第7讲 函数的单调性与最值 讲义——2025届高三数学一轮复习

第7讲 函数的单调性与最值 一．基础知识回顾 1．函数的单调性 增函数 减函数 定义 在函数f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A 当x1<x2时，都有 ，那么，就称函数f(x)在区间A上是增加的 当x1<x2时，都有 ，那么，就称函数f(x)在区间A上是减少的 图像 描述 自左向右看图像是 的 自左向右看图像是 的 2．单调区间的定义：如果函数y＝f（x）在区间I上 或 ，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性， 叫做y＝f（x）的单调区间. 注意：（1）求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域；（2）“函数的单调区间为M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M. （2）单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；；(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． （3）若函数f（x），g（x）在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质： ①当f（x），g（x）都单调递增（减）时，f（x）＋g（x）单调递增（减）； ②若k＞0，则kf（x）与f（x）单调性相同；若k＜0，则kf（x）与f（x）单调性相反； ③函数y＝f（x）（f（x）＞0）在公共定义域内与y＝－f（x），y＝的单调性相反. 3．判断函数单调性的四种方法 ①定义法：取值、作差、变形、定号、下结论； ③复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数； ④图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性． ⑤导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 4．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有 ；(2)存在x0∈I，使得 (1)对于任意x∈I，都有 ；(2)存在x0∈I，使得 结论 M为最大值 M为最小值 二．典例精析 题型一：求函数的单调区间 例1：(1)函数y＝x2－ln x的单调递减区间为 （2）函数y＝（）的单调递增区间为 (3)y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间为________． 【变式训练1】写出下列函数的单调区间： （1）f(x)＝(2)y＝log3(x2－4x＋3)；(3)y＝|－x2＋2x＋3|. 题型二：函数单调性的判定及证明 例2：已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x，讨论f（x）的单调性. 【变式训练2】已知函数f（x）＝aln x＋2x2－2（a∈R），讨论函数f（x）的单调性. 题型三：函数单调性的应用 例3：(1)若f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的偶函数，对任意的x1，x2∈[0，＋∞）且x1≠x2，有＜0，则f（－2），f（1），f（3）的大小关系为 (2)已知函数f(x)＝(a>0)在(2，＋∞)上递增，则实数a的取值范围为________． (3)已知函数f(x)＝，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是________． 【变式训练3】(1)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是 (2)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是 （3）已知函数f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________． 题型四：函数的最值 例4：求下列函数的最值： （1）f（x）＝，x∈[1，4]； （2）f（x）＝2x2－. 【变式训练4】(1)函数f(x)＝的最大值为________. (2)已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)，若f(x)在上的值域为[，2]，则a＝________. 题型五：抽象函数的单调性 例5：已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－. (1)求证：f(x)在R上是减函数； (2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值． 【变式训练5】已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f()＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0. (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的单调性； (3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2. 三：方法规律总结 1．复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减． 2．利用单调性比较函数值大小的方法“”比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较，或采用插值法比较大小. 3．求可导函数单调区间的一般步骤和方法： (1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实根； (3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性． 4．