精品解析：上海市松江区第四中学2023-2024学年高一下学期期末测试数学试卷

松江四中2023学年第二学期高一数学期末学情诊断试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 命题教师：周淑丽 审题教师：周钢 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知向量，若，则实数______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量共线得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：2. 2. 半径为6，圆心角等于的扇形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】由扇形面积公式即可直接计算求解. 【详解】由题得扇形的面积是. 故答案为：. 3. 已知复数满足，则复数______． 【答案】1 【解析】 【分析】利用复数的除法运算和复数虚部的概念即可. 【详解】由， 则其虚部为1. 故答案为：1 4. 已知，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由向量数量积定义以及模长公式即可计算得解. 【详解】由题， 所以. 故答案为：. 5. 若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】将分式中的分子分母同时除以即弦化切即可求解. 【详解】由题. 故答案为：. 6. 在中，内角A、B、C所对边边长分别为a、b、c，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理求出，结合为三角形的内角即可得到的大小． 【详解】在中，，即，即. ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：. 【点睛】本题给出三角形边之间的关系，着重考查了利用余弦定理解三角形的知识，属于基础题． 7. 已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】由公式求出投影的数量，在乘与同方向的单位向量得到投影向量. 【详解】在方向上的投影的数量为， 所以在方向上的投影向量为， 故答案为：. 8. 若函数的部分图象如图所示，则函数的解析式______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的图象，结合五点法作图方法求出解析式. 【详解】由图象知，，函数的周期，因此， 又，则，而，于是， 所以函数的解析式. 故答案为： 9. 若是方程的解，其中，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】将代入方程，化简结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得：，即， 所以或， 所以或，， 又，则. 故答案为：. 10. 设函数对任意的实数均满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由辅助角公式先进行化简，再利用条件可得为偶函数，可求得的值，代入求解即可. 【详解】因为， 又因为，所以函数为偶函数， 即，， ， 所以，. 故答案为：. 11. 如图，直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，，线段上有动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别过作、交于点和，求出，设，接着根据数量积定义以及题中所给条件求得，从而求出即可得解. 【详解】分别过作交于点，作交于点， 则， 设，则， 由题可知即， 所以，故的最小值为. 故答案为：. 12. 已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是____________ 【答案】 【解析】 【分析】明确分段函数两段的性质，进而作出其图像，将方程恰有四个不同的实数解转化为的图象与直线有4个不同的交点，由图象确定，，，的范围，结合对勾函数单调性性质，即可求得答案. 【详解】由题意知， 当时，， 令，则； 当时，； 当时，， 令，则或4；令，则或2； 由此可作出函数的图象如图： 由于方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，， 故的图象与直线有4个不同的交点，由图象可知， 不妨设，则， 且关于对称，所以， 又即，则， 故， 由于在上单调递增，故， 所以， 故的取值范围是， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题综合考查函数与方程的应用知识，涉及到知识点较多，综合性强，解答的关键时要明确分段函数的性质，进而作出其图象，数形结合，即可求解. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第16-16题每题5分） 13. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分别判断充分性，必要性从而可求解. 【详解】必要性：若，则，，故必要性不满足； 充分性：若，则，故充分性满足； 故“”是“”的充分不必要条件，故A正确. 故选：A. 14. 设在复平面内，复数和对应的点分别为，则向量表示的复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由题设写出A、B的点坐标，进而得到对应的点坐标，即可判断其对应点所在象限. 【详解】由复数的几何意义知，，故， 所以表示的复数所对应的点位于第四象限. 故选：D 15. 下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和周期性一一判断即可. 【详解】对A，是偶函数，周期为，故A错误； 对B，设，定义域为，且，则其为偶函数， 因为周期为，则的周期为，故B正确； 对C，是奇函数，周期为，故C错误； 对D，是奇函数，周期为，故D错误. 故选：B. 16. 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 复数在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】代入即可判断A；代入即可判断B；对等式右边进行代换化解即可判断C；代入，再计算相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断D. 【详解】对于A，，其虚部为1，A错误； 对于B， ，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D正确. 故选：D 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知． （1）设向量的夹角为，求的值； （2）若向量与互相垂直，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量夹角余弦值的坐标公式即可； （2）根据垂直的数量积表示及向量模长即可解出． 【小问1详解】 ， ， ， 所以， 因为,则. 【小问2详解】 因为向量与互相垂直， 所以， 即，解得：. 