第1讲集合的概念与运算讲义-2025届高三数学一轮复习

第1讲 集合的概念与运算 一．【基础知识整合】 1．元素与集合： (1)集合中元素的三个特性： 、 、 。 (2)元素与集合的关系有 和 两种，表示符号为 或 。 (3)集合的表示方法有 、 和 。 (4)常见集合的符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 2.集合间的关系 　　表示 关系　　 自然语言 符号语言 图形语言 子集 集合A中 元素都是集合B中的元素 A B（或B A） 或 真子集 集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A A B（或B A） 集合相等 集合A，B中元素相同 A B 3.集合的运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形 符号 A∪B＝ A∩B＝ ∁UA＝ 4.集合关系与运算的常用结论 （1）A⊆A（一个集合是本身的子集）；(2)⌀⊆A（空集是任何集合的子集）;(3)⌀⫋A(非空）（空集是任何非空集合的真子集）；(4)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为 个，非空子集个数为 个，真子集有 个；(5)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B. 二．【典例精析】 题型一：集合的基本概念 例1: (1)已知集合A＝{0，1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x＝　　. (2)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，则a2 024＋b2 025＝________． 变式训练1：(1)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m＝________． （2）设集合，，若，则 题型二：集合间的基本关系 例2：(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为 (2)已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是 变式训练2：(1)已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，若A∩B＝B，则实数a的值为 (2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|a＋1<x<2a－1}，若B⊆A，则实数a的取值范围是________． 题型三：集合的基本运算 例3：(1)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则(∁UA)∩B＝________． （2）已知集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x∈Z｜1＜x＜8}，则A∩B的子集个数为 (3)已知集合，则 （4）已知全集U＝R，集合A＝{x｜x＜－1或x＞3}，B＝{x｜y＝ln（3－x）}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） 变式训练3：(1)已知全集，集合，则 （2）已知集合，则 (3)已知集合，，则 (4)设全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cos x，x∈R}，则图中阴影部分表示的区间是 题型四：集合中的新定义问题 例4：（1）已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为 （2）若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是 变式训练4：(1)对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M，且x∉N}，M⊕N＝(M－N)∪(N－M)，设A＝，B＝{x|x<0，x∈R}，则A⊕B＝ (2)如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________． 三．【方法规律总结】 1．集合中元素的两个特性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化． 2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号． 3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．这是数形结合思想的又一体现． 4．空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解． 5．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系． 6．解答集合题目，认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件． 7．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心． 8．要注意A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁UA⊇∁UB、A∩(∁UB)＝∅这五个关系式的等价性． 四．【课后作业练习】 一、单项选择题 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 4． 已知全集S＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁SA＝{3}，则实数a等于 ( 　) A．0或2 B．2 C．0 D．1或2 5．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B.[1，＋∞) C． (－∞，－1]∪[1，＋∞) D.[－1,1] 6．已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)＜0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分(如图)表示的集合是(　B　) A．[－1,1) B.(－3,－1) C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞) D.(－3，1] 7．设集合Q＝{x|2x2－5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是(　　) A．3 B．4 C．7 D．8 8．设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为(　B　) A．