第5讲 一元二次不等式问题 讲义——2025届高三数学一轮复习

第5讲 一元二次不等式问题 一，【基础知识整合】 1．一元二次不等式的定义：只含有 未知数，且未知数的最高次数是 的不等式叫一元二次不等式． 2．二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 （其中 无实根 的解集 或 的解集 二次函数 （）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 3．解分式不等式的思路：（化分式不等式为整式不等式） （1） 按一元二次不等式求解。 （2） 按一元二次不等式求解。 （3） 先将k左移，再进行通分化为标准的分式不等式按模式（1）运算。 （4）先将k左移，再进行通分化为标准的分式不等式按模式（2）运算。 4．｜ax＋b｜≤c（c＞0）和｜ax＋b｜≥c（c＞0）型不等式的解法 （1）｜ax＋b｜≤c⇔－c≤ax＋b≤c； （2）｜ax＋b｜≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 二．【典例精析】 题型一：不含参数的一元二次不等式的解法 例1:解下列不等式： 解下列不等式： （1）－3x2－2x＋8≥0； （2）≤1. （3）|2x＋3|≥5 【变式训练1】解下列不等式： (1) x2＜4x＋5；(2)；（3）|2x－1|＜3 题型2：含参数的一元二次不等式的解法 例2：已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a<0. 【变式训练2】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. 题型三：一元二次不等式恒成立问题 例3：按下列要求求实数m的取值范围 （1）若对于一切实数，不等式恒成立，求的取值范围； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【变式训练3】已知， （1）如果对一切，恒成立，求实数的取值范围； （2）如果对，恒成立，求实数的取值范围. 三．方法规律总结 1．三个“二次”的关系：二次函数是主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零和不为零的两种情况，一般讨论二次函数常将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式来研究，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又常与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决．一元二次不等式解集的端点值就是相应的一元二次方程的根，也是相应的二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即二次函数的零点． 4．解含参数的一元二次不等式的步骤：解含参数的一元二次不等式可按如下步骤进行：1°二次项若含有参数应讨论参数是等于0、小于0、还是大于0.然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.2°判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系.3°确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式． 5．不等式恒成立问题：不等式恒成立，即不等式的解集为R，一元二次不等式ax2＋bx＋c>0 (a≠0)恒成立的条件是ax2＋bx＋c<0 (a≠0)恒成立的条件是 四．课后练习作业 一．单项选择题 1．不等式x2＜4x＋5的解集为（　　） A.（－∞，－5）∪（1，＋∞） B.（－∞，－1）∪（5，＋∞） C.（－1，5） D.（－5，1） 2．函数y＝的定义域是(　　) A．[－，－1)∪(1，] B．[－，－1]∪(1，) C．[－2，－1)∪(1,2] D．(－2，－1)∪(1,2) 3．若不等式|8x＋9|<7和不等式ax2＋bx>2的解集相等，则实数a、b的值分别为(　　) A．a＝－8，b＝－10 B．a＝－4，b＝－9 C．a＝－1，b＝9 D．a＝－1，b＝2 4．关于x的不等式ax－b＜0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是(　　) A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1，3) C．(－1，3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞) 5．已知函数y＝x2＋ax＋b（a，b∈R）的最小值为0，若关于x的不等式x2＋ax＋b＜c的解集为{x｜m＜x＜m＋4}，则实数c的值为（　　） A.9　 B.8 C.6　 D.4 6．若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．m>1 B．m<－1 C．m<－ D．m>1或m<－ 7．已知a∈[－1，1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为(　　) A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞) C． (1，3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞) 8．已知a1>a2>a3>0，则使得(1－aix)2<1 (i＝1,2,3)都成立的x的取值范围是(　　) A. B. C. D. 2． 多选题 9．下面结论不正确的有(　　). A.≥0等价于(x-a)(x-b)≥0 B.若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0 C.不等式x2≤a的解集为[-,] D.若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为R 10．已知a∈Z,关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则a的值可以是(　　). A.6 B.7 C.8 D.9 11．