八年级上学期开学摸底考 重难点检测卷（考试范围：人教版七下全部内容）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

八年级上学期开学摸底考 重难点检测卷 【考试范围：人教版七下全部内容】 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24七年级下·北京西城·期末）下列图形中，由，能得到的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河北唐山·期中）下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（四川省泸州市高中初中教育联合校2022-2023学年七年级下学期期中数学试题）在平面直角坐标系中，把点向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 4．（2024·四川成都·模拟预测）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一，容三斛；大器一、小器五，容二斛．问大、小器各容几何？”其大意是：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问：大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组为（      ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（    ） A．淮安市电视台杭州亚运会开幕式的收视率 B．淮安市城市居民3月份人均网上购物的次数 C．即将发射的气象卫星的零部件质量 D．比亚迪新能源汽车的最大续航里程 6．（22-23七年级下·四川资阳·期中）若关于x的不等式的解集是，则m满足的条件是（   ） A． B． C． D．无法确定 7．（2024年辽宁省初中学业水平考试（模拟卷三）数学试题）近几年我国家用汽车的发展速度非常迅猛，为了解决停车难的问题，很多地方建起了停车场，图1为某停车场门口的电子挡车杆实物图，图2是其工作时某一时刻的示意图，其中，，经使用发现，当时，挡车杆达到最高位置，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（22-23七年级下·广东广州·阶段练习）羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（    ）天． A． B． C． D． 9．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，直线经过原点O，点C在y轴上，D为线段上一动点，若，，，，则长度的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D． 10．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）对于实数a，如果定义[]是一种取整运算新符号，即表示不超过a的最大整数．例如：，，对于后面结论：①当时，则的值为1或2；②因为，所以；③若方程有解，则其解有无数多个；④若，则a的取值范围是．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（23-24八年级下·山东烟台·期末）写出一个介于和之间的整数 ． 12．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）小明为了解学校八年级学生的身高情况，收集了全班同学的身高数据，其中个子最高的是，个子最矮的是，在绘制频数分布直方图时，若以5为组距，则可将数据分为 组． 13．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）若将点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，得到点，则 ． 14．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提出了“幻圆”的概念．如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则 ． 15．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图是一盏可调节台灯示意图，其中支架与底座垂直，支架分别为可绕点和点旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度．当支架和灯罩平行时，，，，则 ． 16．（2024·重庆长寿·模拟预测）我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有，如：，，．下列说法中正确的有 个． ①；②；③若，且，则或；④方程的解为或． 17．（23-24七年级上·江苏淮安·开学考试）苹果和梨各有若干，如果5个苹果和3个梨装一袋，苹果还多4个，梨刚好装完；如果7个苹果和3个梨装一袋，苹果刚好装完，梨还多12个，那么苹果和梨一共有( )个． 18．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知关于的不等式组． （1）若，已知该不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围为 ． （2）若，已知该不等式组有且只有两个整数解，则的取值范围是 ． 三、解答题（8小题，共66分） 19．（23-24七年级下·河北唐山·期中）计算 (1) (2)＋＋ 20．（22-23七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）求下列各式中 x 的值． (1) (2) 21．（22-23七年级下·四川资阳·期中）解方程组或不等式： (1) (2) 22．（23-24七年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，，、是、上的两点，．    (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 23．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）已知点，解答下列各题． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标． (2)点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标． (3)点P到两坐标轴的距离相等，直接写出点P的坐标． 24．（2024年辽宁省初中学业水平考试（模拟卷三）数学试题）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深，“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某租赁公司有甲、乙两种型号的共享自行车，其中甲型自行车的进货价格为500元/辆，乙型自行车的进货价格为700元/辆．