山东省菏泽市定陶区第一中学2023-2024学年高二下学期期末模拟数学试题

数学试题 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1.设函数𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1，下列说法正确的为 A. 当自变量𝑥由1变到1.1时，函数的平均变化率为2.1 B. 𝑓(𝑥)在𝑥 = 2处的导数为3 C. 𝑓(𝑥)的图象在点(−3,8)处的切线的斜率为6 D. 𝑓(𝑥)的极小值点为−1 2.有一散点图如图所示，在5个(𝑥, 𝑦)数据中去掉𝐷(3,10)后，下列说法正确的是 ( ) A. 残差平方和变小 B. 相关系数𝑟变小 C. 决定系数𝑅2变小 D. 解释变量𝑥与响应变量𝑦的线性相关程度变弱 3. 某校乒兵球社团为了解喜欢乒乒球运动是否与性别有关, 随机抽取了若干人进行调查. 已知抽 查的男生、女生人数均为 6𝑚(𝑚 ∈ 𝐍∗), 其中男生喜爱乒兵球运动的人数占男生人数的 2 3 , 女生 喜爱乒乓球运动的人数占女生人数的 1 2 . 若本次调查得出 “有 99.5% 的把握认为喜爱兵兵球运动 与性别有关”的结论, 则 𝑚 的最小值为 A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 附:参考公式及数据: 𝜒2 = 𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2 (𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑) . 𝑎 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 𝑥𝑎 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 4. 函数 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 在区间 (𝑚, 2) 上有最小值, 则 𝑚 的取值范围是( ) A. [−3,1) B. (−3,1) C. (−2,1) D. [−2,1) 5.设某人在 𝑛 次射击中击中目标的次数为 𝑋, 且 𝑋 ∼ 𝐵(𝑛, 0.7), 记 𝑃𝑘 = 𝑃(𝑋 = 𝑘), 𝑘 = 0,1,2, ⋯ , 𝑛, 若 𝑃7 是唯一的最大值, 则 𝐸(𝑋) 的值为 ( ) A. 7 B. 7. 7 C. 8.4 D. 9. 1 高二年级第二学期期末模拟考试(二) 1 6. 若函数 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 1 2 (𝑎 + 3)𝑥2 + 𝑎𝑥 在 𝑥 = −1 处取得极值,则实数 𝑎 的取值范围是 ( ) A. (3, +∞) B. (−∞, 3) C. (−∞, 3) ∪ (3, +∞) D. [0,3] 7.设 𝐴, 𝐵 是一个随机试验中的两个事件, 且 𝑃(𝐴) = 1 3 , 𝑃(𝐴‾ ∣ 𝐵) = 5 6 , 𝑃(𝐴‾ ∣ 𝐵‾ ) = 11 18 , 则 A. 𝑃(𝐵) = 1 2 B. 𝑃(𝐴𝐵) = 1 12 C. 𝑃(𝐴 + 𝐵) = 7 12 D. 𝑃(𝐵‾ ∣ 𝐴) = 7 8 8. 已知袋中有标记为 1,2,3,4 的卡片各一张,每次从中取出一张, 记下号码后放回, 当 4 种号码的 卡片全部取出时即停止, 则恰好取 6 次卡片时停止的概率为 ( ) A. 1 24 B. 15 256 C. 75 512 D. 243 1024 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9.下列命题正确的是 A. 若随机变量 𝑋 服从二项分布 𝐵 (5, 1 3 ), 则 𝐷(𝑋) = 2 9 B. 若随机变量 𝑋 服从正态分布 𝑁(5,4), 则 𝑃(𝑋 > 7) + 𝑃(𝑋 ≥ 3) = 1 C. 当事件 𝐴, 𝐵, 𝐶 两两独立时, 𝑃(𝐴𝐵𝐶) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(𝐶) D. 