第二十二章　二次函数课件2024-2025学年 人教版数学上册九年级上册

第二十二章　二次函数 22.1　二次函数的图象和性质 22.1.4　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第1课时　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 1. 如果抛物线y=ax2+bx+c经过点(-2,-3),(5,-3),那么抛物线的对称轴为 (　　) A. 直线x=3 B. 直线x=-3 C. 直线x= D. 直线x=- C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2. 将抛物线y=(x-1)2+5平移后,得到抛物线对应的函数解析式为y=x2+2x +3,则平移的方向和距离是 (　　) A. 向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度 B. 向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度 C. 向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度 D. 向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. (2023·株洲)如图,直线l为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴,则下列说法正确的是 (　　) A. b恒大于0 B. a,b同号 C. a,b异号 D. 以上说法都不对 　 　 4. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则a　　　0,b　　　0,c　　　0 (填“>”“<”或“=”).  C < < > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 已知二次函数y=x2-4x+k的最小值为-1,则k的值为　　　　. 6. (教材P37思考变式)写出下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标. (1) y=-2x2+4x+5; (2) y=x2+3x-1; (3) y=x2-5x+6. 3 (1) 对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,7)　 (2) 对称轴为直线x=-3,顶点坐标为　 (3) 对称轴为直线x=,顶点坐标为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. 已知二次函数y=x2+4x+3. (1) 求二次函数的最小值; (2) 若点(x1,y1),(x2,y2)在二次函数y=x2+4x+3的图象上,且-2<x1<x2,试比较y1,y2的大小. (1) ∵ y=x2+4x+3=(x+2)2-1,∴ 当x=-2时,y取最小值,为-1.∴ 二次函数的最小值为-1　 (2) ∵ 当-2<x1<x2时,y随x的增大而增大,∴ y1<y2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. (2022·贺州)已知二次函数y=2x2-4x-1在0≤x≤a时,y取得的最大值为15,则a的值为 (　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 二次函数y=ax2+bx+1与一次函数y=2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (　　) D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 已知点A(-2,y1),B(-3,y2),C(1,y3)均在抛物线y=x2+4x+m上,则y1,y2,y3的大小关系是 (　　) A. y1>y2>y3 B. y1<y3<y2 C. y1<y2<y3 D. y1>y3>y2 11. 如图,若抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0),Q两点关于它的对称轴直线x=1对称,则点Q的坐标为　　　　.  C (-2,0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的一边AB在x轴上,顶点B在x轴正半轴上.若抛物线y=x2-5x+4经过点C,D,则点B的坐标为　　　　. (2,0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 如图,抛物线经过点A(-3,0),B(0,3),且其对称轴为直线x=-1. (1) 求此抛物线对应的函数解析式; (1) 由题意,可设此抛物线对应的函数解析式为y=a(x+1)2+c. 将A(-3,0),B(0,3)代入,得解得∴ 此抛 物线对应的函数解析式为y=-(x+1)2+4=-x2-2x+3　 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 若P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A,B),求△PAB面积的最大值,并求出此时点P的坐标. (2) 设直线AB对应的函数解析式为y=kx+b.将A(-3,0),B(0,3) 代入,得解得∴ y=x+3.过点P作PQ⊥ x轴于点Q,交直线AB于点M.设点P的坐标为(x,-x2-2x+3),则 点M的坐标为(x,x+3).∴ PM=-x2-2x+3-(x+3)=-x2-3x.∴ S△PAB =(-x2-3x)×3=-(x+)2+.当x=-时,S△PAB最大,为,此时点P的坐标为 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. 在平面直角坐标系中,P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线y=x2-2mx+m2-1上任意两点. (1) 求抛物线的顶点坐标(用含m的式子表示); (2) 若x1=m-3,x2=m+2,试比较y1与y2的大小,并说明理由; (1) ∵ y=x2-2mx+m2-1=(x-m)2-1,∴ 抛物线的顶点坐标为(m,-1)　 (2) y1>y2　 理由:将x1=m-3代入y=(x-m)2-1,得y1=(-3)2-1=8.将x2=m+2代入y=(x-m)2-1,得y2=22-1=3.∵ 8>3,∴ y1>y2.　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (3) 若对于-3≤x1<4,x2=4,都有y1≤y2,求m的取值范围. (3) ∵ 抛物线的对称轴为直线x=m,∴ 点(4,y2)关于对称轴对称的点的坐标为(2m-4,y2).∵ 抛物线开口向上,y1≤y2,∴ 2m-4≤x1<4.∴ 2m-4≤-3,解得m≤ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$第二十二章　二次函数 22.1　二次函数的图象和性质 22.1.3　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 第1课时　二次函数y=ax2+k的图象和性质 1. (教材P33思考变式)函数y=-2x2+5与y=-2x2-3的图象的不同之处是 (　　) A. 对称轴 B. 开口方向 C. 顶点 D. 形状 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. (教材P33练习变式)对于抛物线y=x2与抛物线y=x2-2,下列说法错误的是 (　　) A. 开口方向均向上 B. 抛物线y=x2-2是由抛物线y=x2向下平移2个单位长度得到的 C. 对称轴均为y轴 D. 最小值相同 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 在同一平面直角坐标系中,一次函数y=-mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是 (　　) 4. 二次函数y=-x2+1的图象是一条抛物线,它的开口方向向　　　　,对称轴是　　　　,顶点坐标是　　　　,当x　　　　时,y随x的增大而增大,当x=　　　　时,y有最　　　　值,是　　　　.  D 下 y轴 (0,1) <0 0 大 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 顶点坐标为(0,-5),且与抛物线y=-x2的形状相同、开口方向相反的抛 物线对应的函数解析式为　　　　　　　,将该抛物线向上平移3个单位长度后得到的抛物线对应的函数解析式为　　　　　　　. y=x2-5 y=-x2-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 已知二次函数的图象以A(0,1)为顶点,且过点B(2,3). (1) 求该二次函数的解析式; (2) 画出该二次函数的图象; (1) 由题意,可设该二次函数的解析式为y=ax2+c(a≠0).将A(0,1),B(2,3)代入, 得解得∴ 该二次函数的解析式为y=x2+1　 (2) 如图所示　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3) 若直线y=-x+2与该二次函数的图象交于C,D两点(点C在点D的左侧),求△ACD的面积. (3) 在y=-x+2中,令x=0,则y=2.∴ 直线y=-x+2与y轴的交点坐标为(0,2).令-x+2=x2+1,解得x1=-2,x2=1.∴ 点C的横坐标为-2,点D的横坐标为1.∴ S△ACD=×(2-1)×|-2|+×(2-1)×1= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 已知a<-1,点(a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在函数y=x2+1的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为 (　　) A. y1<y2<y3 B. y1<y3<y2 C. y3<y2<y1 D. y2<y1<y3 8. 已知抛物线y=-x2+2,当1≤x≤5时,y的最大值为 (　　) A. 2 B. C. D. C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. (1) 若抛物线y=ax2+k的顶点在直线y=-2上,且当x=1时,y=-3,则a=　　 , k=　　　　;  (2) 如果将(1)中的抛物线沿x轴折叠,那么折叠后的抛物线对应的函数解析式为　　　　　.　  10. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+4与y轴交于点A,过点A与x轴平行的直线交抛物线y=x2于点B,C,则BC的长为　　　　. -1 -2 y=x2+2 8 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 如图,抛物线y=x2-4与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),C为顶点,直线y=x+m经过点A,与y轴交于点D,与该抛物线的另一交点为E,连接BC,BD. (1) 求△BCD的面积; (1) 令y=0,则x2-4=0,解得x1=-2,x2=2.∴ A(-2,0),B(2,0).把A(-2, 0)代入y=x+m,得-2+m=0,解得m=2.∴ 直线AD对应的函数解 析式为y=x+2.当x=0时,y=2,∴ D(0,2).∵ C是抛物线y=x2-4的 顶点,∴ C(0,-4).∴ S△BCD=S△OBD+S△OBC=×2×2+×2×4 =6 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 一条新抛物线关于y轴对称,且经过D,E两点,求这条新抛物线对应的函数解析式. (2) ∵ 新抛物线关于y轴对称,且经过点D,∴ D为新抛物线 的顶点.联立解得或∴ 点E的 坐标为(3,5).设这条新抛物线对应的函数解析式为y=ax2+ 2.把E(3,5)代入,得9a+2=5,解得a=.∴ 这条新抛物线对应 的函数解析式为y=x2+2 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 已知抛物线y=ax2+k的顶点坐标是(0,-2),且过点(1,1). (1) 求此抛物线对应的函数解析式,并指出此抛物线的开口方向及对称轴. (2) 此抛物线对应的函数y有最大值还是最小值?其值是多少? (3) 若M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线上的两点,且x1<x2<0,则y1与y2的大小关系如何? (1) 由题意,得解得∴ 此抛物线对应的函数解析式为y=3x2-2,抛物线开口向上,对称轴为y轴　 (2) 此抛物线对应的函数y有最小值,当x=0时,函数y取得最小值,为-2　 (3) 当x<0时,y随x的增大而减小.∵ x1<x2<0,∴ y1>y2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 如图,正比例函数y=2x的图象与抛物线y=ax2+3相交于点A(1,b). (1) 求a与b的值; (2) 若点B(m,4)在函数y=2x的图象上,抛物线y=ax2+3的顶点是C,求△ABC的面积; (1) 把A(1,b)代入y=2x,得b=2.∴ A(1,2).把A(1,2)代入y=ax2+ 3,得a=-1　 (2) 把B(m,4)代入y=2x,得m=2.∴ B(2,4).∵ 易得抛物线y= ax2+3的顶点C的坐标是(0,3),∴ OC=3.