t＝｜x－a｜在（－∞，a）上单调递减，在[a，＋∞）上单调递增.又y＝et为增函数，∴f（x）＝e｜x－a｜在（－∞，a）上单调递减，在[a，＋∞）上单调递增，∴a≤1.(3)u＝－x2＋2x＋1在(－∞，1)上是增函数，在[1，＋∞)上为减函数；而函数y＝在R上为减函数，∴f(x)在(－∞，1)上是减函数． 【变式训练1】（1）已知2x－1＜23－x，则x的取值范围是________ (2已知a＝，b＝，c＝2，则a，b，c的大小关系为 (3)已知函数在区间(－∞，3)内递增，则a的取值范围为 ． （4）函数f(x)＝－＋1在x∈[－3，2]上的值域是________ 【解析】（1）根据指数函数的性质，得x－1＜3－x，解得x＜2，所以x的取值范围是（－∞，2）;(2)由a＝＝，b＝＝，c＝2＝，所以b＜a＜c.(3)函数y＝2－x＋ax＋1是由函数y＝2t和t＝－x2＋ax＋1复合而成．因为函数t＝－x2＋ax＋1在区间 (－∞，]上单调递增，在区间[，＋∞)上单调递减，且函数y＝2t在R上单调递增，所以函数y＝2－x＋ax＋1在区间(－∞，]上单调递增，在区间[，＋∞)上单调递减．又因为函数y＝2－x＋ax＋1在区间(－∞，3)上单调递增;（4）因为x∈[－3，2]，若令t＝，则t∈.y＝t2－t＋1＝＋.当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57.所以函数f(x)的值域为. 题型二：指数型函数的综合问题 例2：已知函数f（x）＝2x的定义域是[0，3]，设g（x）＝f（2x）－f（x＋2）. （1）求g（x）的解析式及定义域； （2）求函数g（x）的最大值和最小值. 解：（1）因为f（x）＝2x，所以g（x）＝f（2x）－f（x＋2）＝22x－2x＋2.因为f（x）的定义域是[0，3]，所以解得0≤x≤1.即g（x）定义域为[0，1]. （2）g（x）＝（2x）2－4×2x＝（2x－2）2－4.因为x∈[0，1]，所以2x∈[1，2]，所以当2x＝2即x＝1时，g（x）取得最小值－4；当2x＝1即x＝0时，g（x）取得最大值－3. 【变式训练2】已知函数f(x)＝(＋)x3. (1) 求f(x)的定义域；(2)证明：f(－x)＝f(x)； (3)证明：f(x)>0. 【解】（1）由2x－1≠0⇒x≠0，所以定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)证明　f(x)＝(＋)x3可化为f(x)＝·x3，则f(－x)＝(－x)3＝x3＝f(x)，所以f(－x)＝f(x)．(3)证明：当x>0时，2x>1，x3>0，所以(＋)x3>0.因为f(－x)＝f(x)，所以当x<0时，f(x)＝f(－x)>0.综上所述，f(x)>0. 所以3≤，即a≥6. 题型三：对数函数的性质及应用 例3：（1）已知实数则a，b，c的大小关系为 (2)若loga（a2＋1）＜loga（2a）＜0，则a的取值范围是 (3)已知函数f(x)＝lg在区间[1,2]上是增函数，则实数a的取值范围是______ 【解析】(1)因为a＝log23＞1，b＝lo＝log32∈（0，1），c＝log3＝－log32＜0，所以a＞b＞c.(2)由题意得a＞0且a≠1，又a2＋1＞2a，loga（a2＋1）＜loga（2a）＜0，所以0＜a＜1，且2a＞1，所以＜a＜1.故a的取值范围是.(3)因为f(x)＝lg在区间[1,2]上是增函数，所以g(x)＝a＋在区间[1,2]上是增函数，且g(1)>0，于是a－2<0，且2a－2>0，即1<a<2 【变式训练3】(1)已知实数则a，b，c的大小关系为 (2设函数f（x）＝则满足f（x）≤2的x的取值范围是 (3)已知函数f(x)＝ax＋logax(a>0，a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为 【解析】(1)由已知a＝loπ＜lo1＝0，又b＝log3π＝＞1，c＝log4π＝，有0＜＜1，即0＜c＜1，综上得a＜c＜b.．(2当x≤1时，由21－x≤2得1－x≤1，∴0≤x≤1；当x＞1时，由1－log2x≤2得x≥，∴x＞1.综上，x的取值范围为[0，＋∞）.(3)显然函数y＝ax与y＝logax在[1，2]上的单调性相同，因此函数f(x)＝ax＋logax在[1，2]上的最大值与最小值之和为f(1)＋f(2)＝(a＋loga1)＋(a2＋loga2)＝a＋a2＋loga2＝loga2＋6，故a＋a2＝6，解得a＝2或a＝－3(舍去)． 