18. 已知为虚数单位，复数． （1）当实数取何值时，是纯虚数； （2）当时，复数是关于的方程的一个根，求实数与的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由是纯虚数得到实部为，虚部不为，解方程组得到的值； （2）将代入方程，实部和虚部均为，解方程组得到和的值. 【小问1详解】 由是纯虚数得，解得. 所以当时，是纯虚数. 【小问2详解】 当时，， 因为是关于的方程的一个根，所以， 即，整理得， 所以，解得. 19. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． （1）求的值； （2）若，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角的正弦公式即可； （2）求出，再利用两角差的余弦公式即可. 【小问1详解】 因为点为角终边上一点，则， ， 则. 【小问2详解】 因为，所以. 因为，所以. 因为，所以， 所以 . 20. 在滴水湖公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，，其中． （1）若米，求烧烤区的面积？ （2）为了保证烧烤区的占地面积最大，那么需要修建多长的隔离防护栏？ （3）在（2）条件下，为了使得花卉观赏区的面积也尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 【答案】（1） （2）修建的隔离防护栏长米时，烧烤区的占地面积最大 （3）设计观赏步道米时，花卉观赏区的面积最大 【解析】 【分析】（1）先由余弦定理求出，即可由面积公式求解. （2）设米，先由余弦定理求出与的关系式，进而得，进而代入面积公式结合一元二次函数的性质研究最值即可得解. （3）先利用正弦定理求得，接着代入结合三角恒等变换公式计算即可求解. 【小问1详解】 若，则， 又，所以， 所以烧烤区的面积为. 【小问2详解】 设米，则， 又，所以， 所以烧烤区的面积为， 所以当即时，烧烤区的面积最大为，此时米， 所以修建的隔离防护栏长米时，烧烤区的占地面积最大. 【小问3详解】 由（2）得米， 所以在中由题意得，即， 所以， 所以 ， 又，所以， 所以当即时，有最大值为， 此时，， 所以在（2）条件下，设计观赏步道米时，花卉观赏区的面积最大. 【点睛】思路点睛：对求花卉观赏区的面积最大值，先在中利用正弦定理得，接着代入结合三角恒等变换公式计算化简得，再利用三角函数值的有界性即可求出解. 21. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数． （1）设函数，试求的互生向量； （2）记向量的互生函数为，求函数在上的严格增区间； （3）记的互生函数为，若函数在上有四个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简，接着结合互生向量定义即可得解. （2）求出并化简得到的解析式，再结合正弦函数的单调性以及变量范围求解即可得解. （3）分离参数得，将函数在上有四个零点 转化成 则函数与在上的图象有四个交点，利用三角函数性质数形结合作出函数图象，则由图象即可得解. 【小问1详解】 因为，所以的互生向量. 【小问2详解】 由题意可得，所以， 令，解得， 因为，所以， 所以函数在上的严格增区间为. 【小问3详解】 由题，则， 若函数在上有四个零点，则在上有四个实数根， 则函数与在上的图象有四个交点， 因为， 所以， 则由三角函数性质作其函数图象如图所示， 由三角函数图象及性质可知k的取值范围为. 【点睛】思路点睛：分离参数和数形结合是解决函数零点问题基本方法，所以对于函数在上有四个零点求参数k，先分离参数得，从而将零点问题转化成函数与在上的图象有四个交点，再数形结合利用三角函数性质作出函数图象，由图象即可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松江四中2023学年第二学期高一数学期末学情诊断试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 命题教师：周淑丽 审题教师：周钢 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知向量，若，则实数______． 2. 半径为6，圆心角等于的扇形的面积是______． 3. 已知复数满足，则复数______． 4. 已知，且，则______． 5. 若，则______． 6. 在中，内角A、B、C所对边边长分别为a、b、c，若，则______． 7. 已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为______． 8. 若函数的部分图象如图所示，则函数的解析式______． 9. 若是方程的解，其中，则______． 10. 设函数对任意的实数均满足，则______． 11. 如图，直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，，线段上有动点，则的最小值为______． 12. 已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是____________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第16-16题每题5分） 13. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 设在复平面内，复数和对应的点分别为，则向量表示的复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 15. 下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（ ） A. B. C. D. 16. 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 复数在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知． （1）设向量的夹角为，求的值； （2）若向量与互相垂直，求的值． 18. 已知为虚数单位，复数． （1）当实数取何值时，是纯虚数； （2）当时，复数是关于的方程的一个根，求实数与的值． 19. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． （1）求的值； （2）若，且，求的值． 20. 在滴水湖公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，，其中． （1）若米，求烧烤区的面积？ （2）为了保证烧烤区的占地面积最大，那么需要修建多长的隔离防护栏？ （3）在（2）条件下，为了使得花卉观赏区的面积也尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 21. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数． （1）设函数，试求的互生向量； （2）记向量的互生函数为，求函数在上的严格增区间； （3）记的互生函数为，若函数在上有四个零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $