计数原理专项训练-2025届高三数学一轮复习

计数原理专项训练-2025届高三数学一轮复习 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．将标有1、2、3、4的四个球放到标号为1、2、3、4的四个盒子里，每只盒子放一个球，则盒子的标号与球号均不相同的放法种数为（    ） A．6种 B．9种 C．11种 D．23种 2．教学大楼共有4层，每层有东西两个楼梯，由1层到4层共有（    ）种走法． A．8 B．4 C．16 D．2 3．将一枚骰子向桌面先后抛掷次，将两次获得的点数相加求和一共有（   ）种不同结果． A． B． C． D． 4．6本不同的书平均分给3人，共有（    ）种分法． A．90 B．180 C．270 D．45 5．有8个点在同一平面内，其中任意三点不共线，从中任选三点为顶点，可以作__________个三角形．（    ） A．28 B．42 C．56 D．112 6．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．30种 7．某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人选出四人值班，每名员工最多值班一天，已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有（    ） A．192种 B．252种 C．268种 D．360种 8．中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备排课六节，每艺一节，排课有如下要求：“乐”排在“书”与“数”的前面，“礼”和“射”不相邻且不排在最后面，则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有（    ） A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．若3名男生，4名女生排成一排，则下列说法正确的是（      ） A．女生甲、乙相邻的共有1440种排法 B．男生不能站在一起的共有576种排法 C．男生必须站一起的共有720种排法 D．男生站一起，女生站一起的共有144种排法 10．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（    ） A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法 C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有72种排法 D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有504种排法 11．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（   ） A．若任意选择三门课程，选法总数为 B．若物理和化学至少选一门，选法总数为 C．若物理和历史不能同时选，选法总数为 D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．食堂有大荤菜个、小荤菜个、素菜个、汤个，如果要大荤、小荤、素菜、汤各一个组成一份三菜一汤的套餐，有 种不同的搭配方式． 13．从上海开往南京的普通快车沿途停靠苏州、无锡、常州、镇江、南京站，则火车上3名乘客最多有 种不同的下车方法． 14．200件产品中有3件次品，现从中任意抽取5件，其中有两件是次品的抽法有 种． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 用0、1、2、3、…、9十个数字可组成多少个不同的： (1)三位数； (2)无重复数字的三位数； (3)小于500且无重复数字的三位奇数． 16.（本小题15分） 晚会上共有7个节目，其中有4个不同的歌唱节目，2个不同的舞蹈节目和1个相声节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单. (1)2个舞蹈节目不相邻； (2)前3个节目中既要有歌唱节目又要有舞蹈节目. 17.（本小题15分） 在2024年宾县一中纪念“五四”活动中，获得一等奖的某节目参演人员合影留念．3名男生和4名女生站成一排．（最后答案用数字作答） (1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？ (2)男、女相间的站法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？ 18.（本小题17分） 用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数. (1)在组成的五位数中，所有偶数的个数有多少? (2)在组成的五位数中，若从小到大排列，30214排第几个? (3)在组成的五位数中，数字2和3相邻的个数有多少? 19.（本小题17分） 有3名男生和4名女生，根据下列不同的要求，求不同的排列方法种数． (1)全体排成一行，其中3名男生必须排在一起； (2)全体排成一行，3名男生互不相邻； (3)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变； (4)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 计数原理专项训练解析版-2025届高三数学一轮复习 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．将标有1、2、3、4的四个球放到标号为1、2、3、4的四个盒子里，每只盒子放一个球，则盒子的标号与球号均不相同的放法种数为（    ） A．6种 B．9种 C．11种 D．