∴ S△ABC=S△OBC- S△OAC=×3×2-×3×1= 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3) 若P是x轴上的一个动点,求当PA+PC最小时点P的坐标. (3) 设点C关于x轴的对称点为C',则点C'的坐标为(0,-3), 连接AC'交x轴于点P,此时PA+PC最小.设直线AC'对应的 函数解析式为y=kx+n.把C'(0,-3),A(1,2)代入,得 解得∴ y=5x-3.当y=0时,5x-3=0,∴ x=.∴ 点P的坐 标是 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第二十二章　二次函数 22.2　二次函数与一元二次方程 第1课时　二次函数图象与一元二次方程的关系 1. (教材P46例题变式)二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表: 则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围是 (　　) A. -1<x<0 B. 0<x<1 C. 2<x<3 D. 3<x<4 2. 若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别为x1=5,x2=-3,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点之间的距离为 (　　) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 A D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x … -3 -2 -1 0 1 … y … -11 -5 -1 1 1 … 3. 若点(2,m)在二次函数y=ax2-3ax+b(b为常数)的图象上,则关于x的一元二次方程ax2-3ax+b=m的两个实数根是 (　　) A. x1=1,x2=-1 B. x1=1,x2=2 C. x1=1,x2=0 D. x1=1,x2=3 4. (2022·凉山)已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,0)和点(0,-3),且对称轴在y轴的左侧,则下列结论错误的是 (　　) A. a>0 B. a+b=3 C. 抛物线经过点(-1,0) D. 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-1有两个不等的实数根 B C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 若二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的根为　　　　　　. 6. 二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表: 则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-7的解为x=　　　　.  x1=-1,x2=3 0或2 第5题 x … -3 0 1 3 5 … y … 8 -7 -8 -4 8 … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. 已知二次函数y=x2-6x+8. (1) 直接写出此二次函数图象的顶点坐标; (2) 画出此二次函数的图象,利用图象求出x2-6x+8=0的根; (3) 设此二次函数的图象交x轴于A,B两点,交y轴于点C,求△ABC的面积. (1) (3,-1)　 (2) 如图所示　x1=2,x2=4　 (3) 不妨设点A在点B的左侧.由(2),易得A(2,0),B(4,0),C(0,8). ∴ S△ABC=×(4-2)×8=8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. 已知二次函数y=(x-a)(x-b)-2(a<b)的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n,且m<n,则下列结论正确的是 (　　) A. m<a<n<b B. a<m<b<n C. m<a<b<n D. a<m<n<b C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. (2023·牡丹江)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点(-2,0),(3,0).有下列结论:① >0;② c=2b;③ 若抛物线上有点,(-3,y2),,则y2<y1<y3;④ 关于x的一元二次方程cx2+bx+a=0的解为x1=,x2=-.其中,正确的个数是 (　　) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=4的一个根是x=-1,且二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=-1,则抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为　　　　.  11. 二次函数y=ax2+bx的图象如图所示.若关于x的一元二次方程ax2+bx+ m=0的两个实数根异号,则m的取值范围是　　　　. (-1,4) m<0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. (教材P47习题22.2第5题变式)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,根据图象解答下列问题: (1) 写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根; (2) 写出关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集; (3) 若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=k有两个不等的实数根,求k的取值范围. (1) x1=1,x2=3　 (2) x<1或x>3　 (3) k<2 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 已知二次函数y=x2-2mx+m2-1(m是常数). (1) 求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴总有两个公共点; (2) 若该抛物线y=x2-2mx+m2-1与x轴的两个交点坐标分别为(x1,0),(x2,0),且+=4,求m的值. (1) 令y=0,则x2-2mx+m2-1=0.∵ Δ=(-2m)2-4(m2-1)=4>0,∴ 不论m为何值,该一元二次方程总有两个不等的实数根,即不论m为何值,该函数的图象与x轴总有两个公共点　 (2) 令y=0,则x2-2mx+m2-1=0,∴ x1+x2=2m,x1x2=m2-1.∵ +=4,∴ + =(x1+x2)2-2x1x2=4m2-2(m2-1)=4,解得m1=1,m2=-1.综上所述,m的值为1或-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(2,0),B(3n-4,y1),C(5n+6,y2)三点,对称轴是直线x=1,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根. (1) 求抛物线对应的函数解析式; (1) ∵ 抛物线经过点A(2,0),∴ 0=4a+2b+c①.∵ 对称轴是直线x=1,∴ -= 1②.∵ 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根,∴ Δ=(b-1)2-4ac=0③.由①②③,可得a=-,b=1,c=0.∴ 抛物线对应的函数解析式为y=-x2+x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 若n<-5,试比较y1与y2的大小; (2) ∵ n<-5,∴ 3n-4<-19,5n+6<-19.∴ 点B,C在直线x=1的左侧.∵ 抛物线的开口向下,∴ 当x<1时,y随x的增大而增大.∵ (3n-4)-(5n+6)=-2n-10= -2(n+5)>0,∴ 3n-4>5n+6.∴ y1>y2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (3) 若B,C两点在直线x=1的两侧,且y1>y2,求n的取值范围. (3) 当点B在直线x=1的左侧,点C在直线x=1的右侧时,由题意,得 ∴ 0<n<.当点C在直线x=1的左侧,点B在直线x=1的右侧时,由题意,得该不等式组无解.综上所述,n的取值范围是0<n< 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$第二十二章　二次函数 22.3　实际问题与二次函数 第2课时　销售利润问题 1. 若一种服装的销售利润y(万元)与销售数量x(万件)之间的函数解析式为y=-2x2+4x+5,则销售利润最大为 (　　) A. 5万元 B. 7万元 C. 8万元 D. 6万元 2. (教材P50探究2变式)某超市购进一批单价为8元的生活用品,如果按每件9元出售,那么每天可销售20件.经调查发现,这种生活用品的销售单价每提高1元,其销售量相应减少4件,那么销售单价定为　　　　元时,才能使每天所获销售利润最大. B 11 1 2 3 4 5 6 7 8 3. (2023·德州)某商场购进了A,B两种商品,若销售10件A商品和20件B商品,则可获利280元;若销售20件A商品和30件B商品,则可获利480元. (1) 求A,B两种商品每件的利润. (1) 设A商品每件的利润为x元,B商品每件的利润为y元.根据题意,得解得∴ A商品每件的利润为12元,B商品每件的利润为8元　 1 2 3 4 5 6 7 8 (2) 已知A商品的进价为24元/件,目前每星期可卖出200件A商品,市场调查发现:如果A商品的单价每降价1元,那么每星期可多卖出20件.如何定价才能使销售A商品每星期获得的利润最大?最大利润为多少? (2) 设降价a元,每星期获得的利润为W元.根据题意,得W=(12-a)(200+20a) =2400+240a-200a-20a2=-20a2+40a+2400=-20(a-1)2+2420.∵ -20<0,∴ 当a=1时,W有最大值,最大值为2420,此时定价为24+12-1=35(元).∴ 定价为35元时每星期获得的利润最大,最大利润为2420元 1 2 3 4 5 6 7 8 4. (2023·绵阳)随着国家乡村振兴政策的推进,凤凰村农副产品越来越丰富,为增加该村村民收入,计划定价销售某土特产,他们把该土特产(每袋成本10元)进行4天试销售,日销量y(袋)和每袋售价x(元)记录如下表: 若试销售和正常销售期间,日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同. 时　间 第一天 第二天 第三天 第四天 x/元 15 20 25 30 y/袋 25 20 15 10 1 2 3 4 5 6 7 8 (1) 求日销量y(袋)关于每袋售价x(元)的函数解析式. (2) 每袋售价定为多少元,才能使该土特产每日销售的利润最大?请求出最大利润. (1) 依题意,设y=kx+b.由表中数据,得解得∴ y=-x +40　 (2) 设利润为W元.依题意,得W=(x-10)(-x+40)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225. ∵ -1<0,∴ 当x=25时,W取最大值,最大值为225.∴ 每袋售价定为25元,才能使该土特产每日销售的利润最大,最大利润为225元 1 2 3 4 5 6 7 8 5. 某民俗旅游村为接待游客住宿,开设了有100张床位的旅馆.若每张床位每天收费10元,则床位可全部租出;若每张床位每天的收费提高2元,则相应地减少了10张床位的租出.如果每张床位每天以2元为单位提高收费,为使租出的床位少且租金高,那么每张床位每天最合适的收费是 (　　) A. 14元 B. 15元 C. 16元 D. 18元 C 1 2 3 4 5 6 7 8 解析:设每张床位每天的收费提高x个2元,每天的租金为y元.根据题意,得y=(10+2x)(100-10x)=-20x2+100x+1000.∵ -20<0,∴ 当x=-=2.5时,y有最大值.又∵ x为整数,∴ 当x=2时,y=1120;当x=3时,y=1120.∵ 要使租出的床位少且租金高,∴ x=3.∴ 每张床位每天最合适的收费是10+3×2= 16(元). 1 2 3 4 5 6 7 8 6. 某服装店销售一批服装,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,尽快减少库存,该服装店决定采取适当的降价措施.经市场调查发现,一件衣服每降价1元,该服装店平均每天可多售出2件,则每件衣服降价 　　　　元时,该服装店每天盈利最多. 15 1 2 3 4 5 6 7 8 7. 某公司营销A,B两种产品,根据市场调研,发现如下信息. 信息1:销售A种产品所获利润y1(万元)与所售产品数量x(吨)之间满足二次函数y1=ax2+bx(a≠0).当x=1时,y1=1.4;当x=3时,y1=3.6. 信息2:销售B种产品所获利润y2(万元)与所售产品数量x(吨)之间满足正比例函数y2=0.3x. 根据以上信息,解答下面的问题: (1) 求二次函数的解析式; (1) 根据题意,得解得∴ 二次函数的解析式为y1=-0.1x2+1.5x 1 2 3 4 5 6 7 8 (2) 该公司准备购进A,B两种产品共10吨,请设计一种购进方案,使销售A, B两种产品所获利润之和最大,并求出最大利润之和. (2) 设购进A种产品m(0<m<10)吨,则购进B种产品(10-m)吨,销售这两种产品所获利润之和为w万元.