第二十一章 一元二次方程 分节练习课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的为 ( ) A. 2x(x-1)=2x2+5 B. ax2+bx+c=0 C. (x-1)(x+2)=1 D. x2+y=1 2. 一元二次方程7x2-2x=1的二次项系数、一次项系数和常数项依次是 ( ) A. 7,2,1 B. 7,-2,1 C. 7,-2,-1 D. 7,2,-1 C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. (教材P3例题变式)将一元二次方程x(x+1)=3-x2化为一般形式为 ( ) A. 2x2+x=3 B. 2x2+x-3=0 C. -2x2+x-3=0 D. 2x2-x-3=0 4. 已知关于x的方程(m-1)x2-mx+5=0,当m 时,该方程是一元二次方程,这个一元二次方程的二次项系数为 ,一次项系数为 ,常数项为 . B ≠1 m-1 -m 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 根据题意,列出方程(不需要求解): (1) 某班学生毕业时都会向全班其他学生各送一张自己的照片以作留念,全班共送出1056张照片,求全班有多少名学生.设全班有x名学生,可列方程为 . (2) 有一个面积为144m2的矩形游泳池,已知游泳池的长比宽多7m,求游泳池的长为多少米.设游泳池的长为xm,则可列方程为 . (3) 一个直角三角形的斜边长为4,两条直角边长相差4,设较长的直角边长为x,可列方程为 . x(x-1)=1056 x(x-7)=144 x2+(x-4)2=80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. (教材P4练习第1题变式)将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项: (1) 9x2=25; (2) 10x2-3=5x; (3) 3x(x-4)=0; (4) (x-7)(4x+1)=0. (1) 一般形式为9x2-25=0,二次项系数为9,一次项系数为0,常数项为-25 (2) 一般形式为10x2-5x-3=0,二次项系数为10,一次项系数为-5,常数项为-3 (3) 一般形式为3x2-12x=0,二次项系数为3,一次项系数为-12,常数项为0 (4) 一般形式为4x2-27x-7=0,二次项系数为4,一次项系数为-27,常数项为-7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 若关于x的一元二次方程x2-ax+6=0的一个根是x=2,则a的值为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 关于x的一元二次方程(m-3)x2+m2x=9x+51化为一般形式后不含一次项,则m的值为 ( ) A. 0 B. 3 C. 3 D. -3 D D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. (1) (2023 镇江)若x=1是关于x的一元二次方程x2+mx-6=0的一个根,则m= ; (2) 若x=-3是方程2x2-a=0的一个根,则常数a= ,这个方程的另一个根为 ; (3) (2022 连云港)若关于x的一元二次方程mx2+nx-1=0(m≠0)的一个根是x=1,则m+n的值是 . 5 18 x=3 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 已知关于x的方程(2k+1)x2-4kx+k-1=0. (1) 当k满足什么条件时,该方程是一元一次方程?请求出这个一元一次方程的根. (2) 当k满足什么条件时,该方程是一元二次方程?请写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项. (1) 当2k+1=0,即k=-时,该方程是一元一次方程 这个方程的根为x= (2) 当2k+1≠0,即k≠-时,该方程是一元二次方程 二次项系数是2k+1,一次项系数是-4k,常数项是k-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 根据题意列出方程,并将其化成一元二次方程的一般形式(不需要求解): (1) 6个完全相同的等腰直角三角形的面积之和是27,求等腰直角三角形的直角边长x; (2) 一个矩形的周长为20,面积是24,求矩形的长x; (3) 从一块正方形木板上锯掉一块宽为3的矩形木板,剩下的矩形的面积为60,求原来正方形木板的边长a. (1) 由题意,得x2 6=27.整理,得x2-9=0 (2) 由题意,得x=24.整理,得x2-10x+24=0 (3) 由题意,得a(a-3)=60.整理,得a2-3a-60=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. (1) 已知a是方程x2+x-5=0的一个根,求代数式(a+1)2+(a+2)(a-2)的值; (2) 已知m是一元二次方程2x2+4x-1=0的一个根,求的值. (1) ∵ a是方程x2+x-5=0的一个根,∴ a2+a-5=0.∴ a2+a=5.∴ (a+1)2+(a+ 2)(a-2)=a2+2a+1+a2-4=2a2+2a-3=2(a2+a)-3=2 5-3=7 (2) 原式=m2+2m.∵ m是一元二次方程2x2+4x-1=0的一个根,∴ 2m2+4m-1=0.∴ 原式=m2+2m= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 已知实数a是一元二次方程x2-2024x+1=0的一个根,求代数式a2-2023a +的值. 由题意,得a2-2024a+1=0.∴ a≠0,a2=2024a-1,a2+1=2024a.∴ a2-2023a+ =2024a-1-2023a+=a-1+=-1=-1=2023 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第二十一章　一元二次方程 21.2　解一元二次方程 21.2.1　配 方 法 第1课时　直接开平方法 1. 若关于x的方程(x-9)2=m+4可以用直接开平方法求解,则m的取值范围是 (　　) A. m>3 B. m≥3 C. m>-4 D. m≥-4 2. (教材P6练习变式)关于x的一元二次方程4x2-9=0的根为 (　　) A. x1=x2= B. x1=x2= C. x1=,x2=- D. x1=,x2=- D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3. 一元二次方程(x+1)2=3可以转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程为x+1=,则另一个一元一次方程为 (　　) A. x-1= B. x+1=3 C. x+1=-3 D. x+1=- 4. 一元二次方程(x+1)2=0的根是　　 　　.  5. (教材P6探究变式)关于x的方程(x-2)2=7的根是　 　　　.  6. 方程(x-1)2=3的根是　　　 　.  D x1=x2=-1 x1=2+,x2=2- x1=-2,x2=4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7. 用直接开平方法解下列方程: (1) 5x2-2=18; (2) (x+)(x-)=1; (3) (4x+1)2=16; (4) (2x+3)2-225=0; (5) y2-10y+25=4. (1) x1=2,x2=-2　 (2) x1=,x2=-　 (3) x1=,x2=-　 (4) x1=6,x2=-9　 (5) y1=3,y2=7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8. 下列方程中,无实数根的是 (　　) A. x2-1=0 B. x2= C. -7x2+4=0 D. x2+π=0 9. 如图所示为一个简单的数值运算程序,则输入x的值为 (　　) A. x1=2,x2=-2 B. x1=3,x2=-3 C. x1=3,x2=-1 D. x1=-3,x2=1 D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 若关于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+1与2m-4,则=　　　　.  11. 若关于x的方程(ax-1)2-16=0的一个根是x=2,则a的值为　　　　.  12. 如果(a2+b2-2)2=25,那么a2+b2=　　　　.  13. 若一张面积为1440dm2的硬纸板恰好可以做成15个同样大小的封闭正方体纸盒(不计重叠处),则这些正方体纸盒的棱长为　　　　dm. 或- 7 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14. 