求函数最值（值域）的五种常用方法 （1）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； （2）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； （3）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值； （4）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值； （5）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 四：课后练习作业 一、单项选择题　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．下列函数在区间（0，＋∞）上不单调递增的是（　　） A．.f（x）＝ln x　 B．..f（x）＝e－x C．.f（x）＝　 D．.f（x）＝－ 2．已知定义域为R的函数f（x），∀x1，x2∈R，x1＜x2，都有（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0，则（　　） A.f（3）＜f（π）＜f（2）　 B.f（π）＜f（3）＜f（2） C.f（2）＜f（π）＜f（3）　 D.f（π）＜f（2）＜f（3） 3．.函数f（x）＝－x的单调递增区间为（　　） A.（0，）　B.（0，1） C.（，＋∞）　 D.（1，＋∞） 4．若函数f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为(　　) A．－3 B．－2 C．－1 D．1 5．若f(x)＝，e<a<b，则(　A　) A．f(a)>f(b) B．f(a)＝f(b) C．f(a)<f(b) D．f(a)f(b)>1 6．已知函数f（x）＝若f（a）＜f（6－a），则实数a的取值范围是（　　） A.（－3，＋∞）　B.（－∞，－3） C.（3，＋∞）　D.（－∞，3） 7．设函数f(x)＝x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．1<a≤2 B．a≥4 C．a≤2 D．0<a≤3 8．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为 (　　) A．4 B．5 C．6 D．7 2、 多项选择题 9．若函数f（x），g（x）在给定的区间D上具有单调性，下列说法正确的是（　　） A．函数f（x）与f（x）－c（c为常数）具有相同的单调性 B．.函数f（x）与c·f（x）具有相同的单调性 C．若f（x）≠0，则函数f（x）与－具有相反的单调性 D．.若函数f（x），g（x）在给定的区间上单调递减，则f（x）＋g（x）单调递减 10．已知函数f（x）满足f（）＝，则关于函数f（x）的说法中正确的是（　　） A．f（x）的定义域为{x｜x≠－1} B．.f（x）的值域为{y｜y≠1，且y≠2} C．.f（x）在（0，＋∞）上单调递减 D．不等式f（x）＞2的解集为（－1，0） 11．如果函数f（x）对定义域内的任意两实数x1，x2（x1≠x2）都有＞0，则称函数y＝f（x）为“F函数”.下列函数不是“F函数”的是（　　） A．f（x）＝ex　B．.f（x）＝x2 C．.f（x）＝ln x　D．f（x）＝sin x 三、填空题 12．函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是 13．函数f(x)＝(x≥2)的最大值为________ 14．请写出一个同时满足下列三个条件的函数f（x）： （1）f（x）是偶函数；（2）f（x）在（0，＋∞）上单调递减； （3）f（x）的值域是（0，＋∞）.则f（x）＝　x－2（x≠0）（答案不唯一）　. 四、解答题 15．已知f（x）＝（x≠a）. （1）若a＝－2，试证明f（x）在（－∞，－2）上单调递增； （2）若a＞0且f（x）在（1，＋∞）上单调递减，求a的取值范围. 16．已知函数f(x)＝a－. (1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围． 17．已知f(x)＝(x≠a)．(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． 18．已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x）是增函数，f（1）＝0，f（3）＝1. （1）解不等式0＜f（x2－1）＜1； （2）若f（x）≤m2－2am＋1对所有x∈（0，3]，a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围. 19．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0. (1)求f(1)的值；(2)证明：f(x)为单调递减函数；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2，9]上的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7讲 函数的单调性与最值 一．基础知识回顾 1．函数的单调性 增函数 减函数 定义 在函数f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么，就称函数f(x)在区间A上是增加的 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么，就称函数f(x)在区间A上是减少的 图像 描述 自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的 2．单调区间的定义：如果函数y＝f（x）在区间I上　单调递增　或　单调递减　，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，　区间I　叫做y＝f（x）的单调区间. 