∴ w=(-0.1m2+1.5m)+0.3(10-m)=-0.1m2+1.2m +3=-0.1(m-6)2+6.6.∵ -0.1<0,∴ 当m=6时,w有最大值6.6.∴ 10-6=4(吨).∴ 当购进A种产品6吨,B种产品4吨时,销售A,B两种产品所获利润之和最大,最大利润之和是6.6万元 1 2 3 4 5 6 7 8 8. (2022·十堰)某商户购进一批童装,40天销售完毕.根据所记录的数据发现,日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的函数解析式为y=销售单价p(元)与销售时间x(天)之间的函数关系如图所示. (1) 第15天的日销售量为　　　　件. 第8题 30 1 2 3 4 5 6 7 8 (2) 当0<x≤30时,日销售额最大是多少? (2) 设日销售额为w元.① 当0<x≤20时,由题图,可知销售单 价为40元,此时w=40y=40×2x=80x.∵ 80>0,∴ w随x的增 大而增大.当x=20时,w取得最大值,此时w=80×20=1600. ② 当20<x≤30时,由题图,可知p是关于x的一次函数.设p= kx+b(k≠0).将(20,40),(40,30)代入,得解得 ∴ p=-x+50.∴ w=py=·2x=-x2+100x=-(x-50)2+2500. ∵ -1<0,∴ 当20<x≤30时,w随x的增大而增大.当x=30时,w取得最大值,此时w=-(30-50)2+2500=2100.∵ 1600<2100,∴ w的最大值为2100.∴ 当0<x≤ 30时,日销售额最大是2100元 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 (3) 在销售过程中,若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”,则“火热销售期”共有多少天? (3) 当0<x≤30时,令2x≥48,解得x≥24.∴ 24≤x≤30.当30<x≤ 40时,令-6x+240≥48,解得x≤32.∴ 30<x≤32.∴ 24≤x≤32,共 有9天.∴ “火热销售期”共有9天 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 $$第二十二章　二次函数 22.1　二次函数的图象和性质 22.1.4　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第2课时　用待定系数法求二次函数的解析式 1. 在平面直角坐标系中,抛物线的顶点坐标是(1,3),当x>1时,y随x的增大而增大,则抛物线对应的函数解析式可以为 (　　) A. y=-2(x+1)2+3 B. y=2(x+1)2+3 C. y=-2(x-1)2+3 D. y=2(x-1)2+3 2. (教材P40练习第2题变式)若抛物线经过(0,1),(-1,0),(1,0)三点,则此抛物线对应的函数解析式为 (　　) A. y=x2+1 B. y=x2-1 C. y=-x2+1 D. y=-x2-1 D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. 已知抛物线y=x2+bx+c经过点(3,1),(-1,1),则此抛物线还经过点 (　　) A. (1,2) B. (0,-2) C. (-5,2) D. (-2,0) 4. 若某二次函数的图象如图所示,则此二次函数的解析式为 　　　　　　　　.  5. (2023·上海)若二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点在y轴正半 轴上,且其对称轴左侧的部分是上升的,则这个二次函数的解析式可以是 　　　 　　　　　.  6. 若抛物线y=ax2+bx+5(a≠0)的顶点坐标是(-1,-4),则a=　　　,b=　　　. B y=-x2+2x+3 答案不唯一,如y=-x2+1 9 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. 根据条件,分别求出对应的二次函数的解析式.　 (1) 已知二次函数图象的对称轴为直线x=-2,顶点在x轴上,并与y轴交于点(0,3); (2) 已知二次函数图象的顶点坐标为(-2,-5),且过点(1,-14); (3) 已知二次函数在x=时有最小值-,且函数图象经过点(0,2). (1) 由题意,可设y=a(x+2)2.将(0,3)代入,得4a=3,解得a=.∴ y=(x+2)2　 (2) 由题意,可设y=a(x+2)2-5.将(1,-14)代入,得9a-5=-14,解得a=-1.∴ y=-(x +2)2-5=-x2-4x-9　 (3) 由题意,可设y=a(x-)2-.将(0,2)代入,得a-=2,解得a=1.∴ y=(x-)2-= x2-3x+2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. (教材P42习题22.1第10题变式)如图,一个二次函数的图象经过A,B,C三点,点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(4,0),点C在y轴的正半轴上,且OC=AB.求: (1) 点C的坐标; (1) ∵ 点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(4,0),∴ OA=1,OB=4. ∴ AB=OA+OB=1+4=5.∵ OC=AB,∴ OC=5,即点C的坐标为 (0,5)　 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 这个二次函数的解析式. (2) 设这个二次函数的解析式为y=a(x-4)(x+1)(a≠0). ∵ 点C(0,5)在该二次函数的图象上,∴ a(0-4)(0+1)=5, 解得a=-.∴ y=-(x-4)(x+1)=-(x2-3x-4)=-x2+x+5 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. 二次函数的图象如图所示,则该二次函数的解析式为 (　　) A. y=x2-2x+3 B. y=x2-2x-3 C. y=x2+2x-3 D. y=x2+2x+3　　　 10. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0),对称轴是直线x=-1,则a+b+c= 　　　　.  B 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11. 如图,抛物线y=2x2+bx+c与y轴交于点C(0,1),过点C的直线 MN∥x轴,且与抛物线的另一个交点为D(-2,n),则此抛物线对应 的函数解析式为　 . y=2x2+4x+1 解析:∵ CD∥x轴,C(0,1),D(-2,n),∴ D(-2,1).∴ 易得抛物线的对称轴为直线x=-1,即-=-1,解得b=4.把C(0,1)代入y=2x2+4x+c,得c=1,∴ 此抛物线对应的函数解析式为y=2x2+4x+1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 如图,抛物线y=x2+(b-1)x+c经过点P(-1,-2b),且b+c=-2. (1) 如果b=3,求这条抛物线的顶点坐标. (1) 当b=3时,c=-2-b=-5,∴ y=x2+2x-5=(x+1)2-6.∴ 这条抛物 线的顶点坐标是(-1,-6)　 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 过点P作直线PA⊥y轴,交y轴于点A,交抛物线于另一点B(点B在点P的左侧),且BP=2PA.求这条抛物线对应的函数解析式. (2) 由P(-1,-2b),点A在y轴上,PA⊥y轴,可得PA=1.又∵ BP= 2PA,∴ BP=2.∵ 点B在点P的左侧,∴ 点B的横坐标为-3.由 抛物线的对称性,可知其对称轴为直线x=-2.∴ -=-2,解 得b=5.又∵ b+c=-2,∴ c=-7.∴ 这条抛物线对应的函数解析 式为y=x2+4x-7 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 如图,二次函数y=-x2+mx+n的图象经过点A(-1,4),B(1,0),直线y=-x+b经过点B,且与二次函数y=-x2+mx+n的图象交于点D. (1) 求二次函数的解析式; (1) ∵ 二次函数y=-x2+mx+n的图象经过点A(-1,4),B(1,0), ∴ 解得 ∴ 二次函数的解析 式为y=-x2-2x+3 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) N是二次函数图象上的一点(点N在BD的上方),过点N作NP⊥x轴,垂足为P,交BD于点M,求线段MN长的最大值. (2) ∵ 直线y=-x+b经过点B(1,0),∴ -×1+b=0,解得b=. ∴ y=-x+.联立方程组,得解得 ∴ 点D的坐标为.设点M的坐标为(a,-a+), 则点N的坐标为(a,-a2-2a+3),且-<a<1.∴ MN=-a2-2a+3-=-a2-a+=-+.∴ 当a=-时,线段MN的长取得最大值,为 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. (2023·绍兴)已知二次函数y=-x2+bx+c. (1) 当b=4,c=3时. ① 求该函数图象的顶点坐标; ② 当-1≤x≤3时,求y的取值范围. (1) ① ∵ b=4,c=3,∴ y=-x2+4x+3=-(x-2)2+7.∴ 顶点坐标为(2,7)　 ② ∵ -1≤x≤3,∴ 当x=2时,y有最大值,为7.∵ 2-(-1)>3-2,∴ 当x=-1时,y有最小值,为-2.∴ 当-1≤x≤3时,-2≤y≤7　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 当x≤0时,y的最大值为2,当x>0时,y的最大值为3.求二次函数的解析式. (2) ∵ 当x≤0时,y的最大值为2,当x>0时,y的最大值为3,∴ 抛物线的对称轴直线x=在y轴的右侧.∴ b>0.∵ 易得抛物线开口向下,且当x≤0时,y的最大值为2,∴ c=2.又∵ 易得=3,∴ b=±2.∵ b>0,∴ b=2.∴ 二次函数的解析式为y=-x2+2x+2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$第二十二章　二次函数 22.1　二次函数的图象和性质 22.1.1　二次函数 1. 下列函数解析式中,一定为二次函数的是 (　　) A. y= B. y=mx2+x-2 C. s=2t2+1 D. y=x2+ 2. 若二次函数y=x2+2x-7的函数值是8,则对应的x的值是 (　　) A. 3 B. 5 C. -3和5 D. 3和-5 C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. (教材P28问题2变式)为方便市民进行垃圾分类投放,某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶,计划第三个月投放y个垃圾桶,设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x,那么y与x之间的函数解析式为 (　　) A. y=1000(1-x)2 B. y=1000(1+x)2 C. y=(1-x)2+1000 D. y=x2+1000 4. 若函数y=(m+2)x2+2x+5是关于x的二次函数,则m的取值范围是　　　. 5. 已知一个直角三角形的两条直角边长的和为10,设其中一条直角边长为x,则该直角三角形的面积y与x之间的函数解析式为　　　　　　. B m≠-2 y=-x2+5x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. 下列函数中,哪些是y关于x的二次函数?若是二次函数,请写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. (1) y=x(x+4); (2) y=(1-x)(2+x)+x2; (3) y=ax2++1(a≠0). (1)是二次函数　二次项系数、一次项系数和常数项分别是1,4,0　 (3)是二次函数　二次项系数、一次项系数和常数项分别是a,,1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. 已知一个菱形两条对角线的长的和为24cm,设其中一条对角线的长为xcm. (1) 设菱形的面积为Scm2,求S与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围; (2) 当x=12时,菱形的面积为多少? (1) 由题意,得S=x(24-x)=-x2+12x(0<x<24)　 (2) 当x=12时,S=-×122+12×12=72,即菱形的面积为72cm2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. 若y=(a+4)x|a|-2+5x-8是关于x的二次函数,则a的值为 (　　) A. -4 B. 4 C. ±4 D. ±2 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. 如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠ACB=90°,AB=AD,AC=4BC.设CD的长为x,四边形ABCD的面积为y,则y与x之间的函数解析式为 (　　) A. y=x2 B. y=x2 C. y=x2 D. y=x2 C 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:如图,过点D作DE⊥AC于点E.设BC=a,则AC=4a.∵ ∠BAD=90°, ∠DEA=90°,∴ 易得∠BAC=∠ADE.又∵ ∠ACB=∠DEA=90°,AB= DA,∴ △ABC≌△DAE.∴ BC=AE=a,AC=DE=4a.∴ EC=AC-AE=4a-a= 3a.在Rt△DEC中,DC==5a,∴ x=5a,即a=x.∴ y=·a·4a+ ·4a·4a=10a2=x2,即y与x之间的函数解析式为y=x2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 把y=(3x-2)(x+3)化成y=ax2+bx+c的形式为　　　　　　　,其一次项系数与常数项的和为　　　　.  11. 已知y与x2成正比例关系,并且当x=-1时,y=-,则当x=-3时,y的值为　 . 12. 已知函数y=(m2-m)x2+(m-1)x-2(m为常数). (1) 若这个函数是关于x的一次函数,求m的值; (2) 若这个函数是关于x的二次函数,求m的取值范围. y=3x2+7x-6 1 -3 (1) 由题意,得解得m=0　 (2) 由题意,得m2-m≠0.∴ m≠0且m≠1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 如图,利用一面长为34m的墙,用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD,在边AB和BC上各有一个2m宽的小门(不用铁栅栏).若所用铁栅栏的长为40m,矩形ABCD的边AD的长为xm,边CD的长为ym,矩形的面积为Sm2,且x<y. (1) 求S与x之间的函数解析式,并指出这是一个什么函数; (2) 直接写出自变量x的取值范围. (1) 根据题意,得S=xy=x(40+2×2-2x)=-2x2+44x, 这是一个二次函数　 (2) 自变量x的取值范围是5≤x< 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. 如图,正方形ABCD的边长为4cm,动点P,Q同时从点A出发,以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动.设运动时间为xs,由点P,B,D,Q确定的封闭图形的面积为ycm2,求y关于x(0≤x≤8)的函数解析式. 由题意,可知当0≤x≤4时,AP=AQ=xcm,∴ y=×4×4-x2= 8-x2.当4<x≤8时,CQ=CP=4+4-x=(8-x)cm,∴ y=×4×4- (8-x)2=-x2+8x-24.综上所述,y关于x的函数解析式为y= 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$第二十二章　二次函数 22.1　二次函数的图象和性质 22.1.3　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 第3课时　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 1. 二次函数y=(x+1)2+3的图象的顶点坐标是 (　　) A. (1,3) B. (1,-3) C. (-1,3) D. (-1,-3) 2. (教材P35例3变式)(2023·广西)将抛物线y=x2先向右平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到的抛物线对应的函数解析式为 (　　) A. y=(x-3)2+4 B. y=(x+3)2+4 C. y=(x-3)2-4 D. y=(x+3)2-4 C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. (2022·郴州)关于二次函数y=(x-1)2+5,下列说法正确的是 (　　) A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是(-1,5) C. 该函数有最大值,最大值是5 D. 当x>1时,y随x的增大而增大 4. 在平面直角坐标系中,若点(4,y1),(6,y2)在抛物线y=a(x-3)2+1(a>0)上,下列结论正确的是 (　　) A. 1<y1<y2 B. 1<y2<y1 C. y2<y1<1 D. y1<y2<1 5. 已知抛物线y=(x+2)2+k的顶点在直线y=-4x-1上,则顶点坐标为　　　 . 6. 若抛物线y=(x-a)2+(2-a)的顶点在第一象限,则a的取值范围是　　　　. D A (-2,7) 0<a<2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. (教材P37练习变式)写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1) y=3(x+4)2-1; (2) y=-(x-5)2+2; (3) y=-2(x+1)2+6. (1) 开口向上,对称轴为直线x=-4,顶点坐标为(-4,-1) (2) 开口向下,对称轴为直线x=5,顶点坐标为(5,2)　 (3) 开口向下,对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1,6) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. 已知抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1,-2). (1) 求a的值; (2) 若点A(m,y1),B(n,y2)(m<n<3)都在该抛物线上,试比较y1与y2的大小. (1) ∵ 抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1,-2),∴ a·(1-3)2+2=-2,解得a=-1　 (2) 由(1),得抛物线对应的函数解析式为y=-(x-3)2+2,图象开口向下,对称轴为直线x=3,∴ 当x<3时,y随x的增大而增大.∵ m<n<3,∴ y1<y2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. 当3≤x≤5时,二次函数y=(x-1)2+k的最小值是3,则k的值为 (　　) A. 5 B. -5 C. 1 D. -1 10. 已知二次函数y=(x-m)2-1,当x≤3时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是　　　　.  C m≥3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11. 小明同学在用描点法画二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象时,列出表格如下: 则表中m的值是　　　　. 6 x … -1 0 1 2 3 … y … m 3 2 3 6 … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 已知二次函数y=(x-2a)2+a-1(a为常数),当a取不同的值时,其图象构成一个“抛物线系”.如图所示为当a=-1,a=0,a=1,a=2时二次函数的图象,它 们的顶点在同一条直线上,则这条直线对应的函数解析式为y=　　　　 . x-1 解析:由题意,得抛物线的顶点坐标为(2a,a-1).设x=2a①,y=a-1②,则由①-②×2,得x-2y=2.∴ y=x-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 如图,二次函数y=(x-2)2+m的图象与y轴交于点C,B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过该二次函数图象上的点A(1,0)及点B,连接AC,BC. (1) 求二次函数与一次函数的解析式. (1) 由题意,得(1-2)2+m=0,解得m=-1.∴ 二次函数的解析式 为y=(x-2)2-1.∴ 该二次函数图象的对称轴为直线x=2.当x= 0时,y=(0-2)2-1=3,∴ 点C的坐标为(0,3).∵ 点B与点C关于直 线x=2对称,∴ 点B的坐标为(4,3).将A(1,0),B(4,3)代入y=kx+b(k≠0),得 解得∴ 一次函数的解析式为y=x-1 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 抛物线上是否存在一点P,使S△ABP=S△ABC?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. (2) 存在　易知点P在直线AB上方.如图,过点C作CP∥AB 交抛物线于点P,连接AP,BP,此时S△ABP=S△ABC.∵ 直线AB 对应的函数解析式为y=x-1,CP∥AB,∴ 设直线CP对应的 函数解析式为y=x+b'.把C(0,3)代入,得b'=3.∴ y=x+3.联立 方程组,得解得∴ 点P的 坐标为(5,8) 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. 如图,抛物线y=a(x-h)2+k(a<0,k>0)的顶点为A,对称轴与x轴交于点C,当以AC为对角线的正方形ABCD的另外两个顶点B,D恰好在抛物线上时,我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”.正方形ABCD为它的内接正方形. (1) 若抛物线y=ax2+2是“美丽抛物线”,则a=　　　　;  (2) 若抛物线y=-(x-1)2+k是“美丽抛物线”,则k的值为 　　　　;  第14题 -1 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (3) 若抛物线y=a(x-h)2+k是“美丽抛物线”,求a,k之间的数量关系. (3) 易知抛物线经过点,∴ k=a +k.整理,得k(ak+2)=0.∵ k>0,∴ ak=-2.∴ a,k之间的数量 关系为ak=-2 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$第二十二章　二次函数 22.3　实际问题与二次函数 第3课时　建立坐标系解“抛物线”形问题 1. 如图,小明以抛物线为灵感,在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14cm的奖杯,杯体轴截面ABC是抛物线y=x2+5的一部分,则杯口的口径AC为 (　　) A. 7cm B. 8cm C. 9cm D. 10cm C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. (教材P51探究3变式)(2022·广安)如图所示为一座抛物线形拱桥,当拱顶 离水面2米时,水面宽6米,则当水面下降　　　　米时,水面宽8米.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. 如图所示为一座拱桥,当水面宽AB为12m时,桥洞顶部离水面4m.已知桥洞的拱形是抛物线,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系.若选取A为坐标原点时的抛物线对应的函数解析式为y=-(x-6)2+4,则选取B为坐标原 点时的抛物线对应的函数解析式为　　　　　　　　.  y=-(x+6)2+4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4. (2022·南通)根据物理学规律,如果不考虑空气阻力,以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出,那么小球的飞行高度h(m)与飞行时间t(s)之间的函数解析式为h=-5t2+20t.当飞行时间为　　　　s时,小球达到最高点. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5. (2022·陕西)现要修建一条隧道,其截面为抛物线形,如图,线段OE表示水平的路面,以O为坐标原点,OE所在直线为x轴,过点O且垂直于x轴的直线为y轴,建立平面直角坐标系.根据设计要求,OE=10m,该抛物线的顶点P到OE的距离为9m. (1) 求满足设计要求的抛物线对应的函数解析式. (1) 由题意,易得顶点P的坐标为(5,9).设抛物线对应的函 数解析式为y=a(x-5)2+9.将(0,0)代入,得0=a(0-5)2+9,解得 a=-.∴ 抛物线对应的函数解析式为y=-(x-5)2+9 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2) 现需在这一条隧道的内壁上,即在该抛物线上的点A,B处分别安装照明灯.已知点A,B到OE的距离均为6m,求点A,B的坐标. (2) 令y=6,得-(x-5)2+9=6,解得x1=5+,x2=5-. ∴ 点A的坐标为,点B的坐标为 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. 某公园草坪的护栏是由100段形状相同的抛物线组成的,为了牢固起见,每段护栏需按间距0.4m加设由不锈钢管做成的立柱(如图),护栏的最高点距底部0.5m,则所需不锈钢立柱的总长度为 (　　) A. 50m B. 100m C. 160m D. 200m　　　　　 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7. 如图,小明的父亲在相距2m的两棵树之间拴了一根绳子, 给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面的高度都 是2.5m,绳子自然下垂呈抛物线状.当身高1m的小明距较近 的那棵树0.5m时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点到地 面的距离为　　　　m. 0.5 解析:如图,建立平面直角坐标系.设抛物线对应的函数解析式为y=ax2+c.将(-0.5,1),(1,2.5)代入,得解得 ∴ 该抛物线对应的函数解析式为y=2x2+0.5.