23种 【答案】B 【详解】要得到盒子标号与球号均不同的一种放法，可分三个步骤： 第一步，先放1号球，从标号2、3、4的3个盒子中任选一个放入，有3种放法； 第二步，再放与1号球放入的盒子标号相同的球，有3种放法， 例如，第一步中1号球放入2号盒子；第二步则放2号球，可从1、3、4号盒子中任选一个放入； 第三步，最后放余下两球，只有1种放法. 由乘法原理得，不同的放法有种. 故选：B. 2．教学大楼共有4层，每层有东西两个楼梯，由1层到4层共有（    ）种走法． A．8 B．4 C．16 D．2 【答案】A 【详解】由1层到4层分步：由1层到2层，由2层到3层，由3层到4层，每步都有东西两个楼梯种方法可选. 由分步乘法计数原理可得，由1层到4层共种走法. 故选：A. 3．将一枚骰子向桌面先后抛掷次，将两次获得的点数相加求和一共有（   ）种不同结果． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】抛掷次骰子，最小的两个点数是，最大的两个点数是， 实际上这些都有可能出现，只考虑点数之和不考虑其他的情况下可能是 ， ， 由分类加法原理，共有种不同的结果. 故选：B 4．6本不同的书平均分给3人，共有（    ）种分法． A．90 B．180 C．270 D．45 【答案】A 【详解】从6本不同的书中任取2本给第一个人，从余下的4本书中任取2本给第二个人，余下2本给第三个人， 因此不同给法种数是. 故选：A 5．有8个点在同一平面内，其中任意三点不共线，从中任选三点为顶点，可以作__________个三角形．（    ） A．28 B．42 C．56 D．112 【答案】C 【详解】因8个点中，任意三点不共线，且选定三点为顶点的三角形只有一个， 故这样的三角形有个. 故选：C. 6．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．30种 【答案】B 【详解】把三张游园票分给10个人中的3人，只需从10个人中选3人即可， 所以共有种， 故选：B. 7．某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人选出四人值班，每名员工最多值班一天，已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有（    ） A．192种 B．252种 C．268种 D．360种 【答案】B 【详解】若甲乙不值班，值班安排有种； 若甲乙只有一人不值班，值班安排有种； 若甲乙都值班，值班安排有种， 所以值班安排共有252种. 故选：B 8．中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备排课六节，每艺一节，排课有如下要求：“乐”排在“书”与“数”的前面，“礼”和“射”不相邻且不排在最后面，则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有（    ） A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 【答案】C 【详解】若“乐”排在第一节，则从御、书、数种选一节排最后一节，要满足“礼”和“射”不相邻，则有种方法， 若“乐”排在第2节，则从书、数种选一节排最后一节或者“御”安排最后一节，要满足“礼”和“射”不相邻，则有种方法， 若“乐”排在第3节，则从书、数种选一节排最后一节，要满足“礼”和“射”不相邻，则有种方法， 若“乐”排在第4节，则“书”与“数”排最后两节，要满足“礼”和“射”不相邻，则有种方法， 故总的方法一共有， 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．若3名男生，4名女生排成一排，则下列说法正确的是（      ） A．女生甲、乙相邻的共有1440种排法 B．男生不能站在一起的共有576种排法 C．男生必须站一起的共有720种排法 D．男生站一起，女生站一起的共有144种排法 【答案】AC 【详解】对于A，先将女生甲、乙看成一个整体，与剩下5人全排列，则有种，故A正确； 对于B，先排女生，然后男生插空，有，故B错误; 对于C，先将男生看着一个整体，与剩下4名女生全排列，则有，故C正确； 对于D，先将男生看着一个整体，再将女生看着一个整体，然后男、女生这两个整体全排；，故D错误； 故选：AC 10．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（    ） A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法 C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有72种排法 D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有504种排法 【答案】ABD 【详解】对于A，某学生从中选2门课程学习，共有种选法，A正确； 对于B，课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有种排法，B正确； 对于C，课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有种排法，C错误； 对于D，课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有种排法，D正确； 故选：ABD. 11．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（   ） A．若任意选择三门课程，选法总数为 B．若物理和化学至少选一门，选法总数为 C．