题型四：对数型函数的综合问题 例4：已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1. (1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)若a>1时，求使f(x)>0的x的解集． 【解】(1)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，则解得－1<x<1故所求函数f(x)的定义域为{x|－1<x<1}(2)由(1)知f(x)的定义域为{x|－1<x<1}，且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)，故f(x)为奇函数(3)因为当a>1时，f(x)在定义域{x|－1<x<1}内是增函数，所以f(x)>0⇔>1.解得0<x<1.所以使f(x)>0的x的解集是{x|0<x<1}． 【变式训练4】已知函数f（x）＝log4（ax2＋2x＋3）. （1）若f（1）＝1，求f（x）的单调区间； （2）若f（x）的最小值为0，求a的值. 【解】（1）因为f（1）＝1，所以log4（a＋5）＝1，因此a＋5＝4，即a＝－1， 所以f（x）＝log4（－x2＋2x＋3）.由－x2＋2x＋3＞0得－1＜x＜3，即函数f（x）的定义域为（－1，3）.令g（x）＝－x2＋2x＋3（－1＜x＜3），则g（x）在（－1，1]上单调递增，在[1，3）上单调递减.又y＝log4x在（0，＋∞）上为增函数，所以f（x）的单调递增区间是（－1，1]，单调递减区间是[1，3）.（2）若f（x）的最小值为0，则h（x）＝ax2＋2x＋3应有最小值1，因此应有解得a＝. 三．方法规律总结 1．比较两个指数幂大小时，尽量化同底数或同指数，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小． 2．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c<d<1<a<b.在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大． 3．求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤：(1)确定定义域；(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)；(3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则y＝f(g(x))为增函数，若一增一减，则y＝f(g(x))为减函数，即“同增异减”． 4．用对数函数的性质比较大小：(1)同底数的两个对数值的大小比较 例如，比较logaf(x)与logag(x)的大小，其中a>0且a≠1.①若a>1，则logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)>0. ②若0<a<1，则logaf(x)>logag(x)⇔0<f(x)<g(x)． (2)同真数的对数值大小关系如图：图象在x轴上方的部分自左向右底逐渐增大，即0<c<d<1<a<b. 5．常见对数方程式或对数不等式的解法：(1)形如logaf(x)＝logag(x)(a>0且a≠1)等价于f(x)＝g(x)，但要注意验根．对于logaf(x)>logag(x)等价于0<a<1时，a>1时，(2)形如F(logax)＝0、F(logax)>0或F(logax)<0，一般采用换元法求解． 四．课后练习作业 一．单项选择题 1．函数f（x）＝（）x在区间[1，2]上的最大值是（　　） A．.　 B．. C．.3　 D．.2 【答案】C【解析】因为＞1，所以指数函数f（x）＝（）x为增函数，所以当x＝2时，函数取得最大值，且最大值为3. 2．函数f(x)＝的定义域是(　　) A．(－3，0)　　B．(－3，0] C．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－3，0) 【答案】A【解析】∵f(x)＝，∴要使函数f(x)有意义，需使，即－3<x<0. 3．函数y＝（的单调递增区间是（　　） A．[1，2]　B．.[1，3] C．（－∞，2]　 D．[2，＋∞） 【答案】D【解析】y＝（＝，∵y＝3x是增函数，y＝x2－4x在（－∞，2）上单调递减，在[2，＋∞）上单调递增，∴y＝在（－∞，2）上单调递减，在[2，＋∞）上单调递增.故选D. 4．已知f（x）＝a－x，g（x）＝logax，且f（2）·g（2）＞0，则函数f（x）与g（x）的图象是（　　） 【答案】D【解析】因为f（2）·g（2）＞0，所以a＞1，所以f（x）＝a－x与g（x）＝logax在其定义域上分别是减函数与增函数.