4.3对数-重点强化提升（知识点+典型例题+针对练习+高考真题）讲义-2025届高三数学一轮复习

4.3对数 ( 知识 归纳 ) ①指数与对数的相互转化：（其中且），读做以为底的对数，其中叫底数，叫真数，且； ②对数基本性质： ； ；零和负数没有对数。 ③运算性质： ； ； 。（这些性质均保持底数不变） ④对数恒等式：（且，） ； ；。 ⑤对数的换底公式：；（取头取尾去中间）； ⑥特殊的对数：常用对数（以10为底的对数），简记为； 自然对数（以无理数为底的对数），简记为； ( 考点讲解 ) 题型一：对数概念的判断与求值 1．在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若则； B．若，则； C．，则； D．若，则． 2． . 3．若，则 ． 4．求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二：指数式与对数式互化 1．若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 2．若，，则（    ） A．10 B．20 C．50 D．100 3．已知实数满足下列等式，则 . 4．将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三：对数的四则运算 1． . 2．计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 3．计算： (1)； (2)． 4．计算下列各式的值： (1)； (2)． 题型四：对数的运算性质的应用 1．若与互为相反数，则（    ） A．与互为相反数 B． C． D． 2．若方程的两根为、，则（    ） A． B． C．35 D． 3．已知，且，求的值． 4．（1）已知，，用a、b表示； （2）已知正实数a满足，求的值． 题型五：运用换底公式化简计算 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．设，若，则 ． 3．（1）计算：； （2）已知，求的值． 4．计算下列各式的值． (1)； (2)． 题型六：运用换底公式证明恒等式 1．设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D．若,则 3．设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 4．（1）已知实数满足，求的值． （2）若，求证：． ( 巩固提升 ) 1．若，则（    ） A． B． C． D． 2．测量地震级别的里氏震级M的计算公式为：，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，常数是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，而此次地震的里氏震级恰好为6级，那么里氏9级地震的最大的振幅是里氏5级地震最大振幅的（    ）倍． A．10； B．100； C．1000； D．10000． 3．下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B．16 C．4 D． 5．已知，，则的值为（    ） A．15 B． C． D． 6．若lga（）与lgb（）互为相反数，则（    ） A． B． C． D． 7．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 8．设方程的两实根是a和b，则等于（    ）． A．1 B．－2 C． D．－4 9．（多选）下列运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【分析】根据对数的基本运算求解即可. 10．（多选）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 11．（多选）放射性物质质量衰减一半所用的时间叫做半衰期．有一种放射性物质，现在的质量为500g，按每年的比率衰减，则（    ） 参考数据：，． A．10年后这种放射性物质的质量为9年后这种放射性物质的质量的0.1倍 B．2年后，这种放射性物质的质量与现在相比减少了405g C．t年后，这种放射性物质的质量为g D．这种放射性物质的半衰期约为7.5年 12．（1）已知，化简：； （2）已知，，求的值． 13．化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． ( 走进高考 ) 1．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 2．（2022·天津·高考真题）化简的值为（         ） A．1 B．2 C．4 D．6 3．（2022·浙江·高考真题）已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 4．（2021·天津·高考真题）若，则（    ） A． B． C．1 D． 5．（2021·全国·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（    ）（） A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 6．（2020·全国·高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 7．（2020·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·全国·高考真题）已知且，则 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3对数 ( 知识 归纳 ) ①指数与对数的相互转化：（其中且），读做以为底的对数，其中叫底数，叫真数，且； ②对数基本性质： ； ；零和负数没有对数。 ③运算性质： ； ； 。（这些性质均保持底数不变） ④对数恒等式：（且，） ； ；。 ⑤对数的换底公式：；（取头取尾去中间）； ⑥特殊的对数：常用对数（以10为底的对数），简记为； 自然对数（以无理数为底的对数），简记为； ( 考点讲解 ) 题型一：对数概念的判断与求值 1．在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若则； B．若，则； C．，则； D．若，则． 【答案】B 【分析】结合对数性质可逐一判断各选项. 【详解】对A，若，则均无意义，故A错； 对B，若，说明，则B项正确； 对C，若，则，不一定能推出，故C错； 对D，若，则无意义，故D错. 故选：B 2． . 【答案】 【分析】根据指数与对数的互化、对数的运算性质计算直接得出结果. 【详解】原式. 故答案为： 3．若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据对数的概念运算求解. 【详解】因为，则， 所以. 故答案为：. 4．