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－1，3），则下列说法正确的是（　　） A.a＞0 B.bx－c＞0的解集是xx＞ C.cx2＋ax－b＞0的解集是xx＜－或x＞1 D.a＋b＜c 三、填空题 12．不等式－1＜x2＋2x－1≤2的解集是　 　. 13．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式bx2－cx＋3≤0的解集为 . 14．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)，若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x恒成立，则a的取值范围为________. 四、解答题 15．解下列不等式：(1) －6x2－x＋2≥0.（2） －x>0. (3) x＋|2x－1|<3. 16．已知方程． (1)若关于的方程总有实数解，求的取值范围； (2)求证：无论取何实数，关于的方程必有互异实数根． 17．已知关于x的不等式－x2＋ax＋b>0. (1)若该不等式的解集为(－4，2)，求a，b的值； (2)若b＝a＋1，求此不等式的解集． 18．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商品一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围． 19．已知函数f(x)＝x2＋ax＋3. (1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围； (2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5讲 一元二次不等式问题 一，【基础知识整合】 1．一元二次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式叫一元二次不等式． 2．二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 （其中 无实根 的解集 或 的解集 二次函数 （）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 3．解分式不等式的思路：（化分式不等式为整式不等式） （1） 按一元二次不等式求解。 （2） 按一元二次不等式求解。 （3） 先将k左移，再进行通分化为标准的分式不等式按模式（1）运算。 （4）先将k左移，再进行通分化为标准的分式不等式按模式（2）运算。 4．｜ax＋b｜≤c（c＞0）和｜ax＋b｜≥c（c＞0）型不等式的解法 （1）｜ax＋b｜≤c⇔－c≤ax＋b≤c； （2）｜ax＋b｜≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 二．【典例精析】 题型一：不含参数的一元二次不等式的解法 例1:解下列不等式： 解下列不等式： （1）－3x2－2x＋8≥0； （2）≤1. （3）|2x＋3|≥5 解：（1）原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，即（3x－4）（x＋2）≤0，解得－2≤x≤， 所以原不等式的解集为.（2）因为≤1，所以－1≤0，所以≤0，即≥0，此不等式等价于（x－4）（x－）≥0且x－≠0，解得x＜或x≥4，故原不等式的解集为{x｜x＜或x≥4}.（3）原不等式可化为①，或②，解①得x≤－4，解②得x≥1.综上原不等式的解集是。 【变式训练1】解下列不等式： (1) x2＜4x＋5；(2)；（3）|2x－1|＜3 【解】(1)不等式x2＜4x＋5，即x2－4x－5＜0，所以（x＋1）·（x－5）＜0，解得－1＜x＜5.所以原不等式的解集为（－1，5）(2)解得或故不等式的解集为（3）原不等式可化为,解得综上原不等式的解集是； 题型2：含参数的一元二次不等式的解法 例2：已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a<0. 【解】上述不等式不一定为一元二次不等式，当a＝0时为一元一次不等式，当a≠0时为一元二次不等式，故应对a进行讨论，然后分情况求解．(1)a＝0时，解为x>0.(2)a>0时，Δ＝4－4a2.①当Δ>0，即0<a<1时，方程ax2－2x＋a＝0的两根为，∴不等式的解集为{x|<x<}．②当Δ＝0，即a＝1时，x∈∅；③当Δ<0，即a>1时，x∈∅.(3)当a<0时，①Δ>0，即－1<a<0时，不等式的解集为{x|x<或x>}．②Δ＝0，即a＝－1时，不等式化为(x＋1)2>0，∴解为x∈R且x≠－1.③Δ<0，即a<－1时，x∈R.综上所述，当a≥1时，原不等式的解集为∅；当0<a<1时，解集为{x|<x<}；当a＝0时，解集为{x|x>0}；当－1<a<0时，解集为{x|x<或x>}；当a＝－1时，解集为{x|x∈R且x≠－1}；当a<－1时，解集为{x|x∈R}． 【变式训练2】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. 【解】①当a＝0时，解得x>1.②当a>0时，原不等式变形为(x－)(x－1)<0，∴a>1时，解得<x<1；a＝1时，解得x∈∅；0<a<1时，解得1<x<.③当a<0时，原不等式变形为(x－)(x－1)>0，∵<1，∴解不等式可得x<或x>1.综上所述，当a<0时，不等式解集为(－∞，)∪(1，＋∞)；当a＝0时，不等式解集为(1，＋∞)；当0<a<1时，不等式解集为(1，)；当a＝1时，不等式解集为∅；当a>1时，不等式解集为(，1) 题型三：一元二次不等式恒成立问题 例3：按下列要求求实数m的取值范围 （1）若对于一切实数，不等式恒成立，求的取值范围； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【解】（1）要使恒成立，若，显然，满足题意； 若，则解得，综上，的取值范围是． （2）令．当时，恒成立，则的根一个小于1，另一个大于2．如图，得即解得， 的取值范围是． 【变式训练3】已知， （1）如果对一切，恒成立，求实数的取值范围； （2）如果对，恒成立，求实数的取值范围. 【解】（1）由题意可得，解得， （2）为开口向上的二次函数，对称轴如果对，恒成立，则或或解得 三．