第22章二次函数小结与复习导学案2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数小结与复习 知识回顾 一、二次函数的概念 一般地，形如 (a，b，c是 ，a )的函数叫做二次函数.其中x是 ， ， ， 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二、二次函数的图象与性质 y=ax2+bx+c a＞0 a＜0 开口方向 顶点坐标 对称轴 最值 增减性 在对称轴左侧，y 随着x的增大而 ； 在对称轴右侧，y 随着x的增大而 . 在对称轴左侧，y 随着x的增大而 ； 在对称轴右侧，y 随着x的增大而 . 三、二次函数图象的平移 4、 二次函数解析式的求法 （1）一般式法： （2）顶点法： （3）交点法： 五、二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2－4ac 有_______个公共点 有____个_______的实数根 b2－4ac＞0 有_______个公共点 有_______个_______的实数根 b2－4ac=0 _______公共点 _______实数根 b2－4ac＜0 考点一 二次函数的概念、图象与性质 例1 已知 y = (m + 2)x|m| + 2 是关于 x 的二次函数，那么 m 的值为 (　　) A．−2 B．2 C．±2 D．0 例2 对于 y＝2(x－3)2＋2 的图象下列叙述正确的是 ( ) A．顶点坐标为 (－3，2) B．对称轴为 y＝3 C．当 x＞3时，y 随 x 的增大而增大 D．当 x＞3时，y 随 x 的增大而减小 例3 二次函数 y＝－x2＋bx＋c 的图象如图所示，若点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且 x1＜x2＜1，则 y1 与 y2 的大小关系是 (　　) A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≤y2 D．y1＞y2 例4 将抛物线 y＝x2－6x＋5 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ( ) A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2 C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－3 例5 (1) 已知关于x的二次函数，当x =－1时，函数值为10；当x=1时，函数值为4；当x = 2时，函数值为7.求这个二次函数的解析式. (2) 已知关于x的二次函数，当x = −2或4时，y = −16，且函数的最大值为2．求二次函数的解析式． 考点二 二次函数与一元二次方程 例6 已知二次函数 y = x2 − 2mx + m2−1(m为常数).求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点. 考点三 二次函数的应用 例7 在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线 的一部分（如图），其中出球点B 离地面 O 点的距离是 1 m，球落地点 A 到 O 点的距离是 4 m，那么这条抛物线的解析式是（ ） 例8 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量 y (件)与销售单价 x (元)符合一次函数 y＝kx＋b，且 x＝65 时，y＝55；x＝75 时，y＝45. (1) 求一次函数的解析式； (2) 若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ 例9 如图，梯形ABCD 中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30.作 DE⊥AB 于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF 交 BC 于点 G. (1)用含有 x 的代数式表示 BF 的长； (2)设四边形 DEBG 的面积为 S，求 S 与 x 的函数关系式； (3)当 x 为何值时，S 有最大值？并求出这个最大值． 知识回顾 1. 已知函数：①y = 2x−1；②y =−2x2−1；③y = 3x3−2x2；④ y = 2x2−x−1；⑤ y = ax2 + bx + c. 其中二次函数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2. 关于抛物线 y = −x2 + 2x − 3 的判断，下列说法正确的是 (　　) A．抛物线的开口方向向上 B．抛物线的对称轴是直线 x = -1 C．抛物线对称轴左侧部分从左往右是下降的 D．抛物线顶点到 x 轴的距离是 2 3. 已知点 (−1，y1)，(1.5，y2)，(2，y3) 在函数 y = ax2 − 2ax + a − 2 (a＞0) 的图象上，则将 y1、y2、y3按由大到小的顺序排列是 (　　) A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1 4. 已知二次函数 y =－x2＋2bx＋c，当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是 ( ) A. b≥－1 B. b≤－1 C. b≥1 D. b≤1 5. 若抛物线 y =－7(x + 4)2－1 平移得到 y =－7x2，则可以（ ） A. 先向左平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位 B. 先向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位 C. 先向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位 D. 先向右平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位 6. 如图，已知抛物线y = ax2+bx+c经过A (−1，0)、B (3，0) 两点，与y轴交于点C(0，−3)． (1) 求二次函数的解析式； (2) 点 Q 为抛物线上一点，若 S△QAB = 8，求出此时点 Q 的坐标． 7. 二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示，则方程 ax2 + bx + c − 2 = 0 的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．以上都不正确 8. 如图为一座抛物线型的拱桥，AB、CD 分别表示两个不同位置的水面宽度，O 为拱桥顶部，水面 AB 宽为 10 米，AB 距桥顶 O 的高度为 12.5 米，水面上升 2.5 米到达警戒水位 CD 位置时，水面宽为 (　 ) 9. 一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来 3 个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题： (1)求该抛物线对应的二次函数解析式； (2)该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？ (3)若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况(是否亏损？何时亏损？)作预测分析. 10.张大伯准备用 40 m 长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用自家房屋一面长 25 m 的墙，设计了如图一个矩形的羊圈. (1)请你求出张大伯矩形羊圈的面积； (2)请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又该如何设计？并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$