2.2.4 均值不等式及其应用（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第一册）

2.2.4 均值不等式及其应用 题型一 对均值不等式的理解 1．“，”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】当，时，，即， 当时，不成立，故充分性不成立； 当时，，可以异号，故，不一定成立，故必要性不成立． 综上，知“，”是“”的既不充分又不必要条件．故选：D． 2．（23-24高一上·新疆·月考）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：若、时，故A错误； 对于B：因为，所以，所以，即， 当且仅当时取等号，故B错误； 对于C：若、时，，故C错误； 对于D：因为，所以，即， 当且仅当时取等号，故D正确；故选：D 3．不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由基本不等式可知，当且仅当， 即时等号成立，故选：. 4．（22-23高三上·安徽·月考）下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A，当且仅当即等号成立； 对B，当且仅当即等号成立； 对C，当且仅当即时等号成立； 对D，当且仅当得时等号成立，无解，等号不成立．故选：D． 题型二 利用均值不等式求最值 1．（23-24高一上·湖南株洲·月考）已知，则的最小值为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【解析】由题意知，则， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为4， 故选：C 2．（23-24高一上·福建泉州·月考）若，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【解析】， 因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立，故最小值为6，故选：C 3．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）已知正实数a，b满足，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】，, ，， 令， ， 当且仅当，即时取等号，此时， 的最大值为.故选：D. 4．（23-24高一上·广西河池·期末）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【解析】正实数满足， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值.故选：C 题型三 利用均值不等式证明不等式 1．（23-24高一上·贵州六盘水·月考）已知，求证. 【答案】证明见解析 【解析】∵，① ，② ，③ ①+②+③得；. ∴(当且仅当等号成立). 2．（23-24高一上·陕西渭南·月考）已知，，，求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1） ∵，，，∴，， 当且仅当时，等号成立.∴； （2）∵，，∴，当且仅当时，等号成立； ∵，，∴，当且仅当时，等号成立； ∵，，∴，当且仅当时，等号成立； 累加，得，证毕. 3．（23-24高一上·陕西西安·月考）已知a，b为正实数. (1)若，求证：； (2)若，求证：. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）因为a，b是正实数，则， 当且仅当时，等号成立， 故. （2） ， 当且仅当时，即，时，取等号. 4．（1）已知，，，求证：； （2）已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）， 当且仅当时等号成立， 所以. （2）， 当且仅当时等号成立， 因为a，b，c为不全相等的正实数， 所以. 题型四 与均值不等式有关的恒成立问题 1．（23-24高一上·山西太原·月考）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，故， 当且仅当，即时取等号，故.故选：D 2．（23-24高一上·河北邢台·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，且，则， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为， 因为恒成立，则.故选：A. 3．（23-24高一上·山东泰安·月考）设，且不等式恒成立，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，则， 当且仅当，即，等号成立； 由题意可得，解得.故选：C. 4．（23-24高一上·江西·月考）已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立， 所以或（舍去）， 即，当且仅当时取得， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，即实数的取值范围是.故选：B 题型五 均值不等式在实际中的应用 1．（23-24高一上·重庆·月考）小明使用一架两臂不等长的天平称黄金.小明先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，你认为小明两次称得的黄金总重量（    ）（附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中分别为左右盘中物体质量，分别为左右横梁臂长）. A．等于 B．小于 C．大于 D．与左右臂的长度有关 【答案】C 【解析】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则， 再设先称得黄金为，后称得黄金为，则， ， 当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即. 因此，小明两次称得的黄金总重量大于.故选：C 2．（23-24高一上·广西梧州·月考）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x(x为400的正因数)吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元. (1)用x表示一年购买的总次数. (2)每次购买多少吨，能使一年的总运费与总存储费用之和最小？最小值是多少？ 【答案】(1)；(2)20吨，160万元 【解析】（1）由一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，知一年购买的总次数次； （2）设一年的总运费与总存储费用之和为y万元， 则，当且仅当即时，等号成立， 因此，每次购买20吨，能使一年的总运费与总存储费用之和最小，最小值为160万元. 3．（23-24高一上·广西桂林·月考）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成． (1)现有可围长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 【答案】(1)长为，宽为；(2)长为，宽为 【解析】（1）设长为，宽为，则， 所以， 当且仅当时等号成立， 即长为，宽为时，可使每间虎笼面积最大. （2）设长为，宽为，则， 所以， 当且仅当时等号成立， 即长为，宽为时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小. 4．（23-24高一上·江苏南通·期中）第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州举办，本届亚运会吉祥物是一套名为“江南忆”的三个机器人模型，三个机器人模型分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某公益团队联系亚运会组委会计划举办一场吉祥物商品展销会，成套出售“江南忆”，将所获利润全部用于体育设施建设.据市场调查：每套吉祥物纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，（单位：元，其中销售量单位为：万套）.而当每套吉祥物售价定为x元时，销售量可达到万套.注：利润＝（售价－供货价格）×销售量（不计其他成本） (1)每套吉祥物纪念品售价为125元时，能获得的总利润是多少万元？ (2)每套吉祥物纪念品售价为多少元时，单套吉祥物的利润最大？并求出最大值. 【答案】(1)320；(2)售价为145元，利润最大，最大值为80元 【解析】（1）每套吉祥物纪念品售价为125元时， 销售量为（万套）， 供货单价为（元）， 总利润为（万元）. （2）设单套售价为元，此时销售量为万套， 供货价格为元， 同时，所以. 