当x=0时,y= 0.5,∴ 绳子的最低点到地面的距离为0.5m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8. (2023·兰州)一名运动员在10m高的跳台进行跳水,身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线,运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示.运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点,当运动员离起跳点A的水平距离为3m时,离水面的距离为7m.求: (1) y关于x的函数解析式; (1) 根据题意,得抛物线过点A(0,10)和点(3,7),对称轴 为直线x=1.设y关于x的函数解析式为y=ax2+bx+c. ∴ 解得∴ y关于x的函数 解析式为y=-x2+2x+10 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2) 运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长. (2) 在y=-x2+2x+10中,令y=0,得0=-x2+2x+10,解得x= +1或x=-+1(不合题意,舍去).∴ 运动员从起 跳点到入水点的水平距离OB的长为(+1)m 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9. (2023·温州)一次足球训练中,小明从球门正前方8m的A处射门,球射向球门的路线呈抛物线形.当球飞行的水平距离为6m时,球达到最高点,此时球离地面3m.已知球门OB高为2.44m,现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系. (1) 求抛物线对应的函数解析式,并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素); (1) 由题意,得抛物线的顶点坐标为(2,3).设抛物线对应 的函数解析式为y=a(x-2)2+3.把A(8,0)代入,得36a+3=0, 解得a=-.∴ 抛物线对应的函数解析式为y=-(x-2)2+ 3.当x=0时,易得y=>2.44,∴ 球不能射进球门 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2) 对本次训练进行分析,若射门路线的形状、最大高度均保持不变,则当时他应该带球向正后方移动多少米射门,才能让足球经过点O正上方2.25m处? (2) 设小明带球向正后方移动mm,则移动后的抛物线 对应的函数解析式为y=-(x-2-m)2+3.把(0,2.25)代入, 得2.25=-(-2-m)2+3,解得m1=-5(不合题意,舍去),m2=1. ∴ 当时他应该带球向正后方移动1m射门 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $$第二十二章　二次函数 22.1　二次函数的图象和性质 22.1.2　二次函数y=ax2的图象和性质 1. (2022·龙东地区)若二次函数y=ax2的图象经过点P(-2,4),则该图象必经过点 (　　) A. (2,4) B. (-2,-4) C. (-4,2) D. (4,-2) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. (教材P31思考变式)关于二次函数y=2024x2的图象,下列说法错误的是 (　　) A. 它是一条抛物线 B. 它的顶点是抛物线的最高点 C. 它的开口向上且关于y轴对称 D. 它与抛物线y=-2024x2关于x轴对称 3. (教材P41习题22.1第7题变式)已知二次函数y=(a-1)x2,当x>0时,y随x的增大而减小,则实数a的取值范围是 (　　) A. a>0 B. a>1 C. a≠1 D. a<1 B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4. 已知抛物线y=ax2(a>0)过A(-2,y1),B(1,y2)两点,下列关系式正确的是 (　　) A. y1>0>y2 B. y2>0>y1 C. y1>y2>0 D. y2>y1>0 5. 已知二次函数y=ax2与y=-3x2的图象的开口大小相同,方向相反,则a= 　　　　.　  6. 已知原点是抛物线y=(m+3)x2的最高点,则m的取值范围是　　　　.  7. 已知二次函数y=2024x2的图象经过原点,其图象上有两个不同的点P,Q,则t1+t2=　　　　. C 3 m<-3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. 已知点A(2,8)与点B(-1,k)都在二次函数y=ax2的图象上. (1) 求a和k的值,并写出该函数图象的对称轴、顶点坐标及开口方向; (2) 求该函数图象上纵坐标为4的点的坐标; (1) 由题意,得8=a·22,解得a=2.∴ y=2x2.∴ 当x=-1时,k=2×(-1)2=2.该函数图象的对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0),开口向上　 (2) 令y=4,则2x2=4,解得x1=,x2=-.∴ 该函数图象上纵坐标为4的点的坐标为(,4),(-,4)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3) 判断该函数的图象是否经过点; (4) 当-3≤x≤1时,求函数y的最大值和最小值. (3) 当x=-时,y=2×=.∴ 该函数的图象经过点　 (4) 当x=0时,y=0;当x=-3时,y=18.∴ 当-3≤x≤1时,y的最大值为18,最小值为0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. 有下列二次函数:① y=3x2;② y=x2;③ y=-x2.将它们图象的开口按从大到小的顺序排列,正确的是 (　　) A. ①②③ B. ①③② C. ②③① D. ②①③ 10. 二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (　　) C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11. 若二次函数y=(m-1)的图象开口向下,则m的值为　　　　.  12. 如图,正方形四个顶点的坐标依次为(1,1),(3,1),(3,3),(1,3).若抛物线y= ax2与正方形有公共点,则实数a的取值范围是　　　　.  -1 ≤a≤3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 如图,菱形OABC的顶点O,A,C在抛物线y=x2上,其中O为 坐标原点,对角线OB在y轴上,且OB=2,则菱形OABC的面积 是　　　　. 2 解析:连接AC.∵ 菱形OABC的顶点O,A,C在抛物线y=x2上,对角线OB在y轴上,且OB=2,∴ 易得点A,C的纵坐标为1.令x2=1,解得x1=-,x2=.∴ A(,1),C(-,1).∴ AC=2.∴ 菱形OABC的面积是×2×2=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. 如图,直线l过A(4,0),B(0,4)两点,它与二次函数y=ax2的图象在第一象限内交于点P,连接OP.若△AOP的面积为,求二次函数的解析式. 设直线l对应的函数解析式为y=kx+b.∵ 直线l过A(4,0), B(0,4)两点,∴ 解得∴ 直线l对应的 函数解析式为y=-x+4.∵ △AOP的面积为,∴ ×4×yP=. ∴ yP=.∵ 点P在直线l上,∴ =-xP+4,解得xP=.∴ 点P的坐标为.把P代入y=ax2,得=a·,解得a=.∴ 二次函数的解析式为y=x2 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. 已知抛物线y=ax2与直线y=2x-3交于点(1,b). (1) 求抛物线对应的函数解析式,并写出顶点坐标和对称轴; (1) 将(1,b)代入y=2x-3,得b=-1.将(1,-1)代入y=ax2,得-1=a·12,解得a=-1.∴ 抛物线对应的函数解析式为y=-x2,顶点坐标为(0,0),对称轴为y轴　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2) 若抛物线与直线交于A,B两点(点A在点B的右侧),连接OA,OB,求△AOB的面积; (3) 若点P在y轴上,则当|PA-PB|取得最大值时,求点P的坐标. (2) 令-x2=2x-3,解得x1=-3,x2=1.当x=-3时,y=-9;当x=1时,y=-1.∴ A(1,-1), B(-3,-9).∴ S△AOB=×(1+9)×[1-(-3)]-×3×9-×1×1=6　 (3) 令点A关于y轴的对称点为A'(-1,-1).连接BA'并延长,交y轴于点P.易知此时|PA-PB|的值最大.设直线A'B对应的函数解析式为y=kx+c.将B(-3,-9), A'(-1,-1)代入,得解得∴ 直线A'B对应的函数解析 式为y=4x+3.当x=0时,y=3,∴ 点P的坐标为(0,3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$第二十二章　二次函数 22.3　实际问题与二次函数 第1课时　几何图形面积问题 1. 若正方形的周长为acm,面积为Scm2,则S与a之间的函数解析式为 (　　) A. S=a2 B. S=a2 C. S=a2 D. S=a2 2. 有一个周长为12的矩形,当其面积最大时,其一边长为 (　　) A. 3 B. 6 C. 2 D. 3. 已知一个直角三角形的两直角边长之和为20cm,则该直角三角形的最大面积为 (　　) A. 25cm2 B. 50cm2 C. 100cm2 D. 200cm2 C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B 4. 某农场拟建三间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠墙(墙长50m),中间用两道墙隔开(如图).计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m,则这三间矩形种牛饲养室的总占地面积最大为　　　　m2. 144 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. (2022·沈阳)如图,用一根60cm长的铁丝制作一个“日”字形矩形框架ABCD,铁丝恰好全部用完. (1) 若所围成的矩形框架ABCD的面积为144cm2,则AB的长为多少? 设AD的长为xcm,则AB的长为cm. (1) 由题意,得x·=144,解得x=12或x=18.∴ =12或 =8.∴ AB的长为12cm或8cm　 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 求矩形框架ABCD的最大面积. (2) 设矩形框架ABCD的面积为Scm2,则S=x·=-(x-15)2 +150.∵ -<0,∴ 当x=15时,S取得最大值,为150.∴ 矩形框架 ABCD的最大面积为150cm2 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. (教材P49探究1变式)用长为32m的篱笆围一个矩形养鸡场,设围成的矩形的一边长为xm,面积为ym2. (1) 求y关于x的函数解析式. (2) 当x为何值时,围成的养鸡场的面积为60m2? (1) 由题意,得与长为xm的一边相邻的另一边长为(32-2x)=(16-x)m,则y= x(16-x)=-x2+16x(0<x<16)　 (2) 当y=60时,-x2+16x=60,解得x1=10,x2=6.∴ 当x=10或6时,围成的养鸡场的面积为60m2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (3) 能否围成面积为70m2的养鸡场?如果能,请求出其边长;如果不能,请说明理由. (3) 不能　理由:当y=70时,-x2+16x=70.整理,得x2-16x+70=0.∵ Δ=(-16)2-4 ×70=-24<0,∴ 此方程无实数根.∴ 不能围成面积为70m2的养鸡场. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=8cm,点P从点A出发,沿AC向点C以1cm/s的速度运动,同时点Q从点C出发,沿CB向点B以2cm/s的速度运动(当点Q运动到点B时,点P,Q同时停止运动).在运动过程中,四边形PABQ的面积最小为 (　　) A. 19cm2 B. 16cm2 C. 15cm2 D. 12cm2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. (教材P52习题22.3第7题变式)如图,在边长为6cm的正方形 ABCD中,点E,F,G,H分别从点A,B,C,D同时出发,均以1cm/s的 速度向点B,C,D,A匀速运动,当点E到达点B时,四个点同时停 止运动.在运动过程中,当运动时间为　　　　 s时,四边形 EFGH的面积最小,最小是　　　　cm2. 3 18 解析:设运动时间为t(0≤t≤6)s,则AE=tcm,AH=(6-t)cm.根据题意,得 S四边形EFGH=S正方形ABCD-4S△AEH=6×6-4×t(6-t)=2t2-12t+36=[2(t-3)2+ 18]cm2.∴ 当t=3时,四边形EFGH的面积最小,最小是18cm2. 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. (2023·菏泽)某学校为美化学校环境,打造绿色校园,决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园,用一道篱笆把花园分为A,B两块(如图),花园里种满牡丹和芍药,篱笆共120米. (1) 设计一个使花园面积最大的方案,并求出其最大面积. (1) 设垂直于墙的边长为x米,围成的矩形面积为S平方米, 则平行于墙的边长为(120-3x)米.