当事件 𝐴, 𝐵, 𝐶 两两互斥时, 𝑃(𝐴 + 𝐵 + 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) 10.关于函数 𝑓(𝑥) = 𝑥3 的图象的切线, 下列说法正确的是 A. 在点 𝐴(1,1) 处的切线方程为 𝑦 = 3𝑥 − 2 B. 经过点 𝐴(1,1) 的切线方程为 𝑦 = 3𝑥 − 2 C. 切线 𝑙: 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏(𝑘 ≠ 0) 与 𝑦 = 𝑓(𝑥) 的图象必有两个公共点 D. 在点 𝑃(𝑥1, 𝑥1 3) 处的切线过点 𝑄(𝑥0, 𝑥0 3)(𝑥0 ≠ 𝑥1), 则 𝑥0 = −2𝑥1 11.已知 (1 − 𝑥)2025 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥 2 + ⋯ + 𝑎2025𝑥 2025, 则 A. 展开式的各二项式系数的和为 0 B. 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎2025 = −1 C. 22025𝑎0 + 2 2024𝑎1 + 2 2023𝑎2 + ⋯ + 𝑎2025 = 1 D. 1 𝑎1 + 1 𝑎2 + ⋯ + 1 𝑎2025 = −1 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. (𝑥 + 2𝑦)5 的展开式中 𝑥3𝑦2 的系数是________（用数字作答） 13.某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数X(单位：辆)均近似服从正态分布 2 N(600, σ2).若P(500 < X < 700) = 0.6，假设三个收费口均正常工作.则每天至少有一个收费口 超过700辆的概率为__________． 14. 定义区间   = + A k kk k k, 1 ，其中 =k 1,2,3, ，则满足 1 2 mA A A 的m 的最 大值为______ 四、解答题：本题共 5 小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题13分) 已知函数𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥， (Ⅰ)若𝑓(𝑥)的图像在𝑥 = 𝑎处的切线与直线𝑦 = − 1 3 𝑥 + 1垂直，求实数𝑎的值及切线方程； (Ⅱ)若过点𝑃(1, 𝑡)存在3条直线与曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)相切，求𝑡的取值范围. 16.(本小题满分 15 分) 水果店的销售额与所售水果的价格、质量及该店被附近居民的认可度密不可分. 已知某水果店 于 2023 年 1 月开张, 前 6 个月的销售额（单位: 万元）如下表所示: 月份 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 时间代码 𝑥 1 2 3 4 5 6 销售额 𝑦 (单位: 万元) 2.0 4.0 5.2 6.1 6.8 7.4 (1)根据题目信息， ?̂? = ?̂? + ?̂?𝑥 与 ?̂? = ?̂? + ?̂?ln 𝑥 哪一个更适合作为销售额 𝑦 关于时间 𝑥的回归 方程类型? (给出判断即可, 不必说明理由); (2)根据（1）的判断结果, 求出销售额 𝑦 关于时间 𝑥 的回归方程. (注: 数据保留整数); (3) 为进一步了解该水果店的销售情况, 从前 6 个月中任取 3 个月进行分析, 𝑋 表示取到的 3 个 月中每月销售额不低于 5 万元的月份个数, 求随机变量 𝑋 的分布列和数学期望. 参考公式与数据: ∑𝑖=1 6  ln𝑥𝑖 ≈ 6.6, ∑𝑖=1 6  ln𝑥𝑖 ⋅ 𝑦𝑖 ≈ 41.1, ∑   6 𝑖=1 (ln𝑥𝑖) 2 ≈ 9.4, ∑  6𝑖=1 𝑥𝑖 ⋅ 𝑦𝑖 = 128.4, ∑   6 𝑖=1 𝑥𝑖 = 21, ∑  6𝑖=1 𝑦𝑖 = 31.5 样本数据 (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖)(𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑛) 的线性回归方程 ?̂? = ?̂? + ?̂?𝑥 的斜率和截距的最小二乘法估计分 别为 ?̂? = ∑𝑖=1 𝑛  (𝑥𝑖−𝑥‾)(𝑦𝑖−𝑦‾ ) ∑𝑖=1 𝑛  (𝑥𝑖−𝑥‾) 2 = ∑𝑖=1 𝑛  𝑥𝑖𝑦𝑖−𝑛𝑥‾𝑦‾ ∑𝑖=1 𝑛  𝑥𝑖 2−𝑛𝑥‾2 , ?̂? = 𝑦‾ − ?̂?𝑥‾. 17.(本小题15分) 在(1 + 𝑥 + 𝑥2)𝑛 = 𝐷𝑛 0 + 𝐷𝑛 1𝑥 + 𝐷𝑛 2𝑥2 +⋅⋅⋅ +𝐷𝑛 𝑟𝑥𝑟 +⋅⋅⋅ +𝐷𝑛 2𝑛−1𝑥2𝑛−1 + 𝐷𝑛 2𝑛𝑥2𝑛中，把𝐷𝑛 0，𝐷𝑛 1， 𝐷𝑛 2 …，𝐷𝑛 2𝑛称为三项式系数． 3 (1)当𝑛 = 2时，写出三项式系数𝐷2 0，𝐷2 1，𝐷2 2，𝐷2 3，𝐷2 4的值； (2)(𝑎 + 𝑏)𝑛(𝑛 ∈ 𝐍)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图： 当0 ≤ 𝑛 ≤ 4，𝑛 ∈ 𝐍时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的𝑛次系数的数阵表； (3)求𝐷2016 0 𝐶2016 0 − 𝐷2016 1 𝐶2016 1 + 𝐷2016 2 𝐶2016 2 − 𝐷2016 3 𝐶2016 3 +⋅⋅⋅ +𝐷2016 2016𝐶2016 2016的值(用组合数作答)． 18.(本小题17分) 已知函数 ( )( ) ln( 1) 0f x x ax x= + −  . （1）讨论 ( )f x 的单调性; （2）当 1a = ， 0x  时,证明: 1 1 2 ( ) 2 1 f x x x  + − + ; （3）证明: 1 1 1 ln( 1) 1 2 3 2( 1) n n n n +  + + + + − + ( )*n N . 19.(本题满分 17 分) 比利时数学家卡特兰 (Catalan, 1814-1894) 在研究组合问题中提出 Catalan 数列 (卡特兰数列)， 这一数列在很多计数问题中都有应用，如凸多边形被其内部不相交的对角线划分成三角形区域 的方法数等. 该数列的通项被称为第 𝑛 个 Catalan 数, 其通项公式为 𝐶𝑛 = 1 𝑛+1 𝐶2𝑛 𝑛 . 在组合数学中, 有如下结论:由 𝑛 个 +1 和 𝑛 个 −1 构成的所有数列 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, ⋯ , 𝑎2𝑛 中, 满足 “对任意 𝑘 = 1,2, ⋯ ,2𝑛, 都有 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑘 ≥ 0 ” 的数列的个数等于 𝐶𝑛.已知在数轴上, 有一个粒子从原点 出发, 每秒向左或向右移动一个单位, 且向左移动和向右移动的概率均为 1 2 . (1) 设粒子第 3 秒末所处的位置为随机变量 𝑋 (若粒子第一秒末向左移一个单位, 则位置为 −1 ; 若粒子第一秒末向右移一个单位, 则位置为 1), 求 𝑋 的分布列和数学期望 𝐸(𝑋); (2) 记第 𝑛 秒末粒子回到原点的概率为 𝑝𝑛. (i) 求 𝑝4 及 𝑝2𝑛; (ii) 设粒子在第 𝑛 秒末第一次回到原点的概率为 𝑄𝑛, 求 𝑄2𝑛. 4 参考解答 一、单项选择题 1.A 2.A 3.D 4.D 5.A 6. C 7.D 8.C 二、多选 9.BD 10.ACD 11.BCD 三、填空题 12. 40 13. 61 125 14. 4 四、解答题 15.解：(Ⅰ)由𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥得𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 − 3，于是在x = a处的切线的斜率为6𝑎2 − 3． 由于切线与直线𝑦 = − 1 3 𝑥 + 1垂直，所以6a2 − 3 = 3. 故实数a的值为±1. 