故选D. 5．函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是(　　) A．f(－4)＞f(1) B．f(－4)＝f(1) C．f(－4)＜f(1) D． 不确定 【答案】A【解析】由题意知a＞1，∴f(－4)＝a3，f(1)＝a2，由单调性知a3＞a2，∴f(－4)＞f(1)． 6．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－2，1) B．(－4，3) C．(－1，2) D．(－3，4) 【答案】D【解析】原不等式变形为m2－m<，∵函数y＝在(－∞，－1]上是减函数，∴≥＝2，当x∈(－∞，－1]时，m2－m<恒成立，等价于m2－m<2，解得－1<m<2. 7．设函数f（x）＝ln｜x＋3｜＋ln｜x－3｜，则f（x）（　　） A．是偶函数，且在（－∞，－3）上单调递减 B．是奇函数，且在（－3，3）上单调递减 C．是奇函数，且在（3，＋∞）上单调递增 D．是偶函数，且在（－3，3）上单调递增 【答案】A【解析】函数f（x）的定义域为{x｜x≠±3}，f（x）＝ln｜x＋3｜＋ln｜x－3｜＝ln｜x2－9｜，令g（x）＝｜x2－9｜，则f（x）＝ln g（x），由函数g（x）的图象（图略）可知，当x∈（－∞，－3），x∈（0，3）时，g（x）单调递减，当x∈（－3，0），x∈（3，＋∞）时，g（x）单调递增，由复合函数的单调性得f（x）的单调区间；由f（－x）＝ln｜（－x）2－9｜＝ln｜x2－9｜＝f（x）得f（x）为偶函数.故选A. 8．偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0，1]时，f(x)＝x，则关于x的方程f(x)＝在x∈[0，4]上解的个数是(　　) A．0 B．4 C．6 D．8 【答案】B【解析】由f(x－1)＝f(x＋1)，可知T＝2.∵x∈[0，1]时，f(x)＝x，又∵f(x)是偶函数，∴可得图象如图所示．∴f(x)＝在x∈[0，4]上解的个数是4. 2． 多选题 9．函数y＝loga（x＋c）（a，c为常数，其中a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（　　） A．a＞1　 B．0＜c＜1 C．0＜a＜1 D．c＞1 【答案】BC【解析】由图象可知0＜a＜1，令y＝0得loga（x＋c）＝0，x＋c＝1，x＝1－c，由图象知0＜1－c＜1，∴0＜c＜1. 10．若函数f（x）＝a＋（x∈R）是奇函数，下列选项正确的是（　　） A．a＝－1 B．f（x）是增函数 C．f（x）是减函数 D．不等式f（2t＋1）＋f（t－5）≤0的解集为 【答案】ACD【解析】因为f（x）＝a＋（x∈R）是奇函数，所以f（0）＝0，即a＋1＝0，解得a＝－1，A正确；因为y＝2x＋1为增函数，且y＝2x＋1＞1，所以y＝为减函数，所以f（x）是减函数，B不正确，C正确；因为f（x）是奇函数，所以不等式f（2t＋1）＋f（t－5）≤0等价于不等式f（2t＋1）≤f（5－t），因为f（x）是减函数，所以2t＋1≥5－t，解得t≥，D正确.故选A、C、D. 11．已知函数f（x）＝ln x＋ln（2－x），则（　　） A．f（x）在（0，2）上单调递增 B．f（x）在（0，2）上的最大值为0 C．f（x）的图象关于直线x＝1对称 D．f（x）的图象关于点（1，0）对称 【答案】BC【解析】f（x）＝ln x＋ln（2－x），定义域为（0，2），f（x）＝ln[x（2－x）]＝ln（－x2＋2x），令t＝－x2＋2x，y＝ln t，∵t＝－x2＋2x，x∈（0，2）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，故A不正确；f（x）max＝f（1）＝0，故B正确；∵f（1＋x）＝ln（1＋x）＋ln（1－x），f（1－x）＝ln（1－x）＋ln（1＋x），∴f（1＋x）＝f（1－x），∴f（x）的图象关于直线x＝1对称，故C正确，D不正确. 三．填空题 12．已知函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）在[1，2]上的最大值比最小值大，则a＝　　. 【解析】当0＜a＜1时，a－a2＝，∴a＝或a＝0（舍去）.当a＞1时，a2－a＝，∴a＝或a＝0（舍去）.综上所述，a＝或a＝. 13．