注意：（1）求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域；（2）“函数的单调区间为M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M. （2）单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；；(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． （3）若函数f（x），g（x）在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质： ①当f（x），g（x）都单调递增（减）时，f（x）＋g（x）单调递增（减）； ②若k＞0，则kf（x）与f（x）单调性相同；若k＜0，则kf（x）与f（x）单调性相反； ③函数y＝f（x）（f（x）＞0）在公共定义域内与y＝－f（x），y＝的单调性相反. 3．判断函数单调性的四种方法 ①定义法：取值、作差、变形、定号、下结论； ③复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数； ④图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性． ⑤导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 4．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 二．典例精析 题型一：求函数的单调区间 例1：(1)函数y＝x2－ln x的单调递减区间为 （2）函数y＝（）的单调递增区间为 (3)y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间为________． 【解析】(1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)．令y′＝x－＝≤0，即x2≤1，即－1≤x≤1.故当x∈(0，1]时，函数单调递减(2)令u＝2x2－3x＋1＝22－.因为u＝22－在上单调递减，函数y＝u在R上单调递减．所以y＝2x2－3x＋1在上单调递增．.(3)由题意知当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函数的图象如图．由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数． 【变式训练1】写出下列函数的单调区间： （1）f(x)＝(2)y＝log3(x2－4x＋3)；(3)y＝|－x2＋2x＋3|. 【解】（1）函数f(x)的定义域为(0，＋∞).因为f(x)＝，所以f′(x)＝.当f′(x)>0，即0<x<e时，函数f(x)单调递增；当f′(x)<0，即x>e时，函数f(x)单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞).(2)令u＝x2－4x＋3，原函数可以看作y＝log3u与u＝x2－4x＋3的复合函数．令u＝x2－4x＋3>0，则x<1或x>3.∴函数y＝log3(x2－4x＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y＝log3u在(0，＋∞)上是增函数．∴y＝log3(x2－4x＋3)的单调递增区间为(3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)．(3)由－x2＋2x＋3≥0，得－1≤x≤3，此时函数y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；由－x2＋2x＋3<0，得x<－1或x>3，此时函数y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，即y＝画出函数的图象如图所示，单调递增区间为[－1，1]和[3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]和[1，3]． 题型二：函数单调性的判定及证明 例2：已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x，讨论f（x）的单调性. 【解】由题意知，f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f'（x）＝aex－1. 当a≤0时，易知f'（x）＜0，则f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数. 当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝ln. 当x∈（－∞，ln）时，f'（x）＜0；当x∈（ln，＋∞）时，f'（x）＞0. 所以f（x）在（－∞，ln）上单调递减，在（ln，＋∞）上单调递增. 综上可知，当a≤0时，f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数；当a＞0时，f（x）在（－∞，ln）上单调递减，在（ln，＋∞）上单调递增. 【变式训练2】已知函数f（x）＝aln x＋2x2－2（a∈R），讨论函数f（x）的单调性. 解：函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且f'（x）＝＋4x＝. 当a≥0时，f'（x）＞0恒成立，则函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数； 当a＜0时，令f'（x）＝0，解得x＝， 由f'（x）≤0，得0＜x≤；由f'（x）≥0，得x≥. 则函数f（x）在（0，］上单调递减，在［，＋∞）上单调递增. 综上，当a≥0时，函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数；当a＜0时，函数f（x）在（0，］上单调递减，在［，＋∞）上单调递增. 题型三：函数单调性的应用 例3：(1)若f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的偶函数，对任意的x1，x2∈[0，＋∞）且x1≠x2，有＜0，则f（－2），f（1），f（3）的大小关系为 (2)已知函数f(x)＝(a>0)在(2，＋∞)上递增，则实数a的取值范围为________． (3)已知函数f(x)＝，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是________． 