方法规律总结 1．三个“二次”的关系：二次函数是主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零和不为零的两种情况，一般讨论二次函数常将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式来研究，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又常与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决．一元二次不等式解集的端点值就是相应的一元二次方程的根，也是相应的二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即二次函数的零点． 4．解含参数的一元二次不等式的步骤：解含参数的一元二次不等式可按如下步骤进行：1°二次项若含有参数应讨论参数是等于0、小于0、还是大于0.然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.2°判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系.3°确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式． 5．不等式恒成立问题：不等式恒成立，即不等式的解集为R，一元二次不等式ax2＋bx＋c>0 (a≠0)恒成立的条件是ax2＋bx＋c<0 (a≠0)恒成立的条件是 四．课后练习作业 一．单项选择题 1．不等式x2＜4x＋5的解集为（　　） A.（－∞，－5）∪（1，＋∞） B.（－∞，－1）∪（5，＋∞） C.（－1，5） D.（－5，1） 【答案】C【解析】不等式x2＜4x＋5，即x2－4x－5＜0，所以（x＋1）·（x－5）＜0，解得－1＜x＜5.所以原不等式的解集为（－1，5）.故选C. 2．函数y＝的定义域是(　　) A．[－，－1)∪(1，] B．[－，－1]∪(1，) C．[－2，－1)∪(1,2] D．(－2，－1)∪(1,2) 【答案】A【解析】由已知有(x2－1)≥0，∴　∴∴－≤x<－1或1<x≤ 3．若不等式|8x＋9|<7和不等式ax2＋bx>2的解集相等，则实数a、b的值分别为(　　) A．a＝－8，b＝－10 B．a＝－4，b＝－9 C．a＝－1，b＝9 D．a＝－1，b＝2 【答案】B【解析】由|8x＋9|<7，得－7<8x＋9<7，即－16<8x<－2，∴－2<x<－.由题意知－2，－为方程ax2＋bx－2＝0的两根，∴∴ 4．关于x的不等式ax－b＜0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是(　　) A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1，3) C．(－1，3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞) 【答案】C【解析】关于x的不等式ax－b＜0即ax＜b的解集是(1，＋∞)，所以a＝b＜0，所以不等式(ax＋b)(x－3)＞0可化为(x＋1)(x－3)＜0，解得－1＜x＜3，所以所求不等式的解集是(－1，3)． 5．已知函数y＝x2＋ax＋b（a，b∈R）的最小值为0，若关于x的不等式x2＋ax＋b＜c的解集为{x｜m＜x＜m＋4}，则实数c的值为（　　） A.9　 B.8 C.6　 D.4 【答案】D【解析】由题意得＝0，∴b＝，又不等式x2＋ax＋b＜c的解集为{x｜m＜x＜m＋4}，∴方程x2＋ax＋－c＝0的根为m，m＋4，即m＋m＋4＝－a，解得m＝，∴m＋＝－2，又m2＋am＋－c＝0，∴c＝m2＋am＋＝（m＋）2＝4.故选D. 6．若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．m>1 B．m<－1 C．m<－ D．m>1或m<－ 【答案】C【解析】当m＝－1时，不等式变为2x－6<0，即x<3，不符合题意．当m≠－1时，由题意知化简，得解得m<－ 7．已知a∈[－1，1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为(　　) A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞) C． (1，3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞) 【答案】D【解析】　把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则由f(a)>0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，得f(－1)＝x2－5x＋6>0，且f(1)＝x2－3x＋2>0，解不等式组得x<1或x>3.故选D. 8．已知a1>a2>a3>0，则使得(1－aix)2<1 (i＝1,2,3)都成立的x的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】A【解析】(1－aix)2<1，即ax2－2aix<0，即aix(aix－2)<0，由于ai>0，这个不等式可以化为x<0，即0<x<，若对每个都成立，则应最小，即ai应最大，也即是0<x< 2． 多选题 9．下面结论不正确的有(　　). A.≥0等价于(x-a)(x-b)≥0 B.若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0 C.不等式x2≤a的解集为[-,] D.若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为R 【答案】ACD【解析】A错误,≥0等价于(x-a)(x-b)≥0且x≠b.C错误,当a=0时,其解集为{0};当a<0时,其解集为⌀.对于D,若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为⌀,故D错误. 10．