第4讲 基本不等式讲义——2025届高三数学一轮复习

第4讲 基本不等式 一．【基础知识整合】 1．重要不等式：已知a，bR ,则 ，当且仅当　 　时取等号。 2．基本不等式：已知a＞0，b＞0则 ，当且仅当　 　时取等号。 （1）基本不等式成立的条件是　 　； （2）等号成立的条件是：当且仅当　 　时取等号； （3）其中叫做正数a，b的　 平均数，叫做正数a，b的　 　平均数. 基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 3．利用基本不等式求最值问题：已知x>0，y>0， (1) 如果积xy是定值 ，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是 (简记：积定和最小)． (2)如果和x＋y是定值 ，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是 (简记：和定积最大)． 【注意】（1）应用基本不等式求最值要注意：“ ”，忽略某个条件，就会出错.（2）在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致． 4．常用结论 (1).＋≥2（a，b同号）； （2）ab≤（）2（a，b∈R）. （3）≥（）2（a，b∈R） （4）≤≤≤ (a＞0，b＞0)． 二．【典例精析】 题型一：利用基本不等式求最值 例1：(1)已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值为 ； （2）已知，则的最小值为 (3)设0＜x＜4，则y＝3x（8－2x）的最大值为　　. （4）设x，y∈N＋满足x＋y＝20，则lg x＋lg y的最大值为________． 【变式训练1】（1）已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是 (2)已知f(x)＝x＋＋2(x>－1)，则f(x)的最小值是 （3）若logmn＝－1，则3n＋m的最小值是________． (4)已知0<x<，则x(4－3x)的最大值为 ； 题型二：基本不等式的综合问题 例2：(1)已知，若不等式恒成立，则的最大值为________． （2若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋＜m2－3m有解，则实数m的取值范围是 (3)在△ABC中，点F为线段BC上任一点(不含端点)，若＝2x＋y(x＞0，y＞0)，则＋的最小值为________． 【变式训练2】(1)若对任意正数x，不等式≤恒成立，则实数a的取值范围为 ________． （2）若关于x的不等式3mx2－2|x|＋m≥0的解集为R，则实数m的取值范围是________． （3）设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________． 题型三：基本不等式的实际应用问题 例3：经调查测算，某产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，若不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2024年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品生产包括固定投入和再投入两部分资金)． (1)将2024年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【变式训练3】：某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少． 三．【方法规律总结】 1．利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正二定三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用基本不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用基本不等式的情境． 2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，基本不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到，若取不到，必须利用函数的单调性去求函数的最值． 3.利用基本不等式解决实际问题的一般思路如下： (1)在理解题意的基础上设变量，确定问题中量与量间的关系，初步确立用怎样的函数模型．(2)建立相应的函数解析式，将实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．(3)在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内，求出函数的最大值或最小值．(4)回到实际问题中，检验并写出正确答案． 四，【课后练习作业】 一、单项选择题 1．下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 2．已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝2，则xy(　　) A．有最大值为1 B．有最小值为1 C．有最大值为 D．有最小值为 3．若实数a、b满足a＋b＝2，则2a＋2b的最小值为(　　) A.　　　B．2　　　C．2　　　D．4 4．设x>0，则函数y＝x＋－的最小值为(　　) A．0 B. C．1 D. 5．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 6．设x>0,则的最大值是(　　). A.3 B. C.-1 D. 7．已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D．9 8．数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 2、 多项选择题 9．