2025 年“极兔杯”数学竞赛暨 IMO 预选赛试题(7.24) 第一天

绝密★启用前 第一天 试卷类型：A 2025 年“极兔杯”数学竞赛暨 IMO 预选赛 数 学 本试卷共 2 页，6 题，满分 42 分。考试用时 2天。 注意事项：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上。用 2B 铅 笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上. 2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动， 先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 3．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一.概率论与数理统计 1. 现抛掷一枚硬币记录其序列，如：正反正反正正正反... （1）考虑连续 n次出现正第一次出现在抛掷 X次后，记 X的期望为 e，求 )(ne （2）当某次抛出的正是连续的第 分，个正，则记 1n2 n 反之为反就记为负分。规定总分 为零时不再减分。记 Y为抛掷次数，求得分 E（ kY  ） 二.抽象函数 2. 1)()]()1([)1()()()1( 222  yfyf x xf x yfyfyxxf x yxf 求 )(xf 三．组合几何 3. 若有限数列 ),20250}({ Ziiai  满足 A. 是大一统列则称 i i i aa ,1 2025 1   B. 2004751  ia 则称为和平的，反之为武力的 若 iT为武力大一统列， iW 为和平大一统列 （1）是否可以构造一个含有 iT和 iW 的求和式，且二者具有非线性交互（如乘除法），使得 该和式有最大和最小值？说明理由。 （2）用 iW 表示实轴上的点， iT表示虚轴上的点，将其分别连接成 2025条直线，在第一象 限有个交点，点集为 }{ ，有无最值？设交点为 kp ，代表的复数为 kz 判断   kkkk zz zz ,,, 是否具有最值，说明理由 （3） }{ 与原点构成点集 }{ 0 ，一只兔子能够在 }{ 0 上的点跳跃，兔子从原点出发，每 次可以向右上方（不含正右正上）跳跃不超过 100的距离，初始位置 Q（0）在原点，其后 Q（1），Q（2）...在点 Q（k）时可选的下一步落点数记为 )(kS 试求 )10()2(2)1( SSS  的取值范围 （4）新极兔诞生灵智，可以向后预见 t步，而不会跳跃到 t步及以内无路可跳的点，此时 论述 )10()2(2)1( SSS  与变化的 t之间关系？