用直接开平方法解下列方程: (1) 8x2-71=129; (2) 2(x-1)2-36=0; (3) x2+12x+36=121. (1) x1=5,x2=-5　 (2) x1=1+3,x2=1-3　 (3) x1=5,x2=-17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15. 在平面直角坐标系中,已知点A(m2-14m+49,121)在第一象限的角平分线上,求m的值. 由题意,得m2-14m+49=121,解得m1=18,m2=-4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 如图,将边长为x的正方形沿两边剪去两个宽度相同的矩形(阴影部分),剩下的部分是一个边长为3的正方形,剪去部分的面积为7,求x的值. 由题意,得x2-32=7,解得x1=4,x2=-4.又∵ x>0,∴ x=4 第16题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $$第二十一章　一元二次方程 21.2　解一元二次方程 21.2.1　配 方 法 第2课时　配 方 法 1. (教材P9练习第1题变式)(2023·赤峰)用配方法解方程x2-4x-1=0时,配方后正确的是 (　　) A. (x+2)2=3 B. (x+2)2=17 C. (x-2)2=5 D. (x-2)2=17 2. 某学生解方程3x2-x-2=0的过程如下:3x2-x-2=0 x2-x-= 0 x2-x= =+ x-=± x1=,x2 =.在上述解题过程中,最先发生错误的是 (　　) A. ② B. ③ C. ④ D. ⑤ C B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. (2022·聊城)用配方法解一元二次方程3x2+6x-1=0时,将它化为(x+a)2=b的形式,则a+b的值为 (　　) A. B. C. 2 D. 4. (2022·荆州)一元二次方程x2-4x+3=0配方为(x-2)2=k,则k的值为　　　. 5. 填空: (1) x2+16x+　　　=(x+　　　)2; (2) x2-14x+　　　=(x-　　　)2;  (3) x2+7x+　　 　=(x+　 　　)2; (4) x2-x+　　 　=(x-　 　　)2. B 1 64 8 49 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. (教材P7例1变式)用配方法解下列方程: (1) (2022·无锡)x2-2x-5=0; (2) x2+3x=-1; (3) 2y2=5y+3; (4) 4y2-8y+3=0. (1) x1=1+,x2=1-　 (2) x1=-+,x2=--　 (3) y1=-,y2=3　 (4) y1=,y2= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. 用配方法解一元二次方程2x2-3x-1=0,配方正确的是 (　　) A. = B. = C. = D. = 8. 已知关于x的方程x2-10x+n=0可以配方成(x-m)2=15的形式,则x2-10x+m =n可以配方成 (　　) A. (x-5)2=20 B. (x-5)2=30 C. (x-5)2=15 D. (x-5)2=40 A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. 对于任意实数x,多项式x2-2x+3的值为 (　　) A. 非正数 B. 正数 C. 负数 D. 0 10. 用配方法使下面的等式成立: (1) 2x2-6x+　　　=2(x-　　　)2;  (2) x2+4x+　　　=(x+　　　)2.  B 解析:∵ x2-2x+3=(x-1)2+2,(x-1)2≥0,∴ (x-1)2+2>0.∴ 对于任意实数x,多项式x2-2x+3的值为正数. 12 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11. 若对任意实数x,代数式x2+2x-p的值恒为正数,则p的取值范围是　　 . 解析:∵ x2+2x-p=(x+1)2-p-1>0,且(x+1)2≥0,∴ -p-1>0.∴ p<-1. p<-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12. 用配方法解下列方程: (1) x2-8x+3=0; (2) 3(x-1)(x+2)=9x-4; (3) x(x+9)=4x-1. (1) x1=4+,x2=4-　 (2) x1=1+,x2=1-　 (3) x1=-+,x2=-- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 对于二次三项式x2-10x+36,小聪得出如下结论:无论x取何实数,它的值都不可能等于11.你是否同意小聪的说法?请说明理由. 不同意　理由:∵ x2-10x+36=x2-10x+25+11=(x-5)2+11,∴ 当x=5时,x2-10x +36=11.∴ 不同意小聪的说法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. 利用配方法解决下面的问题: (1) 当x取何值时,多项式2x2-4x+7有最小值?最小值是多少? (2) 当x取何值时,多项式-x2-2x-5有最大值?最大值是多少? (1) ∵ 2x2-4x+7=2(x-1)2+5≥5,∴ 当x=1时,2x2-4x+7有最小值,最小值是5　 (2) ∵ -x2-2x-5=-(x+1)2-4≤-4,∴ 当x=-1时,-x2-2x-5有最大值,最大值是-4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. 已知A=2a2-a+,B=2a+1. (1) 当a为何值时,A=2B? (2) 对于任意实数a,试比较A与B的大小. (1) 由题意,得2a2-a+=2(2a+1),解得a1=+,a2=-.∴ 当a的值为+或-时,A=2B　 (2) ∵ A-B=2a2-a+-2a-1=2(a-)2+>0对于任意实数a都成立,∴ 对于任意实数a,总有A>B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$第二十一章　一元二次方程 21.2　解一元二次方程 21.2.2　公 式 法 第1课时　一元二次方程的根的判别式 1. (2023·吉林)一元二次方程x2-5x+2=0的根的判别式的值是 (　　) A. 33 B. 23 C. 17 D. 2. 下列一元二次方程无实数根的是 (　　) A. x2+x-2=0 B. x2-2x=0 C. x2+x+5=0 D. x2-2x+1=0 3. (2023·河南)关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的根的情况是 (　　) A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A 4. (2023·甘孜)若关于x的一元二次方程x2-4x+m=0有两个相等的实数根,则m的值为　　　　.  5. 若关于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+m2=0的根的判别式的值为13,则m的值为　　　　.  6. (1) 若关于x的一元二次方程x2-x-a=0有两个不等的实数根,则a的取值 范围是　　　　;  (2) 若将(1)中的方程改为ax2-x-1=0,其他条件不变,则此时a的取值范围 是　　　　　　　　. 4 -3 a>- a>-且a≠0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. (教材P17习题21.2第4题变式)利用根的判别式判断下列方程的根的情况: (1) 2x2+3x-4=0; (2) x2-6x+18=0; (3) 5(x2+1)-7x=0. (1) ∵ Δ=32-4×2×(-4)=41>0,∴ 方程有两个不等的实数根　 (2) ∵ Δ=(-6)2-4×18=0,∴ 方程有两个相等的实数根　 (3) ∵ 原方程化为一般式为5x2-7x+5=0,∴ Δ=(-7)2-4×5×5=-51<0.∴ 方程无实数根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. 已知关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根,且m为正整数,求m的值及此时方程的根. ∵ 关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根,∴ Δ=4-4(2m-1)≥0,解得m≤1.∵ m为正整数,∴ m=1.