精品解析：2024年内蒙古包头市中考数学模拟试卷（四）

2024年包头中考模拟四 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 据不完全统计，2021年河北省中考报名人数已经超过了886000人，数据886000用科学记数法可以表示为（ ）． A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（　　） A. 是的算术平方根 B. 是的算术平方根 C. 的算术平方根是1 D. 的算术平方根是 3. 下列计算中正确的有（ ）个 ①；②；③；④；⑤；⑥． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图，由若干个小正方体组成的一个几何体，从它的正面看得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 二维码的图案主要由黑，白两种小正方形组成．现对由4个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，则恰好涂成两个黑色和两个白色的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点是等边三角形内的一点，，将绕点按顺时针旋转得到，则下列结论不正确的是( ) A. B. C. D. 8. 若关于x的方程x2＝﹣m有实数根，则m的取值范围是（　　） A. m＞0 B. m≥0 C. m＜0 D. m≤0 9. 如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，双曲线 经过斜边的中点D，与边相交于点C，若的面积为6，则k的值为（　　） A 4 B. 8 C. 10 D. 12 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 已知是方程的解，则代数式的值为______． 12. 化简分式：__________； 13. 如图，在平面直角坐标系中，A、B坐标分别为、，若将线段AB平移至，则的值为______． 14. 若点在抛物线，则的最大值为______． 15. 如图所示，扇形的圆心角是直角，半径为，为边上一点，将沿边折叠，圆心恰好落在弧上的点处，则阴影部分的面积为______ ． 16. 如图，点是菱形对角线上一点，连接并延长，交于，交的延长线于点． （1）图中与哪个三角形全等：______． （2）猜想：线段、、之间存在什么关系：______． 三．解答题（共7小题，满分72分） 17. （1）解不等式：； （2）化简求值：，其中． 18. 实施乡村振兴战略，能够将发展机遇提供给农业生产，改善乡村面貌提高农民的生活质量，促进机械化发展以及农业现代化发展．为助力乡村产业振兴，某地利用网络销售农产品，一段时间后负责人随机抽取部分销售人员统计他们上一个月的销售额m(单位：万元)，绘制成如下统计图表(尚不完整)： 等级 销售额m（万元） 人数（频数） 各组平均值（万元） A 4 3.5 B 8 7.5 C a 12 D 2 17 其中B等级销售人员的销售额分别是(万元)：5，6，7，8，8，8，9，9． 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）填空：__________，B等级销售人员的销售额的众数是___________万元，所抽取销售人员的销售额的中位数是___________万元； （2）若想让一半左右的销售人员都能达到销售目标，你认为月销售额目标定为多少合适？说明理由； （3）若该地共有80位网络销售人员销售农产品，请估计该地上个月农产品的网络销售总额． 19. 某校数学社团利用自制测角仪和皮尺测量河宽（把河两岸看作平行线）．如图，他们在河岸一侧的A处，观察到对岸点处有一棵树，测得，向前走到达处，测得，求河的宽度（精确到）（，，，）． 20. 为进一步加强“书香校园”建设，某学校拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高，用元购进的甲种书柜的数量比用元购进乙种书柜的数量少个． （1）每个甲种书柜进价是多少元？ （2）若该校拟购进这两种规格的书柜共个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的倍．该校应如何进货使得购进书柜所需费用最少？ 21. 如图，在，，点D在边上，以为直径的与直线相切于点E，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求的半径． 22. 操作：如图①在正方形中，点E是的中点，将沿折叠后得到，点F在正方形内部，延长交于点G，易知． 探究：若将图①中的正方形改成矩形，其他条件不变，如图②，那么线段与相等吗？请说明理由． 拓展：如图③，将图①中的正方形改为平行四边形，其他条件不变，若，，则的周长为______． 23. 抛物线交轴于、两点，交轴于点，点线段下方抛物线上一动点，连接，． （1）求抛物线解析式； （2）在点移动过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积及点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）设点为上不与端点重合的一动点，过点作线段的垂线，交抛物线于点，若与相似，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年包头中考模拟四 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 据不完全统计，2021年河北省中考报名人数已经超过了886000人，数据886000用科学记数法可以表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值． 2. 下列说法正确的是（　　） A. 是的算术平方根 B. 是的算术平方根 C. 的算术平方根是1 D. 的算术平方根是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的定义．根据一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，逐项分析即可求解． 【详解】解：A、∵，故是的算术平方根，A选项错误； B、∵，故是的算术平方根，B选项错误； C、，且，故算术平方根是，C选项正确； D、负数没有算术平方根，D选项错误． 故选：C． 3. 下列计算中正确的有（ ）个 ①；②；③；④；⑤；⑥． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的相关运算法则逐一进行判断即可完成． 