该公司每月租赁4辆甲型自行车和3辆乙型自行车，可获利90元；租赁2辆甲型自行车和1辆乙型自行车，可获利40元． (1)该公司租赁1辆甲型、1辆乙型自行车的月利润各是多少元？ (2)为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共2000辆，且资金不超过118万元，则最少需要购买甲型自行车多少辆？ 25．（23-24七年级下·甘肃庆阳·期中）【感知】（1）如图①，，，，求的度数； 【探究】（2）如图②，，，，求的度数； 【应用】（3）如图③，在【探究】的条件下，的平分线和的平分线交于点，直接写出的度数． 26．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”______；“整点”为______； (2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围； (3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级上学期开学摸底考 重难点检测卷 【考试范围：人教版七下全部内容】 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24七年级下·北京西城·期末）下列图形中，由，能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等可求得结果，正确理解平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、是同旁内角，两直线平行，同旁内角互补，该选项不符合题意； B、两直线平行，同位角相等，与的对顶角互为同位角，故该选项符合题意； C、，不能得到，该选项不符合题意； D、，不能得到，时，才能得到，该选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级下·河北唐山·期中）下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义，深刻理解算术平方根的定义是解题的关键． 根据算术平方根的定义直接判断即可得出答案． 【详解】解：A. ，故选项不符合题意； B. 在时不成立，故选项不符合题意； C. ，故选项不符合题意； D. 成立，故选项符合题意； 故选：． 3．（四川省泸州市高中初中教育联合校2022-2023学年七年级下学期期中数学试题）在平面直角坐标系中，把点向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的平移中坐标变化规律，掌握点的平移规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减是解题的关键． 【详解】解：将点向左平移2个单位，再向上平移1个单位， 所得到的点的坐标为， 即， 故选：B． 4．（2024·四川成都·模拟预测）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一，容三斛；大器一、小器五，容二斛．问大、小器各容几何？”其大意是：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问：大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”，列出关于，的二元一次方程组即可． 【详解】根据题意可列出， 故选：C 5．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（    ） A．淮安市电视台杭州亚运会开幕式的收视率 B．淮安市城市居民3月份人均网上购物的次数 C．即将发射的气象卫星的零部件质量 D．比亚迪新能源汽车的最大续航里程 【答案】C 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．再根据问卷调查方法即可求解． 【详解】解：A、淮安市电视台杭州亚运会开幕式的收视率适合采用抽样调查方式，故不符合题意； B、淮安市城市居民3月份人均网上购物的次数适合采用抽样调查方式，故不符合题意； C、即将发射的气象卫星的零部件质量适合采用全面调查方式，故符合题意； D、比亚迪新新能源汽车的最大续航里程适合采用抽样调查方式，故不符合题意， 故选：C． 6．（22-23七年级下·四川资阳·期中）若关于x的不等式的解集是，则m满足的条件是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据不等式的解集求参数，根据题意由不等式的性质可得出，解一元一次不等式即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， 解得：， 故选：A． 7．（2024年辽宁省初中学业水平考试（模拟卷三）数学试题）近几年我国家用汽车的发展速度非常迅猛，为了解决停车难的问题，很多地方建起了停车场，图1为某停车场门口的电子挡车杆实物图，图2是其工作时某一时刻的示意图，其中，，经使用发现，当时，挡车杆达到最高位置，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质与判定，解题的关键是正确作出辅助线． 过作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，求出，由平行线的性质推出，即可求出． 【详解】解：如图所示，过点作， ∵， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 8．（22-23七年级下·广东广州·阶段练习）羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（    ）天． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨，根据题意列出方程组即可求解，根据题意正确列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨， 由题意得，， 解得 ∴两个工程队各工作了天， 故选：． 9．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，直线经过原点O，点C在y轴上，D为线段上一动点，若，，，，则长度的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，垂线段最短． 分别过点A、B作轴的垂线，垂足分别为点、点，得出，，，最后利用垂线段最短及三角形的面积公式解决问题． 【详解】解：如图，分别过点A、B作轴的垂线，垂足分别为点、点， ∵，，， ∴，，， ∵垂线段最短， ∴当时有最小值， ∵，即 ∴ ∵， ∴， ∴长度的最小值为1． 故选：A 10．