第19讲 计算特训（4）——功和能（学考第23题）-2025年1月浙江省物理学业水平考试冲A计划

第19讲 功和能 1．（2024•浙江学业考试）在12月，小王前往了滑雪场滑雪。已知小王和滑雪板的质量为80kg，已知AB和BC滑面存在摩擦力fa和fb，已知AB距离长10m，BC长15m，BC和地面呈30°角。小王滑到B处的速度为6m/s，（已知μAB＝0.3，μBC＝0.15，sin30°＝0.5）请完成以下问题： （1）求小王在A点的初始速度； （2）请判断小王是否可以停在BC段上，若不能，请求出滑到C点的速度。 2．（2023•浙江学业考试）如图所示，运动员以v0＝3m/s的速度将冰壶沿水平冰面投出，冰壶在冰面上沿直线滑行x1＝20m后，其队友开始在冰壶滑行前方摩擦冰面，使冰壶和冰面的动摩擦因数变为原来的90%，以延长冰壶的滑行距离。已知运动员不摩擦冰面时，冰壶和冰面间的动摩擦因数μ＝0.02。求此冰壶 （1）滑行20m过程中的加速度大小a1； （2）滑至20m处的速度大小v1； （3）投出后在冰面上滑行的距离x。 3．（2022•浙江学业考试）如图所示一弹射游戏装置，在高度为h＝0.8m的水平桌面上，滑块由压缩轻弹簧弹出，经过半径R＝0.4m的竖直圆轨道后（不脱离轨道）再水平抛出击中水平地面上的目标。圆轨道和AB段光滑，滑块与长为0.8m的BD间动摩擦因数μ＝0.5。初始弹簧压缩一合适形变量，释放后滑块通过圆轨道并击中目标，滑块经过圆心等高处C点对圆轨道的压力为重力的4倍。滑块质量m＝10g且可视为质点，弹射时弹簧的弹性势能完全转化为滑块动能，忽略空气阻力，各部分平滑连接。求： （1）滑块通过B点对圆轨道的压力FN； （2）目标距离桌面边缘的距离d； （3）若在BD中点P放置一完全相同的滑块，两滑块碰撞后连为一整体，要使再次成功击中目标，弹簧的压缩量要变为初始压缩量的几倍。已知弹簧的弹性势能EP∝x2，x为弹簧的形变量。 4．如图甲为一个儿童电动小汽车的轨道传送接收装置，L＝1m的水平直轨道AB与半径均为0.4m的竖直光滑螺旋圆轨道（O、O'为圆心，C为最高点）相切于B，B'为第2个圆与水平轨道的切点，O'D与O'B'的夹角为60°，接收装置为高度可调节的平台，EF为平台上一条直线，O'EF在同一竖直平面内，装置切面图可抽象为图乙模型。质量为0.6kg的电动小汽车以额定功率P＝6W从起点A启动沿轨道运动一段时间（到达B点之前电动机已停止工作），刚好能通过C点，之后沿圆弧从B'运动至D点后抛出，沿水平方向落到平台E点，小汽车与水平直轨道AB的动摩擦因数为μ＝0.2，其余轨道均光滑，g＝10m/s2（空气阻力不计，小汽车运动过程中可视为质点）。 （1）求电动机工作时间t； （2）要保证小汽车沿水平方向到达平台E点，求平台调节高度H和EB'的水平位移X； （3）若抛出点D的位置可沿圆轨道调节，设O'D与O'B′的夹角为θ，要保证小汽车沿水平方向到达平台E点，写出平台的竖直高度H、平台落点到抛出点的水平位移x、角度θ的关系方程。 5．（2023•温州模拟）2022年10月，某学校举办校运动会，在铅球比赛场地上放置了一个铅球回收架，以便于回收选手投出的铅球。图1所示是铅球回收架的最后一段轨道，可简化为如图2所示的ABCDE轨道，其中AB、BC、CD轨道均为直轨道且平滑连接，长度分别为LAB＝1.0m、LBC＝1.6m、LCD＝0.6m，与水平方向的夹角分别为θ1＝37°、θ2＝15°、θ3＝37°。一质量m＝4kg的铅球，从A点以某一速度冲上AB轨道，运动到B点时速度恰好为0，然后经过BC轨道冲上CD轨道。若铅球在AB、CD轨道运动时所受的轨道阻力恒为Ff1＝8N，在BC轨道运动时所受的轨道阻力恒为Ff2＝9.6N，不计其它阻力，铅球大小可忽略。