【解析】(1)∵对任意的x1，x2∈[0，＋∞）且x1≠x2，有＜0.∴当x≥0时，函数f（x）单调递减，∴f（3）＜f（2）＜f（1），又f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的偶函数，f（x）＝f（－x），∴f（3）＜f（－2）＜f（1）.(2)任取2<x1<x2，由已知条件，得f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋a×＝(x1－x2)×<0恒成立，即当2<x1<x2时，x1x2>a恒成立．又x1x2>4，则0<a≤4.即实数a的取值范围是(0，4]．(3)由题意知f(x)＝，由函数f(x)的图象可知f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，解得－2<a<1.即实数a的取值范围是(－2，1)． 变式训练3：(1)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是 (2)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是 （3）已知函数f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________． 【解析】(1)因为函数y＝0.6x是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，即b<a<1.因为函数y＝x0.6在(0，＋∞)上是增函数，1<1.5，所以1.50.6>10.6＝1，即c>1.综上，b<a<c.；（2）当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0, 且－≥4，解得－≤a<0.综上所述，实数a的取值范围是.（3）要使函数f(x)在R上单调递增， 则有即解得2<a≤3，即实数a的取值范围是(2,3]． 题型四：函数的最值 例4：求下列函数的最值： （1）f（x）＝，x∈[1，4]； （2）f（x）＝2x2－. 【解】（1）∵f（x）＝＝＝2－，x∈[1，4]，∴f（x）在[1，4]上单调递增，∴函数的最小值为f（1）＝，最大值为f（4）＝. （2）令＝t，t≥1，则x2＝t2－1， ∴y＝2（t2－1）－t＝2t2－t－2（t≥1）. ∵y＝2t2－t－2（t≥1）的图象的对称轴为直线t＝，∴当t≥1时，y＝2t2－t－2的图象是上升的，∴ymin＝2×12－1－2＝－1，∴函数f（x）的最小值为－1，无最大值. 变式训练4：(1)函数f(x)＝的最大值为________. (2)已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)，若f(x)在上的值域为[，2]，则a＝________. 【解析】(1)当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.(2)由反比例函数的性质知函数f(x)＝－(a>0，x>0)在上单调递增，所以即解得a＝. 题型五：抽象函数的单调性 例5：已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－. (1)求证：f(x)在R上是减函数； (2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值． 【证明】(1)设x1>x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)又∵x>0时，f(x)<0.而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为减函数．(2)解　∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．又∵f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)∴f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 变式训练5：已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f()＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0. (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的单调性； (3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2. 【解】(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f(x)<0，∴f()<0，即f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)，∴函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f()＝f(x1)－f(x2)得f()＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，∴f(9)＝－2.由于函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，∴当x>0时，由f(|x|)<－2，得f(x)<f(9)，∴x>9；当x<0时，由f(|x|)<－2，得f(－x)<f(9)，∴－x>9，故x<－9，∴不等式的解集为{x|x>9或x<－9}． 三：方法规律总结 1．复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减． 2．利用单调性比较函数值大小的方法“”比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较，或采用插值法比较大小. 3．求可导函数单调区间的一般步骤和方法： (1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实根； (3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性． 4．