(－∞，2) B．(－∞，2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 二、多选题 9．已知集合P＝{x｜x2＝4}，则（　　） A．P＝{－2，2}.　B．2∈P C．P⫋N.　D.{⌀}⊆P 10．已知集合，，若使成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（    ） A． B． C． D． 11．若非空集合满足：，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 12．设全集为R，集合A＝{x|x2－9＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，则A∩(∁RB)＝________. 13．若集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，则实数a＝________. 14． 设集合M＝{y|y＝，x∈R}，N＝，则M∩N= 三、解答题 15．已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，分别求适合下列条件的a的值． (1)9∈(A∩B)；(2){9}＝A∩B. 15． 已知集合A＝{x|1<x<3}，集合B＝{x|2m<x<1－m}． (1)当m＝－1时，求A∪B；(2)若A⊆B，求实数m的取值范围；(3)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围． 17. 已知集合，． （1）求，； （2）若，，求实数的取值范围． 18．已知集合A＝{x|≤0}，B＝{x|x2－2x－m<0}，(1)当m＝3时，求A∩(∁RB)； (2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值． 19．设全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}． (1)求(∁IM)∩N； (2)记集合A＝(∁IM)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1讲 集合的概念与运算 一．【基础知识整合】 1．元素与集合： (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。 (2)元素与集合的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈或∉. (3)集合的表示方法有列举法、描述法和维恩(Venn)图． (4)常见集合的符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 N N＋或N* Z Q R C 2.集合间的关系 　　表示 关系　　 自然语言 符号语言 图形语言 子集 集合A中　任意一个　元素都是集合B中的元素 A⊆B（或B⊇A） 或 真子集 集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A A⫋B（或B⫌A） 集合相等 集合A，B中元素相同 A＝B 3.集合的运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形 符号 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} A∩B＝{x|x∈A且x∈B} ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 4.集合关系与运算的常用结论 （1）A⊆A（一个集合是本身的子集）；(2)⌀⊆A（空集是任何集合的子集）;(3)⌀⫋A(非空）（空集是任何非空集合的真子集）；(4)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个；(5)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B. 二．【典例精析】 题型一：集合的基本概念 例1: (1)已知集合A＝{0，1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x＝　1或4　. ________． (2)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，则a2 024＋b2 025＝________． 【解析】(1)(1)∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，∴x＝1或x＝4..(2)由题意知a≠0，因为{1，a＋b，a}＝{0，，b}.所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2 024＋b2 025＝2. 变式训练1：(1)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为 （2）设集合，，若，则 【解析】(1)∵5∈{1，m＋2，m2＋4}，∴m＋2＝5或m2＋4＝5，即m＝3或m＝±1.当m＝3时，M＝{1，5，13}；当m＝1时，M＝{1，3，5}；当m＝－1时，M＝{1，1，5}不满足互异性．∴m的值为3或1.（2）因为，， 所以，解得，所以1 题型二：集合间的基本关系 例2：(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为 (2)已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是 【解析】(1)由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，∴A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，3，4}，∴满足条件的C可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．(2)法一：因为A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0，1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)．因为A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1，即实数c的取值范围是[1，＋∞)． 法二：因为A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0，1)，取c＝1，则B＝(0，1)，所以A⊆B成立，故可排除C，D；取c＝2，则B＝(0，2)，所以A⊆B成立，故可排除A. 