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）对于实数a，如果定义[]是一种取整运算新符号，即表示不超过a的最大整数．例如：，，对于后面结论：①当时，则的值为1或2；②因为，所以；③若方程有解，则其解有无数多个；④若，则a的取值范围是．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查新定义，一元一次不等式．解题的关键在理解新定义，根据新定义转化为一元一次方程和不等式问题去解决． 分情况讨论，验证的所有取值即可判定①；取特殊值验证，当时，即可判定②；在0到1的范围内，找到一个特殊值，进而可以找到无数个解可判定③；把方程问题转化为不等式问题，由，得，即，可判定④． 【详解】解：①当时，； 当时，； 当时，． 故当时，则的值为或1或，故①错误； ②当时，，故②错误； ③当，2.1，3.1，时，方程均成立，故正③确； ④由，得，即，故④正确； ∴正确的有③④，共2个． 故选：B． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（23-24八年级下·山东烟台·期末）写出一个介于和之间的整数 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．直接根据无理数比较大小即可得出结果． 【详解】解：， 介于和之间的数为：， 故答案为：． 12．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）小明为了解学校八年级学生的身高情况，收集了全班同学的身高数据，其中个子最高的是，个子最矮的是，在绘制频数分布直方图时，若以5为组距，则可将数据分为 组． 【答案】6 【分析】本题考查了频数分布直方图中组数的确定方法，组数=极差÷组距．计算最大值与最小值的差，除以组距即可求得． 【详解】解：， 故答案为：6． 13．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）若将点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，得到点，则 ． 【答案】 【分析】主要考查了点坐标平移规律：“向上（或向下）平移，纵坐标加（或减）；向右（或向左）平移，横坐标加（或减）”，解题的关键是掌握点平移规律． 先算出平移后的点坐标，根据，列出等式即可求解； 【详解】解：点向右平移3个单位后，点的坐标是，再向上平移2个单位得到点的坐标是， 又点， ∴， 解得：， ∴， 故答案是：． 14．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提出了“幻圆”的概念．如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意列出对应的方程组求解是解题的关键．根据内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等列出方程组求解即可． 【详解】解：由题意得，， 即， 两式相加得： ， 故答案为：3． 15．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图是一盏可调节台灯示意图，其中支架与底座垂直，支架分别为可绕点和点旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度．当支架和灯罩平行时，，，，则 ． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．分别过点A，B作，根据平行线的性质求出，结合，，即可求解． 【详解】解：如图，分别过点A，B作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16．（2024·重庆长寿·模拟预测）我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有，如：，，．下列说法中正确的有 个． ①；②；③若，且，则或；④方程的解为或． 【答案】 【分析】本题考查新定义，有理数的运算，方程的解．根据新定义判断①和②，求出或时的判断③，根据新定义得到，运用赋值法求方程的解判断④即可解题． 【详解】解：由题可知： ，， 故①正确；②错误； 当时，，， 当时，，， 故③错误； ， ， ， ， 当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 综上，的解为或或或， 故④错误； 正确的只有①， 故答案为：． 17．（23-24七年级上·江苏淮安·开学考试）苹果和梨各有若干，如果5个苹果和3个梨装一袋，苹果还多4个，梨刚好装完；如果7个苹果和3个梨装一袋，苹果刚好装完，梨还多12个，那么苹果和梨一共有( )个． 【答案】132 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设苹果有x个，梨有y个，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设苹果有x个，梨有y个， 由题意得，， 解得， ∴（个）， 故答案为：132． 18．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知关于的不等式组． （1）若，已知该不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围为 ． （2）若，已知该不等式组有且只有两个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定，熟练掌握不等式组的解法，进行分情况分析，找到题中的不等关系是解题的关键． （1）若，不等式为，根据已知该不等式组的所有整数解的和为，可得对应整数解为或，分别得出不等式求解即可； （2）若，已知该不等式组有且只有两个整数解，两个整数不明确，设整数解为，，再利用m这个量的交叉传递，得到n的值，从而求解． 【详解】解：（1）若，即为， 已知该不等式组的所有整数解的和为， 不等式组的解为， ∴对应整数解为， ∴， 解得：； 当对应整数解为时， ， 解得：． 故答案为：或． （2）若，即为， 已知该不等式组有且只有两个整数解，设整数解为，， 不等式组的解为，且，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（8小题，共66分） 19．（23-24七年级下·河北唐山·期中）计算 (1) (2)＋＋ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根和立方根的意义是解答本题的关键． （1）先算开方，再算加减； （2）先算开方，再算加减． 【详解】（1） ； （2） 20．（22-23七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）求下列各式中 x 的值． (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，理解定义是解题的关键． （1）若()，则，据此即可求解； （2）若，则，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：， ， ． 