∴ 原方程可化为x2-2x+1=0,解得x1=x2=1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. (2023·聊城)若一元二次方程mx2+2x+1=0有实数解,则m的取值范围是 (　　) A. m≥-1 B. m≤1 C. m≥-1且m≠0 D. m≤1且m≠0 10. (2023·广安)已知a,b,c为常数,点P(a,c)在第四象限,则关于x的方程ax2+ bx+c=0的根的情况是 (　　) A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11. 若直线y=-x+m不经过第一象限,则关于x的方程mx2+x+1=0的实数根的个数是 (　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2 12. (2023·上海)已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1=0没有实数根,则a的取值范围是　　　　. D a>9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 已知关于x的方程x2-(m+2)x+2m-1=0. (1) 若此方程的一个根为x=-1,求m的值; (2) 求证:该方程恒有两个不等的实数根. (1) 根据题意,得12+1×(m+2)+2m-1=0,解得m=- (2) ∵ Δ=(m+2)2-4(2m-1)=(m-2)2+4,(m-2)2≥0,∴ Δ=(m-2)2+4>0.∴ 该方程恒有两个不等的实数根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. 已知关于x的一元二次方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0. (1) 若方程有两个不等的实数根,求k的取值范围. (2) 当k取何值时,方程有两个相等的实数根?并求出此时方程的实数根. (3) 若方程无实数根,求k的取值范围. Δ=[-(4k+1)]2-4×2(2k2-1)=8k+9. (1) 由题意,得8k+9>0,解得k>- 　 (2) 由题意,得8k+9=0,解得k=-.此时方程为2x2+x+=0,解得x1=x2=-　 (3) 由题意,得8k+9<0,解得k<- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. 已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+4=0. (1) 求证:这个方程总有两个实数根; (1) ∵ Δ=[-(2k+1)]2-4×1×4(k-)=4k2-12k+9=(2k-3)2≥0,∴ 这个方程总有两个实数根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2) 若等腰三角形ABC的一边 a的长为4,另两边b,c的长恰好是这个方程的两个实数根,求等腰三角形ABC的周长. (2) 分两种情况讨论:① 若b,c为腰,则方程x2-(2k+1)x+4 k- =0有两个相等的实数根.∴ Δ=0,即(2k-3)2=0,解得k1=k2=.∴ 原方程为x2-4x+4=0,解得x1=x2=2,即b=c=2.∵ b+c=a,∴ 这种情况不合题意,舍去.② 若a为腰,则b,c中有一边为腰.∴ x=4是关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+4(k-)=0的一个根.把x=4代入原方程,得42-4(2k+1)+4(k-)=0,解得k=.∴ 原方程为x2-6x+8=0,解得x1=2,x2=4.∵ 4+2>4,∴ 等腰三角形ABC的周长为2+4+4=10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$第二十一章　一元二次方程 21.2　解一元二次方程 21.2.2　公 式 法 第2课时　用公式法解一元二次方程 1. 用公式法解方程x(2-7x)=5时,求根公式中的a,b,c的值分别是 (　　) A. -7,2,5 B. 7,2,-5 C. 7,-2,5 D. 7,-2,-5 2. 用公式法解方程x2-6x+1=0时,所得的解是 (　　) A. x=-3± B. x=3± C. x=-3±2 D. x=3±2 3. (教材P11例2变式)(2022·东营)一元二次方程x2+4x-8=0的解是 (　　) A. x1=2+2,x2=2-2 B. x1=2+2,x2=2-2 C. x1=-2+2,x2=-2-2 D. x1=-2+2,x2=-2-2 C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 D 4. (1) 在方程x2+2x-3=0中,a=　 ,b=　　,c= 　 ,方程的根为　  ; (2) 在方程x2=4x-4中,a=　 　 ,b=　 　 ,c=　　 ,方程的根为　  ; (3) 在方程4x2-3=0中,a=　 　 ,b=　 　 ,c=　　 ,方程的根为　  ; (4) 在方程x2-x+1=0中,a=　 　 ,b=　 　,c=　 　,由于b2-4ac=　　　<0,因此方程根的情况是　　　　　　　　.  5. 方程(2x+1)(x+2)=1化成一般形式为　　　　　 　,b2-4ac=　　　>0, 用求根公式可求得x1=　　　　　　　,x2=　　　　　　　　. 1 2 -3 x1=-3,x2=1 1 -4 4 x1=x2=2 4 0 -3 x1=,x2=- 1 -1 1 -3 无实数根 2x2+5x+1=0 17 - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. 用公式法解方程2x2+2x-3=0,分步填空: (1) a=　　　,b=　　　,c=　　　;  (2) b2-4ac=　　　　;  (3) x=　　　　　　;  (4) x1=　　　　　,x2=　　　　　. 2 2 -3 44 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. (教材P12练习第1题变式)用公式法解方程: (1) x2-2x-1=0; (2) 2x2+x=2; (3) x(x-2)=4; (4) (2x+1)2=2(x+1). (1) x1=2+,x2=-2+　 (2) x1=,x2=　 (3) x1=3+,x2=-3+　 (4) x1=,x2= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. 若关于x的一元二次方程的根为x=,则这个方程是 (　　) A. 2x2+4x+1=0 B. 2x2-4x+1=0 C. 2x2-4x-1=0 D. 2x2+4x-1=0 9. 利用公式法解一元二次方程3x2-11x-1=0可得两解为x1=a,x2=b,且a>b,则a的值为 (　　) A. B. C. D. A D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. 方程x2-x-3=0的较小的根为x1,下列对x1的估值正确的是 (　　) A. -1<x1<0 B. 2<x1<3 C. -3<x1<-2 D. -2<x1<-1 D 解析:∵ a=1,b=-1,c=-3,∴ Δ=(-1)2-4×1×(-3)=13>0,则x=.∴ x1= .由3<<4,知-<<-1.∴ -2<x1<-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11. 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根为,则=　　　　.  12. 若a2+5ab-b2=0(b≠0),则的值为　　　　　　. -5 - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 用公式法解方程: (1) (x+1)(x-2)=1; (2) 3x2+5(2x+3)=0. (1) x1=,x2=　 (2) 无实数根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. 解方程x2=-3x+2时,有一名同学的解答如下: ∵ a=1,b=3,c=2,∴ b2-4ac=32-4×1×2=1.∴ x===,即x1=-2,x2=-1. 请你分析以上解答有无错误,如有错误,请写出正确的解答过程. 解答有错误　正确的解答过程:原方程化为x2+3x-2=0.∵ a=1,b=3,c=-2, ∴ b2-4ac=9+8=17.∴ x=,即x1=,x2= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. 已知关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其中b2-4ac的值为1,求m的值及方程的根. 由题意,得[-(3m-1)]2-4m(2m-1)=1,即m2-2m=0,解得m1=0,m2=2.易知m≠0, ∴ m=2.∴ 原方程为2x2-5x+3=0,解得x1=1,x2= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$第二十一章　一元二次方程 21.2　解一元二次方程 21.2.3　因式分解法 1. 下列一元二次方程中,最适合用因式分解法来解的是 (　　) A. (x-2)(x+5)=2 B. 2x2-x=0 C. x2+5x-2=0 D. 12(2-x)2=3 2. (2022·天津)方程x2+4x+3=0的两个根为 (　　) A. x1=1,x2=3 B. x1=-1,x2=3 C. x1=1,x2=-3 D. x1=-1,x2=-3 B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. 若x=-2是关于x的一元二次方程x2-ax+a2=0的一个根,则a的值为(　　) A. 1或4 B. -1或-4 C. -1或4 D. 1或-4 4. (2022·梧州)一元二次方程(x-2)(x+7)=0的根是　　　　　　　.  5. 解一元二次方程x2+2x-3=0时,可转化为解两个一元一次方程,请写出其中的一个一元一次方程:　　　 　　　　. B x1=2,x2=-7 x+3=0(或x-1=0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. 小敏与小霞两名同学解方程3(x-3)=(x-3)2的过程如图所示. 你认为她们的解法是否正确?若正确,请在框内打“√”;若错误,请在框内打“✕”,并写出正确的解答过程. 小敏:两边同除以(x-3),得3=x-3. ∴ x=6.     小霞:移项,得3(x-3)-(x-3)2=0. 提取公因式,得(x-3)(3-x-3)=0. ∴ x-3=0或3-x-3=0. ∴ x1=3,x2=0. ✕ ✕ 移项,得3(x-3)-(x-3)2=0.提取公因式,得(x-3)(3-x+3)=0.∴ x-3=0或3-x+3=0. ∴ x1=3,x2=6 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. (教材P14例3变式)用因式分解法解下列方程: (1) (2023·齐齐哈尔)x2-3x+2=0; (2) 2(x-4)2=x2-16; (3) 5x(3x+2)=6x+4. (1) x1=1,x2=2　 (2) x1=4,x2=12　 (3) x1=-,x2= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. 解下列方程:① 2x2-18=0;② x2-9x-1=0;③ x2-11x+10=0;④ 2(5x-1)2= 3(5x-1).其中,较简便的方法是 (　　) A. 依次用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 B. 依次用因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法 C. ①用直接开平方法,②③用公式法,④用因式分解法 D. ①用直接开平方法,②用公式法,③④用因式分解法 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. (2022·包头)若x1,x2是方程x2-2x-3=0的两个实数根,则x1·的值为(　　) A. 3或-9 B. -3或9 C. 3或-6 D. -3或6 10. 方程x(x-1)=x的解是　　　　　　.  11. 一个直角三角形的两边长分别是方程x2-8x+15=0的两根,则这个直角三角形的第三边长为　　 　　. A x1=0,x2=2 或4 解析:一元二次方程x2-8x+15=0的解为x1=3,x2=5.当3与5分别为直角三角形的直角边长时,斜边长为=;当直角三角形的斜边长为5时,另一直角边长为=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 用适当的方法解下面的方程: (1) x2-3x-1=0; (2) 4x(x-1)=6-6x. (1) x1=,x2=　 (2) x1=-,x2=1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 若关于x的方程x2+bx+c=0有两个实数根,且其中一个根比另一个根大2,则称这样的方程为隔根方程.例如:方程x2+2x=0的两个根是x1=0,x2=-2,则方程x2+2x=0是隔根方程. (1) 方程x2-x-20=0是隔根方程吗?请说明理由. (2) 若关于x的方程x2+(m-1)x-m=0是隔根方程,求m的值. (1) 方程x2-x-20=0不是隔根方程　理由:∵ (x-5)(x+4)=0,∴ x1=5,x2=-4.∵ 5-(-4)=9≠2,-4-5=-9≠2,∴ 方程x2-x-20=0不是隔根方程.　 (2) ∵ x2+(m-1)x-m=0,∴ (x+m)(x-1)=0.∴ x1=-m,x2=1.当-m=1+2时,解得m=-3;当-m+2=1时,解得m=1.综上所述,m的值为-3或1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. 阅读材料并解答问题: 为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们可以将x2-1看成一个整体,然后设x2 -1=y,则原方程可化为y2-5y+4=0①,解得y1=1,y2=4.当y=1时,x2-1=1.∴ x2= 2,解得x=±.当y=4时,x2-1=4.∴ x2=5,解得x=±.∴ 原方程的根为x1= ,x2=-,x3=,x4=-. (1) 在由原方程得到方程①的解题过程中,利用　　　　法达到了解方程的目的,体现了转化的数学思想.  换元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 请利用以上方法解方程: ① x4-x2-6=0; ② (x2+3)2-9(x2+3)+20=0. (2) ① 设x2=y,则原方程可化为y2-y-6=0,解得y1=-2,y2=3.当y=-2时,x2=-2,无实数根;当y=3时,x2=3,解得x=±.∴ 原方程的根为x1=,x2=-　 ② 设x2+3=a,则原方程可化为a2-9a+20=0,解得a1=4,a2=5.当a=4时,x2+3=4,解得x=±1;当a=5时,x2+3=5,解得x=±.∴ 原方程的根为x1=1,x2=-1,x3= ,x4=- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$第二十一章　一元二次方程 21.2　解一元二次方程 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 1. (教材P16例4变式)(2023·天津)若x1,x2是方程x2-6x-7=0的两个根,则 (　　) A. x1+x2=6 B. x1+x2=-6 C. x1x2= D. x1x2=7 2. (2022·益阳)若x=-1是方程x2+x+m=0的一个根,则此方程的另一个根是 (　　) A. x=-1 B. x=0 C. x=1 D. x=2 A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. (2022·乐山)关于x的一元二次方程3x2-2x+m=0有两个实数根,若其中一个根为x=1,则这两根之积为 (　　) A. B. C. 1 D. - 4. (教材P16练习变式)不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积. (1) 3x2-5x+1=0,x1+x2=　　　　,x1·x2=　　　　;  (2) 4x2-1=9x,x1+x2=　　　　,x1·x2=　　　　;  (3) 6x2-1=0,x1+x2=　　　　,x1·x2=　　　　.  D - 0 - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. (2023·随州)已知关于x的一元二次方程x2-3x+1=0的两个实数根分别为x1和x2,则x1+x2-x1x2的值为　　　　. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. 已知x1,x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根,求下列各式的值. (1) x2+x1; (2) +; (3) (x1+x2)2÷. 由一元二次方程的根与系数的关系,得x1+x2=4,x1x2=1. (1) x2+x1=x1x2(x1+x2)=1×4=4　 (2) +=(x1+x2)2-2x1x2=42-2×1=14　 (3) (x1+x2)2÷(+)=(x1+x2)2·=(x1+x2)x1x2=4×1=4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. 关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2. (1) 求m的取值范围; (2) 若2(x1+x2)+x1x2+10=0,求m的值. (1) ∵ 原方程有两个实数根,∴ Δ=9-4(m-1)=-4m+13≥0,解得m≤　 (2) 由一元二次方程的根与系数的关系,得x1+x2=-3,x1x2=m-1.∵ 2(x1+x2)+ x1x2+10=0,∴ 2×(-3)+m-1+10=0,解得m=-3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. 在解关于x的一元二次方程x2+px+q=0时,小红看错了常数项q,得到方程的两个根是-3,1,小明看错了一次项系数p,得到方程的两个根是5,-4,则正确的方程是 (　　) A. x2+2x-3=0 B. x2+2x-20=0 C. x2-2x-20=0 D. x2-2x-3=0 9. (2023·菏泽)一元二次方程x2+3x-1=0的两根为x1,x2,则+的值为 (　　) A. B. -3 C. 3 D. - B C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. 已知方程x2-2023x+1=0的两根分别为x1,x2,则-的值为 (　　) A. 1 B. -1 C. 2023 D. -2023 11. 已知方程x2+bx+3=0的一根为x=+,则方程的另一根为　　　　 . 12. (2023·宜宾)若关于x的方程x2-2(m+1)x+m+4=0的两根的倒数和为1,则m的值为　　　　.  x=- B 2 解析:设方程的两根为α,β.由题意,得α+β=2(m+1),αβ=m+4.∵ 两根的倒数和为1,∴ +=1.∴ =1.∴ =1,解得m=2.经检验,m=2是原分式方程的解.当m=2时,原方程为x2-6x+6=0,此时Δ=12>0.∴ m=2符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 若x1,x2是方程x2-4x-2020=0的两个实数根,则代数式-2x1+2x2的值为 　　　　.  2028 解析:由题意,知x1+x2=4.∵ 易得-4x1-2020=0,∴ -4x1=2020.∴ 原式= -4x1+2x1+2x2=-4x1+2(x1+x2)=2020+2×4=2028. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. (2023·襄阳)关于x的一元二次方程x2+2x+3-k=0有两个不等的实数根. (1) 求k的取值范围; (2) 若方程的两个根为α,β,且k2=αβ+3k,求k的值. (1) Δ=22-4×1×(3-k)=-8+4k.∵ 方程有两个不等的实数根,∴ -8+4k>0,解得k>2　 (2) ∵ 方程的两个根为α,β,∴ αβ=3-k.∴ k2=3-k+3k,解得k1=3,k2=-1(不合题意,舍去).∴ k的值为3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. 我们知道,如果x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两个根,那么x1+x2=-p, x1x2=q,故p=-(x1+x2),q=x1x2.由此可以看出,以x1,x2为根的一元二次方程是x2-(x1+x2)x+x1x2=0.据此解答下列问题: (1) 以1,2为根的一元二次方程是　　 　　　　　;以0,-1为根的一元二次方程是　 ;以-,-  为根的一元二次方程是　　　　　　　　.  (2) 两根和为5,积为3的一元二次方程是　　　　　　　　;两根和为0,积为-2024的一元二次方程是　  . x2-3x+2=0 x2+x=0 x2+2x+2=0 x2-5x+3=0 x2-2024=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3) 已知两个数的和为5,积为6,求这两个数. (3) 设这两个数为x1,x2(x1≤x2).由题意,可知x1,x2是方程x2-5x+6=0的两个根,解得x1=2,x2=3.∴ 这两个数分别是2,3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$第二十一章　一元二次方程 21.3　实际问题与一元二次方程 第1课时　传播与握手等问题 1. (教材P19探究1变式)(2023·衢州)某人患了流感,经过两轮传染后共有36人患了流感.设每一轮传染中平均每人传染了x人,则可得到方程 (　　) A. x+(1+x)=36 B. 2(1+x)=36 C. 1+x+x(1+x)=36 D. 1+x+x2=36 2. (教材P25复习题21第7题变式)(2022·龙东地区)2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛,单循环比赛共进行了45场,则参加比赛的队伍有 (　　) A. 8支 B. 10支 C. 7支 D. 9支 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 3. 若干个好朋友除夕夜打电话互相问候,两个朋友之间都通话1次,共通话 21次.设这些朋友一共x人,则可列方程为　　　　　　.  4. 某足球预选赛实行主客场赛制,每两支参赛队都要进行两次比赛.若某个预选赛区共要比赛72场,则参赛队有　　　　支. x(x-1)=21 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 某学校机房有100台学生用电脑和1台教师用电脑,现在教师用电脑被某种电脑病毒感染,且该电脑病毒的传播速度非常快.如果1台电脑被感染,那么经过2轮感染后就会有16台电脑被感染. (1) 每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑? (2) 若病毒得不到有效控制,几轮感染后机房内的所有电脑将都被感染? (1) 设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑.由题意,得1+x+x(1+x)=16.整理,得(1+x)2=16,解得x1=3,x2=-5(不合题意,舍去).∴ 每轮感染中平均1台电脑会感染3台电脑　 (2) 机房内的电脑共有100+1=101(台).n轮感染后,有(1+x)n台电脑被感染,即(1+3)n=4n(台)电脑被感染.当n=3时,43=64;当n=4时,44=256.∵ 64<101< 256,∴ 4轮感染后机房内的所有电脑将都被感染 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 在人群密集的场所,信息传播很快.某居委会有3人同时得知一则喜讯,经过两轮传播后,这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达50%,那么平均每轮传播中1人传播了多少人? 设平均每轮传播中1人传播了x人.根据题意,得3+3x+x(3x+3)=864×50%,解得x1=11,x2=-13(不合题意,舍去).∴ 平均每轮传播中1人传播了11人 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 有一株月季,它的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干、小分支的总个数是73,求每个支干长出多少个小分支.设每个支干长出x个小分支,则根据题意可列出方程为 (　　) A. 1+x+x(1+x)=73 B. 1+x+x2=73 C. 1+x2=73 D. x+x(1+x)=73 8. 在一次会议上,每2个参加会议的人都互相握手1次,有人统计一共握了66次手,则这次参加会议的有　　　　个人.  B 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 某航空公司有若干个飞机场,每2个飞机场之间都开辟了1条航线,一共开辟了28条航线,该航空公司共有　　　　个飞机场. 10. 手工制作兴趣小组的成员将自己制作的手工作品向本组其他成员各赠送1件,整个兴趣小组共互赠了132件作品,全组共有多少名成员? 8 设全组共有x名成员.由题意,得x(x-1)=132,即x2-x-132=0,解得x1=12,x2= -11(不合题意,舍去).∴ 全组共有12名成员 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 某种植物的根特别发达,它的主根长出若干数目的支根,支根中的三分之一每根又长出同样数目的小支根,而其余支根每根长出一半数目的小支根,主根、支根、小支根的总根数是109.这种植物的主根长出了多少根支根? 设这种植物的主根长出了x根支根.根据题意,得1+x+x·x+x·x= 109,解得x1=12,x2=-(不合题意,舍去).∴ 这种植物的主根长出了12根支根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 阅读材料,并回答问题: 　　我们知道,计算n(n≥3且n为整数)边形的对角线条数的公式为n(n-3).如果一个n边形共有20条对角线,那么可以得到方程n(n-3)=20.整理,得n2 -3n-40=0,解得n1=8,n2=-5.∵ n≥3且n为整数,∴ n=8,即该多边形是八边形. (1) 若一个多边形共有14条对角线,则这个多边形的边数是多少? (1) 设这个多边形的边数是n(n≥3且n为整数).