（取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，sin15°＝0.26，cos15°＝0.96），求铅球 （1）冲上AB轨道时的初速度大小vA； （2）运动到轨道C点时的速度大小vc； （3）从轨道A点到在CD轨道上速度第一次减为零时所用的总时间t总。 6．（2023秋•北仑区校级期中）2022年2月16日，我国运动员齐广璞在北京冬奥会男子自由滑雪空中技巧赛上获得冠军，图甲为比赛大跳台的场景。现将部分赛道简化，如图乙所示，若运动员从雪道上的A点由静止滑下后沿切线从B点进入半径R＝15m的竖直冰面圆弧轨道BDC，从轨道上的C点飞出。AB之间的竖直高度h＝27m，OB与OC互相垂直，∠BOD＝37°。运动员和装备的总质量m＝60kg且视为质点，摩擦和空气阻力不计。取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求： （1）在轨道最低点D时，运动员对轨道的压力大小； （2）运动员滑至C点的速度大小； （3）运动员滑离C点后在空中飞行过程中距D点的最大高度。 7．（2022春•宁波期中）某滑雪场的滑道可抽象为如图的模型，倾角为53°的倾斜直滑道AB、水平直滑道CD与光滑竖直圆弧滑道BC相切，斜面DE的倾角为37°。O1为圆弧滑道BC的圆心，圆弧半径R＝10m，C点为圆弧滑道的最低点，半径O1B与O1C的夹角为53°。滑雪板与CD段直滑道间的动摩擦因数为μ＝0.2。一运动员从最高处A点由静止沿斜面AB滑下，经圆弧滑道BC滑到最低点C的速度为m/s，然后经直滑道CD冲出。已知运动员和滑雪板的总质量m＝60kg，A、B两点的高度差h1＝12m，D、E两点的高度差h2＝2m，直滑道CD长度L＝71m。（g＝10m/s2，sin53°＝08，cos53°＝06）求： （1）运动员和滑雪板从A运动到C的过程中重力势能的变化量； （2）运动员滑到C点时对圆弧滑道的压力； （3）运动员从D点滑出后，着落点距离D点的水平距离。 8．如图所示，一轨道由半径为2m的竖直圆弧轨道AB和长度可调的水平直轨道BC在B点平滑连接而成。现有一质量为0.2kg的小球从A点无初速释放，经过圆弧上B点时，传感器测得轨道所受压力大小为3.6N，小球经过BC段所受的阻力为其重力的0.2倍，然后从C点水平飞离轨道，落到水平地面上的P点，P、C两点间的高度差为3.2m。小球运动过程中可视为质点且不计空气阻力。 （1）求小球运动至B点时的速度大小； （2）求小球在圆弧轨道上克服摩擦力所做的功； （3）为使小球落点P与B点的水平距离最大，求BC段的长度。 9．如图所示，固定在竖直平面内的轨道由高为H＝0.8m的平台，斜面BC，半径R＝0.8m的竖直圆轨道DFE（轨道在DE处稍微错开）及水平轨道PQM组成，一弹簧一端固定在M点。一质量为m＝0.2kg的滑块（可视为质点）从平台末端A以速度v0＝2m/s水平飞出，恰好无碰撞的从B点沿斜面向下滑行，B离地高度为h1＝0.35m，已知滑块与PQ段间的动摩擦因数为0.5，PQ的长度为1.2m，空气阻力及其余轨道的摩擦不计，g取10m/s2，求： （1）B与A间的水平距离； （2）滑块经圆轨道最高点F时轨道对滑块的压力； （3）滑块最终静止的位置距P端的距离。 10．第24届冬奥会于2022年2月4日在中国北京成功举行，如图为一简化后的跳台滑雪的雪道示意图。助滑坡由AB和BC组成，AB为斜坡，BC为R＝10m的圆弧面，二者相切于B点，与水平面相切干C点，AC间的竖直高度差为h1＝50m，CD为竖直跳台。运动员连同滑雪装备总质量为m＝80kg，若运动员某次训练从A点由静止滑下，通过C点时雪道对运动员的支持力为F＝8000N，从C点水平飞出后落到着陆坡DE的E点上，CE间水平方向的距离x＝150m。