第2讲命题与常用逻辑用语讲义-2025届高三数学一轮复习

第2讲 命题与常用逻辑用语 一．【基础知识整合】 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 条件，q是p的 条件 p⇒q且q p p是q的 条件 pq且q⇒p p是q的 条件 p⇔q p是q的 条件 pq且q p p是q的 条件 2.全称量词命题和存在量词命题 类别 全称量词 存在量词 量词 符号 命题 含有 的命题叫做全称量词命题 含有 的命题叫做存在量词命题 命题 形式 “对M中任意一个x，p（x）成立”，可用符号简记为“ ” “存在M中的元素x，p（x）成立”，可用符号简记为“ ” 3.全称量词命题和存在量词命题的否定 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p（x）成立 存在M中的元素x，p（x）成立 简记 ∀x∈M，p（x） ∃x∈M，p（x） 否定 提醒　对没有量词的命题否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词. 4．一些常用的正面叙述的词语及它们的否定词语表： 正面词语 等于(＝) 大于(＞) 小于(＜) 是 都是 否定词语 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的 一定 否定词语 二．【典例精析】 题型一：四种条件及其判定 例1：指出下列p是q的什么条件 （1）p ：“φ＝π”是q ：“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的 条件 （2）若a∈R，则p ：“(a－1)(a－2)＝0”是q ：“a＝2”的 条件 （3）在△ABC中，设p：＝＝；q：△ABC是正三角形，那么p是q的 条件 （4）已知A，B，C是三个随机事件，“A，B，C两两独立”是“”的 条件 【变式训练1】指出下列p是q的什么条件 (1)“|x|＜1且|y|＜1”是“点P(x，y)在圆x2＋y2＝1内”的 条件 (2)设{an}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的 条件 (3)“x＝”是“函数y＝sin 2x取得最大值”的 条件 (4)在△ABC中，sin A>sin B是tan A>tan B 条件 题型二：全称量词命题与特称量词命题 例2：指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是特称量词命题，写出它们的否定形式，并判断否定形式的真假. (1) 若a＞0且a≠1，则对任意实数x，ax＞0； (2)对任意实数x1，x2，若x1＜x2，则tanx1＜tanx2； (3) ∃T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sinx|； (4) ∃x0∈R，使x＋1＜0. 【变式训练2】指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是特称量词命题，写出它们的否定形式，并判断否定形式的真假. (1)存在一个无理数，它的平方是有理数； (2)中国所有的江河都流入太平洋； (3) ，； (4) ， 题型三：命题与常用逻辑用语的综合问题 例3：（1）已知P＝{x｜x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}，x∈P是x∈S的充分不必要条件，则m的取值范围为　　. （2）已知命题“∃x∈R，使ax2－x＋1≤0”是假命题，则实数a的取值范围是 【变式训练3】（1）设p：1＜x＜2；q：（x－a）（x－1）≤0.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　[2，＋∞）　. （2）若命题“∃x∈（－1，3），x2－2x－a≤0”为真命题，则实数a可取的最小整数值是 三．【方法规律总结】 1.充分条件、必要条件的两种判定方法 （1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题； （2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 2.应用充分、必要条件求解参数范围的方法 （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（不等式组）求解； （2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号取决于端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象. 3.对全称量词命题与存在量词命题进行否定的方法 （1）改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； （2）否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可. 4.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 （1）全称量词命题：①要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；②要判断一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p（x0）不成立即可. （2）存在量词命题：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可，否则这一存在量词命题就是假命题. 5.由命题的真假求参数的方法 （1）全称量词命题可转化为恒成立问题； （2）存在量词命题可转化为存在性问题； （3）全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真. 四，【课后练习作业】 一、单项选择题 1．命题“对任意x＞0，x2＋x＞0”的否定是(　　) A．存在x＞0，x2＋x＞0　B．任意x＞0，x2＋x≤0 C．存在x＞0，x2＋x≤0 D．任意x≤0，x2＋x＞0 2．