已知为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知正实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 11．已知x>0,y>0,且x+y+xy-3=0,则下列结论正确的是(　　). A.xy的取值范围是(0,9] B.x+y的取值范围是[2,3) C.x+2y的最小值是4-3 D.x+4y的最小值是3 三、填空题 12．若a＞0，b＞0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为　2　，＋的最小值为　　. 13．若0＜x＜，则y＝x的最大值为________． 14．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ． 四、解答题 15．按下列要求求最值 (1)已知0<x<，求x(4－3x)的最大值； (2)点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，求2x＋4y的最小值． （3）已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，求x2＋y2的最小值 16．证明下列不等式 （1）已知，，求证：； （2）已知，，，且，求证：． 17．经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系y＝(v>0)． (1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？ (2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？ 18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 19．已知a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正数． (1)求证：＋＋≥； (2)是否存在实数m，使得关于x的不等式－x2＋mx＋2≤a2＋b2＋c2对所有满足题设条件的正实数a，b，c恒成立？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$第4讲 基本不等式 一.【基础知识整合】 1.重要不等式:已知a,bR ,则,当且仅当 a=b 时取等号。 2.基本不等式:已知a>0,b>0则,当且仅当 a=b 时取等号。 (1)基本不等式成立的条件是 a>0,b>0 ; (2)等号成立的条件是:当且仅当 a=b 时取等号; (3)其中叫做正数a,b的 算术 平均数,叫做正数a,b的 几何 平均数. 基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 3.利用基本不等式求最值问题:已知x>0,y>0, (1) 如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2 (简记:积定和最小). (2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是 (简记:和定积最大). 【注意】(1)应用基本不等式求最值要注意:“一定,二正,三相等”,忽略某个条件,就会出错.(2)在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致. 4.常用结论 (1).+≥2(a,b同号); (2)ab≤()2(a,b∈R). (3)≥()2(a,b∈R) (4)≤≤≤ (a>0,b>0). 二.【典例精析】 题型一:利用基本不等式求最值 例1:(1)已知x>0,y>0,且+=1,则x+y的最小值为 ; (2)已知,则的最小值为 (3)设0<x<4,则y=3x(8-2x)的最大值为 . (4)设x,y∈N+满足x+y=20,则lg x+lg y的最大值为_. 【解析】(1)∵x>0,y>0,+=1,∴x+y=(x+y)=++10≥6+10=16.当且仅当=时,上式等号成立,又+=1,∴x=4,y=12时,(x+y)min=16.(2) 因为,所以由,当且仅当时取等号,即时取等号;(3)y=6x(4-x)≤6()2=24,当且仅当x=4-x,即x=2时,y=3x(8-2x)有最大值24..(4)∵x,y∈N+,∴20=x+y≥2, ∴xy≤100,∴lg x+lg y=lg xy≤lg 100=2,当x=y=10时取“=”. 【变式训练1】(1)已知a>0,b>0,a+b=2,则y=+的最小值是 (2)已知f(x)=x++2(x>-1),则f(x)的最小值是 (3)若logmn=-1,则3n+m的最小值是_. (4)已知0<x<,则x(4-3x)的最大值为 ; 【解析】(1)∵a+b=2,∴=1.∴+=(+)()=+(+)≥+2=(当且仅当=,即b=2a时,“=”成立),故y=+的最小值为.(2)因为3a 3b=3,所以a+b=1,+=(a+b)=2++≥2+2=4,当且仅当=即a=b=时,“=”成立.(2)由题意,得x+1>0,所以f(x)=x++2=(x+1)++1≥2 +1=5,当且仅当x+1=,即x=1时等号成立.故f(x)的最小值是5.(3)∵logmn=-1,∴mn=1且m>0,n>0,m≠1.∴3n+m≥2=2.当且仅当3n=m即n=,m=时等号成立. (4)∵0<x<,∴0<3x<4.∴x(4-3x)=(3x)(4-3x)≤2=,当且仅当3x=4-3x,即x=时,“=”成立.∴当x=时,x(4-3x)的最大值为. 题型二:基本不等式的综合问题 例2:(1)已知,若不等式恒成立,则的最大值为_. (2若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+<m2-3m有解,则实数m的取值范围是 (3)在 ABC中,点F为线段BC上任一点(不含端点),若=2x+y(x>0,y>0),则+的最小值为_. 【解】(1)由得. 又,当且仅当,即当时等号成立, ∴,∴的最大值为.(2)因为两个正实数x,y满足+=1,所以x+=(x+)(+)=2++≥2+2=4,当且仅当=,即x=2,y=8时取等号,因为不等式x+<m2-3m有解,所以m2-3m大于x+的最小值,即m2-3m>4,解得m<-1或m>4,即实数m的取值范围是(-∞,-1)∪(4,+∞) (3)因为点F在线段BC上,且=2x+y,所以2x+y=1(x>0,y>0), 所以+=(+)(2x+y)=4++≥8,当且仅当x=,y=时等号成立,所以+的最小值为8. 