第5章 函数概念与性质章末总结提升课件-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

苏教版 数学 必修第一册 第5章 函数概念与性质 章末总结提升 网络构建·知识导图 2 3 要点归纳·典例提升 4 要点一 求函数的定义域 1.求函数定义域的类型与方法 （1）已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合. （2）实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义. （3）复合函数问题： ①若 的定义域为 ，则 的定义域应由 解出； ②若 的定义域为 ，则 的定义域为 在 上的值域. 注意： 中的 与 中的 “地位”相同； .定义域是指 的取值集合. 5 2.求函数值域的方法 （1）与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域）求值域； （2）形如 的函数，可用换元法，即设 ,转化成 二次函数再求值域（注意 ）; （3）形如 的函数可借助反比例函数，求其值域，这类函数的值 域为 . （4）基本不等式法：若函数解析式直接或变形能满足基本不等式的条件，可利用基本不等式求最值. 3.提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 6 【典例1】（1） 函数 的定义域为( ) D A. B. C. D. [解析] 由题意得 需满足 解得 故函数的定义域为 .故选D. 7 （2）函数 的值域为_______. <m></m> [解析] 因为 , 又函数的定义域为 ，所以 , 所以 ,则 . 8 （3）函数 的值域为_____________. <m></m> [解析] . , . 函数的值域为 . （4）函数 的值域是_ ________. <m></m> [解析] 令 ,则 , . , . 函数 的值域是 . 9 规律方法 求函数的定义域、值域的注意事项 1.定义域：关注解析式中的根号、分母、零次幂有意义；抽象函数的定义域一般用代入法求解. 2.值域：首先观察函数类型，再确定函数在定义域上的单调性，最后计算最值.解题过程中要灵活应用换元法、配方法等方法，含参数的要分情况讨论. 10 跟踪训练1（1） 函数 的定义域是( ) D A. B. C. D. [解析] 由题意得 需满足 得 且 ，故选D. （2）已知函数 的定义域是 ，则 的定义域为( ) C A. B. C. D. [解析] 的定义域是 ，则 ,则 的定义域是 .令 ,解得 ,即 的定义域为 . 11 （3）函数 的值域是_ _________. <m></m> [解析] ,即函数的值域为 . （4）函数 的值域是________. <m></m> [解析] , ,又 ， 函数 的值域 为 . 12 要点二 求函数的解析式 1.求函数的解析式最常用的方法是换元法和待定系数法. 2.掌握常见的基本初等函数的类型和求解析式的方法，提升数学运算和逻辑推理的核心素养. 13 【典例2】（1） 函数 为奇函数，当 时， ，则 的解析式 为_ _______________________. <m></m> [解析] 设 ，则 ， 所以 .因为 是奇函数，所以 ， 即 ，所以 . 因为 是奇函数，所以 ， 所以 14 （2）已知 ，则 的解析式为___________________________ ________________. <m></m> ， <m></m> [解析] 令 ，则 , . 把 代入 ， 得 . 所以所求函数的解析式为 ， . 15 规律方法 求函数解析式的题型与相应的解法 （1）已知形如 的解析式求 的解析式，使用换元法或配凑法. （2）已知函数的类型（往往是一次函数或二次函数），使用待定系数法. （3）含 与 或 与 ，使用解方程组法. （4）已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法. 16 跟踪训练2（1） 已知 ，则 _ ______. <m></m> [解析] 因为 ，以 代替 得 ，两式联立得 . 17 （2）二次函数 满足条件：①当 时， 的图象关于直线 对称； ； 在 上的最小值为0.求函数 的解析式. 解 因为 的对称轴为 ， 所以 ，即 .又 ，所以 . 由条件③知 ，且 ， 即 .由上可求得 ， ， ， 所以 . 18 要点三 函数的图象及应用 1.函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能直接判断函数的单调性、奇偶性等性质，还可以比较大小、求最值等，同样，由函数的性质也能准确地画出函数图象. 2.掌握简单的基本函数图象,提升直观想象和数据分析的核心素养. 19 【典例3】 对于函数 . （1）判断其奇偶性，并指出图象的对称性； 解 函数的定义域为 ，定义域关于原点对称， . 则 是偶函数，图象关于 轴对称. （2）画此函数的图象，并指出单调区间和最小值. 解 画出图象如图所示， 根据图象知，函数 的最小值是 .增区间是 ； 减区间是 . 20 跟踪训练3 已知函数 ，且 . （1）求 的值，并用分段函数的形式来表示 ； （2）如图所示，在给定的平面直角坐标系内作出函数 的草图（不用列表、描点）； （3）由图象指出函数 的单调区间. 21 （2） 由（1）中的解析式画出函数的图象如图所示. （3） 结合图象可得函数的增区间为 和 ，减区间为 . 解 由题意得 ，解得 ， 所以 22 要点四 函数性质的综合应用 1.函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象. 2.掌握借助单调性和奇偶性的判断和证明方法及简单的综合运用,提升数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养. 23 【典例4】 已知函数 是定义在区间 上的奇函数,且 ,若对于任意的 , , ,有 . （1）判断函数的单调性（不要求证明）； 解 函数 在区间 上单调递增. 24 （2）解不等式 ; 解 由（1）知函数 在区间 上单调递增， 由 , 得 解得 . 所以不等式 的解集为 . 25 （3）若 对于任意的 , 恒成立,求实数 的取值范围. 解 因为函数 在区间 上单调递增，且 , 所以要使得对于任意的 , 都有 恒成立， 只需对任意的 ， 恒成立. 令 ,当 时， 可以看作关于 的一次函数，且在 时， 恒成立. 因此只需 解得 ,且 . 当 时， ,满足 恒成立. 所以实数 的取值范围为 . 26 规律方法 巧用奇偶性及单调性解不等式 （1）利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为 或 的形式. （2）根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“ ”,转化为简单不等式求解. 27 跟踪训练4 已知 为 上的奇函数，且当 时， . （1）求 在 上的解析式； 解 因为 为 上的奇函数，且当 时， ， 所以当 时， ， ， 则 . 所以 在 上的解析式为 28 （2）判断函数 在 上的单调性，并用定义证明； 解 函数 在 上单调递减. 证明如下：设 , ，且 ， . 因为 , ，且 ， 所以 ， ， 则 ， 即 . 所以 在 上单调递减. 29 （3）解关于 的不等式 . 解 因为 为奇函数，且在 上单调递减， 所以 是 上的减函数. 因为 ， 所以 ， 所以 ， 即 . 当 时，解得 ;当 时， 恒成立；当 时，解得 . 综上， 当 时，不等式的解集为 ； 当 时，不等式的解集为 ； 当 时，不等式的解集为 . 30 $$