下面有两个命题：①当a＞0且a≠1时，存在一个实数x0，使ax0≤0.②负数的立方是负数．对这两个命题的类型判断正确的是(　　) A．①是全称命题，②是特称命题B．①是特称命题，②是全称命题 C．①②都是特称命题 D．①②都是全称命题 3．设x∈R，则“｜x－1｜＜1”是“x2－5x＜0”的（　　） A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件 4．“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．在等差数列中，“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 6．下列命题中，真命题是(　　) A．存在x∈[0，]，sin x＋cos x≥2 B．任意x∈(3，＋∞)，x2＞2x＋1 C．存在x∈R，x2＋x＝－1 D．任意x∈(，π)，tan x＞sin x 7.由命题“存在x∈R，使e|x-1|－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的取值是(　C　) A．(－∞，1) B．(－∞，2) C．1 D．2 8．若函数f(x)＝x2＋(a∈R)，则下列结论正确的是(　)． A．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数 B．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数 C．∃a∈R，f(x)是偶函数D．∃a∈R，f(x)是奇函数 2． 多选题 9.对任意实数a,b,c,下列命题为真命题的是(　　). A.“a<5”是“a<3”的必要条件 B.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 C.“a=b”是“ac=bc”的充要条件 D.“a≥2且b≥2”是“a2+b2≥4”的充分不必要条件 10.下列说法正确的是（    ） A．命题“”的否定是“”． B．命题“”的否定是“” C．“是“”的必要条件． D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 11.若p:x2+x-6=0是q:ax+1=0的必要不充分条件,则实数a的值为(　　). A.2 B. C. D.3 三、填空题 12.“等边三角形都是等腰三角形”的否定是 　. 13．已知命题p：任意x∈R，存在m∈R,4x－2x＋1＋m＝0，若命题非p是假命题，则实数m的取值范围是________． 14．设p：(4x－3)2≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________． 四、解答题 15．(1)若p：两条直线的斜率互为负倒数，q：两条直线互相垂直，则p是q的什么条件？ (2)若p：(3x－4)2＞4，q：＞0，则非p是非q的什么条件？ 16．已知命题p：命题q：1－m≤x≤1＋m，m＞0，若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 17．已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1. 18．已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立；命题q：存在x∈[－1，1]，使得m≤ax成立. (1)若p为真命题，求m的取值范围； (2)当a＝1，若p和q中有一个为真，一个为假，求m的取值范围. 19．已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2讲 命题与常用逻辑用语 一．【基础知识整合】 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p⇒q且q p p是q的充分不必要条件 pq且q⇒p p是q的必要不充分条件 p⇔q p是q的充要条件 pq且q p p是q的既不充分也不必要条件 2.全称量词命题和存在量词命题 类别 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有　全称量词　的命题叫做全称量词命题 含有　存在量词　的命题叫做存在量词命题 命题 形式 “对M中任意一个x，p（x）成立”，可用符号简记为“　∀x∈M，p（x）　” “存在M中的元素x，p（x）成立”，可用符号简记为“　∃x∈M，p（x）　” 3.全称量词命题和存在量词命题的否定 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p（x）成立 存在M中的元素x，p（x）成立 简记 ∀x∈M，p（x） ∃x∈M，p（x） 否定 ∃x∈M，􀱑p（x） ∀x∈M，􀱑p（x） 提醒　对没有量词的命题否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词. 4．一些常用的正面叙述的词语及它们的否定词语表： 正面词语 等于(＝) 大于(＞) 小于(＜) 是 都是 否定词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的 一定 否定词语 至少有两个 一个也没有 某个 某些 不一定 二．【典例精析】 题型一：四种条件及其判定 例1：指出下列p是q的什么条件 （1）p ：“φ＝π”是q ：“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的 条件 （2）若a∈R，则p ：“(a－1)(a－2)＝0”是q ：“a＝2”的 条件 （3）在△ABC中，设p：＝＝；q：△ABC是正三角形，那么p是q的 条件 （4）已知A，B，C是三个随机事件，“A，B，C两两独立”是“”的 条件 【解析】（1）φ＝π曲线y＝sin(2x＋φ)＝－sin2x过坐标原点，反之，曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点时，φ还可以取其他值．p是q的充分而不必要条件条件；（2）若(a－1)(a－2)＝0，则a可以为1，反之，当a＝2时，(a－1)(a－2)＝0 p是q的必要而不充分条件条件；（3）若p成立，即＝＝，由正弦定理可得＝＝＝k.