精品解析：2024年江苏省徐州市数学中考押题卷(一)

2024年徐州市数学中考押题卷（一） （满分：140分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的相反数是（ ） A 2 B. C. D. 2. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 整数a满足，则a值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度，一只蚂蚁从A点出发，向右爬了2个单位长度到达B点，则点B表示的数是（　　） A. B. 6 C. 或6 D. 或2 6. 如图是某市连续20天的平均气温折线统计图，则下列说法正确的是（ ） A. 平均数是9.4，众数是10 B. 中位数是9，平均数是10 C. 中位数是9.4，众数是9 D. 中位数是9.5，众数是9 7. 已知 ，（a 为任意实数），则值（ ） A. 小于 0 B. 等于 0 C. 大于 0 D. 无法确定 8. 如图，在中，分别为的中点，与交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___________． 10. 将0.0000031用科学记数法表示为__________． 11. 分解因式：____________． 12. 如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在白色区域的概率是________． 13. 若圆锥的母线长为6，底面半径为2，则其侧面积为_______． 14. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为_______． 15. 如图，已知，，，则等于_____． 16. 《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系．第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用现在的数学语言可表述为：“如图，是的直径，弦于点，寸，寸，求直径的长．”可求出直径的长为_______寸． 17. 如图，在矩形中，，，M、N分别是边、上的点，将四边形沿翻折至四边形，点E落在边上，且，则的长为________． 18. 已知抛物线（a，b，c是常数），，下列三个结论： ①若抛物线经过点，则； ②若，则方程一定有根； ③抛物线与轴一定有两个不同的公共点． 其中正确的是____________（填写序号）． 三、解答题（本大题共有10小题，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 21. 在中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点E，使，连接BE． （1）求证：； （2）求证：四边形BCDE是平行四边形． 22. 党的十八大以来，我国把科技自立自强作为国家发展的战略支撑，科技事业发生了历史性、整体性、格局性变化，成功跨入创新型国家的行列，专利项目多项指数显著攀升．如图是某市2019年到2023年专利授权情况的统计图． 根据以上信息回答下列问题： （1）该市从2019年到2023年，专利授权量最多的是 年： （2）该市从2019年到2023年，专利授权量年增长率的中位数是 ； （3）与2022年相比，2023年该市专利授权量增加了 件，专利授权量年增长率提高了 个百分点；（注：为1个百分点） （4）根据统计图提供信息，有下列说法，正确的画“√”，错误的画“×”． ① 因为2022年的专利授权量年增长率最低，所以2022年的专利授权量的增长量就最小．（     ） ② 与2021年相比，2022年的专利授权量年增长率虽然下降，但专利授权量仍然上升．这是因为专利授权量年增长率，所以只要专利授权量年增长率大于零，当年专利授权量就一定增加．（     ） ③ 通过统计数据，可以看出该市区域科技创新力呈上升趋势，为国家科技自立自强贡献力量．（     ） 23. 在物理实验中，当电流通过电子元件时，每个元件的状态有两种可能：通过或断开，并且这两种状态的可能性相等． （1）如图1，当两个电子元件a、b并联时，请用树状图或列表法表示图中P、Q之间电流能否通过的所有可能情况，并求出P、Q之间电流通过的概率； （2）如图2，当有三个电子元件并联时，请直接写出P、Q之间电流通过的概率为______． 24. 今年五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰．某热门景点的门票价格规定见下表： 票的种类 A B C 购票人数/人 1~50 51~100 100以上 票价/元 50 45 40 某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人（甲团人数多于乙团），在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元． （1）求两个旅游团各有多少人？ （2）一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买B种门票比购买A种门票节省？ 25. 在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，） 26. 中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题： 原文 释义 甲乙丙为定直角． 以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧； 以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己； 再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚； 乙与己及庚相连作线． 如图2，为直角． 以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线，分别于点，； 以点为圆心，以长为半径画弧与交于点； 再以点为圆心，仍以长为半径画弧与交于点； 作射线，． （1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据（1）完成的图，直接写出，，的大小关系． 27. 已知函数与函数，定义新函数． （1）若，则新函数_______； （2）若新函数y的表达式为，则_______，_______； （3）设新函数y顶点为． ①当k为何值时，n有大值，并求出最大值； ②求n与m的函数表达式． 28. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点． （1）求二次函数表达式； （2）如图1，求周长的最小值； （3）如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年徐州市数学中考押题卷（一） （满分：140分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数；根据相反数的意义即可求解． 