24.2.2 直线和圆的位置关系 同步练习 2024—2025学年人教版数学九年级上册

24.2.2 直线和圆的位置关系 第 1 课时 直线和圆的位置关系 A层 知识点一 直线和圆的位置关系的判定 1.行驶在水平路面上的汽车,若把路面看成直线,则此时转动的车轮与地面的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 2.已知圆的半径为10cm,如果圆心 O到直线的距离为 12cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 ( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.都可能 3.在平面直角坐标系中,以点(3,2)为圆心,3 为半径的圆与 x 轴的位置关系是 ,与 y轴的位置关系是 . 知识点二 直线和圆的位置关系的性质 4.已知⊙O 的半径为4,点O到直线m 的距离为d,若直线 m 与⊙O 公共点的个数为2,则 d可取 ( ) A.5 B.4.5 C.4 D.0 5.若⊙O 的半径为R,点 O 到直线l 的距离为d,并且R,d 是方程 的两根,当直线l 与⊙O 相切时,m 的值为 . 6.在平面直角坐标系中,⊙C 的圆心为C(a,0),半径长为2,若 y 轴与⊙C 相离,则 a 的取值范围为 . 7.在 Rt ABC 中,∠C=90 ,AC=6cm,BC=8cm.以 C 为圆心,以r为半径作圆.求当r在什么范围内取值时,⊙C 与 AB 所在的直线相交、相切、相离? B层 8.已知平面内有⊙O和点A,B,若⊙O半径为2cm,线段OA=3cm,OB=2cm,则直线 AB 与⊙O 的位置关系为( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.相交或相切 9.以坐标原点O 为圆心,作半径为 2 的圆,若直线y=-x+b 与⊙O相交,则b的取值范围是( ) 10.如图,∠ABC=80 ,O 为射线BC上一点,以点 O 为圆心, OB长为半径作⊙O,要使射线 BA 与⊙O 相切,应将射线 BA 绕点 B 按顺时针方向旋转的度数 = (0 < <180 ). 11.如图,在平面直角坐标系中,点 M 在第一象限内,MN⊥x 轴于点 N,MN=1,⊙M 与x轴交于A(2,0),B(6,0)两点. (1)求⊙M的半径; (2)请判断⊙M 与直线x=7的位置关系,并说明理由. 第 2 课时 切线的判定与性质 A层 知识点一 切线的判定 1.下列说法中,不正确的是 ( ) A.与圆只有一个交点的直线是圆的切线 B.经过半径的外端,且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C.与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线 D.垂直于半径的直线是圆的切线 2.如图,A 是⊙O 上一点,且AO=5,PO=13,AP=12,则 PA 与⊙O 的位置关系是 . 3.如图,AB 是⊙O 的直径,点 C 为⊙O 上一点,过点 B 作BD⊥CD,垂足为 D,连接 BC,BC平分∠ABD.求证:CD 为⊙O 的切线. 知识点二 切线的性质 4.如图,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线.若∠BAC=35 ,则∠ACB的大小为 ( ) A.35 B.45 C.55 D.65 5.如图,已知⊙O 的半径为1,点 P 是⊙O 外一点,且 OP =2.若 PT 是⊙O 的切线,T 为切点,连接 OT,则 PT = 6.如图,AB 为⊙O 的切线,点 A 为切点,OB 交⊙O 于点C,点 D 在⊙O 上,连接AD、CD、OA.若∠ADC=25 ,则∠ABO的度数为 . 【变式题】通过切线构造直角三角形求角度 如图,在⊙O中,AB切⊙O 于点 A,连接OB 交⊙O 于点C,过点A 作 AD∥OB 交⊙O 于点 D,连接 CD.若∠B=50 ,则∠OCD的度数为 . 7.如图,OM 是⊙O 的半径,过M 点作⊙O 的切线AB,且 MA=MB,OA,OB 分别交⊙O 于C,D.求证:AC=BD. B层 8.如图,等边三角形 ABC 的边长为8,以 BC 上一点O 为圆心的圆分别与边AB,AC 相切,则⊙O 的半径为 ( ) A.2 B.3 C.4 9.如图, ABC 是⊙O 的内接三角形,∠A =119 ,过点 C 的圆的切线交BO 的延长线于点P,则∠P 的度数为 ( ) A.32 B.31 C.29 D.61 10.如图,平面直角坐标系xOy中,点 A 的坐标为(8,5),⊙A 与x 轴相切,点 P 在y轴正半轴上,PB 与⊙A 相切于点 B.若∠APB=30 ,则点 P 的坐标为 11.如图, ABC 是⊙O 的内接三角形,AC 是⊙O 的直径,点 D 是 的中点,DE∥BC 交AC 的延长线于点E. (1)求证:直线 DE 与⊙O 相切; (2)若⊙O 的直径是10,∠A=45 ,求 CE 的长. 12.如图,在 Rt ABC 中,∠C=90 ,点 O 在AC上,以OA 为半径的半圆O交AB 于点D,交AC 于点E,过点 D 作半圆O 的切线DF,交BC 于点 F. (1)求证:BF=DF; (2)若 AC=4,BC=3,CF=1,求半圆O 的半径长. C层 13.如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,CD⊥AB 于点 D,P 为AB 延长线上一点,∠PCD=2∠BAC. (1)求证:CP 为⊙O 的切线; (2)若BP=1,CP= . ①求⊙O 的半径; ②若M为 AC 上一动点,求 OM+DM 的最小值. 第 3 课时 切线长定理及三角形的内切圆 A层 知识点一 切线长定理 1.如图,P 为⊙O 外一点,PA,PB 分别切⊙O于A,B.若∠P=60 ,PA=3,则AB=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2.如图,PA、PB 为⊙O的切线,切点分别为A、B,PO 交AB 于点C,PO 的延长线交⊙O 于点D.下列结论不一定成立的是 ( ) A. BPA 为等腰三角形 B. AB 与 PD 相互垂直平分 C.点 A、B 都在以 PO 为直径的圆上 D. PC 为 BPA 的边AB 上的中线 3.如图,AB,AC,BD 是⊙O的切线,P,C,D 为切点.若AB=8,AC=5,则 BD 的长为 . 【变式题】如图,⊙O 为四边形 ABCD 的内切圆,AD=3,AB=4,CD=5,则BC= . 4.如图,AC 是⊙O 的直径,PA 切⊙O 于点A,PB 切⊙O 于 B,且∠APB=60 . (1)求∠BAC 的度数; (2)若 PA=1,求点 O 到弦AB 的距离. 知识点二 三角形的内切圆 5.边长为2 的等边 ABC 的内切圆的半径为( ) A.1 B C.2 6.如图,I 是 ABC 的内心,∠BIC=120 ,则∠A 的度数为 . 7.如图,P 是 ABC的内心,连接 PA、PB、PC, PAB、 PBC、 PAC 的面积分别为S₁、S₂、S₃,则. (填“<”或“=”或“>”). 8.如图,⊙I 是 ABC 的内切圆,切点分别是D、E、F. (1)若∠B=50 ,∠C=70 ,则∠DFE 的度数为 ; (2)若∠DFE=50 ,求∠A 的度数. B层 9.如图,PA、PB、CD 分别切⊙O 于 A、B、E,CD 交PA、PB 于C、D 两点.