【变式训练2】(1)若对任意正数x,不等式≤恒成立,则实数a的取值范围为 _. (2)若关于x的不等式3mx2-2|x|+m≥0的解集为R,则实数m的取值范围是_. (3)设等差数列{an}的公差是d,其前n项和是Sn,若a1=d=1,则的最小值是_. 【解析】(1)依题意得,当x>0时,2a+1≥=恒成立,又因为x+≥4,当且仅当x=2时取等号,所以的最大值为,所以2a+1≥,解得实数a的取值范围为[-,+∞).(2)不等式3mx2-2|x|+m≥0的解集为R,即任意x∈R,3mx2-2|x|+m≥0恒成立,所以m≥.当x=0时,m≥0;当x≠0时,m≥,因为≤=,所以m∈[,+∞).(3)an=a1+(n-1)d=n,Sn=, 所以==(n++1)≥(2+1)=,当且仅当n=4时取等号.所以的最小值是. 题型三:基本不等式的实际应用问题 例3:经调查测算,某产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=3-(k为常数),若不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知2024年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品生产包括固定投入和再投入两部分资金). (1)将2024年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数; (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大? 【解】 (1)由题意可知,当m=0时,x=1,所以1=3-k,解得k=2,即x=3-,每1万件产品的销售价格为1.5 (万元),所以2024年的利润y=x(1.5 )-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8(3-)-m=28-m(m≥0).所以y与m之间的函数关系式是y=28-m(m≥0). (2)由(1)知y=-[+(m+1)]+29(m≥0).因为当m≥0时,+(m+1)≥2=8,当且仅当=m+1,即m=3时取等号,所以y≤-8+29=21,即当m=3时,y取得最大值为21.所以当该厂家2024年的促销费用投入3万元时,厂家获得的利润最大,为21万元. 【变式训练3】某养殖厂需定期购买饲料,已知该厂每天需要饲料200千克,饲料的价格为1.8元,饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元,购买饲料每次支付运费300元.求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少. 【解】设该厂x(x∈N+)天购买一次饲料,平均每天支付的总费用为y1元. ∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200 0.03=6(元),∴x天饲料的保管与其他费用共是6(x-1)+6(x-2)+…+6=3x2-3x(元).从而有y1=(3x2-3x+300)+200 1.8=+3x+357≥417.当且仅当=3x,即x=10时,y1有最小值.即10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少. 三.【方法规律总结】 1.利用基本不等式求最值,要注意使用的条件“一正二定三相等”,三个条件缺一不可,解题时,有时为了达到使用基本不等式的三个条件,需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段,创设一个适合应用基本不等式的情境. 2.不等式的应用题大都与函数相关联,在求最值时,基本不等式是经常使用的工具,但若对自变量有限制,一定要注意等号能否取到,若取不到,必须利用函数的单调性去求函数的最值. 3.利用基本不等式解决实际问题的一般思路如下: (1)在理解题意的基础上设变量,确定问题中量与量间的关系,初步确立用怎样的函数模型.(2)建立相应的函数解析式,将实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.(3)在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内,求出函数的最大值或最小值.(4)回到实际问题中,检验并写出正确答案. 四,【课后练习作业】 一、单项选择题 1.下列函数中最小值为4的是( ) A. B. C. D. 【答案】C【解析】对于A,,当且仅当时取等号,所以其最小值为,A不符合题意;对于B,因为,,当且仅当时取等号,等号取不到,所以其最小值不为,B不符合题意;对于C,因为函数定义域为,而,,当且仅当,即时取等号,所以其最小值为,C符合题意;对于D,,函数定义域为,而且,如当,,D不符合题意.故选:C. 2.已知x>0,y>0,且x+2y=2,则xy( ) A.有最大值为1 B.有最小值为1 C.有最大值为 D.有最小值为 【答案】C【解析】由题意得x+2y≥2,即2≥2,xy≤,当且仅当x=2y,即x=1,y=时,等号成立.所以xy有最大值,且最大值为. 3.若实数a、b满足a+b=2,则2a+2b的最小值为( ) A. B.2 C.2 D.4 【答案】D【解析】由基本不等式得,2a+2b≥2=2=4. 4.设x>0,则函数y=x+-的最小值为( ) A.0 B. C.1 D. 【答案】A【解析】y=x+-=(x+)+-2≥2-2=0,当且仅当x+=,即x=时等号成立.所以函数的最小值为0. 5.已知,是椭圆:的两个焦点,点在上,则的最大值为( ) A.13 B.12 C.9 D.6 【答案】C解析】由题,,则,所以(当且仅当时,等号成立).故选:C. 6.设x>0,则的最大值是( ). A.3 B. C.-1 D. 【答案】D【解析】因为x>0,所以3x+≥2=2,当且仅当x=时,等号成立,所以-≤-2,则3-3x-≤3-2. 7.已知,,且,则的最小值是( ) A.2 B.4 C. D.9 【答案】C解析】依题意,因为,所以,则 ,当且仅当,时,等号成立.