【详解】，故①错误； ，故②错误； 故③错误； ，故④错误； ，故⑤正确； ，故⑥错误． 所以正确的只有1个． 故选：A． 【点睛】本题考查了幂的相关运算法则，掌握幂的这些运算法则是解题的关键． 4. 如图，由若干个小正方体组成的一个几何体，从它的正面看得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层在最左边位置一个小正方形，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是注意空间想象，特别上面一层中小正方形的位置． 5. 如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形的外角性质以及平行线的性质即可找出∠2=∠1+∠3，从而得解． 【详解】解：由图可知∠2=∠1+∠3， ∵∠1=20°，∠2=40°， ∴∠3=20°； 故选D． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外交性质是解题的关键．． 6. 二维码的图案主要由黑，白两种小正方形组成．现对由4个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，则恰好涂成两个黑色和两个白色的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画树状图，利用概率公式求解即可. 【详解】解：将涂成黑色的正方体记为，将涂成白色的正方体记为， 依据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有16种情况，其中恰好涂成两个黑色和两个白色的有6种情况， 恰好涂成两个黑色和两个白色的概率为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了树状图法和概率公式，解题的关键在于熟练掌握概率公式，概率所求情况总情况． 7. 如图，点是等边三角形内的一点，，将绕点按顺时针旋转得到，则下列结论不正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质逐一判断即可. 【详解】∵将△BCO绕点C按顺时针旋转得到△ACD， ∴BO=AD，故A正确， ∵OC与CD是对应边，C为旋转中心， ∴∠DOC等于旋转角，即∠DOC=60°，故B正确， ∵OC=CD，∠DOC=60°， ∴△OCD是等边三角形， ∴∠ODC=60°， ∵∠BOC与∠ADC是对应角， ∴∠ADC=150°， ∴∠ODA=150°-60°=90°，即OD⊥AD，故C正确， ∵∠ADC=150°， ∴∠DAC<30°， ∴∠BAD<90°， ∴∠ODA+∠BAD≠180°， ∴OD与AB不平行，故D错误， 故选D. 【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转前后的两个图形全等，对应边、对应角分别相等，对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋转角，准确找出对应边和对应角是解题关键. 8. 若关于x的方程x2＝﹣m有实数根，则m的取值范围是（　　） A. m＞0 B. m≥0 C. m＜0 D. m≤0 【答案】D 【解析】 【分析】由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的方程x2＝﹣m变形为：有实数根， ∴Δ=02-4×1×m=4-4m≥0， 解得：m≤0． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式，注意记住一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 9. 如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题目作图知，是的平分线，过点D作，则，进而求解． 【详解】解：过点D作于点H，则， 由题目作图知，是的平分线， 则， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，勾股定理，涉及到几何作图、等腰直角三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中． 10. 如图，双曲线 经过斜边的中点D，与边相交于点C，若的面积为6，则k的值为（　　） A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的综合运用，关键是知道反比例函数图象上的点和坐标轴构成的三角形面积的特点以及根据面积转化求出k的值． 过D点作x轴的垂线交x轴于E点，设出点D的坐标，根据中点可表示点B的坐标，进而表达点C的坐标，根据面积公式，建立方程，可求出k的值． 【详解】解：过D点作x轴的垂线交x轴于E点， 设D点的横坐标为x,纵坐标就为， 为的中点． ， ， ，， ， ． 故选：A． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 已知是方程的解，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，求代数式的值，由方程的解求出的值是解答本题的关键．把代入方程即可得到一个关于的方程，解方程求得的值，然后代入代数式求解即可． 【详解】解：把代入方程中，得， 解得：， 把代入中， 则原式 ． 故答案为：． 12. 化简分式：__________； 【答案】m 【解析】 【分析】根据同分母分式运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：m． 【点睛】本题主要考查了同分母分式加减运算，解题的关键是熟练掌握同分母分式运算法则，准确计算． 13. 如图，在平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为、，若将线段AB平移至，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据点的坐标的变化分析出AB的平移方式，再利用平移中点的变化规律算出a、b的值． 【详解】解：∵A（2，0），B（0，1），（3，b），（a，2）， ∴线段AB向上平移1个单位，向右平移1个单位得到线段； ∴a＝0＋1＝1，b＝0＋1＝1， ∴a＋b＝2， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查图形的平移．