拓展1-3集合高频题型专攻-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第一册）

拓展1-3集合高频题型专攻 一、集合的基本概念 六、子集、真子集的个数问题 二、根据元素的个数求参数 七、韦恩图的应用 三、集合的基本关系 八、根据集合的交并补求参数 四、集合的交并补运算 九、集合与新定义 五、利用子集关系求参数 一、集合的基本概念 1．（多选）下列四个命题中正确的是（    ） A．方程的解集为 B．由所确定的实数集合为 C．集合可以化简为 D．中含有三个元素 2．若，则构成集合中的应满足的条件是 ． 3．有两组集合（1），；（2），其中集合相等的是第 组． 4．已知，集合．则集合中所有元素之和为 ． 5．用符号“”或“”填空． （1）0 ；    （2）0 ； （3） ；    （4） ． 6．用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)不等式的解集； (2)二元二次方程组的解集； (3)由大于且小于9的偶数组成的集合. 7．已知集合，，且，求集合． 二、根据元素的个数求参数 8．已知集合，，若中有2个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．若集合中有5个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（多选）已知集合中只有一个元素，则实数a的可能取值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 11．已知集合，，若中有2个元素，则实数a的取值范围是 ． 12．集合中只有一个元素，则实数的值是 . 13．已知集合. (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 14．已知集合，求： (1)当时，中至多只有一个元素，求的取值范围； (2)当满足什么条件时，集合为空集． 三、集合的基本关系 15．集合与集合之间的关系为（    ） A． B． C． D． 16．若集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 17．下列集合关系表述正确的是（    ）（其中：自然数集，整数集） A． B． C． D． 18．若、、为三个集合，，则一定有（　　） A． B． C． D． 19．已知集合和，那么（   ） A． B． C． D． 四、集合的交并补运算 20．已知集合，则集合（    ） A． B． C． D． 21．若全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 22．设全集，，，则（　　） A． B． C． D． 23．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 24．设全集，则 . 25．设全集，，，则 ， . 五、利用子集关系求参数 26．已知集合，若，则的值可以为（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或2 27．已知集合，，若，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．1或2 28．设集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．已知集合，，且，求实数a的取值范围． 30．设集合 (1)若，试判断集合与的关系； (2)若，求的值组成的集合． 31．已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若AB，求实数m的取值范围． 32．已知全集为实数集，集合， (1)分别求，，； (2)已知集合，若，求实数的取值范围． 六、子集、真子集的个数问题 33．满足集合的集合的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 34．已知集合 ，则的真子集个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 35．已知集合，则的真子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．15 D．16 36．已知集合，若集合有且仅有四个子集，则实数的取值范围为 . 37．若集合至多有两个子集，则实数的取值范围为 ． 38．已知集合恰有两个非空真子集，则m的值可以是 ．（说明：写出满足条件的一个实数m的值） 39．已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 七、韦恩图的应用 40．已知全集为U，集合M，N满足，则下列运算结果为U的是（    ）． A． B． C． D． 41．如图，已知矩形表示全集是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 42．（多选）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 43．（多选）如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 44．（多选）已如全集，集合，那么下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 八、根据集合的交并补求参数 45．已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞m}，若有三个元素，则实数m的取值范围是（　　） A．[3，4） B．[1，2） C．[2，3） D．（2，3] 46．已知集合集合，集合，若，则实数的取值范围是 . 47．设集合，，若，则实数m的取值范围是 . 48．已知全集，若集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 49．设全集 ，，． (1)若 ，求 ． (2)若 ，求实数 的取值范围． 50．已知全集，，，且． (1)求集合，； (2)若集合，求实数的值． 51．