根据题意,得n(n-3)=14.整理,得n2-3n-28=0,解得n1=7,n2=-4.∵ n≥3且n为整数,∴ n=7,即这个多边形的边数是7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) A同学说:“我求得一个多边形共有10条对角线.”A同学的说法正确吗?为什么?　 (2) A同学的说法不正确　设这个多边形的边数为m(m≥3且m为整数),则m·(m-3)=10.整理,得m2-3m-20=0,解得m=.∴ 方程m2-3m-20=0不存在正整数解.∴ 多边形的对角线不可能有10条,即A同学的说法不正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$第二十一章　一元二次方程 21.3　实际问题与一元二次方程 第2课时　平均变化率与市场营销问题 1. (教材P22习题21.3第7题变式)(2023·广西)据国家统计局发布的《中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报》显示,2020年和2022年全国居民人均可支配收入约为3.2万元和3.7万元.设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x,依题意可列方程为 (　　) A. 3.2(1-x)2=3.7 B. 3.2(1+x)2=3.7 C. 3.7(1-x)2=3.2 D. 3.7(1+x)2=3.2 2. (2022·南通)李师傅家的超市今年1月盈利3000元,3月盈利3630元.若从1月到3月,每月盈利的平均增长率都相同,则这个平均增长率是 (　　) A. 10.5% B. 10% C. 20% D. 21% B B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 某种服装平均每天可销售50件,每件的利润为40元,若每件降价5元,则每天多售10件.如果要在扩大销量的同时,使每天的总利润达到2100元,那么每件应降价多少元?若设每件应降价x元,则可列方程为 (　　) A. (40-x)=2100 B. (40-x)=2100 C. (40+x)=2100 D. (40+x)=2100 4. (2023·重庆A卷)某新建工业园区今年6月提供就业岗位1501个,并按计划逐月增长,预计8月将提供岗位1815个.设7月、8月提供就业岗位数量的月平均增长率为x,根据题意,可列方程为　　　　　　　　. A 1501(1+x)2=1815 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 某公司今年1月的生产成本是400万元,由于改进技术,生产成本逐月下降,3月的生产成本是361万元.假设该公司2月、3月、4月每个月生产成本的下降率都相同. (1) 求每个月生产成本的下降率; (2) 请你预测该公司4月的生产成本. (1) 设每个月生产成本的下降率为x.根据题意,得400(1-x)2=361,解得x1= 0.05=5%,x2=1.95(不合题意,舍去).∴ 每个月生产成本的下降率为5%　 (2) ∵ 361×(1-5%)=342.95(万元),∴ 预测该公司4月的生产成本为342.95万元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. (2023·柳州)随着旅游旺季的到来,某景区游客人数逐月增加,2月游客人数为1.6万,4月游客人数为2.5万. (1) 求3月和4月该景区游客人数的月平均增长率. (1) 设3月和4月该景区游客人数的月平均增长率为x.由题意,可知1.6(1+ x)2=2.5,解得x1==25%,x2=-(不合题意,舍去).∴ 3月和4月该景区游客人数的月平均增长率为25% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 预计5月该景区游客人数会继续增长,但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客人数为2.125万,则5月后10天日均接待游客人数最多是多少万? (2) 设5月后10天日均接待游客人数是a万.由题意,可知2.125+10a≤2.5(1+ 25%),解得a≤0.1.∴ 5月后10天日均接待游客人数最多是0.1万 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 某省加快新旧动能转换,促进企业创新发展.某企业1月的营业额是1000万元,第一季度的总营业额是3990万元.若设月平均增长率是x,则可列方程为 (　　) A. 1000(1+x)2=3990 B. 1000+1000(1+x)+1000(1+x)2=3990 C. 1000(1+2x)=3990 D. 1000+1000(1+x)+1000(1+2x)=3990 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 某景点的门票价格为220元,日接待游客5000人,当门票价格每提高10元,日接待游客人数减少50.若想每天的门票收入达到138万元,门票价格需提高多少元?设门票价格提高x元,则可列方程为 (　　) A. (220+x)(5000-5x)=1380000 B. (220+x)(5000-5x)=138 C. (220+x)(5000-50x)=138 D. (220+x)(5000-50x)=1380000 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 某化肥厂2022年4月生产化肥500t,因管理不善,5月的产量减少了10%,从6月起加强管理,产量逐月上升,7月的产量达到了648t,该厂2022年6月、7月产量的月平均增长率是　　　　. 解析:设该厂2022年6月、7月产量的月平均增长率是x.根据题意,得500(1-10%)(1+x)2=648,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去).∴ 该厂2022年6月、7月产量的月平均增长率是20%. 20% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 某农场2022年种植了10亩地的南瓜,亩产量为2000kg.根据市场需求,2023年该农场扩大了种植面积,并且全部种植了高产的新品种南瓜.若南瓜种植面积的增长率是亩产量增长率的2倍,2023年南瓜的总产量为60000kg,求南瓜亩产量的增长率. 设南瓜亩产量的增长率为x,则种植面积的增长率为2x.由题意,得10(1+ 2x)·2000(1+x)=60000,解得x1=0.5=50%,x2=-2(不合题意,舍去).∴ 南瓜亩产量的增长率为50%　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 为进一步规范各个学校的课后服务工作,某市教育局鼓励教师参与志愿辅导.某区率先示范、推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导.据统计,第一批公益课受益学生达到2万人次,第三批公益课受益学生达到2.42万人次. (1) 如果第二批、第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率; (2) 按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次? (1) 设这个增长率为x.由题意,得2(1+x)2=2.42,解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意,舍去).∴ 这个增长率为10%　 (2) 2.42×(1+10%)=2.662(万人次).∴ 预计第四批公益课受益学生将达到2.662万人次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 某运动品牌销售一款运动鞋.已知每双运动鞋的成本价为60元,当售价为100元/双时,平均每天能售出200双.经过一段时间销售发现,平均每天售出的运动鞋的销量y(双)与降低价格x(元/双)之间存在如图所示的函数关系. (1) 求y关于x的函数解析式. (1) 设y关于x的函数解析式为y=kx+b(k≠0).将(0,200), (10,300)代入,得解得∴ y 关于x的函数解析式为y=10x+200 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 若公司希望平均每天获得利润达到8910元,且优惠力度最大,则每双运动鞋的售价应该定为多少? (2) 由题意,得(100-60-x)(10x+200)=8910.整理,得x2-20x +91=0,解得x1=7,x2=13.又∵ 要求优惠力度最大,∴ x=13. ∴ 100-x=87.