山东省泰安市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

高一数学试题 第 页 （共4页） 试卷类型:A 高 一 年 级 考 试 数 学 试 题 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 2024.07 1. 若复数 z满足 z (1 + i ) = 1 - i ( i为虚数单位 ),则z̄ 的虚部为 A. -1 B. -i C. 1 D. i 2. 若a,b为非零向量，则“ || a + b = || a + || b ”是“a∥ b”的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知m,n为两条不同的直线，α, β为两个不同的平面，则下列结论正确的是 A. 若m∥ α,n∥ α，则m∥ n B. 若α∥ β,m ⊥ α,n∥ β,则m ⊥ n C. 若m ⊂ α,n ⊂ α,m∥ β,n∥ β，则α∥ β D. 若α ⊥ β,m∥ α,n∥ β，则m ⊥ n 4. 已知在△ABC中，AB = 1,AC = 63 ,C = π 3 ,则B = A. π 4 B. π 6 C. 3π 4 D. π 4 或 3π 4 5. 如图是某公司2023年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示 完成率的高低，如 10 月份销售任务是 400台，完成率为90%，则下列叙述正确 的是 （1）2023 年 9 月的销售量是 450 台；（2） 2023年月销售任务的平均值不超过600 台；（3）2023年第四季度总销售为800台； （4）2023年月销售量最大的是6月份. A.（1）（2） B.（1）（3） C.（1）（3）（4） D.（1）（2）（4） 1 高一数学试题 第 页 （共4页） 6. 某班共有40名同学，其中12名同学精通乐器，8名同学擅长舞蹈，从该班中任选一名同 学了解其艺术特长，设事件A =“选中的同学精通乐器”，B =“选中的同学擅长舞蹈”，若 P ( A⋃ B ) = 25，则P ( AB ) = A. 1 4 B. 1 5 C. 1 8 D. 1 10 7. 如图，在坡度一定的山坡 A处测得山顶上一建筑物 CD的顶端 C对于山坡的斜度为 15°，向山顶前进100m到达B处，在B处测得C对于 山坡的斜度为30°.若CD = 60m，山坡与地平面的夹 角为 θ，则 cos θ = A. 2 - 1 B. 34 C. 5 6 D. 6 + 2 4 8. 祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理： “幂势既同，则积不容异”，这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是： 两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相 等.利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差. 如图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以 2 3为半径的半圆， 平面 AOC和平面BOD均垂直于平面 ABCD，用任意平行于账篷底面 ABCD的平面截帐 篷，所得截面四边形均为正方形.模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷 同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该 帐篷的体积为 A. 24 3 π B. 16 3 C. 32 3 D. 16 3 π 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 已知复数 z1 , z2，则下列结论正确的是 A. z1 2 = z̄1 2 B. 若 z1 = z̄2则 z2 = z̄1 C. || z1 z2 = || z1 · || z2 D. 若 || z - i = 1，则 z = 0或 z = 2i 2 高一数学试题 第 页 （共4页） 10. 已知在直角△ABC中，斜边 AB = 2，P为△ABC所在平面内一点， BP = 12 sin2θ   BA + cos2θ  BC (θ ∈ R )，则下列结论正确的是 A.   AB· AC的取值范围是 (0,4 ) B. 点P在斜边AB的中线上 C. 点P的轨迹长度是2 D.   PC·(  PA +  PB )的取值范围是 [ - 12 ,0 ] 11. 如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥ BC,AD = AB = 12 BC = 2,将△ABD沿BD翻 折到△A'BD位置，则下列结论正确的是 A. 翻折过程中存在某个位置，使A'C ⊥ CD B. 当二面角 A' - BD - C为120°时，点C到平面 A'BD的 距离为 3 . C. 直线A'B与CD所成角的取值范围为 [ π3 , π 2 ] D. 当三棱锥A' - BCD的体积最大时，以A'C为直径的球 被平面A'BD所截的截面面积为π 三、填空题：本题共 3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知单位向量a,b的夹角为 2π3 ， || a - mb = 7，则m = . 13. 某班学生分成了A,B两个数学兴趣小组，A组20人，B组30人，经过一周的学习后进行 了一次测试，在该测试中，A组成绩的平均数为90分，方差为30，B组成绩的平均数为 80分，方差为40，则在这次测试中，全班学生成绩的方差为 . 14. 如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边 AC = 8,∠BAC = π3 ,∠DAC = π 4 ,BD交AC于点E，则 AE = . 四、解答题：本题共5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 青少年时期是身心健康和各项身体素质发展的 关键时期，青少年的体质健康水平不仅关系个人健 康成长和幸福生活，而且关系整个民族健康素质， 关系我国人才培养的质量。某高中为了解本校高 一年级学生体育锻炼情况，随机抽取100名同学，统 计他们每天锻炼的时间作为样本得到如图所示的 频率分布直方图 . 已知样本中体育锻炼时间在 [ 60,70 )的学生有20人. 3 高一数学试题 第 页 （共4页） （1）求频率分布直方图中a和 b的值； （2）估计样本数据的第70百分位数和平均数. 16.（15分） 如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，D,E分别为 AA1 ,BC1 的中点. AB = AC = 2, BC = 2 3 , AA1 = 2 （1）求证：DE ∥平面ABC； （2）求直线CD与平面BCC1所成角的正切值. 17.（15分） 在 △ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,b = 2 3，(a - 3 c )sin (B + C ) = (sin B - sin C ) (b + c ). （1）求B； （2）若△ABC为锐角三角形，求a2 - 3 ac + 2c2的取值范围. 18.（17分） 如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察 它与地面接触的面上的数字，得到样本空间 Ω = {1,2,3,4,5,6,7,8 }，已知事件 A =“与地面接触的面上的数 字为偶数”，事件B =“与地面接触的面上的数字不小于 5”. （1）判断事件A与B是否相互独立，并证明； （2）连续抛掷3次这个正八面体，求事件AB至少发生 2次的概率； （3）请构造一个含有2个样本点的事件C，满足 ① P ( ABC ) ≠ 0 ② A,B,C 三 个 事 件 两 两 独 立 ③ P ( ABC ) ≠ P ( A )P (B )P (C ),并给出证明. 19.（17分） 如图，在矩形ABCD中，AB = 4,AD = 2,E是线段AB上的一点，将△ADE沿DE翻折，使A 点到达P的位置，且点P不在平面BCDE内. （1）若平面PCD ⊥平面BCDE,证明： 平面PDC ⊥平面PBC； （2）设 E为 AB的中点，取 DE的中点 O，连接 AO并延长，交BC延长线于点S，设∠POS = α. ①用α表示二面角P - BC - D的正切； ②当二面角 P - BC - D最大时，求四棱锥 P - BCDE的体积. 4 高一数学试题参考答案 第 页 （共5页） 高 一 年 级 考 试 数学试题参考答案及评分标准 一、单项选择题： 题 号 答 案 1 C 2 B 3 B 4 A 5 A 6 D 7 C 8 C 二、多项选择题： 题 号 答 案 9 BC 10 ABD 11 BCD 三、填空题： 12. -3或2 13. 60 14. 4 ( 3 - 1 ) 四、解答题： 15.