不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2，求： （1）运动员到达C点速度vc的大小； （2）CE间竖直高度差h2； （3）运动员从A点滑到C点的过程中摩擦力做的功Wf。 11． 2022年北京冬季奥运会已经圆满落幕，中国体育代表团表现出色，取得了参加冬奥会的历史最好成绩。跳台滑雪难度很高，是奥运会中最具观赏性的项目之一。某同学观看了跳台滑雪，设想了如下情景。如图所示，质量m＝60kg的运动员由A点静止出发，通过高hAB＝26m的弯曲滑道AB进入半径R＝20m、圆心角为740的圆形滑道BCD（两轨道在B处平滑相切，B与D等高），并从D点飞出后落至倾角θ＝37°的斜面雪道上P点后（图中P点未画出），由于斜面雪道的作用，仅保留沿斜面雪道方向的速度，垂直斜面雪道方向的速度立即减为0。随后由斜面雪道底部M进入长xMN＝10m的减速水平轨道MN。整个运动过程中运动员可视为质点，轨道连接处均平滑相切，不考虑空气阻力。 （1）若运动员到达圆形滑道BCD最低点C时速度vc＝20m/s，求运动员在C点对轨道的压力； （2）求在（1）问情况下运动员在滑道ABC上运动过程中阻力做的功； （3）若运动员在D点沿着切线飞出后，到达最高点时速度v0＝10m/s，最高点离斜面雪道E点竖直高度为h0＝5m，且E点与M点距离lEM＝35m、运动员与斜面雪道上的动摩擦因数为μ＝0.25，运动员进入水平轨道后通过调节滑雪板姿态以改变阻力，要保证安全停在水平轨道MN上，求水平轨道对运动员的平均阻力的最小值。 12．如图所示为某一游戏简化装置的示意图。AB是一段长直轨道，与半径R＝1m的光滑圆弧轨道BC相切与B点。BC轨道末端水平，末端离地面的高度为m，圆弧BC对应的圆心角θ＝37°。高度hm的探测板EF竖直放置，离BC轨道末端C点的水平距离为L，上端E与C点的高度差也为hm，质量m＝0.1kg的小滑块（可视为质点）在AB轨道上运动时所受阻力恒为重力的0.2倍，不计小球在运动过程中所受空气阻力，sin37°＝0.6。 （1）若将小滑块从B点静止释放，求经过圆弧轨道最低C点时小球对轨道的作用力大小； （2）小滑块从C点以不同的速度飞出，将打在探测板上不同位置，发现打在E、F两点时，小滑块的动能相等，求L的大小； （3）利用（2）问所求L值，求小滑块从距B点多远处无初速释放时，打到探测板上的动能最小？最小动能为多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19讲 功和能 1．（2024•浙江学业考试）在12月，小王前往了滑雪场滑雪。已知小王和滑雪板的质量为80kg，已知AB和BC滑面存在摩擦力fa和fb，已知AB距离长10m，BC长15m，BC和地面呈30°角。小王滑到B处的速度为6m/s，（已知μAB＝0.3，μBC＝0.15，sin30°＝0.5）请完成以下问题： （1）求小王在A点的初始速度； （2）请判断小王是否可以停在BC段上，若不能，请求出滑到C点的速度。 【解答】解：（1）由A到B由动能定理 解得 （2）假设能滑到C点，则从B到C由动能定理 解得 假设成立，即小王不可以停在BC段上，滑到C点的速度12.1m/s。 答：（1）小王在A点的初始速度； （2）小王不能停在BC段上，滑到C点的速度12.1m/s。 2．（2023•浙江学业考试）如图所示，运动员以v0＝3m/s的速度将冰壶沿水平冰面投出，冰壶在冰面上沿直线滑行x1＝20m后，其队友开始在冰壶滑行前方摩擦冰面，使冰壶和冰面的动摩擦因数变为原来的90%，以延长冰壶的滑行距离。已知运动员不摩擦冰面时，冰壶和冰面间的动摩擦因数μ＝0.02。求此冰壶 （1）滑行20m过程中的加速度大小a1； （2）滑至20m处的速度大小v1； （3）投出后在冰面上滑行的距离x。 【解答】解：（1）冰壶自由滑行过程受力分析：F合＝Ff1 冰壶所受摩擦力：Ff1＝μmg 由牛顿第二定律得：F合＝ma1 代入数据解得： （2）自由滑行时冰壶做匀减速运动，可得： 代入数据解得：v1＝1m/s （3）摩擦冰面后冰壶所受摩擦力：Ff2＝0.9μmg 由牛顿第二定律得：Ff2＝ma2 代入数据得： 冰壶还能滑行的距离 投出后在冰面上滑行的距离：x＝x1+x2 联立可得：x＝22.78m 答：（1）滑行20m过程中的加速度大小为0.2m/s2； （2）滑至20m处的速度大小为1m/s； （3）投出后在冰面上滑行的距离为22.78m。 3．（2022•浙江学业考试）如图所示一弹射游戏装置，在高度为h＝0.8m的水平桌面上，滑块由压缩轻弹簧弹出，经过半径R＝0.4m的竖直圆轨道后（不脱离轨道）再水平抛出击中水平地面上的目标。圆轨道和AB段光滑，滑块与长为0.8m的BD间动摩擦因数μ＝0.5。初始弹簧压缩一合适形变量，释放后滑块通过圆轨道并击中目标，滑块经过圆心等高处C点对圆轨道的压力为重力的4倍。滑块质量m＝10g且可视为质点，弹射时弹簧的弹性势能完全转化为滑块动能，忽略空气阻力，各部分平滑连接。求： （1）滑块通过B点对圆轨道的压力FN； （2）目标距离桌面边缘的距离d； （3）若在BD中点P放置一完全相同的滑块，两滑块碰撞后连为一整体，要使再次成功击中目标，弹簧的压缩量要变为初始压缩量的几倍。已知弹簧的弹性势能EP∝x2，x为弹簧的形变量。 【解答】解：（1）设滑块通过B、C两点的速度大小分别为vB和vC，滑块通过C点时所受轨道支持力为FNC，由题意，在C点根据牛顿第二、第三定律得： 在B点根据牛顿第二定律得： 对滑块从B到C的过程中，根据动能定理得： 联立解得：FN＝0.7N 根据牛顿当第三定律可知滑块通过B点时对圆轨道的压力大小为： FN′＝FN＝0.7N，方向竖直向下 （2）设滑块从D点抛出时的速度大小为vD，对滑块从B到D的过程中，根据动能定理有 滑块做平抛运动的时间为： 目标距离桌面边缘的距离为：d＝vDt 联立解得：d＝1.6m （3）设两滑块碰撞后瞬间的速度大小为vP，由题意可知两滑块整体在D点的速度大小仍为vD，则对整体从P到D的过程，根据动能定理有 设两滑块碰撞前的速度大小为vP0，对两滑块碰撞的过程，根据动量守恒定律有 mvP0＝2mvP 对滑块从B到P点的过程，根据动能定理得： 由题意可知（3）题情况下，弹簧的压缩量与初始压缩量的比值为： 联立解得： 答：（1）滑块通过B点对圆轨道的压力为0.7N； （2）目标距离桌面边缘的距离d为1.6m； （3）弹簧的压缩量要变为初始压缩量的倍。 4．如图甲为一个儿童电动小汽车的轨道传送接收装置，L＝1m的水平直轨道AB与半径均为0.4m的竖直光滑螺旋圆轨道（O、O'为圆心，C为最高点）相切于B，B'为第2个圆与水平轨道的切点，O'D与O'B'的夹角为60°，接收装置为高度可调节的平台，EF为平台上一条直线，O'EF在同一竖直平面内，装置切面图可抽象为图乙模型。质量为0.6kg的电动小汽车以额定功率P＝6W从起点A启动沿轨道运动一段时间（到达B点之前电动机已停止工作），刚好能通过C点，之后沿圆弧从B'运动至D点后抛出，沿水平方向落到平台E点，小汽车与水平直轨道AB的动摩擦因数为μ＝0.2，其余轨道均光滑，g＝10m/s2（空气阻力不计，小汽车运动过程中可视为质点）。 （1）求电动机工作时间t； （2）要保证小汽车沿水平方向到达平台E点，求平台调节高度H和EB'的水平位移X； （3）若抛出点D的位置可沿圆轨道调节，设O'D与O'B′的夹角为θ，要保证小汽车沿水平方向到达平台E点，写出平台的竖直高度H、平台落点到抛出点的水平位移x、角度θ的关系方程。 【解答】解：（1）小汽车刚好过最高的C点，轨道对小汽车刚好无作用力，则mg， 从A到C根据动能定理有：Pt﹣μmgL﹣2mgR， 解得t＝1.2s； （2）对从C到D，应用机械能守恒定律得mg（R+Rsin30°）， 代入数据解得vD＝4m/s， 在D点将速度分解到水平和竖直方向上，则有vDx＝vD•sin30°＝2m/s， ， 将DE看作逆向平抛运动， 则vDy＝gt′， 解得t′， 则D到E的高度为， 所以平台调节高度H＝h+R（1﹣cos60°）＝0.8m， 水平方向运动的位移为， 所以EB'的水平位移X＝x1+Rsin60°＝0.6m≈1.04m； （3）将DE的斜上抛运动看作是逆向的平抛运动，根据平抛运动的规律可得： tanθ＝2 竖直方向根据几何关系可得：H＝h+R（1﹣cosθ） 解得：x。 答：（1）电动机工作时间为1.2s； （2）要保证小汽车沿水平方向到达平台E点，平台调节高度为0.8m，EB'的水平位移为1.04m； （3）平台的竖直高度H、平台落点到抛出点的水平位移x、角度θ的关系方程为x。 5．（2023•温州模拟）2022年10月，某学校举办校运动会，在铅球比赛场地上放置了一个铅球回收架，以便于回收选手投出的铅球。图1所示是铅球回收架的最后一段轨道，可简化为如图2所示的ABCDE轨道，其中AB、BC、CD轨道均为直轨道且平滑连接，长度分别为LAB＝1.0m、LBC＝1.6m、LCD＝0.6m，与水平方向的夹角分别为θ1＝37°、θ2＝15°、θ3＝37°。一质量m＝4kg的铅球，从A点以某一速度冲上AB轨道，运动到B点时速度恰好为0，然后经过BC轨道冲上CD轨道。若铅球在AB、CD轨道运动时所受的轨道阻力恒为Ff1＝8N，在BC轨道运动时所受的轨道阻力恒为Ff2＝9.6N，不计其它阻力，铅球大小可忽略。（取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，sin15°＝0.26，cos15°＝0.96），求铅球 （1）冲上AB轨道时的初速度大小vA； （2）运动到轨道C点时的速度大小vc； （3）从轨道A点到在CD轨道上速度第一次减为零时所用的总时间t总。 【解答】解：（1）铅球在AB段的加速度大小为 由运动学公式 联立解得vA＝4m/s （2）铅球在BC段的加速度大小为 由运动学公式 联立解得vC＝0.8m/s （3）铅球在CD段的加速度大小为 铅球在CD轨道上速度第一次减为零时所用的时间为 铅球在BC轨道上的时间为 铅球在AB轨道上的时间为 联立解得t1＝0.1s，t2＝4s，t3＝0.5s 从轨道A点到在CD轨道上速度第一次减为零时所用的总时间t总＝t1+t2+t3 解得t总＝4.6s 答：（1）冲上AB轨道时的初速度大小4m/s； （2）运动到轨道C点时的速度大小0.2m/s； （3）从轨道A点到在CD轨道上速度第一次减为零时所用的总时间4.6s。 6．（2023秋•北仑区校级期中）2022年2月16日，我国运动员齐广璞在北京冬奥会男子自由滑雪空中技巧赛上获得冠军，图甲为比赛大跳台的场景。现将部分赛道简化，如图乙所示，若运动员从雪道上的A点由静止滑下后沿切线从B点进入半径R＝15m的竖直冰面圆弧轨道BDC，从轨道上的C点飞出。AB之间的竖直高度h＝27m，OB与OC互相垂直，∠BOD＝37°。运动员和装备的总质量m＝60kg且视为质点，摩擦和空气阻力不计。取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求： （1）在轨道最低点D时，运动员对轨道的压力大小； （2）运动员滑至C点的速度大小； （3）运动员滑离C点后在空中飞行过程中距D点的最大高度。 