∴ 每双运动鞋的售价应该定为87元　 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3) 为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%,公司每天能否获得9000元的利润?若能,求出定价;若不能,请说明理由. (3) 公司每天能获得9000元的利润　由题意,得(100-60 -x)(10x+200)=9000.整理,得x2-20x+100=0.∴ x1=x2=10. ∵ 每双运动鞋的利润不低于成本价的50%,∴ 100-60- x≥60×50%.∴ x≤10.∴ x=10符合题意.∴ 100-x=90. ∴ 公司每天能获得9000元的利润,此时定价为90元/双 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$第二十一章　一元二次方程 21.3　实际问题与一元二次方程 第3课时　几何图形问题 1. (2023·哈尔滨)为了改善居民生活环境,某小区对一块矩形空地进行绿化,这块空地的长比宽多6米,面积为720平方米.设这块矩形空地的长为x米,根据题意,所列方程正确的是 (　　) A. x(x-6)=720 B. x(x+6)=720 C. x(x-6)=360 D. x(x+6)=360 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. 如图,矩形ABCD是某会展中心一楼展区的平面示意图,其中边AB的长为40m,边BC的长为25m,该展区内有三个全等的矩形展位,每个展位的面积都为200m2,阴影部分为宽度相等的人行通道,求人行通道的宽度.设人行通道的宽度为xm,下列方程正确的是 (　　) A. (40-3x)(25-2x)=200 B. (40-4x)(25-2x)=200×3 C. 40×25-80x-100x+8x2=200 D. 40×25-80x-100x=200×3 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 如图,将一块正方形空地划出部分区域(阴影部分)进行绿化,原空地变为面积为20m2的矩形空地,则原正方形空地的边长是 (　　) A. 7m B. 8m C. 9m D. 10m 4. (教材P21习题21.3第3题变式)一个直角三角形的两条直角边的长相差3cm,面积是9cm2,则较长的直角边的长为　　　　cm.  5. (教材P20探究3变式)(2022·泰州)如图,在长为50m、宽为 38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路,余下的铺上草 坪,要使草坪的面积为1260m2,则道路的宽应为　　　　m. A 6 4 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. (教材P25复习题21第8题变式)(2023·东营)如图,老李想用长为70m的栅栏,再借助房屋外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2m宽的门(建在EF处,另用其他材料). (1) 当羊圈的边AD,AB的长分别为多少米时,能围成一个面积为640m2的羊圈? (1) 设矩形ABCD的边AB=xm,则边AD=70-2x+2=(72-2x)m. 根据题意,得x(72-2x)=640.整理,得x2-36x+320=0,解得x1= 16,x2=20.当x=16时,72-2x=40.当x=20时,72-2x=32.∴ 当羊 圈的边AD的长为40m、边AB的长为16m或边AD的长为32m、边AB的长为20m时,能围成一个面积为640m2的羊圈 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 羊圈的面积能达到650m2吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由. (2) 不能　理由:由题意,得x(72-2x)=650.整理,得x2-36x+ 325=0.∵ Δ=(-36)2-4×325=-4<0,∴ 一元二次方程无实 数根.∴ 羊圈的面积不能达到650m2. 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. 如图,在宽为20m、长为38m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求道路的宽.设道路的宽为xm.根据题意,所列方程正确的是 (　　) A. (20-x)(38-x)=540 B. (20-x)(38-x)=38×20-540 C. (20-2x)(38-2x)=540 D. (20-2x)(38-2x)=38×20-540 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. 在高度为2.8m的一面墙上,准备开凿一个矩形窗户,现用9.5m长的铝合金条制成如图所示的窗框.当矩形窗户的宽AB为　　　　m时,其透光面积为3m2(铝合金条的宽度忽略不计).  1.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. 如图,在△ABC中,AB=5cm,BC=10cm,∠ABC=90°,点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.如果点P,Q分别从点A,B同时出发,那么出发后　　　　s时,线段PQ的长为5cm. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. 某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图,原广场长为50米,宽为40米,要求扩建后的矩形广场长与宽的比为3∶2.扩建区域的扩建费用为每平方米30元,扩建后在原广场和扩建区域都铺设地砖,铺设地砖的费用为每平方米100元.如果计划总费用为642000元,求扩建后广场的长和宽. 设扩建后广场的长为3x米,宽为2x米.依题意,得3x·2x·100 +30(3x·2x-50×40)=642000,解得x1=30,x2=-30(不合题意, 舍去).∴ 3x=90,2x=60.∴ 扩建后广场的长为90米,宽为 60米 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. (教材P22习题21.3第9题变式)如图所示为一块长5米、宽4米的地毯,为了美观,设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分),已知配色条纹的宽度相同,所占面积是整块地毯面积的. (1) 求配色条纹的宽度; (1) 设配色条纹的宽度为x米.依题意,得2x·5+2x·4-4x2= ×5×4,解得x1=(不合题意,舍去),x2=.∴ 配色条纹 的宽度为米 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 如果地毯的配色条纹部分每平方米的造价为200元,其余部分每平方米的造价为100元,求地毯的总造价. (2) 配色条纹部分的造价:×5×4×200=850(元), 其余部分的造价:×5×4×100=1575(元). ∴ 总造价=850+1575=2425(元).∴ 地毯的总造价 是2425元 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $$第二十一章　一元二次方程 小专题(一)　一元二次方程的根及根的判别式 　 和根与系数关系的综合应用 类型一　运用一元二次方程的根和根与系数的关系求值 1. 若a,b是一元二次方程x2+x-8=0的两个实数根,则代数式a2+2a+b-ab的值为 (　　) A. -1 B. 1 C. 15 D. 17 2. (2022·绥化)设x1,x2为一元二次方程x2+3x+2=0的两个根,则(x1-x2)2的值为　　　　.  3. (2023·鄂州)若实数a,b分别满足a2-3a+2=0,b2-3b+2=0,且a≠b,则+的值为　　　　.  C 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 若x1,x2是一元二次方程x2+5x-3=0的两个实数根,且2x1(+6x2-3)+a=4,则a=　　　　. 5. 若x1,x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,则x1+x2=-,x1·x2 =.现已知一元二次方程px2+2x+q=0的两个根分别为m,n. (1) 若m=2,n=-4,求p,q的值; (2) 若p=3,q=-1,求m+n+mn的值. 10 (1) 根据题意,得2-4=-,2×(-4)=,∴ p=1,q=-8　 (2) 易得m+n=-=-,mn=-,∴ m+n+mn=--=-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 类型二　运用根的判别式和根与系数的关系求字母的值或取值范围 6. 