若∠P=40 ,则∠PAE+∠PBE 的度数为 ( ) A.50 B.62 C.66 D.70 10.《九章算术》是东方数学思想之源,该书中记载:“今有勾八步,股一十五步,问勾中容圆径几何?”其意思为:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形内切圆的直径是多少步?”该问题的答案是 步. 【变式题】直角三角形 非直角三角形已知一个三角形的三边长分别为5、7、8,则其内切圆的半径为 . 11.如图,AB 是⊙O的直径,AD 和BC 分别切⊙O 于A,B 两点,CD 与⊙O 有公共点E,且AD=DE. (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若 AB=12,BC=4,求 AD 的长. 12.如图,已知 PA、PB 分别切⊙O 于 A、B,E 为劣弧AB 上一点,过 E 点的切线交 PA 于 C,交PB 于 D. (1)若 PA=6,求 PCD 的周长; (2)若∠P=50 ,求∠DOC 的度数. C层 13.如图, ABC 内接于以 AB 为直径的⊙O中,且点 E 是 ABC 的内心,AE 的延长线与BC 交于点F,与⊙O 交于点 D,⊙O的切线PD 交 AB 的延长线于点 P. (1)试判断 BDE 的形状,并说明理由; (2)若∠APD=30 ,BE=2,求 AE 的长. 24.2.2 直线和圆的位置关系 第 1 课时 直线和圆的位置关系 1. B 2. A 3.相交 相切 4. D 5.4 6. a<-2或a>2 7.解:由题设可知, ∴C到AB 的距离为 当 时,⊙C 与AB 所在的直线相离;当 时,⊙C 与 AB 所在的直线相切;当 时,⊙C 与 AB 所在的直线相交. 8. D 9. D 10.50 或 110 11.解:(1)连接AM.∵M为圆心,MN=1,MN⊥x轴于点 N,⊙M与x轴交于点 A(2,0),B(6, ∴⊙M的半径为 . (2)相离.理由如下:易知点 M 的横坐标为4,其到直线x=7的距离为 ∴⊙M与直线x=7相离. 第 2 课时 切线的判定与性质 1. D 2.相切 3.证明:∵BC平分∠ABD,∴∠OBC=∠DBC.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.∴∠OCB=∠DBC.∴OC∥BD.∵BD⊥CD,∴OC⊥CD.∵OC 为半径,∴CD 为⊙O的切线. 4. C 5. 6.40 【变式题】20 7.证明:由题意知,AB 切⊙O 于点 M,∴OM⊥AB.又∵MA=MB,∴OA=OB.∵OC=OD,∴OA-OC=OB-OD,即AC=BD. 8. A 9. A 10.(0,11) 11.(1)证明:如图,连接OD.∵点 D 是 的中点,∴OD⊥ BC. ∵ DE ∥BC,∴OD⊥DE.∴直线DE 与⊙O 相切. (2)解:∵AC 是⊙O 的直径,∴∠B=90 .∵∠A=45 ,∴∠ACB =45 .∵BC ∥DE,∴∠E=45 .而∠ODE=90 ,∴ ODE 为等腰直角 三 角形.∴OD = DE.∴ 易得 OE = 12.(1)证明:如图,连接 OD.∵DF 是半 圆 O 的切线,∴∠ODF=90 .∴∠ADO+∠BDF= 90 .∵ OA = OD, ∴ ∠OAD =∠ODA.∴∠OAD+∠BDF =90 .∵∠C =90 ,∴∠OAD+∠B=90 .∴∠B=∠BDF.∴BF=DF. (2)解:如图,连接OF.设半圆O的半径为r,则OD=OA=r.∵AC=4,BC=3,CF=1, ∴OC=4-r,DF=BF=3-1=2.∵OD + 故半圆O的半径为 . 13.(1) 证明:如图,连 接 OC.∵OA= OC, ∴∠CAO =∠ACO.