17.2.2 勾股定理的逆定理的应用 课件2023-2024学年人教版数学八年级下册

17.2.2 勾股定理的逆定理的应用 根据问题背景,建立数学模型,应用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题,体会“数”“形”转化思想,培养转化、推理的能力. 学 习 目 标 思考 我们已经学会用勾股定理解决实际问题,那么勾股定理的逆定理在实际生活中有哪些应用呢? 新 课 导 入 李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB,但他随身只带了卷尺. (1)你能替他想办法完成任务吗? 连接对角线AC,BD,只要分别量出AB,BC,AC,AD和BD的长度即可. 若AB2+BC2=AC2, 则 ABC为直角三角形. 同理可得到 ABD为直角三角形. 合 作 探 究 (2)李叔叔量得AD长是30 cm,AB长是40 cm,BD长是50 cm. AD边垂直于AB边吗? 解:因为AD2+AB2=302+402=2500=BD2, 所以 ABD是直角三角形,∠A=90 . 所以AD边垂直于AB边. 合 作 探 究 (3)小明随身只有一个长度为20 cm的刻度尺,他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗? 当刻度尺较短时,有很多办法, 如利用分段相加的方法量出AB,AD和BD的长度, 或在AB,AD边上各量一段较小长度,再去量以它们为边的三角形的第三边, 从而可根据勾股定理的逆定理得到结论. 合 作 探 究 数学思想 实际问题 数学问题 转化 建模 合 作 探 究 例1 如图,某港口 P 位于东西方向的海岸线上.“远航” 号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定 方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天” 号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后 分别位于点Q,R处,且相距30海里. 如果知道“远 航” 号沿东北方向航行,能知道“海天” 号沿哪个 方向航行吗? 典 例 精 析 解:根据题意, PQ=16 1.5=24, PR=12 1.5=18 , QR=30 . ∵ 242+182=302, 即PQ 2+PR2=QR2, ∴ ∠QPR=90 , 由远航号沿东北方向航行可知∠1=45 . 因此∠2=45 ,即“海天”号沿西北方向航行. 典 例 精 析 例2 如图,南北向MN为我国领海线,即MN以西为我 国领海,以东为公海,上午9时50分,我国舰艇A 发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向 我领海开来,便立即通知正在MN线上巡逻的我国 舰艇B密切注意.舰艇A和走私艇C的距离是13海里, A,B两艇的距离是5海里;舰艇B测得距离C艇12 海里,若走私艇C的速度不变,最早会在什么时候 进入我国领海? A B C M N 东 西 南 北 典 例 精 析 E ∴ 13≈0.85(小时)=51(分钟),9时50分+51分=10时41分. 解:设MN与AC相交于E,则∠BEC= 90 . ∵AB2+BC2=52+122=132=AC2, ∴ ABC为直角三角形,且∠ABC= 90 . ∵MN⊥CE, ∴走私艇C进入我国领海的最短距离是CE. 在Rt EBC中, 在 ABC中, 答:走私艇最早10时41分进入我国领海. ∵CE2+BE2=BC2,∴CE= . A B C M N 东 西 南 北 典 例 精 析 如何有效解决实际问题: 1. 构建对应几何图形. 2. 标注有用信息(或添加必要的辅助线),明确已知和所求. 3. 应用数学知识解决问题. 新 知 小 结 1.如图所示,甲、乙两船从港口 A 同时出发,甲船以 30 海里/时的速度向北偏东 35〫的方向航行,乙船以 40 海里/时的速度向另一方向航行,2 小时后,甲船 到达 C 岛,乙船到达 B 岛,若 C,B 两岛相距 100 海里,则乙船航行的方向是南偏东多少度? 北 A B C 35〫 随 堂 练 习 解:由题意得:AC=30 2=60(海里), AB=40 2=80(海里). 因为, 因为 C 岛在港口 A 的北偏东 方向,所以 B 岛在港口 A 的南偏东 方向. 即乙船航行的方向是南偏东 . 所以 北 A B C 35〫 随 堂 练 习 2.某探险队的 A 组从驻地 O 点出发,以 12 km/h 的速度 前进,同时 B 组也从驻地 O 点出发,以 9 km/h 的速 度向另一方向前进. 2 h 后同时停下来,如图所示, 这时 A,B 两组相距 30 km. 此时,A,B 两组行进的 方向成直角吗?请说明理由. O B A 解:因为出发2小时,A组行进了12 2=24( km ), B组行进了9 2=18(km). 又因为A,B两组相距30 km,且满足, 所以A,B两组行进的方向成直角. 随 堂 练 习 3.小明向东走 80 m 后,沿另一方向又走了 60 m,再沿第三个方向走 100 m 回 到原地.小明向东走 80 m 后是向哪个方向走的? 解:(1)小明从O走到A,再走到B1,最终由B1回到O. 因为OA=80 m, AB1 =60 m, OB1 =100 m, 所以 所以 AOB1是直角三角形,且∠OAB1 =90〫. 因此小明向东走 80 m 后,又向北走了 60 m,再走 100 m 回到原地. 北 南 东 西 O A B1 B2 随 堂 练 习 (2)小明从O走到A,再走到B2,最终由B2回到O. 同理, AOB2是直角三角形,且∠OAB2 =90〫. 因此小明向东走 80m 后,又向南走了 60m,再走 100m 回到原地. 综上所述,小明向东走 80m 后,又向南或向北走了 60m,最后走 100m 回到原地. 北 南 东 西 O A B1 B2 随 堂 练 习 实际应用 实际问题构建成数学模型,利用勾股逆定理求解 勾股定理逆定理的应用 课 堂 总 结 $$