【解答】解：（1）BD间的高度差： h1＝R﹣Rcos37° 从A到D由动能定理： 在D点，根据牛顿第二定律有： 由牛顿第三定律知，运动员对轨道的压力大小 F'＝F 代入数据联立解得：F'＝3000N； （2）CD间的高度差： h2＝R﹣Rsin37° 从D到C由动能定理 代入数据联立解得： （3）C点速度在竖直方向的分速度 vy＝vCcos37° 运动员飞离C点后在竖直方向上升的高度 运动员滑离C点后在空中飞行时距D点的最大高度： h＝h2+h3 代入数据联立解得：h＝21.36m。 答：（1）在轨道最低点D时，运动员对轨道的压力大小为3000N； （2）运动员滑至C点的速度大小为4m/s； （3）运动员滑离C点后在空中飞行过程中距D点的最大高度为21.36m。 7．（2022春•宁波期中）某滑雪场的滑道可抽象为如图的模型，倾角为53°的倾斜直滑道AB、水平直滑道CD与光滑竖直圆弧滑道BC相切，斜面DE的倾角为37°。O1为圆弧滑道BC的圆心，圆弧半径R＝10m，C点为圆弧滑道的最低点，半径O1B与O1C的夹角为53°。滑雪板与CD段直滑道间的动摩擦因数为μ＝0.2。一运动员从最高处A点由静止沿斜面AB滑下，经圆弧滑道BC滑到最低点C的速度为m/s，然后经直滑道CD冲出。已知运动员和滑雪板的总质量m＝60kg，A、B两点的高度差h1＝12m，D、E两点的高度差h2＝2m，直滑道CD长度L＝71m。（g＝10m/s2，sin53°＝08，cos53°＝06）求： （1）运动员和滑雪板从A运动到C的过程中重力势能的变化量； （2）运动员滑到C点时对圆弧滑道的压力； （3）运动员从D点滑出后，着落点距离D点的水平距离。 【解答】解：（1）A到C重力做功WAC＝mg（h1+R﹣Rcos53°）＝60×10×（12+10﹣10×0.6）J＝9600J 由ΔEP＝﹣W可得ΔEp＝﹣W＝﹣9600J 即重力势能的减少量为9600J。 （2）在C点有FN﹣mg＝m 解得 FN＝mg+m600N+60N＝2400N 由牛顿第三定律得，运动员滑到C点时对圆弧滑道的压力为FN′＝FN＝2400N 方向竖直向下。 （3）从C点到D点 代入数据解得vD＝4m/s 假设落到斜面上，则 代入数据解得 t＝0.6s 由于 hgt210×0.62m＝1.8m＜2m 假设成立，所以着落点距离D点的水平距离x＝vDt＝4×0.6m＝2.4m 答：（1）运动员和滑雪板从A运动到C的过程中重力势能的变化量为9600J； （2）运动员滑到C点时对圆弧滑道的压力为2400N； （3）着落点距离D点的水平距离为2.4m。 8．如图所示，一轨道由半径为2m的竖直圆弧轨道AB和长度可调的水平直轨道BC在B点平滑连接而成。现有一质量为0.2kg的小球从A点无初速释放，经过圆弧上B点时，传感器测得轨道所受压力大小为3.6N，小球经过BC段所受的阻力为其重力的0.2倍，然后从C点水平飞离轨道，落到水平地面上的P点，P、C两点间的高度差为3.2m。小球运动过程中可视为质点且不计空气阻力。 （1）求小球运动至B点时的速度大小； （2）求小球在圆弧轨道上克服摩擦力所做的功； （3）为使小球落点P与B点的水平距离最大，求BC段的长度。 【解答】解：（1）在B点，由牛顿运动定律，解得vB＝4m/s； （2）小球从A到B的过程，有重力和摩擦力做功，设克服摩擦力做功为Wf，由动能定理，解得Wf＝2.4J； （3）设到C点时的速度为vc。 