根据题意,得S=x(120-3x) =-3x2+120x=-3(x-20)2+1200.∵ -3<0,∴ 当x=20时,S取最大 值1200.∴ 120-3x=120-3×20=60.∴ 垂直于墙的边长为20米,平行于墙的边长为60米,花园面积最大为1200平方米 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 在花园面积最大的条件下,往A,B两块内分别种植牡丹和芍药,每平方米种植2株.已知牡丹每株售价25元,芍药每株售价15元,学校计划购买费用不超过5万元,求最多可以购买多少株牡丹. (2) 设购买m株牡丹,则购买1200×2-m=(2400-m)株芍药. ∵ 学校计划购买费用不超过5万元,∴ 25m+15(2400-m) ≤50000,解得m≤1400.∴ 最多可以购买1400株牡丹 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. 在如图所示的矩形空地ABCD上,学校规划在中间的一块四边形空地MNPQ上种花,其余的四块三角形空地上铺设草坪,要求AM=AN=CP=CQ.已知BC=30米,AB=42米,设AN=x米,种花的面积为y1平方米,草坪的面积为y2平方米. (1) 分别求y1和y2与x之间的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围). (1) 根据题意,得y2=2×x·x+2×(30-x)(42-x)=2x2-72x+ 1260,y1=42×30-y2=-2x2+72x 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 当AN的长为多少米时,种花的面积为640平方米? (2) 根据题意,知y1=640,即-2x2+72x=640,解得x1=16,x2=20. ∴ 当AN的长为16米或20米时,种花的面积为640平方米　 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (3) 若种花每平方米需200元,铺设草坪每平方米需100元,现要求种花的面积不大于640平方米.设学校所需费用为W元,求W与x之间的函数解析式,并求出学校所需的最大费用. (3) 根据题意,得W=200(-2x2+72x)+100(2x2-72x+1260)= -200(x-18)2+190800.由(2),易知当0<x≤16或20≤x≤30时, y1≤640.在W=-200(x-18)2+190800中,当x<18时,W随x的 增大而增大,当x>18时,W随x的增大而减小,∴ 当x=16或20时,W取得最大值,最大值为190000.∴ 学校所需的最大费用为190000元 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$第二十二章　二次函数 22.2　二次函数与一元二次方程 第2课时　利用二次函数的图象解一元二次方程 1. 若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上的所有点都在x轴下方,则必有 (　　) A. a<0,b2-4ac>0 B. a>0,b2-4ac>0 C. a<0,b2-4ac<0 D. a>0,b2-4ac<0 2. 如图,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点分别为A(-2,4),B(1,1),则关于x的方程ax2-bx-c=0的解为 (　　) A. x1=-4,x2=3 B. x1=-5,x2=2 C. x1=-2,x2=1 D. x1=-3,x2=2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 3. 将二次函数y=2x2+4x-1的图象向上平移,得到的函数图象与x轴只有一个公共点,则平移的距离为 (　　) A. 1个单位长度 B. 2个单位长度 C. 3个单位长度 D. 4个单位长度 4. 已知函数y=kx2-7x-7的图象与x轴有交点,则k的取值范围是 (　　) A. k>- B. k≥-且k≠0 C. k≥- D. k>-且k≠0 C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 若关于x的一元二次方程x2+2x+c=0有两个相等的实数根,则抛物线y= x2+2x+c与x轴交点的个数为　　　　.  6. 已知抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有公共点,则该抛物线的顶点在第_____象限.  7. 已知二次函数y=x2+2x-5的图象与x轴的两个交点的横坐标分别是m,n,则-m2+2n+2033的值是　　　　. 1 一 2024 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. 已知二次函数y=x2-2x-3. (1) 请把该二次函数的解析式化成y=(x-h)2+k的形式,并在如图所示的平面直角坐标系中画出它的图象; (2) 如果A(x1,y1),B(x2,y2)是(1)中图象上的两点,且x1<x2<1,那么y1,y2的大小关系为　　　　(用“>”连接);  (3) 利用(1)中的图象表示出方程x2-2x-1=0的根,画在(1)中 的图象上即可,要求保留画图痕迹. y1>y2 (1) y=x2-2x-3=(x-1)2-4　图象如图所示 (3) 如图,x3,x4为方程x2-2x-1=0的两个根 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的图象如图所示,则ax2+bx+c= m有实数根的条件是 (　　) A. m≥-2 B. m≥5 C. m≥0 D. m>4 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 若函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点,则m的值为 　　　　. 11. 如果关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不等的实数根都在-1和0 之间(不包括-1和0),那么a的取值范围是　　　　　. 0或±2 解析:当m=0时,函数为y=2x+1,其图象与x轴只有一个交点.当m≠0时,Δ=(m +2)2-4m=0,解得m=±2.∴ m的值为0或±2. -<a<-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 画出二次函数y1=x2-3x-4的图象,根据图象回答下列问题: (1) 方程x2-3x-4=0的根是什么? (2) 当x取什么值时,函数值大于0?当x取什么值时,函数值小于0? (3) 若直线y2=ax+b经过(0,-4),(4,0)两点,则当x取什么值时,y1>y2? 图象如图所示　 (1) x1=-1,x2=4　 (2) 当x<-1或x>4时,函数值大于0;当-1<x<4时,函数值小于0　 (3) 当x<0或x>4时,y1>y2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 已知二次函数y=ax2-2mx+m(a,m是常数,a≠0)的图象过点A(-1,y1),B(1, y2),C(2,y3). (1) 若y1=m. ① 该函数图象的对称轴为直线　　　　;  ② 求证:不论m为何值,该函数图象与x轴总有两个公共点. (1) ② 当y1=m时,将A(-1,m)代入y=ax2-2mx+m,得a=-2m.∵ a=-2m,a≠0,∴ Δ=(-2m)2-4am=4m2+8m2=12m2>0.∴ 不论m为何值,该函数图象与x轴总有两个公共点　 x=- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 若y2=1,y1<y3<y2,求m的取值范围. (2) ∵ y2=1,∴ B(1,1).把B(1,1)代入y=ax2-2mx+m,得a=m+1.把A(-1,y1)代入y=ax2-2mx+m,得y1=a+2m+m=4m+1.把C(2,y3)代入y=ax2-2mx+m,得y3=4a-4m+m=m+4.∵ y1<y3<y2,∴ 解得m<-3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. 若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在一次函数y=kx+t(k≠0)的图象上,则称y=ax2+bx+c(a≠0)为y=kx+t(k≠0)的“伴随函数”.如y=x2+1是y =x+1的“伴随函数”. (1) 若y=x2-4是y=-x+p的“伴随函数”,求直线y=-x+p与两坐标轴围成的三角形的面积; (1) ∵ 抛物线y=x2-4的顶点坐标为(0,-4),y=x2-4是y=-x+p的“伴随函数”,∴ 点(0,-4)在一次函数y=-x+p的图象上.∴ p=-4.∴ y=-x-4.∴ 易得直线y=-x-4与坐标轴的交点坐标分别为(0,-4),(-4,0).∴ 直线y=-x+p与两坐标轴围成的三角形的面积为×4×4=8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 若函数y=mx-3(m≠0)的“伴随函数”y=x2+2x+n的图象与x轴的两个交点间的距离为4,求m,n的值. (2) 设函数y=x2+2x+n的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1,x2,则易得x1+x2=-2,x1x2=n.∴ |x1-x2|==.∵ 函数y=x2+ 2x+n的图象与x轴的两个交点间的距离为4,∴ =4,解得n=-3.∴ y= x2+2x-3=(x+1)2-4.∴ 顶点坐标为(-1,-4).∵ y=x2+2x+n是y=mx-3(m≠0)的“伴随函数”,∴ -4=-m-3,解得 m=1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$第二十二章　二次函数 小专题(三)　二次函数中的最值问题 类型一　运用二次函数区间最值求参数 1. 已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量),当x≥2时,y随x的增大而增大,且当-2≤x≤1时,y的最大值为9,则a的值为 (　　) A. 1或-2 B. -或 C. D. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 D 解析:易得二次函数y=ax2+2ax+3a2+3图象的对称轴是直线x=-=-1.∵ 当x≥2时,y随x的增大而增大,∴ a>0.∵ 当-2≤x≤1时,y的最大值为9,∴ 当x=1时,y=a+2a+3a2+3=9.∴ 3a2+3a-6=0,解得a=1或a=-2(不合题意,舍去).∴ a的值为1. 2. 已知二次函数y=-x2+mx+2-m,在自变量x的值满足-1≤x≤2的情况下,若 对应的函数值y的最大值为6,则m的值为　　　　. -或8 1 2 3 4 5 6 7 8 3. 如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过A,B两点. (1) 求抛物线对应的函数解析式; (1) 在y=-x+3中,令x=0,则y=3,令y=0,则x=3,∴ A(3,0),B(0,3). 把A(3,0),B(0,3)代入y=-x2+bx+c,得解得 ∴ 抛物线对应的函数解析式为y=-x2+2x+3 第3题 1 2 3 4 5 6 7 8 (2) P是在直线AB上方的抛物线上的动点,连接PA,PB,当点P到直线AB的距离最大时,求点P的坐标; (2) 过点P作PH⊥AB于点H,过点P作PM∥y轴,交AB于点M. 设P(m,-m2+2m+3),则M(m,-m+3).∴ PM=-m2+2m+3-(-m+3)= -m2+3m.∴ S△ABP=PM·|xA-xB|=×(-m2+3m)×3=-m2+m. ∵ A(3,0),B(0,3),∴ 易得AB=3.∴ S△ABP=AB·PH=PH. ∴ PH=-m2+m.∴PH=-m2+m=-+.∵ -<0,∴ 当m=时,PH的长取得最大值,最大值为,此时-m2+2m+3=-+2×+3= .∴ 点P的坐标为 第3题 1 2 3 4 5 6 7 8 (3) 若二次函数y=-x2+bx+c,当t≤x≤2+t时,函数的最大值与最小值之差等于8,直接写出t的值. (3) ∵ y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴ 抛物线y=-x2+2x+3的顶点的 坐标为(1,4),对称轴是直线x=1,且抛物线开口向下.① 当2+t≤ 1,即t≤-1时,y=-x2+2x+3在x=2+t时取得最大值,在x=t时取得最 小值,∴ -(2+t)2+2(2+t)+3-(-t2+2t+3)=8,解得t=-2.② 当t<1,2+t> 1且1-t≥(2+t)-1,即-1<t≤0时,y=-x2+2x+3在x=1时取得最大值4, 在x=t时取得最小值,∴ 4-(-t2+2t+3)=8,解得t=2+1(不合题意,舍去)或t= -2+1(不合题意,舍去).③ 当t≤1,2+t>1且1-t<(2+t)-1,即0<t≤1时,y=-x2+2x +3在x=1时取得最大值4,在x=2+t时取得最小值,∴ 4-[-(2+t)2+2(2+t)+3]=8,解得t=2-1(不合题意,舍去)或t=-2-1(不合题意,舍去).④ 当t>1时,y= -x2+2x+3在x=t时取得最大值,在x=2+t时取得最小值,∴ -t2+2t+3-[-(2+t)2+ 2(2+t)+3]=8,解得t=2.综上所述,t的值是-2或2 1 2 3 4 5 6 7 8 第3题 类型二　与线段有关的最值问题 4. 