【详解】解：的相反数是2， 故选A． 2. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义(在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形)，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意； 故选D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方及合并同类项，熟练掌握运算法则是解题关键．根据运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A．，故选项A计算正确，符合题意； B．，故选项B计算错误，不符合题意； C．，故选项C计算错误，不符合题意； D． 和不是同类项，不能合并，故选项D计算错误，不符合题意； 故选：A． 4. 整数a满足，则a的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键．根据夹逼法估算无理数的大小即可求出a的值． 【详解】解：， ． 故选：C． 5. 点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度，一只蚂蚁从A点出发，向右爬了2个单位长度到达B点，则点B表示的数是（　　） A. B. 6 C. 或6 D. 或2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，以及用数轴上的点表示有理数，由“点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度”得到点A表示的数（注意考虑在原点左侧或右侧两种情况），再根据向右爬了2个单位长度到达B点，得到点B表示的数，即可解题． 【详解】解：因为点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度， 所以点A表示的数是4或， 又因为蚂蚁从A点出发，向右爬了2个单位长度到达B点， 所以点B表示的数是：或． 故选：C． 6. 如图是某市连续20天的平均气温折线统计图，则下列说法正确的是（ ） A. 平均数是9.4，众数是10 B. 中位数是9，平均数是10 C. 中位数是9.4，众数是9 D. 中位数是9.5，众数是9 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数、中位数及加权平均数的定义分别求解即可． 【详解】解：平均数为， 众数是10， 中位数为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了众数、中位数、加权平均数，解题的关键是掌握众数、中位数及加权平均数的定义． 7. 已知 ，（a 为任意实数），则的值（ ） A. 小于 0 B. 等于 0 C. 大于 0 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质．熟练掌握整式的加减，完全平方式与配方法，非负数的性质，是解题的关键． 根据完全平方式利用配方法把的代数式变形，根据偶次方的非负性判断即可． 【详解】 ， ∵， ∴， ∴大于0， 故选：C． 8. 如图，在中，分别为的中点，与交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半，三角形中线交点的性质，根据勾股定理可求出，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，再根据三角形中线交点（重心）的性质“三角形的三条中线交于一点，该点叫三角形的重心，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍”即可求解，掌握勾股定理定理，直角三角形斜边中线的性质，重心的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是中点， ∴，且点是三角形的重心， ∴， ∴，   故选：B ． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 10. 将0.0000031用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．所以，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数．本题小数点往右移动到3的后面，所以 【详解】解：0.0000031 故答案为： 【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较小的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响． 11. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在白色区域的概率是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，直接用白色区域面积除以区域总面积即可得到答案． 【详解】解：∵一共有四个等面积的区域，其中白色区域有2个，且指针落在每个区域的概率相同， ∴当转盘停止转动时，指针落在白色区域的概率是， 故答案为：． 13. 若圆锥的母线长为6，底面半径为2，则其侧面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，根据圆锥的侧面积计算公式（其中r为底面圆半径长，l为母线长）进行求解即可． 【详解】解：设该圆锥的侧面积为S， 由题意得，， 故答案为：． 14. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系．直接利用根与系数的关系，，再代入计算即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为和， ，， ． 故答案为：2． 15. 如图，已知，，，则等于_____． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查了垂线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理，由垂线的定义得出，求出，再由平行线的性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系．第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用现在的数学语言可表述为：“如图，是的直径，弦于点，寸，寸，求直径的长．”可求出直径的长为_______寸． 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．连接，设寸，则寸，寸，先根据垂径定理求出寸，再在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，连接， 则， 设寸，则寸，寸， ∵是的直径，弦于点，寸， 寸， 在中，，即， 解得， 则寸， 故答案为：26． 17. 如图，在矩形中，，，M、N分别是边、上的点，将四边形沿翻折至四边形，点E落在边上，且，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查矩形与折叠的问题、勾股定理、解直角三角形，设与交于点，由折叠可知 ，，再根据同角的余角相等以及等角的余角相等可得，再设，则，在 中，根据勾股定理列出方程，求出则，，在中，，因此，在中，，以此计算即可求解． 【详解】解：如图，设与交于点． ∵四边形为矩形， ， ∴，，， ∵将四边形沿翻折至四边形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得：， ∴， 在中，，， ∴，， 在 中，， ， 在 中，， ， 故答案为：． 18. 已知抛物线（a，b，c是常数），，下列三个结论： ①若抛物线经过点，则； ②若，则方程一定有根； ③抛物线与轴一定有两个不同的公共点． 其中正确的是____________（填写序号）． 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据题意可得抛物线经过点，则由对称轴可得抛物线对称轴为直线，根据对称轴计算公式即可判断①；先求出，再把代入方程看方程左右两边是否相等即可判断②；求出判别式的符号即可判断③． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线经过点， 若抛物线经过点，则抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 若，则， 当时，方程的左边方程右边， ∴若，则方程一定有根，故②正确； 由题意得， 当时，，此时抛物线与x轴只有一个交点，故③错误； 故答案为：①②． 三、解答题（本大题共有10小题，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，分式的混合运算，负整数指数幂： （1）先计算负整数指数幂，算术平方根，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解一元二次方程： （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） 解得； （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 21. 在中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点E，使，连接BE． （1）求证：； （2）求证：四边形BCDE是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用SAS直接证明； （2）利用和已知条件证明，即可推出四边形BCDE平行四边形． 【小问1详解】 证明：∵点F为边AB的中点， ∴， 在与中， ， ∴； 【小问2详解】 证明：∵点D为边AC的中点， ∴， 由（1）得， ∴，， ∴，， ∴四边形BCDE是平行四边形． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定方法，难度较小，根据所给条件正确选用平行四边形的判定方法是解题的关键． 22. 党的十八大以来，我国把科技自立自强作为国家发展的战略支撑，科技事业发生了历史性、整体性、格局性变化，成功跨入创新型国家的行列，专利项目多项指数显著攀升．如图是某市2019年到2023年专利授权情况的统计图． 根据以上信息回答下列问题： （1）该市从2019年到2023年，专利授权量最多的是 年： （2）该市从2019年到2023年，专利授权量年增长率的中位数是 ； （3）与2022年相比，2023年该市专利授权量增加了 件，专利授权量年增长率提高了 个百分点；（注：为1个百分点） （4）根据统计图提供的信息，有下列说法，正确的画“√”，错误的画“×”． ① 因为2022年的专利授权量年增长率最低，所以2022年的专利授权量的增长量就最小．（     ） ② 与2021年相比，2022年的专利授权量年增长率虽然下降，但专利授权量仍然上升．这是因为专利授权量年增长率，所以只要专利授权量年增长率大于零，当年专利授权量就一定增加．（     ） ③ 通过统计数据，可以看出该市区域科技创新力呈上升趋势，为国家科技自立自强贡献力量．（     ） 【答案】（1）2023 （2） （3）， （4）×，√，√ 【解析】 【分析】本题主要考查条形图与折线图的综合，掌握调查与统计的相关概念及计算，根据条形图和折线图提供的信息进行分析是解题的关键． （1）根据条形图的数量即可求解； （2）根据题意，将专利授权量年增长率从小到大排序，再根据中位数的计算方法即可求解； （3）运用增长量和增长率进行计算即可求解； （4）根据条线图，折线图的信息即可求解． 【小问1详解】 解：根据图示，专利授权量最多的是2023年， 故答案为：2023； 【小问2详解】 解：从2019年到2023年专利授权量年增长率从小到大排序为：,，,，， ∴中位数是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：专利授权量增加量为：（件），专利授权量年增长率提高了，即提高了个百分点， 故答案为：，； 【小问4详解】 解：2020年的增长量为（件），2022年的增长量为（件）， ∴2022年的专利授权量年增长率最低，当2022年的专利授权量的增长量不是最小，故①×； ∵，且2022年的增长率为， ∴只要专利授权量年增长率大于零，当年专利授权量就一定增加，故②√； 通过统计数据，可以看出该市区域科技创新力呈上升趋势，为国家科技自立自强贡献力量，故③√； 故答案为：×，√，√． 23. 在物理实验中，当电流通过电子元件时，每个元件的状态有两种可能：通过或断开，并且这两种状态的可能性相等． （1）如图1，当两个电子元件a、b并联时，请用树状图或列表法表示图中P、Q之间电流能否通过的所有可能情况，并求出P、Q之间电流通过的概率； （2）如图2，当有三个电子元件并联时，请直接写出P、Q之间电流通过的概率为______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了树状图法求概率，物理学中有关“并联电路”的知识； （1）由题意画出树状图找到所有的等可能事件，结合并联电路的知识求出对应的概率即可； （2）由题意画出树状图找到所有的等可能事件，结合并联电路的知识求出对应的概率即可． 小问1详解】 解：用树状图表示为： 由图可知，共有4种等可能结果，其中P、Q间没有电流通过的只有1种，有电流通过的有3种， ∴之间电流通过的概率是； 【小问2详解】 画树状图得： 由图可知，共有8种等可能结果，其中没有电流通过的只有1种，有电流通过的有7种， ∴之间电流通过的概率是． 