∴∠POC = 2∠BAC. ∵∠PCD = 2∠BAC, ∴∠POC = ∠PCD. ∵CD⊥ AB 于 点 D, ∴∠ODC = 90 . ∴∠POC+∠OCD=90 .∴∠PCD+∠OCD=90 .∴∠OCP=90 .∴半径 OC⊥CP.∴CP为⊙O 的切线. (2)解:①设⊙O 的半径为r.在 Rt OCP中, 解得 r=2.∴⊙O的半径为2. ②如图,作点 O 关于 AC 的对称点 E,连接AE,EC,ED,ED 交AC 于点 M,连接OM,此时OM+DM=ED即为所求.∵AC垂直平分OE,∴AE=AO=OC=CE=2.∴四边形AOCE 是菱形.∴EC∥AO.∴∠ECD=90 .∵OB=2,PB = 1,∴OP= 3.∵S OCP = 在Rt ECD 中, 的最小值为 第3课时 切线长定理及三角形的内切圆1. B 2. B 3.3 【变式题】6 4.解:(1)∵PA 切⊙O 于点 A,PB 切⊙O于点B,∴PA=PB,∠PAC=90 .∵∠APB=60 ,∴ APB 是等边 三 角 形.∴∠BAP = 60 . (2)作OD⊥AB 于 D,则 由(1)得 APB 是等边三角形,∴AB=PA=1.∴AD= .∵∠BAC = 30 , ∴ AO = 2OD. 即点O到弦AB 的距离为 5. A 6.60 7.< 8.解:(1)60 解析:如图,连接ID、IE.∵∠B=50 ,∠C=70 ,∴∠A=60 .∵⊙I 是 ABC 的内切圆,切点分别是 D、E、F,∴∠IDA=∠IEA = 90 .∴∠DIE = 180 -∠A = 120 . (2) 如 图, 连 接 ID、IE.∵ ∠DFE = 50 ,∴∠DIE=100 .∵AB、AC 分别与⊙I 相切于点 D、E,∴∠ADI=∠AEI = 90 .∴∠A=180 -∠DIE=80 . 9. D 10.6 【变式题】 解析:如图,AB=7,BC=5,AC=8,内切圆的半径为r,切点为G、E、F,作AD⊥BC于 D,设BD=x,则CD=5-x.由勾股定理可知 即72— 解得x=1,∴BD=1. 方法归纳: 11.(1)证明:连接OD,OE.∵AD 切⊙O于 A 点,AB 是⊙O 的直径,∴∠DAB=90 .∵AD=DE,OA=OE,OD=OD,∴ ADO≌ EDO(SSS).∴∠OED=∠OAD=90 .∴CD是⊙O的切线. (2)解:过 C 作 CH⊥AD 于 H.∵AB 是⊙O的直径,AD 和 BC 分别切⊙O 于A,B 两点,∴∠DAB=∠ABC=∠CHA=90 .∴四边形ABCH 是矩形.∴CH=AB=12,AH=BC=4.∵CD是⊙O的切线,∴AD=DE,CE=BC.∴DH=AD-BC=AD-4,CD=AD+4. (AD+4) .∴AD=9. 12.解:(1)∵PA、PB 与⊙O相切,∴PA=PB=6.同理可得 AC=CE,BD=DE.∴ PCD 的周长为 PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12. (2)如图,连接OE.∵PA,PB 与 ⊙O 相 切,∴∠OAP= ∠OBP = 90 .∵∠P=50 ,∴∠AOB = 在 Rt AOC 和Rt EOC 中, Rt EOC(HL).∴∠AOC=∠COE.同理可得 13.解:(1) BDE 为等腰直角三角形,理由如下:如图,∵点 E 是 ABC的内心,∴BE 平分∠ABC,AF 平分∠BAC.∴∠1=∠2,∠3=∠6.∵∠4=∠6,∴∠2+∠3=∠1+∠4.∵∠5=∠2+∠3,∴∠5=∠1+∠4,即∠5=∠DBE.∴DB=DE.∵AB 为直径,∴∠ADB =90 .∴ BDE 为等腰直角三角形. (2)连接OD,∵ BDE为等腰直角三角形, 的切线 PD 交 AB 的延 长 线 于 点 P,∴OD⊥PD.∴∠ODP=90 .∵∠APD= 在 Rt ABD中, 则AD= ,∴AE= 学科网(北京)股份有限公司 $$