B至C的过程，由动能定理得，离开C后做平抛运动，运动时间为，所以，B至P的水平距离为， 由二次函数的单调性可得，当vc＝1.6m/s时，B至P的水平距离最大，联立解得LBC＝3.36m； 答：（1）小球运动至B点时的速度大小为4m/s； （2）小球在圆弧轨道上克服摩擦力所做的功为2.4J； （3）小球落点P与B点的水平距离最大时BC段的长度为3.36m。 9．如图所示，固定在竖直平面内的轨道由高为H＝0.8m的平台，斜面BC，半径R＝0.8m的竖直圆轨道DFE（轨道在DE处稍微错开）及水平轨道PQM组成，一弹簧一端固定在M点。一质量为m＝0.2kg的滑块（可视为质点）从平台末端A以速度v0＝2m/s水平飞出，恰好无碰撞的从B点沿斜面向下滑行，B离地高度为h1＝0.35m，已知滑块与PQ段间的动摩擦因数为0.5，PQ的长度为1.2m，空气阻力及其余轨道的摩擦不计，g取10m/s2，求： （1）B与A间的水平距离； （2）滑块经圆轨道最高点F时轨道对滑块的压力； （3）滑块最终静止的位置距P端的距离。 【解答】解：（1）从抛出到落至斜面的时间为： ts＝0.3s 故B与A间的水平距离为： xAB＝v0t＝20.3m＝0.6m （2）滑块从抛出到斜面底端C过程，由动能定理得： mgH 代入数据解得：vC＝2m/s 由C到F过程中，由动能定理有得： 2mgR 在F时，根据牛顿第二定律得： FN+mg 代入数据联立解得 FN＝0N 根据牛顿第三定律可知，滑块经圆轨道最高点F时轨道对滑块的压力等于轨道对滑块的支持力，则压力为0N； （3）由题意知滑块最终只能静止在PQ上，设滑块在PQ上滑动的总路程为s，由能量守恒定律得： mgH＝μmgs 代入数据解得：s＝4m 滑块最终静止的位置距P端的距离为 x＝4PQ﹣s＝4×1.2m﹣4m＝0.8m 答：（1）B与A间的水平距离为0.6m； （2）滑块经圆轨道最高点F时轨道对滑块的压力为0N； （3）滑块最终静止的位置距P端的距离为0.8m。 10．第24届冬奥会于2022年2月4日在中国北京成功举行，如图为一简化后的跳台滑雪的雪道示意图。助滑坡由AB和BC组成，AB为斜坡，BC为R＝10m的圆弧面，二者相切于B点，与水平面相切干C点，AC间的竖直高度差为h1＝50m，CD为竖直跳台。运动员连同滑雪装备总质量为m＝80kg，若运动员某次训练从A点由静止滑下，通过C点时雪道对运动员的支持力为F＝8000N，从C点水平飞出后落到着陆坡DE的E点上，CE间水平方向的距离x＝150m。不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2，求： （1）运动员到达C点速度vc的大小； （2）CE间竖直高度差h2； （3）运动员从A点滑到C点的过程中摩擦力做的功Wf。 【解答】解：（1）运动员到达C点，由牛顿第二定律得F﹣mg 解得：vC＝30m/s （2）CE过程运动员做平抛运动，水平方向x＝vCt 竖直方向h2 解得h2＝125m （3）AC过程，由动能定理得mgh1+Wf 解得：Wf＝﹣4000J 答：（1）运动员到达C点速度vc的大小为30m/s； （2）CE间竖直高度差h2为125m； （3）运动员从A点滑到C点的过程中摩擦力做的功Wf为﹣4000J。 11． 2022年北京冬季奥运会已经圆满落幕，中国体育代表团表现出色，取得了参加冬奥会的历史最好成绩。跳台滑雪难度很高，是奥运会中最具观赏性的项目之一。某同学观看了跳台滑雪，设想了如下情景。如图所示，质量m＝60kg的运动员由A点静止出发，通过高hAB＝26m的弯曲滑道AB进入半径R＝20m、圆心角为740的圆形滑道BCD（两轨道在B处平滑相切，B与D等高），并从D点飞出后落至倾角θ＝37°的斜面雪道上P点后（图中P点未画出），由于斜面雪道的作用，仅保留沿斜面雪道方向的速度，垂直斜面雪道方向的速度立即减为0。随后由斜面雪道底部M进入长xMN＝10m的减速水平轨道MN。