所以单套利润为， 当且仅当，即时取等号. 所以每套吉祥物售价为145元时，单套的利润最大，最大值是80元. 1．（23-24高一上·青海海东·月考）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，当且仅当时取等， 所以，所以“”能推出“”， 取，满足，但， “”不能推出“”, 故“”是“”的充分不必要条件.故选：A. 2．（23-24高一上·江苏徐州·月考）已知正实数满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知， 所以可得； 当且仅当，即时，等号成立； 依题意需满足，所以.故选：D 3．（23-24高一上·内蒙古赤峰·月考）《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， ，， （当且仅当与重合，即时取等号），.故选：D. 4．（23-24高一上·浙江丽水·月考）已知不等式对满足的所有正实数都成立，则正实数的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】因为， 当且仅当时，等号成立，所以， 因为，为正实数且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即， 因为对满足的所有正实数，都成立， 所以，即，整理得，解得或， 由为正数得，所以正数的最小值为.故选：B. 5．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）（多选）已知a，b为正实数，且，，，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 【答案】BD 【解析】对于A，因为，则，， 当且仅当时取“＝”，所以ab的最小值为4，A错误； 对于B，由，得，， 当且仅当，时取“＝”，B正确； 对于C，，当且仅当时，取“＝”，C错误； 对于D，因为，所以， 则，当且仅当时，取“＝”，D正确.故选：BD. 6．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）已知，，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立. 故的最小值为. 7．（23-24高一下·重庆·月考）已知x，y，． (1)若，证明：； (2)若，证明． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）因为x，，所以，当且仅当时取等号， 所以，即，则， 同理由可得， 所以，当且仅当时取等号． （2）因为x，y，，所以，，， 以上三式相加得， 所以，当且仅当时取等号． 因为x，y，，且，所以，， 所以，，所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.4 均值不等式及其应用 题型一 对均值不等式的理解 1．“，”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（23-24高一上·新疆·月考）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高三上·安徽·月考）下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 题型二 利用均值不等式求最值 1．（23-24高一上·湖南株洲·月考）已知，则的最小值为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 2．（23-24高一上·福建泉州·月考）若，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）已知正实数a，b满足，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 4．（23-24高一上·广西河池·期末）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 题型三 利用均值不等式证明不等式 1．（23-24高一上·贵州六盘水·月考）已知，求证. 2．（23-24高一上·陕西渭南·月考）已知，，，求证： (1)； (2). 3．（23-24高一上·陕西西安·月考）已知a，b为正实数. (1)若，求证：； (2)若，求证：. 4．（1）已知，，，求证：； （2）已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：. 题型四 与均值不等式有关的恒成立问题 1．（23-24高一上·山西太原·月考）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北邢台·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·山东泰安·月考）设，且不等式恒成立，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江西·月考）已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 题型五 均值不等式在实际中的应用 1．（23-24高一上·重庆·月考）小明使用一架两臂不等长的天平称黄金.小明先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，你认为小明两次称得的黄金总重量（    ）（附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中分别为左右盘中物体质量，分别为左右横梁臂长）. A．等于 B．小于 C．大于 D．与左右臂的长度有关 2．（23-24高一上·广西梧州·月考）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x(x为400的正因数)吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元. (1)用x表示一年购买的总次数. (2)每次购买多少吨，能使一年的总运费与总存储费用之和最小？最小值是多少？ 3．（23-24高一上·广西桂林·月考）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成． (1)现有可围长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 4．（23-24高一上·江苏南通·期中）第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州举办，本届亚运会吉祥物是一套名为“江南忆”的三个机器人模型，三个机器人模型分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某公益团队联系亚运会组委会计划举办一场吉祥物商品展销会，成套出售“江南忆”，将所获利润全部用于体育设施建设.据市场调查：每套吉祥物纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，（单位：元，其中销售量单位为：万套）.而当每套吉祥物售价定为x元时，销售量可达到万套.注：利润＝（售价－供货价格）×销售量（不计其他成本） (1)每套吉祥物纪念品售价为125元时，能获得的总利润是多少万元？ (2)每套吉祥物纪念品售价为多少元时，单套吉祥物的利润最大？并求出最大值. 1．（23-24高一上·青海海东·月考）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·江苏徐州·月考）已知正实数满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·内蒙古赤峰·月考）《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·浙江丽水·月考）已知不等式对满足的所有正实数都成立，则正实数的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 5．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）（多选）已知a，b为正实数，且，，，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 6．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）已知，，，则的最小值为 . 7．（23-24高一下·重庆·月考）已知x，y，． (1)若，证明：； (2)若，证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$