已知α,β是关于x的一元二次方程x2+mx+m=0的两个不等的实数根,且满足α2+β2=3,则m的值是 (　　) A. 3或-1 B. -3或1 C. 3 D. -1 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 已知关于x的一元二次方程kx2-6x+1=0有两个实数根. (1) 求实数k的取值范围; (2) 设方程的两根为x1,x2,当k为满足条件的最大整数时,求x1+x2的值. (1) ∵ 方程有两个实数根,∴ Δ=36-4k≥0,解得k≤9.又∵ 易得k≠0,∴ 实数k的取值范围是k≤9且k≠0　 (2) ∵ k≤9且为最大整数.∴ k=9.∴ 方程为9x2-6x+1=0.∴ x1+x2= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 已知关于x的方程x2-(2k-3)x+k2+1=0有两个不等的实数根x1,x2. (1) 求k的取值范围; (2) 若x1,x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3,求k的值. (1) 由题意,得Δ=[-(2k-3)]2-4(k2+1)=4k2-12k+9-4k2-4=-12k+5>0,解得k<　 (2) 由题意,得x1+x2=2k-3,x1x2=k2+1>0.由(1),知k<,∴ x1+x2<2×-3<0. ∴ x1<0,x2<0.∴ 原方程可化为-(x1+x2)=2x1x2-3.∴ -(2k-3)=2(k2+1)-3,即k2+k-2=0,解得k1=1(不合题意,舍去),k2=-2.∴ k的值为-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 类型三　运用根的判别式和根与系数的关系求最值 9. 已知关于x的方程x2-2x+m-2=0有两个实数根x1,x2.求: (1) m的取值范围; (2) 3x1+3x2-x1x2的最小值. (1) 根据题意,得Δ=(-2)2-4(m-2)≥0,解得m≤3 (2) 根据题意,得x1+x2=2,x1x2=m-2.∴ 3x1+3x2-x1x2=3(x1+x2)-x1x2=6-(m-2) =-m+8.∵ m≤3,∴ 当m=3时,3x1+3x2-x1x2的值最小,最小值为-3+8=5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 类型四　运用根的判别式和根与系数的关系说理 10. (2023·仙桃)已知关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+m2+m=0. (1) 求证:无论m取何值时,方程都有两个不等的实数根; (2) 设该方程的两个实数根为a,b,若(2a+b)(a+2b)=20,求m的值. (1) ∵ Δ=[-(2m+1)]2-4(m2+m)=4m2+4m+1-4m2-4m=1>0,∴ 无论m取何值时,方程都有两个不等的实数根　 (2) ∵ 方程的两个实数根为a,b,∴ a+b=2m+1,ab=m2+m.∵ (2a+b)(a+2b)= 2(a+b)2+ab,∴ 2(a+b)2+ab=20.∴ 2(2m+1)2+m2+m=20.∴ m2+m-2=0,解得m1=-2,m2=1.∴ m的值为-2或1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 类型五　运用根的判别式和根与系数的关系解决几何问题 11. 如图,矩形ABCD的周长为12,面积为5,且AB和BC的长恰好是方程x2+ mx+n=0的两根,则m和n的值分别为 (　　) A. -6,5 B. 12,-5 C. 6,5 D. -12,5 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 已知关于x的方程x2-x+m-1=0有两个实数根. (1) 求证:无论m取何值,方程总有两个实数根. (2) 若▱ABCD的两边AB,AD的长是已知方程的两个实数根,则当m为何值时,▱ABCD是菱形?求此时菱形的边长. (1) ∵ Δ=-4××(m-1)=-m+1=≥0,∴ 无论m取何值,方程总有两个实数根　 (2) ∵ ▱ABCD是菱形,∴ AB=AD.由题意,可知方程有两个相等的实数根. ∴ Δ==0,解得m=2.当m=2时,原方程为x2-x+1=0,解得x1=x2=2.∴ 此时菱形的边长为2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 类型六　运用根的判别式和根与系数的关系解决存在性问题 13. 已知关于x的一元二次方程x2-6x+2m-1=0有两个实数根. (1) 若x1=1,求x2及m的值. (2) 是否存在实数m,满足(x1-1)(x2-1)=?若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由. (1) 由题意,得Δ=(-6)2-4(2m-1)≥0,解得m≤5.易得x1+x2=6,x1x2=2m-1.∵ x1= 1,∴ 1+x2=6,x2=2m-1.∴ x2=5,m=3　 (2) 存在　由题意,得m≠5.∵ m≤5,∴ m<5.∵ (x1-1)(x2-1)=,∴ x1x2-(x1+ x2)+1=,即2m-1-6+1=.整理,得m2-8m+12=0,解得m1=2,m2=6.经检验,m1=2,m2=6为原分式方程的解.∵ m<5,∴ m=2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第二十一章　一元二次方程 小专题(二)　一元二次方程中常见的易错问题 易错点一　对一元二次方程的二次项系数理解不清 1. 若关于x的方程(a+2)x|a|+2x-5=0是一元二次方程,则a=　　　　.  2. 若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不等的实数根,则k的取值范围是　　　　　　　.  3. 若关于x的方程ax2+2(a+2)x+a=0有实数根,则实数a的取值范围是　　. 易错点二　解方程时忽略代数式的意义 4. 已知关于x的方程-3x2+-4=0,则x2+=　　　　.  5. 若(x2-2x-3)0=x2-4x+4,则x=　　　　. 2 k<5且k≠1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a≥-1 4 1 易错点三　利用根与系数的关系解题时,忽视“判别式为非负数”这一隐 含条件 6. 下列方程中,两个实数根的和为2的方程是 (　　) A. 2x2-4x+3=0 B. 2x2-2x-3=0 C. 2y2+4y-3=0 D. 2t2-4t-3=0 7. 关于x的一元二次方程x2+kx+k+1=0的两个根分别为x1,x2,且+=1,则k的值为　　　　.  D -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 易错点四　忽视一元二次方程与其他知识综合应用时的分类 8. 等腰三角形一条边的长为3,它的另外两条边的长是关于x的一元二次方程x2-12x+k=0的两个根,则k的值为 (　　) A. 36 B. 27 C. 27或36 D. 18 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. 已知a,b满足a2-15a-5=0,b2-15b-5=0,则+的值为　　　　. 2或-47 解析:当a=b时,+=2.当a≠b时,可将a,b看成方程x2-15x-5=0的两个不等的实数根.由根与系数的关系,可知a+b=15,ab=-5,∴ +=== -47.∴ +的值为2或-47. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 易错点五　列一元二次方程解应用题时易忽视关键条件 10. 某商场销售一批衬衫,平均每天可以销售20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫降价1元,那么商场平均每天可多销售2件. (1) 若商场每件衬衫降价4元,则商场平均每天可盈利多少元? (1) 由题意,得(20+2×4)×(40-4)=1008(元).∴ 商场平均每天可盈利1008元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 若商场平均每天要盈利1200元,且让顾客尽可能多得实惠,则每件衬衫应降价多少元? (3) 商场可能平均每天盈利1600元吗?请说明理由. (2) 设每件衬衫降价x元,则平均每天可销售(20+2x)件.根据题意,得(40-x)(20+2x)=1200.整理,得x2-30x+200=0,解得x1=10,x2=20.∵ 要让顾客尽可能多得实惠,∴ x=20.∴ 每件衬衫应降价20元　 (3) 不可能　理由:根据题意,得(40-x)(20+2x)=1600.整理,得x2-30x+400=0. ∵ Δ=(-30)2-4×1×400=-700<0,∴ 该方程无实数根.∴ 商场不可能平均每天盈利1600元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$