整个运动过程中运动员可视为质点，轨道连接处均平滑相切，不考虑空气阻力。 （1）若运动员到达圆形滑道BCD最低点C时速度vc＝20m/s，求运动员在C点对轨道的压力； （2）求在（1）问情况下运动员在滑道ABC上运动过程中阻力做的功； （3）若运动员在D点沿着切线飞出后，到达最高点时速度v0＝10m/s，最高点离斜面雪道E点竖直高度为h0＝5m，且E点与M点距离lEM＝35m、运动员与斜面雪道上的动摩擦因数为μ＝0.25，运动员进入水平轨道后通过调节滑雪板姿态以改变阻力，要保证安全停在水平轨道MN上，求水平轨道对运动员的平均阻力的最小值。 【解答】解：（1）在C点，根据牛顿第二定律有 FN﹣mg＝m 解得：FN＝1800N 由牛顿第三定律得 F压＝FN＝1800N 方向竖直向下； （2）从A到C过程之中，根据动能定理 mg[hAB+R （1﹣cos37°）]+Wf 解得：Wf＝﹣6×103J； （3）从最高点落到斜面过程中做平抛运动 x＝v0t y 解得：t＝2s 则lEP25m lPM＝lEM﹣lEP＝35m﹣25m＝10m 落到P点后的速度 vP＝v0cosθ+gt•sinθ 从P到A过程中，根据动能定理 mglPM•sinθ﹣μmgcosθ•lPM﹣fm•xMN＝0 联立解得：fm＝1.44×103N。 答：（1）运动员在C点对轨道的压力为1800N； （2）在（1）问情况下运动员在滑道ABC上运动过程中阻力做的功为﹣6×103J； （3）要保证安全停在水平轨道MN上，水平轨道对运动员的平均阻力的最小值为1.44×103N。 12．如图所示为某一游戏简化装置的示意图。AB是一段长直轨道，与半径R＝1m的光滑圆弧轨道BC相切与B点。BC轨道末端水平，末端离地面的高度为m，圆弧BC对应的圆心角θ＝37°。高度hm的探测板EF竖直放置，离BC轨道末端C点的水平距离为L，上端E与C点的高度差也为hm，质量m＝0.1kg的小滑块（可视为质点）在AB轨道上运动时所受阻力恒为重力的0.2倍，不计小球在运动过程中所受空气阻力，sin37°＝0.6。 （1）若将小滑块从B点静止释放，求经过圆弧轨道最低C点时小球对轨道的作用力大小； （2）小滑块从C点以不同的速度飞出，将打在探测板上不同位置，发现打在E、F两点时，小滑块的动能相等，求L的大小； （3）利用（2）问所求L值，求小滑块从距B点多远处无初速释放时，打到探测板上的动能最小？最小动能为多少？ 【解答】解：（1）从B运动到C，由动能定理得 在C点，根据牛顿第二定律可得： 联立解得：F＝1.4N 根据牛顿第三定律，经过圆弧轨道最低C点时小球对轨道的作用力大小F'＝F＝1.4N （2）从C到E，做平抛运动，在竖直方向， 在水平方向：L＝vc1t 联立解得： 打在E点的动能 同理可知：打在F点的动能为 又因为EkE＝EkF 联立解得：L＝2m （3）令距B点x处开始释放 从A运动到C，由动能定理得： 又f＝0.2mg 从C点到探测板做平抛运动，竖直方向位移： 打到探测板上的动能： 联立解得： 则当 时，Ek有最小值。 即x＝2m时，动能最小值为：Ekm＝2J 答：（1）若将小滑块从B点静止释放，求经过圆弧轨道最低C点时小球对轨道的作用力大小为1.4N； （2）小滑块从C点以不同的速度飞出，将打在探测板上不同位置，发现打在E、F两点时，小滑块的动能相等，L的大小为2m； （3）利用（2）问所求L值，小滑块从距B点2m远处无初速释放时，打到探测板上的动能最小，最小动能为2J。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 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