故答案为：． 24. 今年五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰．某热门景点的门票价格规定见下表： 票的种类 A B C 购票人数/人 1~50 51~100 100以上 票价/元 50 45 40 某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人（甲团人数多于乙团），在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元． （1）求两个旅游团各有多少人？ （2）一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买B种门票比购买A种门票节省？ 【答案】（1）甲团人数有58人，乙团人数有44人； （2）当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购买A种门票节省． 【解析】 【分析】（1）设甲团人数有x人，乙团人数有y人，根据“甲、乙两个旅游团共102人，把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元”列方程组求解即可； （2）设游客人数为a人时，购买B种门票比购买A种门票节省，根据“人数不足50人，购买B种门票比购买A种门票节省”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设甲团人数有x人，乙团人数有y人， 由题意得：， 解得：， 答：甲团人数有58人，乙团人数有44人； 【小问2详解】 解：设游客人数为a人时，购买B种门票比购买A种门票节省， 由题意得：， 解得：， ∵a为整数， ∴当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购买A种门票节省． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，找出合适的等量关系和不等关系列出方程组和不等式是解题的关键． 25. 在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，） 【答案】铜像的高度是； 【解析】 【分析】根据题意可得，从而求出，即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴铜像的高度是； 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，关键是求出． 26. 中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题： 原文 释义 甲乙丙为定直角． 以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧； 以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己； 再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚； 乙与己及庚相连作线． 如图2，为直角． 以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线，分别于点，； 以点为圆心，以长为半径画弧与交于点； 再以点为圆心，仍以长为半径画弧与交于点； 作射线，． （1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据（1）完成的图，直接写出，，的大小关系． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）连接DF，EG，可得 和均为等边三角形，，进而可得． 【小问1详解】 解：（1）如图： 【小问2详解】 ． 理由：连接DF，EG如图所示 则BD=BF=DF，BE=BG=EG 即和均为等边三角形 ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查了尺规作图，根据题意正确作出图形是解题的关键． 27. 已知函数与函数，定义新函数． （1）若，则新函数_______； （2）若新函数y的表达式为，则_______，_______； （3）设新函数y顶点为． ①当k为何值时，n有大值，并求出最大值； ②求n与m函数表达式． 【答案】（1） （2）5， （3）①当时，；② 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题： （1）将代入函数，得，即可求出结果； （2）根据定义求出新函数得，和题目所给的对比，从而求出k和b的值； （3）①利用配方法将（2）中的新函数解析式写成顶点式，得到顶点坐标的表达式，即可求出n的最大值； ②根据①中的关系式，将代入即可求出结果． 【小问1详解】 解：当时，， ∵函数，定义新函数， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵函数与函数，定义新函数， ∴新函数的解析式为， ∵新函数的解析式为， ∴，， ∴，， 故答案为：5，； 【小问3详解】 解：①由（2）知，新函数解析式为， ∵新函数顶点为， ∴， ∴， ∵， 当时，； ②由①知，， 将代入得： ∴． 28. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点． （1）求二次函数表达式； （2）如图1，求周长的最小值； （3）如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为，将代入求解即可； （2）作点O关于直线的对称点E，连接，根据点坐特点及正方形的判定得出四边形为正方形，，连接AE，交于点D，由对称性，此时有最小值为AE的长，再由勾股定理求解即可； （3）由待定系数法确定直线的表达式为，直线的表达式为，设，然后结合图形及面积之间的关系求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，设抛物线的表达式为， 将代入上式得：， 所以抛物线的表达式为； 【小问2详解】 作点O关于直线的对称点E，连接， ∵，，， ∴， ∵O、E关于直线对称， ∴四边形为正方形， ∴， 连接，交于点D，由对称性， 此时有最小值为的长， ∵的周长为， ，的最小值为10， ∴周长的最小值为； 【小问3详解】 由已知点，，， 设直线的表达式为， 将，代入中，，解得， ∴直线的表达式为， 同理可得：直线的表达式为， ∵， ∴设直线表达式为， 由（1）设，代入直线的表达式 得：， ∴直线的表达式为：， 由，得， ∴， ∵P，D都在第一象限， ∴ ， ∴当时，此时P点为. ． 【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短问题及面积问题，理解题意，熟练掌握运用二次函数的综合性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$