∴则q：△ABC是正三角形成立．反之，若a＝b＝c，∠A＝∠B＝∠C＝60°，则＝＝.因此pq且qp，即p是q的充要条件．（4）解析：一方面，考虑含有等可能的样本点，.则，故两两独立，但，故此时，不成立.另一方面，考虑含有等可能的样本点.则，故不独立，也即两两独立不成立.综上，“两两独立”是“”的既不充分也不必要条件. 【变式训练1】指出下列p是q的什么条件 (1)“|x|＜1且|y|＜1”是“点P(x，y)在圆x2＋y2＝1内”的 条件 (2)设{an}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的 条件 (3)“x＝”是“函数y＝sin 2x取得最大值”的 条件 (4)在△ABC中，sin A>sin B是tan A>tan B 条件 【解析】(1)当x＝y＝时，x2＋y2＝＞1，所以点P(x，y)不在圆内；反过来，当点P(x，y)在圆内时，x2＋y2＜1，所以x2＜1，y2＜1，所以|x|＜1，|y|＜1.因此，“|x|＜1且|y|＜1”是“点P(x，y)在圆x2＋y2＝1内”的必要不充分条件．(2){an}是递增数列，可得a1＜a2＜a3；反过来，由a1＜a2＜a3，得a1＜a1q＜a1q2，当a1＞0时，q＞1；当a1＜0时，0＜q＜1.∴an＋1－an＝a1qn－1(q－1)＞0，∴an＋1＞an，∴{an}是递增数列．因此，“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的充要条件．（3）当x＝时，y＝sin 2x取最大值1；但当y＝sin 2x取最大值1时，x不一定等于，比如x＝π.因此“x＝”是“函数y＝sin 2x取得最大值”的充分不必要条件（4）取A＝120°，B＝30°，p⇒q，又取A＝30°，B＝120°，q⇒p，∴p是q的既不充分又不必要条件 题型二：全称量词命题与特称量词命题 例2：指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是特称量词命题，写出它们的否定形式，并判断否定形式的真假. (1) 若a＞0且a≠1，则对任意实数x，ax＞0； (2)对任意实数x1，x2，若x1＜x2，则tanx1＜tanx2； (3) ∃T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sinx|； (4) ∃x0∈R，使x＋1＜0. 【解】(1)全称量词命题，其否定形式为：若a>0且a≠1，则∃x∈R，ax≤0，显然该命题为假命题． (2) 全称量词命题，其否定形式为：∃x1，x2∈R，且x1＜x2，使tanx1≥tanx2，该命题为真命题．例如取x1＝0，x2＝π，有x1＜x2，但tanx1＝tanx2＝0，又当x1＝0，x2＝时，有x1＜x2，但tan0＝0，tan＝－，所以tanx1＞tanx2. (3) 特称量词命题，其否定形式为：∀T∈R，|sin(x＋T)|≠|sinx|，该命题是假命题．因为原命题为真命题．例如T0＝π时，有|sin(x＋π)|＝|sinx|. (4)特称量词命题，其否定形式为∀x∈R，x2＋1≥0.因为x∈R时，x2≥0，∴x2＋1≥1＞0，所以为真命题． 【变式训练2】指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是特称量词命题，写出它们的否定形式，并判断否定形式的真假. (1)存在一个无理数，它的平方是有理数； (2)中国所有的江河都流入太平洋； (3) ，； (4) ， 【解】(1)特称量词命题，其否定形式为：任意一个无理数，它的平方不是有理数 ，显然该命题为假命题；(2)全称量词命题，其否定形式为：中国有些江河不流入太平洋，该命题为真命题．(3)特称量词命题，其否定形式为：，，该命题是假命题.(4)全称量词命题，其否定形式为，，所以为真命题 题型三：命题与常用逻辑用语的综合问题 例3：（1）已知P＝{x｜x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}，x∈P是x∈S的充分不必要条件，则m的取值范围为　　. （2）已知命题“∃x∈R，使ax2－x＋1≤0”是假命题，则实数a的取值范围是 【解析】：（1）由例题知P＝{x｜－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的充分不必要条件，∴P⫋S.∴[－2，10]⫋[1－m，1＋m].∴或∴m≥9，则m的取值范围是[9，＋∞）. （2）因为命题“∃x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，所以命题“∀x∈R，ax2－x＋1＞0”是真命题，当a＝0时，得x＜1，不符合题意；当a≠0时，得解得a＞. 【变式训练3】（1）设p：1＜x＜2；q：（x－a）（x－1）≤0.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　[2，＋∞）　. （2）若命题“∃x∈（－1，3），x2－2x－a≤0”为真命题，则实数a可取的最小整数值是 【解析】：（1）由题意知{x｜1＜x＜2}⫋{x｜（x－a）（x－1）≤0}，则a＞1，即{x｜1＜x＜2}⫋{x｜1≤x≤a}，从而a≥2.（2）由题意，∃x∈（－1，3），a≥x2－2x，令h（x）＝x2－2x，因为函数h（x）＝x2－2x在（－1，1）上单调递减，在（1，3）上单调递增，所以h（x）min＝h（1）＝1－2＝－1，所以a≥－1.所以实数a可取的最小整数值是－1. 三．【方法规律总结】 1.充分条件、必要条件的两种判定方法 （1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题； （2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 2.应用充分、必要条件求解参数范围的方法 （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（不等式组）求解； （2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号取决于端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象. 3.