21．（22-23七年级下·四川资阳·期中）解方程组或不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组以及解一元一次不等式组． （1）先把原方程整理，然后再用加减消元法解二元一次方程组即可． （2）先把原一元一次不等式组整理，然后分别求出每个不等式的解集，最后求公共的解集部分即可． 【详解】（1）解：原方程整理得：， 由①②得：， 解得：， 把代入②得： ， 解得：， ∴原方程组的解为： （2）原不等式组整理得：， 解②式得： 解①式得：， ∴原不等式组的解集为：． 22．（23-24七年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，，、是、上的两点，．    (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】此题主要考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质． （1）首先由得，再根据，由此得，据此可得出结论； （2）先由，求得的度数，再由平分，得，最后再根据可得的度数． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：，， ， 平分， ， ， ． 23．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）已知点，解答下列各题． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标． (2)点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标． (3)点P到两坐标轴的距离相等，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)点P的坐标为； (2)点P的坐标为（4，8）； (3)点P的坐标为或 【分析】本题主要考查了坐标与图形： （1）根据在x轴上的点纵坐标为0求出a的值即可得到答案； （2）根据平行于y轴的直线上的点横坐标相同得到，解方程即可得到答案； （3）根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （2）解：∵点Q的坐标为，直线轴， ∴点P的横坐标为4， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （3）解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴或， ∴或， 当时，，则； 当时，，则； 综上所述，点P的坐标为或． 24．（2024年辽宁省初中学业水平考试（模拟卷三）数学试题）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深，“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某租赁公司有甲、乙两种型号的共享自行车，其中甲型自行车的进货价格为500元/辆，乙型自行车的进货价格为700元/辆．该公司每月租赁4辆甲型自行车和3辆乙型自行车，可获利90元；租赁2辆甲型自行车和1辆乙型自行车，可获利40元． (1)该公司租赁1辆甲型、1辆乙型自行车的月利润各是多少元？ (2)为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共2000辆，且资金不超过118万元，则最少需要购买甲型自行车多少辆？ 【答案】(1)公司租赁1辆甲型的月利润是15元，租赁1辆乙型的月利润是10元 (2)1100辆 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组以及不等式是解题的关键． （1）设公司租赁1辆甲型的月利润是x元，租赁1辆乙型的月利润是y元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设需要购买甲型自行车m辆，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设公司租赁1辆甲型的月利润是x元，租赁1辆乙型的月利润是y元，根据题意得： ，解得：， 答：公司租赁1辆甲型的月利润是15元，租赁1辆乙型的月利润是10元； （2）解：设需要购买甲型自行车m辆，根据题意得： ， 解得：， 答：最少需要购买甲型自行车1100辆． 25．（23-24七年级下·甘肃庆阳·期中）【感知】（1）如图①，，，，求的度数； 【探究】（2）如图②，，，，求的度数； 【应用】（3）如图③，在【探究】的条件下，的平分线和的平分线交于点，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）根据平行线的性质与判定可求解； （2）过点作，根据，，进而根据平行线的性质即可求的度数； （3）过点作，在（2）的条件下，根据的平分线和的平分线交于点，可得的度数． 【详解】解；（1）如图，过点作， （两直线平行，内错角相等）， ∵， ， 两直线平行，同旁内角互补． ， ， ， 即； （2）如图，过点作， ， ∵， ， ． ； （3）如图，过点作， 是的平分线，是的平分线， ，， ∵， ， ． ． 26．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”______；“整点”为______； (2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围； (3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；， (2)或 (3)存在， 【分析】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）先整理不等式得出，分和两种情况，根据及列不等式完成不等式的解集即可得答案； （3）分情况，根据得出值，得出不等式组，用表示不等式组的解集，根据恰有4个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为， 故答案为：；，； （2）解： 解不等式得：， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得，, ∴ 综上所述：的取值范围或． （3）解：存在，理由如下： 当时，不等式的解集为， ∴，不符合， 当时，不等式的解集为， ∵， ∴， 解得：， 当时，不等式的解集为， ∴， 解得：， 当，不等式的解集为， ∴， 解得：，当时，，不符合， 当或，方程组无解， 综上所述：， ∴为， 解不等式组得：， ∵关于y的不等式组恰有4个“整点”， ∴， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $$