2.2.3 直线的一般式方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.2.3直线的一般式方程 2024.8 教学目标： 教学重点： 教学难点： 直线一般式方程、以及其特点及适用范围． 1.掌握直线一般式方程、以及其特点及适用范围； 2.理解直线的方程与二元一次方程的关系； 3.会求直线的方程，点斜式（截距式）到一般式方程的转化． 掌握直线一般式方程、以及其特点及适用范围． 情境导入 先来看看一条直线方程的几种形式 y=x+1 y－3=x－2 点斜式，斜率为1， 经过点(2，3) 斜截式，斜率为1， 在y轴上截距为1 两点式，经过点(2，3)，(1，2) 截距式，在y轴上截距为1，在x轴上截距为-1 它们各自有自己的适用条件，也就是说上述方程形式不是对任何直线都适用. 是否存在一种方程形式，对任何直线都适用？ 知识点1　直线的一般式方程 每一个关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0 (A、B不同时为0)都表示一条直线吗？ ①当B≠0时， 方程可化为 这是直线的斜截式方程，它表示斜率是 在y轴上的截距是 的直线. ②当B=0时， 方程可化为 表示垂直于x轴的一条直线 结论：每一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0 (A、B不同时为0)都表示一条直线． 1. 定义：关于 x ， y 的二元一次方程 Ax ＋ By ＋ C ＝0 （其中 A ， B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式. 强调 :对于直线方程的一般式，规定： 1)x的系数为正; 2)x,y的系数及常数项一般不出现分数; 3)按含x项，含y项、常数项顺序排列. 在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线： (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;(4)与y轴重合; (5)过原点; (1) A=0 , B≠0 ,C≠0 (2) B=0 , A≠0 , C≠0 (3) A=0 , B≠0 ,C=0 (4) B=0 , A≠0, C=0 (5) C=0，A、B不同时为0 O x y 2. 一般式与其他形式的互化 Ax ＋ By ＋ C ＝0 (其中 A ， B 不同时为0) 点斜式 y-y1=k(x-x1) 斜截式 截距式 两点式 B≠0 ABC≠0 1. 若方程 Ax ＋ By ＋ C ＝0表示直线，则 A ， B 应满足的条件为( ) 理解自测 A. A ≠0 B. B ≠0 C. A · B ≠0 D. A2＋ B2≠0 根据直线方程的一般式可知，要使 Ax ＋ By ＋ C ＝0表示 直线，则 A ， B 不能同时为0，即 A2＋ B2≠0. 2. 若直线 l 的方程为2 x ＋ y ＋3＝0，求直线 l 的纵截距、横截距及斜率. 令 x ＝0，得 y ＝－3， 故直线 l 的纵截距为－3. 令 y ＝0，得 x ＝ 故直线 l 的横截距为 2 x ＋ y ＋3＝0，即 y ＝－2 x －3，故直线 l 的斜率为－2. 知识点2 两直线位置关系的判断 直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0， 试讨论： (1) l1∥l2 (2) l1⊥l2 A2≠0,B2≠0,C2≠0, 先观察斜率是否存在， 再看斜率是否相等， l1⊥l2 A1A2+B1B2=0 直线系方程 1)与直线l：Ax+By+C=0 平行的直线系方程为：Ax+By+m=0 (其中m≠C，m为待定系数) O x y Ax+By+C=0 只是常数不一样，其余相同 2)与直线l：Ax+By+C=0 垂直的直线系方程为：Bx-Ay+m=0 (m为待定系数) O x y Ax+By+C=0 题型一 直线的一般式方程 角度1　求直线的一般式方程 例1　根据下列条件求直线的一般式方程： （1）直线的斜率为2，且经过点 A （1，3）； 由直线的点斜式方程可得 y －3＝2（ x －1）， 整理可得2 x － y ＋1＝0， 先求点斜式，再化成一般式 （2）斜率为 ，且在 y 轴上的截距为4； 先求斜截式方程 （3）经过两点 A （2，－3）， B （－1，－5）； 由直线的两点式方程可得 整理得直线的一般式方程为2 x －3 y －13＝0. （4）在 x ， y 轴上的截距分别为2，－4. 