如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=x2-2x+3上运动,过点A作AB⊥x轴于点B,以AB为斜边作Rt△ABC,则边AB上的中线CD长的最小值为　　　　. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 5. 如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),点A的坐标为(-1,0),与y轴交于点C(0,3),作直线BC.动点P在x轴上运动,过点P作PM ⊥x轴,交抛物线于点M,交直线BC于点N,设点P的横坐标为m.当点P在线 段OB上运动时,线段MN长的最大值为　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 6. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于A,B,C三点,D是其顶点,已知点C的坐标为(0,2),点D的坐标为(2,4). (1) 求抛物线对应的函数解析式; (1) ∵ 抛物线的顶点坐标为(2,4),∴ 抛物线对应的函数 解析式为y=a(x-2)2+4.将C(0,2)代入,得2=4a+4,解得a=-. ∴ 抛物线对应的函数解析式为y=-(x-2)2+4 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 (2) 在抛物线的对称轴上找一点P,使AP+CP最小,求出点P的坐标. (2) 由y=-(x-2)2+4,得抛物线的对称轴为直线x=2.把y=0代 入y=-(x-2)2+4,得0=-(x-2)2+4,解得x=2-2或x=2+2. ∴ 点A的坐标为(2-2,0),点B的坐标为(2+2,0).如图,连 接BC,交对称轴于点P,连接AP,易知此时AP+CP最小.设直 线BC对应的函数解析式为y=kx+m.将B(2+2,0),C(0,2)代 入,得解得∴ y=(1-)x +2.把x=2代入y=(1-)x+2,得y=4-2.∴ 点P的坐标为(2, 4-2) 1 2 3 4 5 6 7 8 第6题 类型三　实际生活中的最值问题 7. 某商场试销一种成本单价为60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%.经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数关系,其部分对应值如下表: (1) 求y与x之间的函数解析式. (1) 设y与x之间的函数解析式为y=kx+b.根据题意,得解得∴ y与x之间的函数解析式为y=-x+120 1 2 3 4 5 6 7 8 x/元 … 65 70 75 80 … y/件 … 55 50 45 40 … (2) 若该商场获得的利润为W元,请写出W与x之间的函数解析式.当销售单价定为多少元时,该商场可获得最大利润?最大利润是多少元? (2) 由题意,得W=(x-60)(-x+120)=-x2+180x-7200=-(x-90)2+900.∵ -1<0,∴ 当x<90时,W随x的增大而增大.∵ 销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%,即60≤x≤60×(1+45%),∴ 60≤x≤87.∴ 当x=87时,W取得最大值,最大值为891.∴ 当销售单价定为87元时,该商场可获得最大利润,最大利润是891元　 1 2 3 4 5 6 7 8 (3) 若该商场获得的利润不低于500元,试确定x的取值范围. (3) 由W≥500,得500≤-x2+180x-7200,整理,得x2-180x+7700≤0,而方程x2-180x+7700=0的解为 x1=70,x2=110,即当销售单价为70元或110元时,利润为500元.∴ 结合图象,要使该商场获得的利润不低于500元,销售单价应在70元到110元之间(包括70元和110元).∵ 60≤x≤87,∴ x的取值范围是70≤x≤87 1 2 3 4 5 6 7 8 类型四　与面积有关的最值问题 8. (2023·邵阳)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+x+c经过点A(-2,0)和点B(4,0),且与直线l:y=-x-1交于D,E两点(点D在点E的右侧),M为直线l上的一动点,设点M的横坐标为t. (1) 求抛物线对应的函数解析式; (1) 把A(-2,0),B(4,0)代入y=ax2+x+c,得 解得∴ 抛物线对应的函数解析式为y=-x2+x+4 1 2 3 4 5 6 7 8 第8题 (2) 过点M作x轴的垂线,与抛物线交于点N,若0<t<4,求△NED面积的最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 (2) 联立解得或 ∵ 点D在点E的右侧,∴ D(2+,-3- ),E(2-,-3+).∵ M为直线l上的一动点,横坐 标为t,∴ M(t,-t-1).∴ N.∴ MN=-t2+t+4-(-t-1)=-t2+2t+5. ∴ S△NED=MN·|xD-xE|=×(-t2+2t+5)×2=-(t-2)2+7.∵ -<0, 0<t<4,∴ 当t=2时,S△NED最大,为7.∴ △NED面积的最大值是7 第8题 $$第二十二章　二次函数 小专题(四)　二次函数中的存在性问题 类型一　二次函数中平行四边形的存在性问题 1. (2023·淄博)如图,抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点,其中O为坐标原点,点A的坐标为(3,-3),点B在第一象限内,对称轴是直线x=,且△OAB的面积为18. (1) 求该抛物线对应的函数解析式. 1 2 3 4 第1题 (1) ∵ 对称轴为直线x=,∴ -=,得b=-a①.将A(3,-3)代 入y=ax2+bx,得9a+3b=-3②.联立①②,可得a=,b=-3.∴ 该 抛物线对应的函数解析式为y=x2-3x (2) 求点B的坐标. (2) 由题意,可设B.如图①,过点A作EF⊥y轴 于点E,过点B作BF⊥EF,交EF于点F,则易得E(0,-3),F(m,-3). ∴ △OAB的面积=×m×-×3×3-× (m-3)×=18,解得m=6或m=-3(不合题意,舍 去).∴ m2-3m=6.∴ B(6,6) 第1题 1 2 3 4 (3) 设C为线段AB的中点,P为直线OB上的一个动点,连接AP,CP,将△ACP沿CP翻折,点A的对应点为A1.是否存在点P,使得以A1,P,C,B为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. 第1题 1 2 3 4 (3) 存在　∵ A(3,-3),B(6,6),且C为线段AB的中点,∴ C.易得直线OB对应的函数解析式为y=x.设P(t,t),如图②,当BP为平行四边形的对角线时, BC∥A1P,BC=A1P.∵ AC=BC,∴ AC=A1P.由对称性,可知AC=A1C,AP=A1P, ∴ AP=AC.∴ =,解得t=±.∴ 点P的坐标为或.如图③, 当BC为平行四边形的对角线时,BP ∥A1C,BP=A1C.由对称性,可知AC=A1C,∴ BP=AC.∴ = 1 2 3 4 ,解得t=+6或t=-+6.∴ 点P的坐标为或.综上所述,点P的坐标为或或或 1 2 3 4 2. (2022·烟台)如图,直线y=x+4与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y= ax2+bx+c经过A,C两点,且与x轴的另一个交点为B,对称轴为直线x=-1. (1) 求抛物线对应的函数解析式. (1) 在y=x+4中,当x=0时,y=4,∴ C(0,4).当y=0时,x+4=0,解得 x=-3,∴ A(-3,0).∵ 抛物线的对称轴为直线x=-1,∴ 易得B(1,0). ∴ 抛物线对应的函数解析式为y=a(x-1)(x+3).将C(0,4)代入,得 -3a=4,∴ a=-.∴ 抛物线对应的函数解析式为y=-(x-1)(x+3)=-x2-x+4 第2题 1 2 3 4 (2) D是第二象限内抛物线上的动点,设点D的横坐标为m,求四边形ABCD的面积S的最大值及此时点D的坐标. (2) 如图,过点D作DF⊥AB于点F,交AC于点E.由题意,得点D 的坐标为(m,-m2-m+4),则点E的坐标为(m,m+4).∴ DE= -m2-m+4-=-m2-4m.∴ S△ADC=DE·OA=·(-m2 -4m)=-2m2-6m.∵ S△ABC=AB·OC=×4×4=8,∴ S=-2m2-6m +8=-2+.∵ -2<0,∴ 当m=-时,S取得最大值,为. 当m=-时,-m2-m+4=--+4=5,∴ 点D的坐 标为 第2题 1 2 3 4 (3) 若点P在抛物线的对称轴上,则是否存在点P,Q,使以A,C,P,Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形?若存在,请直接写出P,Q两点的坐标;若不存在,请说明理由. (3) 存在点P,Q,使以A,C,P,Q为顶点的四边形是以AC为对角 线的菱形　设P(-1,n).∵ 以A,C,P,Q为顶点的四边形是以AC 为对角线的菱形,∴ PA=PC,即PA2=PC2.∴ (-1+3)2+n2=12+(n -4)2,解得n=.∴ P.∵ xP+xQ=xA+xC,yP+yQ=yA+yC, ∴ xQ=-3+0-(-1)=-2,yQ=0+4-=.∴ Q 第2题 1 2 3 4 类型二　与面积有关的存在性问题 3. (2023·安徽)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A(3,3),对称轴为直线x=2. (1) 求a,b的值. (1) ∵ 抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A(3,3),对称轴为直线x=2, ∴ 解得 1 2 3 4 (2) 已知点B,C在抛物线上(不与点A重合),点B的横坐标为t,点C的横坐标为t+1.过点B作x轴的垂线交直线OA于点D,过点C作x轴的垂线交直线OA于点E . ① 当0<t<2时,求△OBD与△ACE的面积之和. 1 2 3 4 (2) 由(1),得y=-x2+4x,∴ 当x=t时,y=-t2+4t;当x=t+1时,y=-(t+1)2+4(t+1)=-t2+ 2t+3.∴ B(t,-t2+4t),C(t+1,-t2+2t+3).易得直线OA对应的函 数解析式为y=x,∴ D(t,t),E(t+1,t+1).① 如图①,设直线BD 与x轴交于点M,过点A作AN⊥CE于点N,则M(t,0),N(t+1, 3).连接AC,OB.∴ S△OBD+S△ACE=BD·OM+CE·AN=(-t2 +4t-t)·t+(-t2+2t+3-t-1)·(3-t-1)=(-t3+3t2)+(t3-3t2+4)=-t3+ t2+t3-t2+2=2 ② 在抛物线对称轴右侧,是否存在点B,使得以B,C,D,E为顶点的四边形的面积为?若存在,请求出点B的横坐标t的值;若不存在,请说明理由. 1 2 3 4 ② 存在　如图②,当2<t<3时,过点D作DH⊥CE于点H,连接BE,CD,则H(t+1,t),BD=-t2+4t-t=-t2+3t,CE=t+1-(-t2+2t+3)=t2-t-2,DH=t+1-t=1,∴ S四边形DCEB=(BD+CE)·DH,即=(-t2+3t+t2-t-2)×1,解得t=.如图③,当t>3时,过点D作DH⊥CE于点H,连接BC,则BD=t-(-t2+4t)=t2-3t,CE=t2-t-2,DH= 1,∴ S四边形DBCE=(BD+CE)·DH,即=(t2-3t+ t2-t-2)×1,解得t1=+1(不合题意,舍去),t2= -+1(不合题意,舍去).综上所述,t的值为 类型三　与角度有关的存在性问题 4. (2022·西宁)如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,点C在直线AB上,过点C作CD⊥x轴于点D(1,0),将△ACD沿CD所在直线翻折,使点A恰好落在抛物线上的点E处. (1) 求抛物线对应的函数解析式. (1) ∵ 将△ACD沿CD所在直线翻折,使点A恰好落在抛 物线上的点E处,点A的坐标为(3,0),点D的坐标为(1,0), ∴ 点E的坐标为(-1,0).将A(3,0),E(-1,0)代入y=ax2+bx+3, 得解得∴ 抛物线对应的函 数解析式为y=-x2+2x+3 第4题 1 2 3 4 (2) 连接BE,求△BCE的面积. (2) 当x=0时,y=-1×02+2×0+3=3,∴ 点B的坐标为(0,3). 设直线AB对应的函数解析式为y=mx+n(m≠0).将A(3,0), B(0,3)代入,得解得∴ 直线AB对 应的函数解析式为y=-x+3.∵ 点C在直线AB上,CD⊥x轴 于点D(1,0),当x=1时,y=-1+3=2,∴ 点C的坐标为(1,2).∵ 点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(0,3),点C的坐标为(1,2),点E的坐标为(-1,0),∴ AE=4,OB=3, CD=2.∴ S△BCE=S△ABE-S△ACE=AE·OB-AE·CD=×4×3-×4×2=2.∴ △BCE的面积为2 第4题 1 2 3 4 (3) 抛物线上是否存在一点P,使∠PEA=∠BAE?若存在,直接 写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.　 (3) 存在　∵ 点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(0,3),∴ OA= OB=3.在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=OB,∴ ∠BAE=45°. ∵ 点P在抛物线上,∴ 设点P的坐标为(p,-p2+2p+3).如图, ① 当点P在x轴上方时,记为P1,过点P1作P1M⊥x轴于点M.