若物理和历史不能同时选，选法总数为 D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为 【答案】ABD 【详解】对于A：若任意选择三门课程，选法总数为，故A错误； 对于B：若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的五门中选，有种选法； 若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的五门中选，有种选法，所以总数为，而，故B错误； 对于C：若物理和历史不能同时选，选法总数为，故C正确； 对于D：有3种情况：①选物理，不选化学，有种选法； ②选化学，不选物理，有种选法； ③物理与化学都选，有种选法. 故总数，故D错误. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．食堂有大荤菜个、小荤菜个、素菜个、汤个，如果要大荤、小荤、素菜、汤各一个组成一份三菜一汤的套餐，有 种不同的搭配方式． 【答案】 【详解】依题意得，选择大荤菜有种方法，小荤菜有种方法，素菜有种方法，汤有种方法， 根据分步乘法原理可得，一共有种方法. 故答案为： 13．从上海开往南京的普通快车沿途停靠苏州、无锡、常州、镇江、南京站，则火车上3名乘客最多有 种不同的下车方法． 【答案】125 【详解】要得到一种下车方法，可分三步，分别确定每位乘客的下车方法，每位乘客最多有5种不同的下车方法. 故由分步乘法计数原理可得，3名乘客最多有种不同的下车方法. 故答案为：125. 14．200件产品中有3件次品，现从中任意抽取5件，其中有两件是次品的抽法有 种． 【答案】 【详解】依题意，从中任意抽取5件，其中有两件是次品，则必有3件是正品，故抽取方法有，种. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 用0、1、2、3、…、9十个数字可组成多少个不同的： (1)三位数； (2)无重复数字的三位数； (3)小于500且无重复数字的三位奇数． 【答案】(1)900 (2)648 (3)144 【详解】（1）由于0不能在首位，所以首位数字有9种选法， 十位与个位上的数字均有10种选法， 所以不同的三位数共有（个）； （2）百位数字有9种选法，十位数字有除百位数字以外的9种选法， 个位数字应从剩余8个数字中选取， 所以共有（个）无重复数字的三位数； （3）若个位为1或3，则小于500的三位奇数有（个）； 若个位为5或7或9，则小于500的三位奇数有（个）； 所以小于500的三位奇数有． 16.（本小题15分） 晚会上共有7个节目，其中有4个不同的歌唱节目，2个不同的舞蹈节目和1个相声节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单. (1)2个舞蹈节目不相邻； (2)前3个节目中既要有歌唱节目又要有舞蹈节目. 【答案】(1)3600 (2)3456 【详解】（1）先排非舞蹈节目，有种排法， 将2个舞蹈节目插到6个空中，有种排法， 故由分步乘法原理可知共有种排法. （2）前3个节目共三种情况： 一种为1个歌唱节目，2个舞蹈节目，有种排法， 另外一种为2个歌唱节目，1个舞蹈节目，有种排法， 最后一种为歌唱节目，舞蹈节目、相声节目各1个，有种排法， 故由分类加法原理可知共有种排法. 17.（本小题15分） 在2024年宾县一中纪念“五四”活动中，获得一等奖的某节目参演人员合影留念．3名男生和4名女生站成一排．（最后答案用数字作答） (1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？ (2)男、女相间的站法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？ 【答案】(1)2880 (2)144 (3)840 【详解】（1）甲不在中间也不在两端，故甲可选个位置，其余六人可排除种， 故共有种； （2）先排男生，共有种，则女生可在男生排完后的四个空中选择四个，即有种， 故共有种； （3）全部排好共有种，由甲、乙、丙三人顺序一定，共有故种. 18.（本小题17分） 用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数. (1)在组成的五位数中，所有偶数的个数有多少? (2)在组成的五位数中，若从小到大排列，30214排第几个? (3)在组成的五位数中，数字2和3相邻的个数有多少? 【答案】(1)60 (2)51 (3)36 【详解】（1）由题在组成的五位数中，所有的偶数有两类： 第一类是首位即最高位和末尾数均为偶数的数共有个， 第二类是首位即最高位为奇数、末尾为偶数的数共有个， 所以在组成的五位数中，所有偶数的个数有. （2）1或2排在首位的数共有个， 则接下来按从小到大排列的数是， 所以在组成的五位数中，若从小到大排列，30214排第51个. （3）将数字2和3捆绑在一起作为一个整体， 根据最高位不为0可得在组成的五位数中，数字2和3相邻的个数有个. 19.（本小题17分） 有3名男生和4名女生，根据下列不同的要求，求不同的排列方法种数． (1)全体排成一行，其中3名男生必须排在一起； (2)全体排成一行，3名男生互不相邻； (3)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变； (4)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边． 【答案】(1)720 (2)1440 (3)840 (4)3720 【详解】（1）捆绑法．将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有（种）排法； （2）插空法．先排女生，然后在空位中插入男生，共有（种）排法； （3）定序排列．7名学生排成一行，分两步： 第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N； 第二步，对甲、乙、丙进行全排列．由乘法原理得， 所以（种）； （4）位置分析法．先排最左边，除去甲外有种排法，余下的6个位置全排有种排法， 但应剔除乙在最右边的排法种，则符合条件的排法共有（种）； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$