对全称量词命题与存在量词命题进行否定的方法 （1）改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； （2）否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可. 4.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 （1）全称量词命题：①要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；②要判断一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p（x0）不成立即可. （2）存在量词命题：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可，否则这一存在量词命题就是假命题. 5.由命题的真假求参数的方法 （1）全称量词命题可转化为恒成立问题； （2）存在量词命题可转化为存在性问题； （3）全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真. 四，【课后练习作业】 一、单项选择题 1．命题“对任意x＞0，x2＋x＞0”的否定是(　　) A．存在x＞0，x2＋x＞0　B．任意x＞0，x2＋x≤0 C．存在x＞0，x2＋x≤0 D．任意x≤0，x2＋x＞0 【答案】C【解析】先把任意“任意”改为存在“存在”，再把结论给予否定．故选C 2．下面有两个命题：①当a＞0且a≠1时，存在一个实数x0，使ax0≤0.②负数的立方是负数．对这两个命题的类型判断正确的是(　　) A．①是全称命题，②是特称命题B．①是特称命题，②是全称命题 C．①②都是特称命题 D．①②都是全称命题 【答案】B【解析】命题①含有存在量词“存在一个”，所以命题①是特称命题；命题②省略了全称量词“任何一个”，所以命题②是全称命题．故选B 3．设x∈R，则“｜x－1｜＜1”是“x2－5x＜0”的（　　） A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】不等式x2－5x＜0的解集A＝{x｜0＜x＜5}，由｜x－1｜＜1得－1＜x－1＜1，其解集B＝{x｜0＜x＜2}，则集合B是A的真子集，所以“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的必要不充分条件，故选B 4．“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】x＝2kπ＋⇒tan x＝tan(2kπ＋)＝tan＝1，而tan x＝1⇒x＝kπ＋(k∈Z)，当k＝2n＋1时⇒/ x＝2kπ＋.故选A 5．在等差数列中，“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当的公差时，由，得m是任意的正整数， 由，得，则“”是“”的必要不充分条件．故选:A. 6．下列命题中，真命题是(　　) A．存在x∈[0，]，sin x＋cos x≥2 B．任意x∈(3，＋∞)，x2＞2x＋1 C．存在x∈R，x2＋x＝－1 D．任意x∈(，π)，tan x＞sin x 【答案】B【解析】对于A，sin x＋cos x＝sin(x＋)≤，因此命题不成立；对于B，x2－(2x＋1)＝(x－1)2－2，显然当x＞3时(x－1)2－2＞0，因此命题成立；对于C，x2＋x＋1＝(x＋)2＋＞0，因此x2＋x＞－1对于任意实数x成立，所以命题不成立；对于D，当x∈(，π)时，tan x＜0，sin x＞0，显然命题不成立．故选B 7.由命题“存在x∈R，使e|x-1|－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的取值是(　C　) A．(－∞，1) B．(－∞，2) C．1 D．2 【解析】由题意知，“对任意x∈R，e|x－1|－m>0”是真命题，分离变量得m＜e|x－1|对任意x∈R成立，则有m＜(e|x－1|)min＝1.从而得m的取值范围是(－∞，1)．则a＝1 8．若函数f(x)＝x2＋(a∈R)，则下列结论正确的是(　C　)． A．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数 B．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数 C．∃a∈R，f(x)是偶函数D．∃a∈R，f(x)是奇函数 【解析】对于A只有在a≤0时f(x)在(0，＋∞)上是增函数，否则不成立；对于B，如果a≤0就不成立；对于D若a＝0，则f(x)为偶函数了，因此只有C是正确的，即对于a＝0时有f(x)＝x2是一个偶函数，因此存在这样的a，使f(x)是偶函数． 2． 多选题 9.对任意实数a,b,c,下列命题为真命题的是(　　). A.“a<5”是“a<3”的必要条件 B.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 C.“a=b”是“ac=bc”的充要条件 D.“a≥2且b≥2”是“a2+b2≥4”的充分不必要条件 【答案】ABD；【解析】对于A,因为a<5表示的范围包含a<3表示的范围,所以“a<5”是“a<3”的必要条件,故A正确.对于B,a+5是无理数,则a是无理数,反之也成立,所以“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件,故B正确.对于C,若a=b,则ac=bc,正确;取c=0,a=1,b=2,则ac=bc=0,但是a≠b,所以“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件,故C错误.对于D,若a≥2且b≥2,由不等式的性质可知a2≥4,b2≥4,则a2+b2≥8≥4成立;取a=-2,b=1,a2+b2=5≥4成立,显然a≥2不成立,b≥2也不成立,所以“a≥2且b≥2”是“a2+b2≥4”的充分不必要条件,故D正确. 10.下列说法正确的是（    ） A．