在 Rt△EMP1中,∠P1EA=∠BAE=45°,∠P1ME=90°,∴ EM= P1M,即p-(-1)=-p2+2p+3,解得p1=-1(不合题意,舍去),p2=2.∴ 点 P1的坐标为(2,3).② 当点P在x轴下方时,记为P2,过点P2作P2N ⊥x轴于点N.在Rt△ENP2中,∠P2EN=∠BAE=45°,∠P2NE= 90°,∴ EN=P2N,即p-(-1)=-(-p2+2p+3),解得p3=-1(不合题意,舍 去),p4=4.∴ 点P2的坐标为(4,-5).综上所述,抛物线上存在一点 P,使∠PEA=∠BAE,点P的坐标为(2,3)或(4,-5) 第4题 1 2 3 4 $$第二十二章　二次函数 阶段训练(22.1) 一、 选择题 1. 抛物线y=3x2-6x的顶点坐标是 (　　) A. (3,-6) B. (3,6) C. (1,3) D. (1,-3) 2. 已知点(2,3)在抛物线y=ax2-2ax+c上,下列各点中,一定也在该抛物线上的是 (　　) A. (0,3) B. (0,-3) C. (3,2) D. (-2,-3) 3. (2022·兰州)已知二次函数y=2x2-4x+5,当函数值y随x的增大而增大时,x的取值范围是 (　　) A. x<1 B. x>1 C. x<2 D. x>2 D A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. (2023·陕西)在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+mx+m2-m(m为常数)的图象经过点(0,6),其对称轴在y轴左侧,则该二次函数有 (　　) A. 最大值5 B. 最大值 C. 最小值5 D. 最小值 5. 如图,在正方形ABCD中,点A,C的坐标分别是(-1,5),(2,0).点D在抛物线y=x2+kx上,则k的值是 (　　) A. B. C. D. D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 二、 填空题 6. 二次函数y=(x-4)(x+3)的图象的对称轴为直线　　　　.  7. 若二次函数y=x2+3x+m-2的图象交y轴于正半轴,则m的取值范围是 　　　　.  8. 已知点A1(m,n)在抛物线C1:y=-2x2上,将抛物线C1平移后得到抛物线C2,点A1的对应点为A2(m+1,n+2),则抛物线C2对应的函数解析式为 　　　 　　　.  x= m>2 y=-2(x-1)2+2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 已知二次函数y=x2+bx+c,函数值y与自变量x的部分对应值如下表: 若A(m,y1),B(m+6,y2)两点都在该函数的图象上,当y1>y2时,m的取值范围是　　　　.  10. 如图,在平面直角坐标系中,点A(4,8)在抛物线y=ax2上,过 点A作y轴的垂线,交抛物线于另一点B,点C,D在线段AB上,分 别过点C,D作x轴的垂线交抛物线于E,F两点.当四边形CDFE 为正方形时,线段CD的长为　　　　. m<-1 x … 0 1 2 3 … y … 5 2 1 2 … -4+4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 三、 解答题 11. (2023·宁波)如图,二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(1,-2),B(0,-5). (1) 求该二次函数的解析式及图象的顶点坐标; (2) 当y≤-2时,请根据图象直接写出x的取值范围. (1) 把A(1,-2),B(0,-5)代入y=x2+bx+c,得解 得∴ 二次函数的解析式为y=x2+2x-5.∵ y=x2+2x- 5=(x+1)2-6,∴ 图象的顶点坐标为(-1,-6)　 (2) 如图,易得点A(1,-2)关于对称轴直线x=-1的对称点为 C(-3,-2),∴ 当y≤-2时,x的取值范围是-3≤x≤1 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 把抛物线C1:y=x2+2x+3先向右平移4个单位长度,再向下平移5个单位长度得到抛物线C2. (1) 直接写出抛物线C2对应的函数解析式. (2) 动点P(a,-6)是否在抛物线C2上?请说明理由. (1) y=(x-3)2-3　 (2) 动点P(a,-6)不在抛物线C2上　理由:由(1),知抛物线C2对应的函数解析式为y=(x-3)2-3,∴ 函数的最小值为-3.∵ -6<-3,∴ 动点P(a,-6)不在抛物线C2上.　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3) 若点A(m,y1),B(n,y2)都在抛物线C2上,且m<n<0,请比较y1,y2的大小,并说明理由. (3) y1>y2　理由:∵ 抛物线C2对应的函数解析式为y=(x-3)2-3,∴ 抛物线的开口向上,对称轴为直线x=3.∴ 当x<3时,y随x的增大而减小.∵ 点A(m,y1), B(n,y2)都在抛物线C2上,且m<n<0<3,∴ y1>y2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. (2022·广东)如图,抛物线y=x2+bx+c(b,c是常数)的顶点为C,与x轴交于A(1,0),B两点,AB=4,P为线段AB上的动点,过点P作PQ∥BC交AC于点Q,连接CP. (1) 求抛物线对应的函数解析式; (1) ∵ A(1,0),∴ OA=1.∵ AB=4,∴ OB=3.∴ 点B的坐标为 (-3,0).将A(1,0),B(-3,0)代入y=x2+bx+c,得解 得∴ 抛物线对应的函数解析式为y=x2+2x-3 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 求△CPQ面积的最大值,并求此时点P的坐标. (2) 由(1),得抛物线对应的函数解析式为y=x2+2x-3,将其化成 顶点式为y=(x+1)2-4,则点C的坐标为(-1,-4).由B(-3,0),C(-1,-4) 可求得直线BC对应的函数解析式为y=-2x-6.由A(1,0),C(-1,-4) 可求得直线AC对应的函数解析式为y=2x-2.∵ PQ∥BC,∴ 可 设直线PQ对应的函数解析式为y=-2x+n,则其与x轴的交点P的 坐标为.联立解得∴ 点Q的坐标为.∵ 点P在线段AB上,∴ -3<<1.∴ n的取值范围是-6<n<2.∵ S△CPQ=S△CPA-S△APQ=×4-=-(n+2)2+2,∴ 当n=-2时,S△CPQ最大,最大值为2,此时点P的坐标为(-1,0) 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第二十二章　二次函数 22.1　二次函数的图象和性质 22.1.3　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 第2课时　二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 1. 二次函数y=-(x-4)2的图象的顶点坐标是 (　　) A. (-4,0) B. (4,0) C. (0,-4) D. (0,4) 2. (教材P33探究变式)对于函数y=3(x+1)2,下列说法不正确的是 (　　) A. 其图象开口向上 B. 其图象的对称轴是直线x=-1 C. 函数的最小值为0 D. 在对称轴左侧,y随x的增大而增大 B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. 已知抛物线经过点P(2,2),顶点为O(0,0),将抛物线向右平移,当它再次经过点P时,所得抛物线对应的函数解析式为 (　　) A. y=x2 B. y=(x-2)2 C. y=(x-4)2 D. y=(x-2)2+2 4. (2023·南充)若点P(m,n)在抛物线y=ax2(a≠0)上,则下列各点在抛物线y= a(x+1)2上的是 (　　) A. (m,n+1) B. (m+1,n) C. (m,n-1) D. (m-1,n) C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 顶点坐标为(-3,0),且与抛物线y=-x2的形状、开口方向相同的抛物线 对应的函数解析式为　　　　　　　.  6. 已知二次函数y=2(x-3)2,若当x取x1,x2且x1≠x2时,函数值y1=y2,则当x=x1+ x2时,y的值为　　　　.  y=-(x+3)2 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. 已知二次函数y=a(x-h)2的图象的顶点坐标是(-4,0),且过点(0,-6). (1) 求二次函数的解析式; (2) 当x为何值时,函数值y随x的增大而增大? (1) 由题意,得解得∴ 二次函数的解析式为y= -(x+4)2　 (2) 当x<-4时,函数值y随x的增大而增大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. 如图,分别以边长为1的正方形ABCO的两边OA,OC所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,O为坐标原点.求: (1) 以A为顶点,且经过点C的抛物线对应的函数解析式; (1) 由题意,得A(1,0),B(1,1),C(0,1).设抛物线对应的函 数解析式为y=a(x-1)2.∵ 抛物线经过点C(0,1),∴ a=1. ∴ 抛物线对应的函数解析式为y=(x-1)2 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) (1)中的抛物线与对角线OB的交点D的坐标. (2) ∵ 易得直线OB对应的函数解析式为y=x,∴ 可设 点D的坐标为(m,m).∵ 点D在抛物线上,∴ m=(m-1)2, 解得m1=,m2=.∵ 点D在点A的左侧,∴ m=. ∴ 点D的坐标为(,) 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. 一次函数y=ax+b与二次函数y=b(x-a)2在同一平面直角坐标系中的图象可能为 (　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为 (　　) A. 3或6 B. 1或6 C. 1或3 D. 4或6 B 解析:若h<2,则当2≤x≤5时,y随x的增大而减小,∴ 当x=2时,y取最大值-1,即-(2-h)2=-1,解得h1=1,h2=3(不合题意,舍去).若2≤h≤5,则当x=h时,y=-(x-h)2的最大值为0,不合题意,舍去.若h>5,则当2≤x≤5时,y随x的增大而增大,∴ 当x=5时,y取最大值-1,即-(5-h)2=-1,解得h3=4(不合题意,舍去),h4=6.综上所述,h的值为1或6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11. 已知二次函数y=4(x-a)2,当x>1时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是　　　　.　  12. 若A,B,C(7,y3)为二次函数y=a(x-3)2(a>0)图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为　　　　　　(用“>”连接). a≤1 y1>y3>y2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 如图,以A为顶点的抛物线交y轴于点B,A,B两点的坐标分别为(3,0),(0, 4),连接AB. (1) 求此抛物线对应的函数解析式. (1) 由题意,可设此抛物线对应的函数解析式为y= a(x-3)2.∵ 点B(0,4)在此抛物线上,∴ 9a=4,解得a= .∴ 此抛物线对应的函数解析式为y=(x-3)2　 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 若将y轴向右平移6个单位长度,直接写出此时抛物线对应的函数解析式. (3) 抛物线上是否存在一点P,使得AB=AP?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由. (2) y=(x+3)2 (3) 存在　点P的坐标为(6,4) 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. 如图,直线y=-x-2交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=a(x-h)2的顶点为A,且经过点B. (1) 求该抛物线对应的函数解析式. (1) 在y=-x-2中,令x=0,则y=-2;令y=0,则x=-2.∴ A(-2,0), B(0,-2).∴ h=-2.∴ y=a(x+2)2.把B(0,-2)代入y=a(x+2)2, 得4a=-2,解得a=-.∴ 该抛物线对应的函数解析式为 y=-(x+2)2 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 若点C在该抛物线上,求m的值. (3) 若点D(-4,n)在抛物线上,求S△ABD. (4) 在对称轴上是否存在一点Q,使以Q,A,O,B为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. (2) ∵ 点C在抛物线y=-(x+2)2上,∴ -(m+2)2=-, 解得m1=1,m2=-5　 (3) 把D(-4,n)代入y=-(x+2)2,得n=-2.∴ D(-4,-2).易得BD∥ x轴,∴ S△ABD=×2×4=4　 (4) 存在　点Q的坐标为(-2,-2)或(-2,2) 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$