已知集合 (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围. 九、集合与新定义 52．对于集合和集合，若满足，则集合中的运算“”可以是（    ）． A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法 53．已知集合，，记.则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 54．已知集合，，用符号表示非空集合A中元素的个数.定义，若，则实数的所有可能取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 55．设集合含有，1两个元素，含有，2两个元素，定义集合，满足，且，则中所有元素之积为（　　） A． B． C．8 D．16 56．定义集合，若，，且集合有3个元素，则由实数所有取值组成的集合的非空真子集的个数为（    ） A．2 B．6 C．14 D．15 57．若集合A的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A为互斥集．若，且A为互斥集，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展1-3集合高频题型专攻 一、集合的基本概念 六、子集、真子集的个数问题 二、根据元素的个数求参数 七、韦恩图的应用 三、集合的基本关系 八、根据集合的交并补求参数 四、集合的交并补运算 九、集合与新定义 五、利用子集关系求参数 一、集合的基本概念 1．（多选）下列四个命题中正确的是（    ） A．方程的解集为 B．由所确定的实数集合为 C．集合可以化简为 D．中含有三个元素 【答案】BC 【详解】选项A：方程的解为，解集为，故A错误； 选项B：由知，， 当，同为正数时，； 当，一正一负时，； 当，同为负数时，， 故由所确定的实数集合为，故B正确； 选项C：， ，当时，；当时，；当时，， 故集合可以化简为，故C正确； 选项D：， 当时，；当时，；当时，； 当时，， 故中含有4个元素，故D错误， 故选：BC 2．若，则构成集合中的应满足的条件是 ． 【答案】 【详解】根据集合元素的互异性，，解得， 所以应满足的条件是. 故答案为：. 3．有两组集合（1），；（2），其中集合相等的是第 组． 【答案】（1） 【详解】两个集合的元素完全相同就是相等集合. 对于（1），集合与集合中均为数集，且它们的元素完全相同，是相等的集合，体现了集合的无序性； 对于（2），集合与集合中均为点集，点和点是不同的点， 所以集合与集合的元素不同，不是相等的集合. 故答案为：（1）. 4．已知，集合．则集合中所有元素之和为 ． 【答案】5 【详解】由题意，得， 则集合中所有元素之和为. 故答案为：5 5．用符号“”或“”填空． （1）0 ；    （2）0 ； （3） ；    （4） ． 【答案】 【详解】略 6．用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)不等式的解集； (2)二元二次方程组的解集； (3)由大于且小于9的偶数组成的集合. 【答案】(1)，无限集 (2)，有限集 (3)，有限集 【详解】（1）因为，所以解集为，为无限集； （2）二元二次方程组，所以，解得或， 所以解集为，为有限集； （3）大于且小于9的偶数有， 所以解集为，为有限集. 7．已知集合，，且，求集合． 【答案】 【详解】由题意，，即，解得或． 当时，集合中元素7和相等，不满足元素互异性，舍去； 当时，，，故． 二、根据元素的个数求参数 8．已知集合，，若中有2个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 又，中有2个元素， 所以中的2个元素只能是，则，解得. 故选：A. 9．若集合中有5个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若集合中有5个元素，则这五个元素只能是：， 这表明，即实数的取值范围为. 故选：D. 10．（多选）已知集合中只有一个元素，则实数a的可能取值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】ABD 【详解】当时，，解得，所以，符合题意； 当时，由题意，得，解得或. 故选：ABD 11．已知集合，，若中有2个元素，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，，若中有2个元素， 所以，所以，解得， 则实数a的取值范围是. 故答案为：. 12．集合中只有一个元素，则实数的值是 . 【答案】 【详解】因为集合中只有一个元素， 则，解得. 故答案为：. 13．已知集合. (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2)的值为或，当时，元素为，当时，元素为 (3) 【详解】（1）A是空集，且，，解得， 的取值范围为：； （2）当时，集合， 当时，，，解得，此时集合， 综上所求，的值为或，当时，元素为，当时，元素为； （3）当时，，符合题意； 当时，要使关于x的方程有实数根，则，得. 综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为. 14．已知集合，求： (1)当时，中至多只有一个元素，求的取值范围； (2)当满足什么条件时，集合为空集． 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）由题意得，方程可化为， ①当时，方程可化为，得， 所以，符合题意， ②当时， 因为中至多只有一个元素， 所以，解得， 综上所述，的取值范围为或； （2）①当时，方程可化为， 因为为空集，所以， ②当时， 因为为空集，所以， 综上所述，当或时，集合为空集． 三、集合的基本关系 15．集合与集合之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于集合，，，表示的奇数倍， 对于集合，，，表示的整数倍， 所以. 故选：A 16．若集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为当时，为奇数，为整数， 所以集合A是集合B的真子集， 故选：B. 17．下列集合关系表述正确的是（    ）（其中：自然数集，整数集） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】为自然数集，为整数集，因为整数集包含自然数集与负整数集，所以； 为整数集，为有理数集，因为有理数集包含整数集和小数集，所以 为有理数集，为实数集，因为实数集包含有理数集与无理数集，所以 为实数集，复数集，因为复数集包含实数集和虚数集，所以， 综上，所以， 故选：A. 18．若、、为三个集合，，则一定有（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以，，， 所以, 所以， 对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，当且仅当时，，故B错误； 对于C，当时，满足，故C错误； 对于D，当时，满足，故D错误. 故选：A. 19．已知集合和，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于同号，又，所以均为负数，故则，故 对于任意中的元素，满足集合，故，因此， 故选：C 四、集合的交并补运算 20．已知集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，，所以. 故选：D. 21．若全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以．因为， 所以． 故选：C 22．设全集，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，∴， 故选：B． 23．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对A,由，选项A错误； 对B,,，选项B错误； 对C,，选项C错误； 对D,因为，所以，所以选项D正确. 故选：D 24．设全集，则 . 【答案】 【详解】，，， 故答案为: 25．设全集，，，则 ， . 【答案】 或 或 【详解】，，，，， 或，或. 故答案为：或;或 【点睛】本题考查集合的并集与补集运算.关于范围的交､并､补一般利用数轴法解. 五、利用子集关系求参数 26．已知集合，若，则的值可以为（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或2 【答案】A 【详解】对于集合，由元素的互异性知且，则． 由得． 若，则，满足； 若，则，矛盾，舍去． 故选：A 27．已知集合，，若，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．1或2 【答案】C 【详解】由得或，即或， 当时，； 当时，，都符合题意，故C正确. 故选：C. 28．设集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，， 若，则， 故选：A. 29．已知集合，，且，求实数a的取值范围． 【答案】 【详解】因为，所以， 即，又因为，结合数轴分析可得， ，所以. 所以a的取值范围是. 30．设集合 (1)若，试判断集合与的关系； (2)若，求的值组成的集合． 【答案】(1)，是的真子集； (2)． 【详解】（1） 当时，， 所以B是A的真子集． （2）． 若，则，是真子集成立； 若，则，因为是A真子集， 或，所以或． 所以的值组成的集合． 31．已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若AB，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为为非空数集，得，解得， 若，则，解得，即实数m的取值范围是. （2）若AB，则（等号不同时取得），解得，即实数m的取值范围是. 32．已知全集为实数集，集合， (1)分别求，，； (2)已知集合，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）全集为实数集，集合，， ，，故得集合， ，故得集合，， ，；； （2）集合，， 当时，满足题意，此时， 当时，要使成立， 则需，即， 可得的取值范围是． 六、子集、真子集的个数问题 33．满足集合的集合的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【详解】因为集合， 则集合可以为，，，，，，共7个， 故选：B 34．已知集合 ，则的真子集个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【详解】， 则， 所以的真子集个数为. 故选：A. 35．已知集合，则的真子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．15 D．16 【答案】C 【详解】由题，， 当时，或或或， 所以， 则集合真子集的个数为个， 故选： 36．已知集合，若集合有且仅有四个子集，则实数的取值范围为 . 【答案】且 【详解】解：若集合有且仅有四个子集，则方程有两个实根 所以，解得： 所以实数的取值范围为：且. 37．若集合至多有两个子集，则实数的取值范围为 ． 【答案】或． 【详解】若集合至多有两个子集，则集合中至多有一个元素． 当时，，此时集合为，符合题意， 当时，方程是一元二次方程， 时，解得，，此时集合为，符合题意， 时，解得，此时集合为空集，符合题意， 综上，的取值范围是或． 故答案为： 或． 38．已知集合恰有两个非空真子集，则m的值可以是 ．（说明：写出满足条件的一个实数m的值） 【答案】（答案不唯一） 【详解】集合恰有两个非空真子集, 则集合A中含有2个元素，即方程由2个不等实根， ， 解得且. 故答案为：（答案不唯一）. 39．已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 【答案】(1)或，或 (2) 【详解】（1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故或，或 （2）若至少有两个子集，则至少有一个元素. 由（1）知或时符合题意. 由题意可知时若也符合题意. 即解得且. 综上. 七、韦恩图的应用 40．已知全集为U，集合M，N满足，则下列运算结果为U的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图， 因为，所以，故A错误； 因为，故B错误； 因为，所以，故C错误； 因为，所以，故D正确. 故选：D 41．如图，已知矩形表示全集是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】图象中，空白部分可表示为， 所以阴影部分可表示为. 故选：D 42．（多选）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则且，即且， 所以阴影部分可表示为，A对； 且，阴影部分可表示为，而，故C错误； 且，阴影部分可表示为，D对； 显然，阴影部分区域所表示的集合为的真子集，B选项不合乎要求. 故选：AD. 43．（多选）如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】根据图中阴影可知，符合题意， 又，∴也符合题意． 故选：AC 44．（多选）已如全集，集合，那么下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】AD选项，因为，所以，，AD正确； BC选项，如图所示，表示①，而①与②无公共部分，故，B正确； 表示①和③，故表示②和③部分，表示③，故C错误. 故选：ABD 八、根据集合的交并补求参数 45．已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞m}，若有三个元素，则实数m的取值范围是（　　） A．[3，4） B．[1，2） C．[2，3） D．（2，3] 【答案】C 【详解】根据题意则A={0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞m}，， 若有三个元素，则有， 即实数m的取值范围是[2，3）； 故选：C 46．已知集合集合，集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】 当时，，满足题意. 当时，时，解得 综上所述，. 故答案为： 47．设集合，，若，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【详解】若时， 则当时，，解得； 当时，，解得， 由可得或，解得或， 又，所以或， 综上可得当时，或， 所以当时，m的取值范围是. 故答案为：. 48．已知全集，若集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 所以. 因为， 所以. （2）由得，， 因为， 所以. 49．设全集 ，，． (1)若 ，求 ． (2)若 ，求实数 的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）当时，，， 所以或，； （2）全集 ，， 或， ， 分，两种情况讨论. （1）当时，如图可得，或， 或； （2）当时，应有：，解得； 综上可知，或， 故得实数 的取值范围. 50．已知全集，，，且． (1)求集合，； (2)若集合，求实数的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为，所以，且， 又因为，所以，得，， 因为，所以，得，， 综上，，. （2）由（1）得， 所以，得. 51．已知集合 (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），所以， 所以集合中的所有整数为. （2）由（1）得：，所以或 ①时，即， 所以，符合； ②时，即， 所以， 由于， 所以， 所以. 综上，实数的取值范围是. 九、集合与新定义 52．对于集合和集合，若满足，则集合中的运算“”可以是（    ）． A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法 【答案】C 【详解】解：因为集合S表示的是由正奇数构成的集合，而两个奇数的和与差为偶数， 所以A，B不满足，两个奇数的除法不一定为整数，所以D不满足， 故选：C． 53．已知集合，，记.则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得可能的取值有，即，均满足，故. 对于A项，，故A项错误； 对于B项，，故B项错误； 对于C项，因，故，故C项正确； 对于D项，依题有，,则，故D项错误. 故选：C. 54．已知集合，，用符号表示非空集合A中元素的个数.定义，若，则实数的所有可能取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以或.当时，或. 当时，关于x的方程有3个实数解， 所以关于x的方程只有一个解且不为1和， 则，解得. 当时，的解为1，不符合题意； 当时，的解为，符合题意. 综上，a的所有可能取值为0，1，，即所求集合为. 故答案为： 55．设集合含有，1两个元素，含有，2两个元素，定义集合，满足，且，则中所有元素之积为（　　） A． B． C．8 D．16 【答案】C 【详解】由题意，， 由集合的定义可知，集合中有以下元素：①，②，③，④， 根据集合中元素满足互异性去重得， 所以中所有元素之积为. 故选：C. 56．定义集合，若，，且集合有3个元素，则由实数所有取值组成的集合的非空真子集的个数为（    ） A．2 B．6 C．14 D．15 【答案】B 【详解】因为，，， 所以，又集合有3个元素， 当时，即时，满足题意， 当时，即，（舍去）时，，不符合题意， 当时，即时，满足题意， 当时，即，（舍去）时，，不符合题意. 综上，，故所构成集合的非空真子集的个数为. 故选：B 57．若集合A的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A为互斥集．若，且A为互斥集，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以为 又且为互斥集， 所以为， 要想取得最大值， 则要最小，此时， 不妨令，则， 故选：C 2 学科网（北京）股份有限公司 $$