（13分） 2024.07 解：（1）b = 20100 × 1 10 = 0.020 ………………………………………………………… 3分 因为每组小矩形的面积之和为1， 所以 (0.005 + 0.010 + 0.020 + 0.030 + a + 0.010 ) × 10 = 1， 则a = 0.025. ………………………………………………………………………… 6分 （2）时间落在 [ 40,80 )内的频率为 (0.005 + 0.010 + 0.020 + 0.030 ) × 10 = 0.65， 落在 [ 40,90 )内的频率为 (0.005 + 0.010 + 0.020 + 0.030 + 0.025 ) × 10 = 0.9， 因此，样本数据的第70%分位数一定位于 [ 80,90 )内， 由80 + 10 × 0.7 - 0.650.9 - 0.65 = 82， 可以估计样本数据的第70%分位数约为82. ……………………………………… 10分 平均数为45 × 0.05 + 55 × 0.1 + 65 × 0.2 + 75 × 0.3 + 85 × 0.25 + 95 × 0.1 = 74… 13分 16.（15分） （1）证明：取BC的中点F,连接AF,EF 又E为BC1的中点 ∴ EF 12 CC1 又AD 1 2 CC1 ∴ EF AD ∴四边形ADEF为平行四边形 ∴ DE ∥ AF ……………………………………… 4分 ∥= ∥= ∥= 1 高一数学试题参考答案 第 页 （共5页） 又DE ⊄平面ABC，AF ⊂平面ABC ∴ DE ∥平面ABC ……………………………………………………………… 6分 （2）解：连接CE ∵ AB = AC,BF = CF ∴ AF ⊥ BC …………………………………………………………………… 8分 又CC1 ⊥平面ABC，AF ⊂平面ABC ∴ AF ⊥ CC1 ………………………………………………………………… 10分 又BC ⋂ CC1 = C，BC,CC1 ⊂平面BB1C1C ∴ AF ⊥平面BB1C1C 又DE ∥ AF ∴ DE ⊥平面BB1C1C. 则∠DCE为直线CD与平面BCC1所成的角………………………………… 12分 ∵ AF = AC2 - CF 2 = 1 ∴ DE = 1 又CE = 12 BC2 + BB1 2 = 2 ∴ tan ∠DCE = DE CE = 12 ∴直线CD与平面BCC1所成角的正切值为 12……………………………… 15分 17.（15分） 解：（1）由已知得 (a - 3 c )sin A = (sinB - sinC ) (b + c )， 由正弦定理得a (a - 3 c ) = (b - c ) (b + c )，即a2 + c2 - b2 = 3 ac，…………… 3分 由余弦定理得 cosB = a2 + c2 - b22ac = 3 ac 2ac = 3 2 ， ……………………………… 5分 因为B ∈ (0,π )，所以B = π6；………………………………………………………… 7分 （2）由正弦定理得 c sin C = b sin B = 2 3 sin π6 = 4 3， 所以 c = 4 3 sin C,…………………………………………………………………… 9分 由（1）得a2 + c2 - 12 = 3 ac， 所以a2 - 3 ac + 2c2 = 12 - c2 + 2c2 = 12 + c2 ………………………………… 10分 因为△ABC为锐角三角形，B = π6 ,所以C ∈ ( π 3 , π 2 )， …………………………… 12分 所以 c = 4 3 sin C ∈ (6,4 3 )， 则a2 - 3 ac + 2c2 = 12 + c2 ∈ (48,60 ) …………………………………………… 15分 2 高一数学试题参考答案 第 页 （共5页） 18.（17分） 解：（1）根据题意可得，A = { 2,4,6,8 } ,B = { 5,6,7,8 } ,A⋂ B = { 6,8 } ∴ P ( A ) = 48 = 1 2 ………………………………………………………………… 1分 P (B ) = 48 = 1 2 ………………………………………………………………… 2分 P ( AB ) = 28 = 1 4 ………………………………………………………………… 3分 ∴ P ( AB ) = P ( A )P (B ) ∴事件A与事件B相互独立. ………………………………………………… 4分 （2）设Ci =“第 i次抛掷正八面体，事件AB发生”，i = 1,2,3 由（1）可知P (Ci ) = 14 ,( i = 1,2,3 ) 由于每次抛掷的结果互不影响，所以C1与C2，C1与C3，C2与C3相互独立. 