求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)1000. 【分析】根据指数式和对数式的互化解答（1）（2）；根据对数的性质解答（3）（4）. 【详解】（1）∵，∴，即，∴，解得． （2）∵，∴，∴． （3）∵，∴，∴． （4）∵，∴，∴． 题型二：指数式与对数式互化 1．若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，结合指数运算分析求解. 【详解】显然且， 若，则， 即，所以. 故选：C. 2．若，，则（    ） A．10 B．20 C．50 D．100 【答案】B 【分析】先根据指对数转化，再应用指数运算律计算即可. 【详解】因为，又因为可得, 所以. 故选：B. 3．已知实数满足下列等式，则 . 【答案】1 【分析】构造函数，结合单调性即可求解. 【详解】因为，即， 得，而化简得， 即，构造函数， 由于在都为增函数， 所以在为单调递增函数， 又知，所以， 解得，，所以. 故答案为：. 4．将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据指数式和对数式的互换公式直接得出答案： 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 题型三：对数的四则运算 1． . 【答案】12 【分析】根据对数和指数运算法则计算可得结果. 【详解】易知 . 故答案为：12 2．计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)320 (2)6 (3)3 【分析】由指数和对数运算计算即可. 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据二次根式、分数指数幂和对数的运算性质求解； （2）根据对数的运算性质求解. 【详解】（1）原式 ； （2）原式． 4．计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2)1 【分析】（1）（2）根据对数运算律计算即可； 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 题型四：对数的运算性质的应用 1．若与互为相反数，则（    ） A．与互为相反数 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，列式并利用对数运算求解即得. 【详解】由与互为相反数，得， 则，所以，C正确，而ABD在时不成立. 故选：C 2．若方程的两根为、，则（    ） A． B． C．35 D． 【答案】D 【分析】运用一元二次方程根的求法，结合对数性质可解. 【详解】，分解因式得到, 则，则. 则或.则. 故选：D. 3．已知，且，求的值． 【答案】4 【分析】把指数式化成对数式，代入题设条件，利用换底公式，再逆用对数的运算公式即得. 【详解】由可得，， 由， 所以．因为，所以． 4．（1）已知，，用a、b表示； （2）已知正实数a满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）借助对数运算可得，，结合对数的运算法则即可用a、b表示； （2）左右同取以为底的对数后结合对数的运算法则计算即可得. 【详解】（1）由，，则，， 则； （2）易得且，由，则， 即，即，即， 则. 题型五：运用换底公式化简计算 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，得，再根据换底公式及对数的运算性质即可得解. 【详解】由，得， 则. 故选：A. 二、填空题 2．设，若，则 ． 【答案】3 【分析】利用换底公式将已知转化为关于的一元二次方程求解即可. 【详解】由 整理得：，解得或， 即（舍去）或. 故答案为：3 3．（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）9；（2）1 【分析】（1）根据对数的运算性质和分数指数幂的运算性质求解； （2）由求出，然后代入中化简计算即可. 【详解】（1） ； （2）∵， ∴，， ∴ ． 4．计算下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换底公式计算可得； （2）根据对数的运算性质及换底公式计算可得. 【详解】（1） ； （2） ． 题型六：运用换底公式证明恒等式 1．设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据指对互化，利用对数表示，再结合对数运算判断选项. 【详解】由，得，，， ，，，则， 根据可知，. 故选：C 2．（多选）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D．若,则 【答案】ACD 【分析】关于A,B将根式转化为分数指数幂的形式,再根据分数指数幂计算法则进行化简,即可得选项正误,关于C用对数的运算法则将幂转化为分式,化简即可,关于D,先判断出,然后两边取对数,再展开即可判断正误. 【详解】解:由题知关于选项A: , 故选项A正确; 关于选项B: , 故选项B错误; 关于选项C: , 故选项C正确; 关于选项D: ,, 对等式两边取对数有, , 即 故选项D正确. 故选:ACD 3．设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）直接利用换底公式即可证明结果； （2）直接利用换底公式即可证明结果； （3）根据条件，利用换底公式得到，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以命题得证. （2）因为，所以命题得证. （3）因为，所以， 故，即的值为. 4．（1）已知实数满足，求的值． （2）若，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用指数幂的运算求出的值，再利用平方差公式可求得的值； （2）利用指数与对数的换算可得出，，，再利用换底公式以及对数的运算性质可证得结论成立. 【详解】（1）解：，，， 又，，所以； （2）证明：设，则且，，， ，，， ，. ( 巩固提升 ) 1．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的换底公式及对数的运算法则求解即可. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：C． 2．测量地震级别的里氏震级M的计算公式为：，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，常数是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，而此次地震的里氏震级恰好为6级，那么里氏9级地震的最大的振幅是里氏5级地震最大振幅的（    ）倍． A．10； B．100； C．1000； D．10000． 