当a = 1时，切点为(1, −1)，切线为y = 3x − 4; 当a = −1时，切点为(−1,1)，切线为y = 3x + 4． (Ⅱ)设切点坐标(x0, y0)，切线斜率为k，则有{ y0 = 2x0 3 − 3x0 k = f ′(x0) = 6x0 2 − 3 所以切线方程为：y − (2x0 3 − 3x0) = (6x0 2 − 3)(x − x0)，因为切线过P(1, t)， 所以将P(1, t)代入直线方程可得：t − (2x0 3 − 3x0) = (6x0 2 − 3)(1 − x0) ⇒ t = (6x0 2 − 3)(1 − x0) + (2x0 3 − 3x0) = 6x0 2 − 3 − 6x0 3 + 3x0 + 2x0 3 − 3x0 = −4x0 3 + 6x0 2 − 3 ，所以问题等价于方 程t = −4x0 3 + 6x0 2 − 3有三个不等实根， 令g(x) = −4x3 + 6x2 − 3，即直线y = t与g(x) = −4x3 + 6x2 − 3有三个不同交点． 由g′(x) = −12x2 + 12x = −12x(x − 1)， 令g′(x) > 0解得0 < x < 1， 所以g(x)在(−∞, 0), (1, +∞)单调递减，在(0,1)单调递增． g(x)的极大值为g(1) = −1，极小值为g(0) = −3，所以若有三个交点，则t ∈ (−3, −1)， 所以当t ∈ (−3, −1)时，过点P(1, t)存在3条直线与曲线y = f(x)相切． 16.解：（1） ?̂? = ?̂? + ?̂?ln 𝑥 更适合作为销售额 𝑦 关于时间 𝑥 的回归方程类型. (2) 𝑦‾ = 31.5 6 = 5.25, ln 𝑥̅̅ ̅̅ ̅ = 6.6 6 = 1.1 ?̂? = 41.1 − 6 × 5.25 × 1.1 9.4 − 6 × 1.12 ≈ 3 ?̂? = 5.25 − 3 × 1.1 ≈ 2 5 所以, 销售额 𝑦 关于时间 𝑥 的回归方程为 𝑦 = 3ln 𝑥 + 2. （3） 𝑋 的所有可能取值为 1,2,3 则 𝑃(𝑋 = 1) = 𝐶4 1𝐶2 2 𝐶6 3 = 1 5 ,𝑃(𝑋 = 2) = 𝐶4 2𝐶2 1 𝐶6 3 = 3 5 , 𝑃(𝑋 = 3) = 𝐶4 3 𝐶6 3 = 1 5 所以, 𝑋 的分布列为 𝑋 1 2 3 𝑃 1 5 3 5 1 5 𝐸(𝑋) = 1 × 1 5 + 2 × 3 5 + 3 × 1 5 = 2, 即 𝑋 的数学期望为 2 . 17.解：(1)因为(𝑥2 + 𝑥 + 1)2 = 𝑥4 + 2𝑥3 + 3𝑥2 + 2𝑥 + 1， 所以𝐷2 0 = 1, 𝐷2 1 = 2, 𝐷2 2 = 3, 𝐷2 3 = 2, 𝐷2 4 = 1； (2)三项式的𝑛次系数的数阵表如下： (3)(1 + 𝑥 + 𝑥2)2016 · (𝑥 − 1)2016 = (𝐷2016 0 + 𝐷2016 1 𝑥 + 𝐷2016 2 𝑥2 + ⋯ + 𝐷2016 𝑟 𝑥𝑟 + 𝐷2016 4031𝑥4031 + 𝐷2016 4032𝑥4032) × (𝐶2016 0 𝑥2016 − 𝐶2016 1 𝑥2015 + 𝐶2016 2 𝑥2014 − 𝐶2016 3 𝑥2013 + ⋯ + (−1)𝑟𝐶2016 𝑟 𝑥2016−𝑟 + ⋯ − 𝐶2016 2015𝑥 + 𝐶2016 2016) 其中𝑥2016系数为𝐷2016 0 𝐶2016 0 − 𝐷2016 1 𝐶2016 1 + 𝐷2016 2 𝐶2016 2 − 𝐷2016 3 𝐶2016 3 + ⋯ + 𝐷2016 2016𝐶2016 2016， 又(1 + 𝑥 + 𝑥2)2016 · (𝑥 − 1)2016 = (𝑥3 − 1)2016 而二项式(𝑥3 − 1)2016的通项𝑇𝑟+1 = (−1) 𝑟𝐶2016 𝑟 (𝑥3)2016−𝑟， 由3 × (2016 − 𝑟) = 2016， 解得𝑟 = 1344 ， 所以𝑥2016系数为𝐶2016 1344 = 𝐶2016 672 ， 由代数式恒成立， 得：𝐷2016 0 𝐶2016 0 − 𝐷2016 1 𝐶2016 1 + 𝐷2016 2 𝐶2016 2 − 𝐷2016 3 𝐶2016 3 + ⋯ + 𝐷2016 2016𝐶2016 2016 = 𝐶2016 1344 = 𝐶2016 672 ． 6 18.