故选:C. 8.数学命题的证明方式有很多种.利用图形证明就是一种方式.现有如图所示图形,在等腰直角三角形中,点O为斜边AB的中点,点D为斜边AB上异于顶点的一个动点,设,,用该图形能证明的不等式为( ). A. B. C. D. 【答案】C【解析】由图知:, 在中,,所以,即,故选:C 2、 多项选择题 9.已知为实数,且,则下列不等式正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】由可知,所以A项正确;当时,不成立,B项错误;由0得,所以,所以,C项正确;1),当且仅当,即当时取得等号,D项正确.故选:ACD. 10.已知正实数a,b满足,则( ) A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】对于A,因为,所以,当且仅当,即时,取到等号,故A正确;对于B,,当且仅当,即时,取到等号,故B正确;对于C,,当且仅当,即时,取到等号,故C正确;对于D,,所以,当且仅当,即时,取到等号,故D错误.故选:ABC. 11.已知x>0,y>0,且x+y+xy-3=0,则下列结论正确的是( ). A.xy的取值范围是(0,9] B.x+y的取值范围是[2,3) C.x+2y的最小值是4-3 D.x+4y的最小值是3 【答案】BC【解析】对于A,因为x>0,y>0,所以x+y≥2,当且仅当x=y时取等号,由x+y+xy-3=0,得3-xy=x+y,即3-xy≥2,解得0<≤1,即0<xy≤1,A错误; 对于B, 由x>0,y>0,3-(x+y)=xy≤,当且仅当x=y时取等号,得(x+y)2+4(x+y)-12≥0,所以x+y≥2,又3-(x+y)=xy>0,所以x+y<3,即2≤x+y<3,故B正确; 对于C,因为x>0,y>0,x+y+xy-3=0,得x==-1+,所以x+2y=-1++2y=+2(y+1)-3≥4-3,当且仅当=2(y+1),即y=-1时等号成立,C正确; 对于D,由C选项知x==-1+,则x+4y=-1++4y=+4(y+1)-5 ≥2-5=3,当且仅当=4(y+1),即y=0时等号成立,但y>0,所以x+4y>3(等号取不到),故D错误. 3, 填空题 12.若a>0,b>0,且a+2b-4=0,则ab的最大值为 2 ,+的最小值为 . 解析:∵a>0,b>0,且a+2b-4=0,∴a+2b=4,∴ab=a 2b≤ ()2=2,当且仅当a=2b,即a=2,b=1时等号成立,∴ab的最大值为2.∵+=(+) =(5++)≥ (5+2)=,当且仅当a=b时等号成立,∴+的最小值为. 13.若0<x<,则y=x的最大值为_. 【解析】因为0<x<,所以y=x==≤ =,当且仅当4x2=1-4x2,即x=时取等号,则y=x的最大值为. 14.在中,角所对的边分别为,,的平分线交于点D,且,则的最小值为 . 【答案】9解析:由题意可知,,由角平分线性质和三角形面积公式得,,化简得,,因此,当且仅当时取等号,所以的最小值为9. 4, 解答题 15.按下列要求求最值 (1)已知0<x<,求x(4-3x)的最大值; (2)点(x,y)在直线x+2y=3上移动,求2x+4y的最小值. (3)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),求x2+y2的最小值 解:(1)∵0<x<,∴0<3x<4.∴x(4-3x)=(3x)(4-3x)≤2=,当且仅当3x=4-3x,即x=时,“=”成立.∴当x=时,x(4-3x)的最大值为.(2)已知点(x,y)在直线x+2y=3上移动,∴x+2y=3.∴2x+4y≥2=2=2=4.当且仅当即x=,y=时,“=”成立.∴当x=,y=时,2x+4y的最小值为4.(3)由5x2y2+y4=1知y≠0,所以x2=,所以x2+y2=+y2==+≥2=,当且仅当=,即y2=,x2=时取等号.故x2+y2的最小值为. 16.证明下列不等式 (1)已知,,求证:; (2)已知,,,且,求证:. 【证明】(1)因为,,所以, 当且仅当时取等号.(2)∵,,,且, ∴ ,当且仅当时取等号. 17.经观测,某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系y=(v>0). (1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大?最大车流量为多少? (2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时,则汽车的平均速度应控制在什么范围内? 解:(1)y==≤=≈11.08.当v=,即v=40千米/小时时,车流量最大,最大值为11.08千辆/小时(2)据题意有≥10化简得v2-89v+1 600≤0,即(v-25)(v-64)≤0,所以25≤v≤64.所以汽车的平均速度应控制在[25,64]这个范围内. 18.记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知. (1)若,求B; (2)求的最小值. 【解】(1)因为,即,而,所以; (2)由(1)知,,所以, 而,所以,即有,所以所以 . 当且仅当时取等号,所以的最小值为. 19.已知a+b+c=3,且a,b,c都是正数. (1)求证:++≥; (2)是否存在实数m,使得关于x的不等式-x2+mx+2≤a2+b2+c2对所有满足题设条件的正实数a,b,c恒成立?如果存在,求出m的取值范围;如果不存在,请说明理由. 解:(1)证明:因为a+b+c=3,且a,b,c都是正数,所以++=[(a+b)+(b+c)+(c+a)] (++)= [3+(+)+(+)+(+)]≥ (3+2+2+2)=,当且仅当a=b=c=1时,取等号, 所以++≥得证.(2)存在.理由如下:因为a+b+c=3,所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤3(a2+b2+c2),所以a2+b2+c2≥3(当且仅当a=b=c=1时,取等号),由题意得-x2+mx+2≤3恒成立,即得x2-mx+1≥0恒成立,因此 =m2-4≤0,解得-2≤m≤2. 故存在实数m∈[-2,2]使得不等式-x2+mx+2≤a2+b2+c2恒成立. 学科网(北京)股份有限公司 $$