写出一个具有性质①②③的函数f（x）＝　 　. ①f（x）的定义域为（0，＋∞）；②f（x1x2）＝f（x1）＋f（x2）；③当x∈（0，＋∞）时，f（x）单调递减. 【解析】由①②知，对数函数形式的函数满足要求，又由③知，f（x）在定义域（0，＋∞）上为减函数，故f（x）可以为lox. 14．已知f（x）＝的值域为R， 那么实数a的取值范围是　［　. 【解析】要使函数f（x）的值域为R，则必须满足即所以－≤a＜. 四．解答题 15．已知函数f（x）＝ax＋b（a＞0，且a≠1）. （1）若f（x）的图象如图①所示，求实数a，b的取值范围； （2）若f（x）的图象如图②所示，｜f（x）｜＝m有且仅有一个实数解，求m的取值范围. 【解】（1）由f（x）＝ax＋b为减函数可得0＜a＜1，又f（0）＝1＋b＜0，解得b＜－1，所以实数a的取值范围为（0，1），实数b的取值范围为（－∞，－1）.（2）题图②中f（0）＝1＋b＝－2，所以b＝－3，函数y＝｜f（x）｜的图象如图所示.由图象可知若｜f（x）｜＝m有且仅有一个实数解，则m＝0或m≥3，所以m的取值范围为{0}∪[3，＋∞）. 16．已知定义域为R的函数f（x）＝ax－（k－1）a－x（a＞0且a≠1）是奇函数. （1）求实数k的值； （2）若f（1）＜0，判断函数f（x）的单调性，若f（m2－2）＋f（m）＞0，求实数m的取值范围. 【解】（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）＝a0－（k－1）a0＝1－（k－1）＝0，∴k＝2，经检验k＝2符合题意，∴k＝2.（2）由（1）得f（x）＝ax－a－x（a＞0且a≠1）， ∵f（1）＜0，∴a－＜0，又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1，∴y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，故由单调性的性质可判断f（x）＝ax－a－x为减函数，不等式f（m2－2）＋f（m）＞0可化为f（m2－2）＞f（－m），∴m2－2＜－m，即m2＋m－2＜0，解得－2＜m＜1， ∴实数m的取值范围是（－2，1） 17．设f（x）＝loga（1＋x）＋loga（3－x）（a＞0，且a≠1），且f（1）＝2. （1）求实数a的值及f（x）的定义域； （2）求f（x）在区间［0，］上的最大值. 【解】（1）∵f（1）＝2，∴loga4＝2.又a＞0，且a≠1，∴a＝2.由得－1＜x＜3，∴函数f（x）的定义域为（－1，3）.（2）f（x）＝log2（1＋x）＋log2（3－x）＝log2[（1＋x）·（3－x）]＝log2[－（x－1）2＋4]，∴当x∈[0，1]时，f（x）单调递增；当x∈（1，］时，f（x）单调递减，故函数f（x）在［0，］上的最大值是f（1）＝log24＝2. 18．已知函数f（x）＝log2（＋a）. （1）若函数f（x）是R上的奇函数，求a的值； （2）若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围. 【解】（1）若函数f（x）是R上的奇函数，则f（0）＝0，∴log2（1＋a）＝0，∴a＝0. 当a＝0时，f（x）＝－x是R上的奇函数.∴a＝0.（2）由已知得函数f（x）是减函数，故f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（0）＝log2（1＋a），最小值是f（1）＝log2（＋a）. 由题设得log2（1＋a）－log2（＋a）≥2，则log2（1＋a）≥log2（4a＋2）. ∴解得－＜a≤－.故实数a的取值范围是（－，－] 19．已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间； (2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 【解】(1)∵f(1)＝1，∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)． 由－x2＋2x＋3>0，得－1<x<3，即函数f(x)的定义域为(－1，3)．令g(x)＝－x2＋2x＋3， 则g(x)在(－1，1)上递增，在(1，3)上递减．又y＝log4x在(0，＋∞)上递增，所以f(x)的单调递增区间是(－1，1)，递减区间是(1，3)．(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，因此应有解得a＝.故存在实数a＝使f(x)的最小值为0. 学科网（北京）股份有限公司 $$