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 14. 若点在抛物线，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】∵点P(a，b)在抛物线， ∴， ∴ ， ∵， ∴的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 15. 如图所示，扇形的圆心角是直角，半径为，为边上一点，将沿边折叠，圆心恰好落在弧上的点处，则阴影部分的面积为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不规则图形的面积问题，掌握割补法求阴影部分的面积，是解题的关键．连接，则，由折叠得，则是等边三角形，可求得，则，根据勾股定理求出，即可由求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接，则， 由折叠得， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，点是菱形的对角线上一点，连接并延长，交于，交的延长线于点． （1）图中与哪个三角形全等：______． （2）猜想：线段、、之间存在什么关系：______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据菱形的四条边都相等，对角线平分对角可得，，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，即可求解； （2）根据全等三角形的对应边相等，对应角相等可得，，根据菱形的对边平行可得，根据两直线平行，内错角相等可得，推得，根据两角分别对应相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边之比相等即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形菱形， ∴，， 又∵， ∴． 故答案为：． （2）解：∵， ∴，， ∵四边形菱形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 故答案为：． 三．解答题（共7小题，满分72分） 17. （1）解不等式：； （2）化简求值：，其中． 【答案】（1），（2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，整式的化简求值． （1）根据不等式的性质进行移项、系数化为即可求解； （2）先根据多项式乘多项式、完全平方公式、整式的加减混合运算法则化简原式，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：， 移项得：， 两边同除以得：． （2）解：， ， ， ， 将代入，原式． 18. 实施乡村振兴战略，能够将发展机遇提供给农业生产，改善乡村面貌提高农民的生活质量，促进机械化发展以及农业现代化发展．为助力乡村产业振兴，某地利用网络销售农产品，一段时间后负责人随机抽取部分销售人员统计他们上一个月的销售额m(单位：万元)，绘制成如下统计图表(尚不完整)： 等级 销售额m（万元） 人数（频数） 各组平均值（万元） A 4 3.5 B 8 7.5 C a 12 D 2 17 其中B等级销售人员的销售额分别是(万元)：5，6，7，8，8，8，9，9． 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）填空：__________，B等级销售人员的销售额的众数是___________万元，所抽取销售人员的销售额的中位数是___________万元； （2）若想让一半左右销售人员都能达到销售目标，你认为月销售额目标定为多少合适？说明理由； （3）若该地共有80位网络销售人员销售农产品，请估计该地上个月农产品的网络销售总额． 【答案】（1）6，8，85 （2）月销售额目标定为8.5万元合适，理由见解析 （3）万元 【解析】 【分析】（1）用等级的人数除以所占百分比，求出总人数，再用总人数减去其它等级的人数，求出a的值，找到等级中出现次数最多的数据即为众数，将数据排序后，确定中位数； （2）利用中位数作出决策即可； （3）先求出抽取的销售人员的销售额的平均数，再用乘上平均数，进行计算即可． 【小问1详解】 解：（人）， ∴， 等级销售人员的销售额中的数据出现次数最多的是8， ∴众数为8万元； 共20个数据，中位数是第10个和第11个数据的平均数， 第10个和第11个数据均在等级，分别是， ∴中位数：（万元）； 故答案为：6，8，8.5； 【小问2详解】 月销售额目标定为8.5万元合适． 因为中位数为8.5万元，所以月销售额目标定为8.5万，有一半左右的销售人员能达到销售目标． 【小问3详解】 所抽取销售人员的销售额的平均数为（万元）， 估计该地上个月农产品的网络销售总额为（万元）． 【点睛】本题考查统计图表，以及利用样本估计总量．从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键． 19. 某校数学社团利用自制测角仪和皮尺测量河宽（把河两岸看作平行线）．如图，他们在河岸一侧的A处，观察到对岸点处有一棵树，测得，向前走到达处，测得，求河的宽度（精确到）（，，，）． 【答案】68m 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． 如图：过点作于点，设，在中解直角三角形可得，进而得到，然后在中解直角三角形即可解答． 【详解】解：如图：过点作于点， 设， 在中，， ， ， ∴， 在中，， ， 解得：， 经检验：是原方程的根． 答：河的宽度约为68m． 20. 为进一步加强“书香校园”建设，某学校拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高，用元购进的甲种书柜的数量比用元购进乙种书柜的数量少个． （1）每个甲种书柜的进价是多少元？ （2）若该校拟购进这两种规格的书柜共个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的倍．该校应如何进货使得购进书柜所需费用最少？ 【答案】（1）每个甲种书柜的进价为元 （2）购进甲书柜个，购进乙书柜个，费用最少 【解析】 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式，一次函数的知识，解题的关键是掌握分式方程，一元一次不等式的运用，一次函数的运用，即可． （1）设每个乙种书柜的进价为元，每个甲种书柜的进价为元，根据题意，列出分式方程，即可； （2）设甲书柜的数量为个，则乙书柜的数量为个，求出的范围，设使得购进书柜所需费用为，根据题意，求出函数关系，根据函数的性质，即可． 