裂项相消法课件-2025届高三数学一轮复习

第31讲　数列的求和 第2课时　裂项相消法 第六章　 数列 1 等差型裂项求和 举 题 说 法 1 【解答】 1 【解答】 变式　已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an＋Sn＋1＝Sn＋(－1) n+1·n. (1) 求S2n； 【解答】 变式　已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an＋Sn＋1＝Sn＋(－1) n+1·n. 【解答】 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a5＝18，S6＝48. (1) 求{an}的通项公式； 无理型裂项求和 2 【解答】 2 【解答】 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1. (1) 求{an}的通项公式； 指数型裂项求和 3 因为Sn＝2an－1，当n＝1时，S1＝2a1－1，解得a1＝1； 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，所以Sn－Sn－1＝2an－1－(2an－1－1)，即an＝2an－2an－1，所以an＝2an－1，所以{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n-1. 【解答】 3 【解答】 变式　已知等差数列{an}满足an＋1－an＞0(n∈N*)，且a1＋a4＋a10＝15，a2，a4，a8成等比数列． (1) 求数列{an}的通项公式； 设等差数列{an}的公差为d.因为a2，a4，a8成等比数列，所以(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，整理得(d－a1)d＝0. 又因为an＋1－an＞0，所以d＞0，从而a1＝d.又a1＋a4＋a10＝3a1＋12d＝15，即15d＝15，所以a1＝d＝1，所以an＝n. 【解答】 变式　已知等差数列{an}满足an＋1－an＞0(n∈N*)，且a1＋a4＋a10＝15，a2，a4，a8成等比数列． 【解答】 已知数列{an}是公差大于1的等差数列，a2＝3，前n项和为Sn，且a1＋1，a3－1，a6－3成等比数列． (1) 求数列{an}的通项公式； 通项裂项为“＋”型 4 【解答】 设数列{an}的公差为d(d＞1)，则a2＝a1＋d＝3. 因为a1＋1，a3－1，a6－3成等比数列，所以(a3－1)2＝(a1＋1)(a6－3)，即(a1＋2d－1)2＝(a1＋1)(a1＋5d－3)，解得a1＝1，d＝2，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1. 已知数列{an}是公差大于1的等差数列，a2＝3，前n项和为Sn，且a1＋1，a3－1，a6－3成等比数列． 4 【解答】 随 堂 练习 【解析】 【答案】D C 【解析】 【解析】 【答案】 【解析】 配套精练 22 【解析】 A 【解析】 【答案】A 设正项等差数列{an}的公差为d，且d≠0.因为a1，a2，a4成等比数列，所以a＝a1·a4，即(a1＋d)2＝a1·(a1＋3d)，整理得d2＝a1d. 【解析】 【答案】BCD 由Sn＋1＝Sn＋2an＋1，得an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1，可化为an＋1＋1＝2(an＋1)，由a1＝1，可得数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，则an＋1＝2n，即an＝2n－1. 4．(多选)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”(如图所示是一个4层的三角垛)．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设第n层有an个球，从上往下n层球的总数为Sn，则 (　　　) 【解析】 【答案】BCD a2＝3，a3＝6，a4＝10，a5＝15，a6＝21，a7＝28，得S7＝a1＋a2＋…＋a7＝1＋3＋6＋10＋15＋21＋28＝84，故B正确； 【解析】 【解析】 【答案】 四、 解答题 7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，(n－2)Sn＋1＋2an＋1＝nSn，n∈N*. (1) 求数列{an}的通项公式； 【解答】 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－n(n－1)＝2n，当n＝1时也满足此式，故an＝2n. 【解答】 【解答】 【解答】 9．已知数列{an}满足a1＝2，{an＋1－an}是以1为首项，2为公比的等比数列． (1) 求{an}的通项公式； 【解答】 由题意得an＋1－an＝1×2n-1＝2n-1. 方法一：因为an＋1－an＝2n-1＝2n－2n-1，即an＋1－2n＝an－2n-1，所以{an－2n-1}是常数列，所以an－2n-1＝a1－20＝1，故an＝2n-1＋1. 【解答】 10．已知Sn是数列{an}的前n项和，2Sn＝(n＋1)an，且a1＝1. (1) 求{an}的通项公式． 【解答】 【解答】 B组　滚动小练 11．已知α是三角形的内角，若cos2α＝cos2α－sin 2α，则tan α＝_______． －2 【解析】 因为α是三角形的内角，所以sin α＞0，且cos2α＝cos2α－sin 2α，即cos2α＝cos2α－sin2α－2sinαcos α，所以sin2α＝－2sinαcos α，可得sin α＝－2cos α＞0，故tan α＝－2. 12．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x＋2)为奇函数，若f(0)＝1，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)＝_______． －1 【解析】 f(x＋2)是奇函数，故f(x＋2)＝－f(－x＋2)，且f(2)＝0，f(x)是偶函数，故f(x＋2)＝－f(－x＋2)＝－f(x－2)，则f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，函数周期为8，f(x＋2)＝－f(－x＋2)，故f(3)＋f(1)＝0，f(4)＋f(0)＝0， 即f(4)＝－1，f(5)＝－f(1)，f(6)＝－f(2)＝0，f(7)＝－f(3)，f(8)＝f(0)＝1，故f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)＝－f(8)＝－1. 谢谢观赏 已知数列{an}中，a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，数列是公差为1的等差数列． (1) 求数列{an}的通项公式； 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a5＝18，S6＝48. (2) 设bn＝(n≥2)，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：当n≥3，n∈Z时，4T＞an. 由题知 ，当n≥3时，bn＝＝＝， 3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2，则数列的前n项和Tn＝__________． 4．已知数列{bn}的通项为bn＝，则其前n项和Tn＝_____________． 由题意得a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，以上n个式子累加可得an＝1＋2＋…＋n＝(n≥2)，又a1＝1满足上式，所以an＝，故A错误； 由＝＝2，得＋＋…＋＝2＝2＝，故D正确． 二、 填空题 5．已知数列{an}，a1＝1，对于任意正整数m，n，都满足am＋n＝am＋an＋mn，则＋＋…＋＝______． 令m＝1，得an＋1＝a1＋an＋n＝1＋an＋n，所以an＋1－an＝n＋1，则an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，…，a3－a2＝3，a2－a1＝2，所以当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋3＋…＋n＝，又a1＝1满足上式，所以an＝， 方法二：当n≥2时，an－an－1＝2n-2，an－1－an－2＝2n-3，…，a2－a1＝20，等式两边分别相加，得an－a1＝20＋21＋…＋2n-2＝＝2n-1－1，所以an＝2n-1－1＋a1＝2n-1＋1.当n＝1时，也符合上式，故an＝2n-1＋1. $$