设D =“连续抛掷三次这个正八面体，事件AB至少发生2次” 则D = C1C2C3 + C1C2-C3 + C1-C2C3 +-C1C2C3 ……………………………… 6分 且C1C2C3,C1C2-C3 ,C1-C2C3,-C1C2C3两两互斥. ∴ P (D ) = P (C1C2C3 + C1C2-C3 + C1-C2C3 +-C1C2C3 ) = P (C1C2C3 ) + P (C1C2-C3 ) + P (C1-C2C3 ) + P (-C1C2C3 ) = 14 × 1 4 × 1 4 + 1 4 × 1 4 × 3 4 × 3 = 532 ……………………………………………………………… 10分 （3）事件C可以为{1,6 }，{1,8 }，{ 3,6 }，{ 3,8 }中的任意一个 …………………… 13分 以C = {1,6 }为例证明如下： ∵ P (C ) = 28 = 1 4 A⋂ C = { 6 } ,B ⋂ C = { 6 } , A⋂ B ⋂ C = { 6 } ∴ P ( ABC ) = 18 ≠ 0 ………………………………………………………… 14分 P ( AC ) = 18 = P ( A )P (C ) P (BC ) = 18 = P (B )P (C ) P ( AB ) = 14 = P ( A )P (B ) ∴ A,B,C三个事件两两独立 ………………………………………………… 15分 3 高一数学试题参考答案 第 页 （共5页） 又P ( ABC ) = 18 而P ( A )P (B )P (C ) = 12 × 1 2 × 1 4 = 1 16 ∴ P ( ABC ) ≠ P ( A )P (B )P (C ) ∴ C = {1,6 }满足上述三个条件.…………………………………………… 17分 19.（17分） （1）证明： ∵平面PDC ⊥平面BCDE，平面PDC ⋂平面BCDE = CD, BC ⊥ CD ∴ BC ⊥平面PDC ……………………………………………………………… 2分 又BC ⊂平面PBC ∴平面PDC ⊥平面PBC ………………………………………………………… 4分 （2）解：①因为在矩形ABCD中，AB = 4,AD = 2,E为AB的中点， 所以△ADE为等腰直角三角形，所以AS ⊥ DE,△PDE为等腰直角三角形， 连接PO,则PO ⊥ DE, 因为PD = PE = 2,所以DE = 2 2 ,所以PO = 12 DE = 2 . 由条件可得∠OAE = 45°,所以△ABS为等腰直角三角形， 所以BS = 4. 因为OS ⊥ DE，PO ⊥ DE,PO ⋂ OS = O,PO,OS ⊂平面PSO, 所以DE ⊥平面POS, 而DE ⊂平面BEDC,所以平面BEDC ⊥平面POS. 在平面POS中，过P作SO的垂线，垂足为H，过H作HG ⊥ BC,垂足为G，连接PG, 因为平面BEDC ⋂平面POS = OS,所以PH ⊥平面BEDC, 而BC⊂平面BEDC,所以PH⊥BC, 而PH⋂GH =H,PH,GH⊂平面PGH, 所以BC⊥平面PGH. 所以∠PGH为二面角P - BC - D的平面角，…………………………………… 7分 4 高一数学试题参考答案 第 页 （共5页） 因为∠POS = α,0 < α < π,则PH = 2 sin α,AH = 2 + 2 cos α, …………… 8分 所以SH = 3 2 - 2 cos α,所以GH = 3 - cos α……………………………… 10分 所以 tan∠PGH = 2 sin α3 - cos α (0 < α < π )； ……………………………………… 11分 ②tan∠PGH = 2 sin α3 - cos α = 2 2 sin α2 cos α 2 3 sin2 α2 + 3 cos2 α 2 - cos2 α 2 + sin2 α 2 ……………… 13分 = 2 sin α 2 cos α 2 cos2 α2 + 2 sin2 α 2 ≤ 12，当且仅当 tan α 2 = 2 2 时等号成立， 此时 sin α = 2 23 ， 所以当PH = 43时，二面角P - BC - D的平面角最大，……………………… 15分 因为S梯形BCDE = 12 × (2 + 4 ) × 2 = 6,……………………………………………… 16分 所以VP - BCDE = 13 S梯形BCDE·PH = 1 3 × 6 × 4 3 = 8 3 . ………………………………… 17分 5