【答案】D 【分析】根据条件先计算出的值，然后分别计算出里氏9级地震的最大的振幅和里氏5级地震最大振幅，由此可求解出最终结果. 【详解】由条件可知：， 设里氏9级地震的最大的振幅为，里氏5级地震最大振幅为， 所以，所以， 故选：D 3．下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数的运算性质，对各个选项逐一分析判断，即可求出结果. 【详解】对于选项A，由对数的运算性质知，所以选项A正确； 对于选项B，因为，所以选项B正确； 对于选项C，因为，所以选项C错误； 对于选项D，因为，所以选项D正确； 故选：C. 4．已知，则（    ） A． B．16 C．4 D． 【答案】D 【分析】根据换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D 5．已知，，则的值为（    ） A．15 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数式与对数式的互化，结合指数运算计算即得. 【详解】由，得，即，而， 所以. 故选：C 6．若lga（）与lgb（）互为相反数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的性质即可求解. 【详解】因为（）与（）互为相反数， 所以，所以. 故选：C. 7．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数的公式和分数指数幂的运算逐项求解即可. 【详解】对于A，由换底公式可得：，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D 8．设方程的两实根是a和b，则等于（    ）． A．1 B．－2 C． D．－4 【答案】C 【分析】解方程得出，，再由换底公式计算即可. 【详解】方程可化为，即， 解得或，不妨设， . 故选：C 9．（多选）下列运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据对数的基本运算求解即可. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，正确； 对D，正确. 故选：CD 10．（多选）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用已知，求二元变量的最值，一般可用用消元法变为函数求最值，如，，当然也可以用均值不等式求最值，如，. 【详解】选项A：因为，，，所以，所以，故A正确． 选项B：，当且仅当时取等号，（利用基本不等式时注意取等号的条件）,故B正确． 选项C：，所以，当且仅当时取等号，故C错误． 选项D：， 当且仅当时取等号，（另解：，当且仅当时取等号）,故D正确． 故选:ABD. 11．（多选）放射性物质质量衰减一半所用的时间叫做半衰期．有一种放射性物质，现在的质量为500g，按每年的比率衰减，则（    ） 参考数据：，． A．10年后这种放射性物质的质量为9年后这种放射性物质的质量的0.1倍 B．2年后，这种放射性物质的质量与现在相比减少了405g C．t年后，这种放射性物质的质量为g D．这种放射性物质的半衰期约为7.5年 【答案】CD 【分析】依题意写出时间与该物质剩余质量的函数关系，逐一判断ABC；令，将指数式转化为对数式，利用换底公式求解可判断D. 【详解】依题意，该物质每经过1年，所剩质量为上一年的， 记t年后该物质的质量为y，则， 对于A，10年后这种放射性物质的质量为9年后这种放射性物质的质量的0.9倍，故A错误； 对于B，2年后，这种放射性物质的质量为（g），故B错误； 对于C，t年后，这种放射性物质的质量为，故C正确； 对于D，令，即，故D正确． 故选：CD 12．（1）已知，化简：； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）2024 【分析】（1）先根据得，，进而即可化简得解. （2）先化简求解，再将其代入即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 所以，， 所以 . （2）由题， ， 所以. 13．化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)1 (4) 【分析】根据对数以及指数运算法则计算即可得到结果； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） . ( 走进高考 ) 1．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析可得，消去即可求解. 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 2．（2022·天津·高考真题）化简的值为（         ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据对数的性质可求代数式的值. 【详解】原式 ， 故选：B 3．（2022·浙江·高考真题）已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】因为，，即，所以． 故选：C. 4．（2021·天津·高考真题）若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由已知表示出，再由换底公式可求. 【详解】，， . 故选：C. 5．（2021·全国·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（    ）（） A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 【答案】C 【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解. 【详解】由，当时，， 则. 故选：C. 6．（2020·全国·高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 【答案】A 【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系. 【详解】由题意可知、、，，； 由，得，由，得，，可得； 由，得，由，得，，可得. 综上所述，. 故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题. 7．（2020·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解 【详解】由可得，所以， 所以有， 故选：B. 【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目. 8．（2024·全国·高考真题）已知且，则 ． 【答案】64 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 学科网（北京）股份有限公司 $$