求函数最值（值域）的五种常用方法 （1）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； （2）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； （3）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值； （4）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值； （5）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 四：课后练习作业 一、单项选择题　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．下列函数在区间（0，＋∞）上不单调递增的是（　　） A．.f（x）＝ln x　 B．..f（x）＝e－x C．.f（x）＝　 D．.f（x）＝－ 【答案】B【解析】对于A，f（x）＝ln x为对数函数，其底数e＞1，在区间（0，＋∞）上单调递增，符合题意；对于B，f（x）＝e－x为指数函数，其底数＜1，在区间（0，＋∞）上单调递减，不符合题意；对于C，f（x）＝为幂函数，其指数＞0，在区间（0，＋∞）上单调递增，符合题意；对于D，f（x）＝－＝为反比例函数，在区间（0，＋∞）上单调递增，符合题意.故选B. 2．已知定义域为R的函数f（x），∀x1，x2∈R，x1＜x2，都有（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0，则（　　） A.f（3）＜f（π）＜f（2）　 B.f（π）＜f（3）＜f（2） C.f（2）＜f（π）＜f（3）　 D.f（π）＜f（2）＜f（3） 【答案】B易【解析】知f（x）是R上的减函数，又π＞3＞2，故f（π）＜f（3）＜f（2）. 3．.函数f（x）＝－x的单调递增区间为（　　） A.（0，）　B.（0，1） C.（，＋∞）　 D.（1，＋∞） 【答案】A【解析】令t＝，显然t＝在[0，＋∞）上为增函数.又y＝t－t2＝－（t－）2＋（t≥0）在上单调递增，由≤得0≤x≤，所以f（x）的单调递增区间是（也可写为（0，））.故选A. 4．若函数f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为(　　) A．－3 B．－2 C．－1 D．1 【答案】B【解析】∵f(x)＝(x－1)2＋m－1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f(x)在[3，＋∞)上的最小值为1， 5．若f(x)＝，e<a<b，则(　A　) A．f(a)>f(b) B．f(a)＝f(b) C．f(a)<f(b) D．f(a)f(b)>1 【答案】A【解析】.f′(x)＝，当x>e时，f′(x)<0，则f(x)在(e，＋∞)上为减函数，f(a)>f(b)． 6．已知函数f（x）＝若f（a）＜f（6－a），则实数a的取值范围是（　　） A.（－3，＋∞）　 B.（－∞，－3） C.（3，＋∞）　 D.（－∞，3） 【答案】D【解析】显然f（x）在R上为增函数，故f（a）＜f（6－a）可化为a＜6－a，解得a＜3.故选D. 7．设函数f(x)＝x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．1<a≤2 B．a≥4 C．a≤2 D．0<a≤3 【答案】A【解析】∵f(x)＝x2－9lnx，∴f′(x)＝x－(x>0)，当x－≤0时，有0<x≤3， 即在(0,3]上原函数是减函数，∴a－1>0且a＋1≤3，解得1<a≤2. 8．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为 (　　) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C【解析】由题意知函数f(x)是三个函数y1＝2x，y2＝x＋2，y3＝10－x中的较小者，作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f(x)的图象)可知A(4,6)为函数f(x)图象的最高点． 2、 多项选择题 9．若函数f（x），g（x）在给定的区间D上具有单调性，下列说法正确的是（　　） A．函数f（x）与f（x）－c（c为常数）具有相同的单调性 B．.函数f（x）与c·f（x）具有相同的单调性 C．若f（x）≠0，则函数f（x）与－具有相反的单调性 D．.若函数f（x），g（x）在给定的区间上单调递减，则f（x）＋g（x）单调递减 【答案】AD【解析】对于A，根据图象进行上下平移单调性不变，可知命题正确；由结论1可知选项B、C错误，D正确，故选A、D. 10．已知函数f（x）满足f（）＝，则关于函数f（x）的说法中正确的是（　　） A．f（x）的定义域为{x｜x≠－1} B．.f（x）的值域为{y｜y≠1，且y≠2} C．.f（x）在（0，＋∞）上单调递减 D．不等式f（x）＞2的解集为（－1，0） 【答案】BCD【解析】由于f（）＝＝，故f（x）＝＝1＋（x≠0且x≠－1），所以f（x）的定义域为{x｜x≠－1，且x≠0}，作出其图象（图象略），由图象知，f（x）的值域为{y｜y≠1，且y≠2}；f（x）在（0，＋∞）上单调递减；f（x）＞2的解集为（－1，0）.故选B、C、D. 11．如果函数f（x）对定义域内的任意两实数x1，x2（x1≠x2）都有＞0，则称函数y＝f（x）为“F函数”.下列函数不是“F函数”的是（　　） A．f（x）＝ex　B．.f（x）＝x2 C．.f（x）＝ln x　D．f（x）＝sin x 【答案】ACD【解析】依题意，函数g（x）＝xf（x）为定义域上的增函数.对于A，g（x）＝xex，g'（x）＝（x＋1）ex，当x∈（－∞，－1）时，g'（x）＜0，∴g（x）在（－∞，－1）上单调递减，故A中函数不是“F函数”；对于B，g（x）＝x3在R上是增函数，故B中函数为“F函数”；对于C，g（x）＝xln x，g'（x）＝1＋ln x，当x∈（0，）时，g'（x）＜0，故C中函数不是“F函数”；对于D，g（x）＝xsin x，g'（x）＝sin x＋xcos x，当x∈（－，0）时，g'（x）＜0，故D中函数不是“F函数”. 三、填空题 12．