解：（1）由 1 '( ) 1 f x a x = − + ①当 0a  时， '( ) 0f x  ，因此在 ( )0,+ 上单调递增； ②当0 1a  时，由 1 '( ) 1 a a x a f x x −  − −   = + ，所以当 1 0, a x a −      时， ( )f x 单调递增，当 1 , a x a −   +    时， ( )f x 单调递减； ③当 1a  时， '( ) 0f x  ，因此 ( )f x 在 ( )0,+ 上单调递减. （2）由（1）知，当 1a = 时， ( )f x 在 ( )0,+ 上单调递减，又 (0) 0f = ，所以 ( )( ) 0 0f x x  ，即 ( )ln 1x x+  ，因此 ln 1( 1)x x x −  , 因此要证明 1 1 2ln(1 ) 2 2 1 x x x x + −  + − + 即证明 1 1 2ln(1 ) 2 2 1 x x x x +  − + + + , 只需证明 1 1 2ln(1 ) 2ln 1 x x x x +  + + + , 即证： 1 1 1 2ln 1 1x x x   +  +  +  , ( ) 1 0t t x =  ，即证 ( )2ln 1 1 t t t t +  + + 令 ( )g t = ( )2ln 1 1 t t t t + − + + ， 则 '( )g t = ( )2ln 1 1 t t t t + − + + ( ) 2 1 2 1 11 tt = + − ++ 2 2 0 ( 1) t t =  + ， 因此单调递增， ( ) (0) 0g t g = ，得证. （3）由（2）知： 1 1 1 2ln 1 1x x x   +  +  +  ，令 1,2, ,x n= ，有 1 1 2ln 1 1 1 2   +  +    1 1 1 2ln 1 2 2 3 1   +  +  +  1 1 1 2ln 1 1n n n   +  +  +  累加得 ( ) 1 1 1 1 2ln 1 1 2 2 3 1 n n n   +  + + + + +  +  1 1 1 1 2 1 1 2 3 1n n   = + + + + + −  +  7 即得： 1 1 1 ln( 1) 1 2 3 2( 1) n n n n +  + + + + − + . 19.解：(1) 𝑃(𝑋 = −3) = ( 1 2 ) 3 = 1 8 , 𝑃(𝑋 = −1) = 𝐶3 1 ⋅ ( 1 2 ) 3 = 3 8 ，𝑃(𝑋 = 1) = 𝐶3 1 ⋅ ( 1 2 ) 3 = 3 8 ，𝑃(𝑋 = 3) = ( 1 2 ) 3 = 1 8 ∴ 𝑋 的分布列如下: 𝑋 -3 -1 1 3 𝑃 1 8 3 8 3 8 1 8 ∴ 𝐸(𝑋) = (−3) × 1 8 + (−1) × 3 8 + 1 × 3 8 + 3 × 1 8 = 0. (i) 𝑝4 = 𝐶4 2 24 = 3 8 , 𝑝2𝑛 = 𝐶2𝑛 𝑛 22𝑛 (ii)设事件 𝐴 : 粒子在第 2𝑛 秒末第一次回到原点, 事件 𝐵 : 粒子第 1 秒末向右移动一个单位. ∴ 𝑄2𝑛 = 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴𝐵) + 𝑃(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ) = 2𝑃(𝐴𝐵), 记粒子往左移动一个单位为 −1 , 粒子往右移动一个单位为 +1 ,以下仅考虑事件 𝐴𝐵. 设第 𝑛 秒末粒子的运动方式为 𝑎𝑛, 其中 𝑎𝑛 = ±1; 沿用 (1) 中对粒子位置的假设 𝑋,则粒子运动 方式可用数列 {𝑎𝑛} 表示, 如: 1,1, −1, −1 表示粒子在前 4 秒按照右、右、左、左的方式运动. 由粒子在第 2𝑛 秒末第一次回到原点, 可知 数列 {𝑎𝑛} 的前 2𝑛 项中有 𝑛 个 1 和 𝑛 个 −1 . ∵ 𝑎1 = 1，∴ 𝑎2𝑛 = −1 ∴ 粒子在余下 2𝑛 − 2 秒中运动的位置满足 𝑋 ⩾ 1, 即 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑘 ⩾ 0, (𝑘 = 2,3, ⋯ ,2𝑛 − 2), ∴ 粒子在余下 2𝑛 − 2 秒中运动方式的总数为 𝐶𝑛−1, ∴ 𝑃(𝐴𝐵) = 𝐶𝑛−1 22𝑛 ∴ 𝑄2𝑛 = 2𝑃(𝐴𝐵) = 2𝐶2𝑛−2 𝑛−1 𝑛 ⋅ 22𝑛 = 𝐶2𝑛−2 𝑛−1 𝑛 ⋅ 22𝑛−1 8