【小问1详解】 设每个乙种书柜的进价为元，每个甲种书柜的进价为元， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解， ∴， 答：每个甲种书柜的进价为元． 【小问2详解】 设甲书柜的数量为个， ∴乙书柜的数量为个， ∵乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的倍， ∴， 解得：， ∴， 设使得购进书柜所需费用为， ∴， 整理得：， 当时，有最小值，， 答：购进甲书柜个，购进乙书柜个，费用最少． 21. 如图，在，，点D在边上，以为直径的与直线相切于点E，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，切线长定理，等腰三角形的性质和勾股定理． （1）先证明为的切线，则根据切线长定理得到平分，则，再利用得到，然后根据三角形内角和定理可得到的度数； （2）设的半径为r，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，然后在中利用勾股定理得到，于是解方程可得到的半径． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴为的切线， ∵为的切线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 即， ∴； 【小问2详解】 如图， 设的半径为r， 由（1）知， 在中，∵， ∴ 在中，， 解得， 即的半径为． 22. 操作：如图①在正方形中，点E是的中点，将沿折叠后得到，点F在正方形内部，延长交于点G，易知． 探究：若将图①中的正方形改成矩形，其他条件不变，如图②，那么线段与相等吗？请说明理由． 拓展：如图③，将图①中的正方形改为平行四边形，其他条件不变，若，，则的周长为______． 【答案】探究：，理由见解析；拓展：10 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，平行四边形的性质等： 探究：连接，由折叠前后对应边相等、对应角相等，可得，，等量代换可得，，由等边对等角可得，进而可得，可证； 拓展：连接，仿照探究中的方法，证明，再利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：探究：，理由如下： 如图②，连接， 四边形是矩形， ， 点E是的中点， ， 将沿折叠后得到， ，， ，， ， ， ， ， ， ； 拓展：的周长为10． 如图③，连接， 四边形是平行四边形， ，， ， 点E是的中点， ， 将沿折叠后得到， ，，， 又， ， ． ，， ， ， ， ， ， 的周长 ． 23. 抛物线交轴于、两点，交轴于点，点为线段下方抛物线上一动点，连接，． （1）求抛物线解析式； （2）在点移动过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积及点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）设点为上不与端点重合的一动点，过点作线段的垂线，交抛物线于点，若与相似，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）存在，最大面积为，点的坐标为 （3）点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）过点作轴，交于，先求出抛物线与轴的交点的坐标是,待定系数法求出直线的解析式，设点的横坐标为，得出点的坐标为，点的坐标为，根据三角形的面积公式和二次函数的最值即可求解； （3）当时，，过点作，交于点，过点作，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出的值，根据锐角三角函数求的，，，得出点的坐标，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等得出，根据中点坐标的特征求出点的坐标，待定系数法求出直线的解析式，联立方程解求出直线与抛物线的交点坐标；当时，，过点作，根据抛物线的对称性求出点的坐标为；当时，，作轴于点N，作于点，作交延长线于点，设，则，根据相似三角形判定与性质表示出，代入抛物线表达式求出即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线交轴于、两点， 故将、代入，得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：． 【小问2详解】 解：存在， 理由如下：过点作轴，交于，如图： 当时，，即抛物线与轴的交点的坐标是, 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点的横坐标为， 则点的坐标为，点的坐标为， 故， ∴的面积为， ∴当时，的面积存在最大值，最大值为， 此时点的坐标为． 【小问3详解】 解：点的坐标为或或． 理由如下：如图，当时，此时，过点作，交于点，过点作； ∵，， ∴，， 故，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设点的坐标为， 则，， ∴，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 将与联立方程可得：， 解得：（舍），， ∴点的坐标为； 如图，过点作，则，此时， ∵抛物线交轴于、两点， ∴抛物线的对称轴为， ∵， 故点与点关于抛物线的对称轴对称， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为； 如图，作的垂线，交抛物线于点，且满足，此时， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 作轴于点N，作于点，作交延长线于点， 则， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 将代入抛物线表达式可得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴点的坐标为； 综上可得，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，求抛物线与坐标轴的交点坐标，求二次函数的最值，待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，求一次函数与二次函数图象的交点坐标等，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$