由直线的截距式方程可得 整理得直线的一般式方程为2 x － y －4＝0. 常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程， 然后转化为一般式. 角度2　直线的一般式方程的几何意义 例2（2024·济源质检）求下列直线的斜率以及在两坐标轴上的 截距，并画出图形. 将直线的方程化为斜截式为 y ＝ 因此该直线的斜率为 在 y 轴上的截距是－3. 令 y ＝0，得 x ＝－4，即直线在 x 轴上的截距是－4 O x y －4 －3 （2）4 x －6 y ＋3＝0. 将直线的方程化为斜截式为 y= 因此该直线的斜率为 在 y 轴上的截距是 . 令 y ＝0，得 x ＝ O x y 题型二 一般式下两直线的平行或垂直 角度1　由平行、垂直求直线方程 例3　（2024·莆田月考）已知直线 l 的方程为3 x ＋4 y －12＝0，求 满足下列条件的直线l'的方程： （1）过点（－1，3），且与 l 平行； 设直线l'的方程3 x ＋4 y ＋m＝0， 又因为l'过点（－1，3）， m＝－9 即3 x ＋4 y －9＝0. （2）过点（－1，3），且与 l 垂直. 设直线l'的方程4 x －3 y ＋ n ＝0， 将（－1，3）代入上式得 n ＝13. 所以所求直线的方程为4 x －3 y ＋13＝0. 角度2　由直线的平行、垂直求参数 例4　已知两条直线 l1：（ a －1） x ＋2 y ＋1＝0与 l2： x ＋ ay ＋1 ＝0平行，则 a ＝（　　） A. －1 B. 2 C. 0或－2 D. －1或2 由两线平行斜率相等 解得 a ＝－1或 a ＝2. 验证当 a ＝－1时，两线平行 当 a ＝2时，两线重合，故舍去 练习：（2024·梅州月考）已知直线 l1： x ＋ my －2 m －2＝0，直线 l2： mx ＋ y －1－ m ＝0，则当 l1⊥ l2时， m ＝ 　　；当 l1∥ l2时， m ＝ 　　. 若 l1⊥ l2，则1× m ＋ m ×1＝0，得 m ＝0； 若 l1∥ l2，则 m2－1＝0， 经验证m ＝1 题型三 由含参一般式求参数的值（范围） 例5　（1）（2024·泰州质检）设直线 l 的方程为（ m －1） x ＋ y － m ＝0（ m ∈R）.若直线 l 不过第三象限，则 m 的取值范围为  　　 ； 将直线 l 的方程化成斜截式，得 y ＝（1－ m ） x ＋ m ， 解得 m 的取值范围为[1，＋∞）. 当直线 不过第三象限，则该直线的斜率小于等于零， （2）直线 l 的方程为（ a ＋1） x ＋ y ＋2－ a ＝0（ a ∈R）.若 l 在两坐 标轴上的截距相等，则 l 的方程为 　 　. 当直线 l 过原点时，该直线在 x 轴和 y 轴上的截距都为零，显然相等， a ＝2，即 l 的方程为3 x ＋ y ＝0； 当直线 l 不过原点， l 的方程为3 x ＋ y ＝0或 x ＋ y ＋2＝0. 练习：(多选)已知直线l1：x＋ay－a＝0和直线l2：ax－(2a－3)y－1＝0，下列说法正确的是(　　) A.直线l1与l2在x轴上的截距相等，则a＝－1 B.若l1∥l2，则a＝1或a＝－3 C.若l1⊥l2，则a＝0或a＝2 D.当a>0时，l1始终不过第三象限 显然a≠0，则直线l1：x＋ay－a＝0中，令y＝0，则x＝a， 直线l2中， 解得a＝±1， 若l1∥l2，则－(2a－3)＝a2，解得a＝1或a＝－3 检验a＝－3满足 若l1⊥l2，则1×a－a(2a－3)＝0，解得a＝0或a＝2，故C正确； 直线l1经过第一、二、四象限，不过第三象限， $$