命题“”的否定是“”． B．命题“”的否定是“” C．“是“”的必要条件． D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】ABD【解析】对于A选项，命题“”的否定是“，”，故A选项正确；对于B选项，命题“，”的否定是“，”，故B选项正确；对于C选项，不能推出，例如，但；也不能推出，例如，而；所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C选项错误；对于D选项，关于x的方程有一正一负根，所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D选项正确．故选：ABD. 11.若p:x2+x-6=0是q:ax+1=0的必要不充分条件,则实数a的值为(　　). A.2 B. C. D.3 【答案】BC【解析】：由x2+x-6=0,可得x=2或x=-3.对于方程ax+1=0,当a=0时,方程ax+1=0无解;当a≠0时,解方程ax+1=0,可得x=-.由题意知p⇒/ q,q⇒p,则可得a≠0,此时应有-=2或-=-3,解得a=-或a=.综上可得,a=-或a=.故选BC 三、填空题 12.“等边三角形都是等腰三角形”的否定是　存在一个等边三角形，它不是等腰三角形　. 【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题.故命题的否定是存在一个等边三角形，它不是等腰三角形. 13．已知命题p：任意x∈R，存在m∈R,4x－2x＋1＋m＝0，若命题非p是假命题，则实数m的取值范围是________． 【解析】若命题非p是假命题，则命题p是真命题，即关于x的方程4x－2x＋1＋m＝0有实数解，而m＝－4x＋2x＋1＝－(2x－1)2＋1，所以m≤1. 14．设p：(4x－3)2≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________． 【解析】p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，易知p是q的真子集，∴∴0≤a≤.四、解答题 15．(1)若p：两条直线的斜率互为负倒数，q：两条直线互相垂直，则p是q的什么条件？ (2)若p：(3x－4)2＞4，q：＞0，则非p是非q的什么条件？ 【解】 (1)∵两条直线的斜率互为负倒数，∴两条直线垂直．∴p⇒q，又∵一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，两直线也垂直，∴q⇒/ p，∴p是q的充分不必要条件． (2)解不等式(3x－4)2＞4得p：{x|x＞2或x＜}，∴p：{x|≤x≤2}，解不等式＞0，得q：{x|x＞2或x＜－1}，∴q：{x|－1≤x≤2}，∴p⇒q，q ⇒/p.∴p是q的充分不必要条件． 16．已知命题p：命题q：1－m≤x≤1＋m，m＞0，若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【解】p：x∈[－2,10]，q：x∈[1－m,1＋m]，m＞0，∵非p是非q的必要不充分条件，∴p⇒q且q ⇒/ p.∴[－2,10][1－m,1＋m]．∴∴m≥9.故m的取值范围是[9，＋∞)． 17．已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1. 【证明】充分性：若a2－b2＝1，则a4－b4－2b2＝(a2＋b2)(a2－b2)－2b2 ＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1，所以a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的充分条件． 必要性：若a4－b4－2b2＝1，则a4－(b2＋1)2＝0，即(a2＋b2＋1)(a2－b2－1)＝0， 因为a，b是实数，所以a2＋b2＋1≠0，所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1，所以a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的必要条件．综上所述，a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1. 18．已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立；命题q：存在x∈[－1，1]，使得m≤ax成立. (1)若p为真命题，求m的取值范围； (2)当a＝1，若p和q中有一个为真，一个为假，求m的取值范围. 【解】(1)∵对任意x∈[0，1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，∴(2x－2)min≥m2－3m.即m2－3m≤－2.解得1≤m≤2.因此，若p为真命题时，m的取值范围是[1，2]．(2)∵a＝1，且存在x∈[－1，1]，使得m≤ax成立，∴m≤1，命题q为真时，m≤1.∵p且q为假，p或q为真，∴p，q中一个是真命题，一个是假命题．当p真q假时，则 解得1＜m≤2；当p假q真时， 即m＜1.综上所述，m的取值范围为(－∞，1)∪(1，2] 19．已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件． 【解】∵mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，∴m≠0.又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且两方程都要有实根，∴解得m∈.∵两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，∴∴m为4的约数．又∵m∈，∴m＝－1或1.当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根为非整数； 而当m＝1时，两方程的根均为整数，∴两方程的根均为整数的充要条件是m＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$