函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是 【解析】函数f(x)的定义域是(－1,4)，u(x)＝－x2＋3x＋4＝－2＋的减区间为，∵e>1，∴函数f(x)的单调递减区间为. 13．函数f(x)＝(x≥2)的最大值为________ 【解析】（法一）∵f′(x)＝，∴x≥2时，f′(x)＜0恒成立，∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减，∴f(x)在[2，＋∞)上的最大值为f(2)＝2.（法二）∵f(x)＝＝＝1＋，∴f(x)的图象是将y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的．∵y＝在[2，＋∞)上单调递减，∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减，故f(x)在[2，＋∞)上的最大值为f(2)＝2.（法三）由题意可得f(x)＝1＋. ∵x≥2，∴x－1≥1，∴0＜≤1，∴1＜1＋≤2，即1＜≤2.故f(x)在[2，＋∞)上的最大值为2. 14．请写出一个同时满足下列三个条件的函数f（x）： （1）f（x）是偶函数；（2）f（x）在（0，＋∞）上单调递减； （3）f（x）的值域是（0，＋∞）.则f（x）＝　x－2（x≠0）（答案不唯一）　. 解析：设f（x）＝x－2（x≠0），因为f（－x）＝x－2＝f（x）（x≠0），所以f（x）是偶函数；x＞0时，f'（x）＝－2x－3＜0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减；f（x）＝x－2＞0，f（x）的值域是（0，＋∞）. 四、解答题 15．已知f（x）＝（x≠a）. （1）若a＝－2，试证明f（x）在（－∞，－2）上单调递增； （2）若a＞0且f（x）在（1，＋∞）上单调递减，求a的取值范围. 【解】（1）证明：当a＝－2时，f（x）＝.设x1＜x2＜－2，则f（x1）－f（x2）＝－＝.为x1＜x2＜－2，所以（x1＋2）（x2＋2）＞0，x1－x2＜0，所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（－∞，－2）上单调递增. （2）设1＜x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝－＝.因为a＞0，x2－x1＞0，所以要使f（x1）－f（x2）＞0，只需（x1－a）（x2－a）＞0恒成立，所以a≤1.综上所述，a的取值范围是（0，1]. 16．已知函数f(x)＝a－. (1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围． 【证明】(1)当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝a－， 设0<x1<x2，则x1x2>0，x2－x1>0.f(x1)－f(x2)＝(a－)－(a－)＝－＝<0.∴f(x1)<f(x2)，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)解　由题意a－<2x在(1，＋∞)上恒成立，设h(x)＝2x＋，则a<h(x)在(1，＋∞)上恒成立．∵h′(x)＝2－，x∈(1，＋∞)，∴2－>0，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增故a≤h(1)，即a≤3.∴a的取值范围为(－∞，3] 17．已知f(x)＝(x≠a)．(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． 【解】(1)证明：任设x1<x2<－2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增．(2)任设1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.综上所述知a的取值范围是(0,1]． 18．已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x）是增函数，f（1）＝0，f（3）＝1. （1）解不等式0＜f（x2－1）＜1； （2）若f（x）≤m2－2am＋1对所有x∈（0，3]，a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围. 【解】（1）∵f（x）在（0，＋∞）上为增函数，且f（1）＝0，f（3）＝1，∴由0＜f（x2－1）＜1，得f（1）＜f（x2－1）＜f（3），即解得＜x＜2或－2＜x＜－. ∴原不等式的解集为（－2，－）∪（，2）.（2）∵函数f（x）在（0，3]上单调递增， ∴f（x）在（0，3]上的最大值为f（3）＝1，∴不等式f（x）≤m2－2am＋1对所有x∈（0，3]，a∈[－1，1]恒成立可转化为1≤m2－2am＋1对所有a∈[－1，1]恒成立，即m2－2am≥0对所有a∈[－1，1]恒成立.设g（a）＝－2ma＋m2，a∈[－1，1]，∴需满足即解该不等式组，得m≤－2或m≥2或m＝0，即实数m的取值范围为（－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞） 19．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0. (1)求f(1)的值；(2)证明：f(x)为单调递减函数；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2，9]上的最小值． 【解】(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f(x)<0，所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)因为f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数，所以f(x)在[2，9]上的最小值为f(9)．由f＝f(x1)－f(x2)得，f＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1， 所以f(9)＝－2.即f(x)在[2，9]上的最小值为－2. 学科网（北京）股份有限公司 $$