已知a∈Z,关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则a的值可以是(　　). A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】ABC【解析】由f(x)=x2-6x+a的图象开口向上且对称轴为直线x=3知,要使题设不等式的解集中有且仅有3个整数,则解得5<a≤8, 所以a的可能取值为6,7,8. 11．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－1，3），则下列说法正确的是（　　） A.a＞0 B.bx－c＞0的解集是xx＞ C.cx2＋ax－b＞0的解集是xx＜－或x＞1 D.a＋b＜c 【答案】BCD　【解析】不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－1，3），则即bx－c＞0，即－2ax＋3a＞0，所以x＞.cx2＋ax－b＞0，即－3ax2＋ax＋2a＞0，即3x2－x－2＞0，解集是x｜x＜－或x＞1.因为x＝－1∈x｜x＜－或x＞1，所以c－a－b＞0，即a＋b＜c.故选B、C、D. 三、填空题 12．不等式－1＜x2＋2x－1≤2的解集是　{x｜－3≤x＜－2或0＜x≤1}　. 【解析】原不等式等价于即由①得x（x＋2）＞0，所以x＜－2或x＞0；由②得（x＋3）（x－1）≤0，所以－3≤x≤1. 画出数轴，如图，可得原不等式的解集为{x｜－3≤x＜－2或0＜x≤1}. 13．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式bx2－cx＋3≤0的解集为 . 【解析】根据二次函数y＝x2＋bx＋c的图象可知，－1，2为方程x2＋bx＋c＝0的两根，故－1＋2＝－b，－1×2＝c，即b＝－1，c＝－2， 则bx2－cx＋3≤0即－x2＋2x＋3≤0，也即x2－2x－3≥0，（x－3）（x＋1）≥0，解得x≥3或x≤－1.故不等式解集为（－∞，－1]∪[3，＋∞）. 14．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)，若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x恒成立，则a的取值范围为________．－<a<. 【解析】由题意知，(x－a)⊗(x＋a)<1⇔(x－a)(1－x－a)<1⇔x2－x－(a2－a－1)>0.因上式对x∈R都成立，所以Δ＝1＋4(a2－a－1)<0，即4a2－4a－3<0.所以－<a<. 四、解答题 15．解下列不等式：(1) －6x2－x＋2≥0.（2） －x>0. (3) x＋|2x－1|<3. 【解】(1)原不等式可化为6x2＋x－2≤0，∵Δ＝12－4×6×(－2)＝49>0，∴方程6x2＋x－2＝0有两个不同实根，分别是－，，∴原不等式的解集为{x|－≤x≤}．（2）原不等式可改写为＞0.即＞0，此不等式可转化成x(x＋1)(2x－1)＞0，函数f(x)＝x(x＋1)(2x－1)的函数值的符号如图所示．由图可知，不等式x(x＋1)(2x－1)＞0，即原不等式的解集为{x|－1＜x＜0，或x＞} 。(3)原不等式可化为或解得≤x<或－2<x<.所以原不等式的解集是{x|－2<x<}． 16．已知方程． (1)若关于的方程总有实数解，求的取值范围； (2)求证：无论取何实数，关于的方程必有互异实数根． 【解】（1）已知关于的方程有实根，∴，整理得，∴或． 所以的取值范围为． （2）∵， ∴无论为何值，关于的方程有两个不相等的实数根． 又根据韦达定理两根之积为， 故无论为何值，关于的方程有两个异号实数 17．已知关于x的不等式－x2＋ax＋b>0. (1)若该不等式的解集为(－4，2)，求a，b的值； (2)若b＝a＋1，求此不等式的解集． 【解】(1)根据题意得解得a＝－2，b＝8.(2)当b＝a＋1时，－x2＋ax＋(a＋1)>0⇔x2－ax－(a＋1)<0，即[x－(a＋1)](x＋1)<0.当a＋1＝－1，即a＝－2时，原不等式的解集为∅；当a＋1<－1，即a<－2时，原不等式的解集为(a＋1，－1)；当a＋1>－1，即a>－2时，原不等式的解集为(－1，a＋1)． 综上，当a<－2时，不等式的解集为(a＋1，－1)；当a＝－2时，不等式的解集为∅；当a>－2时，不等式的解集为(－1，a＋1)． 18．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商品一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围． 【解】(1)由题意得，y＝100(1－)·100(1＋x)．因为售价不能低于成本价，所以100(1－)－80≥0，解得0≤x≤2.所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，定义域为{x|0≤x≤2}．(2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260，化简得8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤.所以x的取值范围是. 19．已知函数f(x)＝x2＋ax＋3. (1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围； (2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围． 【解】(1)∵x∈R时，有x2＋ax＋3－a≥0恒成立，需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，∴－6≤a≤2.(2)当x∈[－2,2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图(1)，当g(x)的图象恒在x轴上方，满足条件时，有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2.②如图(2)，g(x)的图象与x轴有交点，但在x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，即即⇔解之，得a∈∅.③如图(3)，g(x)的图象与x轴有交点，但在x∈(－∞，2]时，g(x)≥0，即即⇔⇔－7≤a≤－6.综合①②③，得a∈[－7,2]． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$