变式训练2：(1)已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，若A∩B＝B，则实数a的值为 (2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|a＋1<x<2a－1}，若B⊆A，则实数a的取值范围是________． 【解析】(1)由题意A＝{1,2}，当B≠∅时，∵B⊆A，∴B＝{1}或{2}，当B＝{1}时，a·1－2＝0，解得a＝2；当B＝{2}时，a·2－2＝0，解得a＝1.当B＝∅时，a＝0.故a的值为0或1或2.(2)当B＝∅时，有a＋1≥2a－1，则a≤2.当B≠∅时，若BA，如图． 则，解得2<a≤4.综上，a的取值范围为a≤4. 题型三：集合的基本运算 例3：(1)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则(∁UA)∩B＝________． （2）已知集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x∈Z｜1＜x＜8}，则A∩B的子集个数为 (3)已知集合，则 （4）已知全集U＝R，集合A＝{x｜x＜－1或x＞3}，B＝{x｜y＝ln（3－x）}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） 【解析】(1)U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，画出Venn图，如图所示，阴影部分就是所要求的集合，即(∁UA)∩B＝{7，9}．（2）因为A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x∈Z｜1＜x＜8}，所以A∩B＝{2，3，4}，由结论2得A∩B的子集个数为23＝8（3）易知不等式的解集为，即可得；由可得，即，所以；所以.（4）集合A＝{x｜x＜－1或x＞3}，B＝{x｜y＝ln（3－x）}＝{x｜x＜3}，所以题图中阴影部分表示的集合为（∁UA）∩B＝{x｜－1≤x≤3}∩{x｜x＜3}＝{x｜－1≤x＜3} 变式训练3：(1)已知全集，集合，则 （2）已知集合，则 (3)已知集合，，则 (4)设全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cos x，x∈R}，则图中阴影部分表示的区间是 【解析】(1)由题知，，则 （2）因为，又， 所以．(3)由得：，即；由得：，解得：，即；.(4)|因为A＝{x|0≤x≤2}＝[0,2]，B＝{y|－1≤y≤1}＝[－1,1]，所以A∪B＝[－1,2]，所以∁R(A∪B)＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 题型四：集合中的新定义问题 例4：（1）已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为 （2）若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是 【解析】（1）∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，∴B中所含元素的个数为10. （2）具有伙伴关系的元素组是－1；，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，，. 变式训练4：(1)对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M，且x∉N}，M⊕N＝(M－N)∪(N－M)，设A＝，B＝{x|x<0，x∈R}，则A⊕B＝ (2)如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________． 【解析】(1)依题意得A－B＝{x|x≥0，x∈R}，B－A＝，故A⊕B＝∪[0，＋∞)．(2)由题意可知－2x＝x2＋x，∴x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A＝{－6，0，6}，所以A∩B＝{0，6}． 三．方法规律总结 1．集合中元素的两个特性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化． 2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号． 3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．这是数形结合思想的又一体现． 4．空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解． 5．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系． 6．解答集合题目，认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件． 7．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心． 8．要注意A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁UA⊇∁UB、A∩(∁UB)＝∅这五个关系式的等价性． 四．课后作业练习 一、单项选择题 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】由题设可得，故，故选：B. 2．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】由题设有，故选：B . 3．设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】由题意可得，则，选项A正确； ，则，选项B错误； ，则或，选项C错误； 或，则或，选项D错误；故选：A. 4． 已知全集S＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁SA＝{3}，则实数a等于 ( B　) A．0或2 B．2 C．0 D．1或2 【解析】由题意，知则a＝2. 5．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是(　D　) A．(－∞，－1] B.[1，＋∞) C． (－∞，－1]∪[1，＋∞) D.[－1,1] 【解析】因为P∪M＝P，所以M⊆P，即a∈P，得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1,1]． 6．已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)＜0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分(如图)表示的集合是(　B　) A．[－1,1) B.(－3,－1) C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞) D.(－3，1] 【解析】由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M∩(∁UN)＝(－3，－1)． 7．设集合Q＝{x|2x2－5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是(　　) A．3 B．4 C．7 D．8 【解析】因为Q＝{x|2x2－5x≤0，x∈N}＝{x|0≤x≤，x∈N}＝{0,1,2}，所以满足P⊆Q的集合P的个数是23＝8，故选D. 8．设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为(　B　) A．(－∞，2) B．(－∞，2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 【解析】当a＞1时，A＝(－∞，1]∪[a，＋∞)，B＝[a－1，＋∞)，当且仅当a－1≤1时，A∪B＝R，故1＜a≤2；当a＝1时，A＝R，B＝{x|x≥0}，A∪B＝R，满足题意；当a＜1时，A＝(－∞，a]∪[1，＋∞)，B＝[a－1，＋∞)，又∵a－1≤a，∴A∪B＝R，故a＜1满足题意，综上知a∈(－∞，2] 二、多选题 9．已知集合P＝{x｜x2＝4}，则（　　） A．P＝{－2，2}.　B．2∈P C．P⫋N.　D.{⌀}⊆P 【答案】AB【解析】　P＝{x｜x2＝4}＝{－2，2}，故2∈P，故A、B正确.⌀不是P中的元素，故D错误.因为－2∉N，故P⫋N错误，故C错误.故选AB 10．已知集合，，若使成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC【解析】由题意集合，， 因为，所以当时，，即 ；当时，有 ，解得，故,则M的一个真子集可以是或，故选：BC. 11．若非空集合满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC【解析】由可得：，由，可得，则推不出，故选项错误；由可得，故选项正确；因为且，所以，则，故选项正确；由可得：不一定为空集，故选项错误；故选：. 二、填空题 12．设全集为R，集合A＝{x|x2－9＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，则A∩(∁RB)＝________. 【解析】由题意知，A＝{x|x2－9＜0}＝{x|－3＜x＜3}．∵B＝{x|－1＜x≤5}，∴∁RB＝{x|x≤－1或x＞5}，∴A∩(∁RB)＝{x|－3＜x＜3}∩{x|x≤－1或x＞5}＝{x|－3＜x≤－1}． 13．若集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，则实数a＝________. 【解析】∵集合A的子集只有两个，∴A中只有一个元素．当a＝0时，x＝符合要求．当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a×2＝0，∴a＝.故a＝0或. 14． 设集合M＝{y|y＝，x∈R}，N＝，则M∩N= 【解析】y＝＝∈[0，1]，所以M＝[0，1]；因为<，<，又因为x∈R，根据复数模的定义，<，即x2<1，所以－1<x<1，从而N＝(－1，1)，所以M∩N＝[0，1) 三、解答题 15．已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，分别求适合下列条件的a的值． (1)9∈(A∩B)；(2){9}＝A∩B. 【解】(1)∵9∈(A∩B)，∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝3或a＝－3.当a＝5时，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}；当a＝3时，a－5＝1－a＝－2，不满足集合元素的互异性；当a＝－3时，A＝{－4，－7，9}，B＝{－8，4，9}，所以a＝5或a＝－3.(2)由(1)可知，当a＝5时，A∩B＝{－4，9}，不合题意，当a＝－3时，A∩B＝{9}．所以a＝－3. 16．已知集合A＝{x|1<x<3}，集合B＝{x|2m<x<1－m}．(1)当m＝－1时，求A∪B；(2)若A⊆B，求实数m的取值范围；(3)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围． 【解】(1)当m＝－1时，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B＝{x|－2<x<3}．(2)由A⊆B知 得m≤－2，即实数m的取值范围为(－∞，－2]．(3)由A∩B＝∅，得①若2m≥1－m，即m≥时，B＝∅，符合题意；②若2m<1－m，即m<时，需或得0≤m<或∅，即0≤m<.综上知m≥0即实数m的取值范围为[0，＋∞)． 17. 已知集合，． （1）求，； （2）若，，求实数的取值范围． 【解】（1）集合，． 所以，． （2），， 若，则，解得，满足题意， 若，则，解得， 综上可知，实数的取值范围为． 18．已知集合A＝{x|≤0}，B＝{x|x2－2x－m<0}，(1)当m＝3时，求A∩(∁RB)； (2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值． 【解】由≤0，所以－1<x≤5，所以A＝{x|－1<x≤5}．(1)当m＝3时，B＝{x|－1<x<3}， 则∁RB＝{x|x≤－1或x≥3}，所以A∩(∁RB)＝{x|3≤x≤5}．(2)因为A＝{x|－1<x≤5}，A∩B＝{x|－1<x<4}，所以有42－2×4－m＝0，解得m＝8.此时B＝{x|－2<x<4}，符合题意，故实数m的值为8 19．设全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}． (1)求(∁IM)∩N； (2)记集合A＝(∁IM)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围． 【解】(1)∵M＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}，N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}，∴∁IM＝{x|x∈R且x≠－3}，∴(∁IM)∩N＝{2}．(2)A＝(∁IM)∩N＝{2}，∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴B＝∅或B＝{2}，当B＝∅时，a－1＞5－a，得a＞3；当B＝{2}时，，解得a＝3，综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3} 学科网（北京）股份有限公司 $$