2023—2024学年人教版数学八年级下册压轴专项十三：几何压轴题（三）平行四边形

2023—2024学年人教版数学八年级下册压轴 专项十三：几何压轴题（三）（原卷） 1、对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，求AB2+CD2 2、如图，已知在Rt△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，AEAB，AFAC，分别以BE、EF、FC为直径作半圆，面积分别为S1，S2，S3，求S1，S2，S3之间的关系 3、如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点． （1）求证：DF＝GF； （2）求DF的长度． 4、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设点P的运动时间为t秒（t＞0）． （1）求BC的长． （2）斜边AB上的高是 　 　． （3）若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为 　 ． （4）在整个运动过程中，直接写出△PBC是等腰三角形时t的值． 5、 如图，△CDE中，∠CDE＝135°，CB⊥DE于B，EA⊥CD于A，求证：CEAB． 6、如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AC＝26，BD＝24，联结AC、BD，取AC和BD的中点M、N，联结MN，求MN的长度 7、如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，点P、M、N分别为AC，AD、CE的中点． （1）求证：PM＝PN； （2）求∠MPN的度数． 8、如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，点M，N分别为BO，CO的中点，连接ED，EM，MN，ND． （1）求证：四边形EMND是平行四边形． （2）当△ABC的边满足 　 时，四边形EDNM为矩形． 9、给出下列定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形． （1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，DA的中点，则中点四边形EFGH形状是 　 　． （2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD＝90°，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，求证：中点四边形EFGH是正方形． 10、如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A′，折痕为DE．若将∠B沿EA'向内翻折，点B落在DE上，记为B'，求AB的长 11、如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝1．将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，求四边形AGEF的面积 12、如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是线段AD、BC上的点，点O是EF与BD的交点．若将△BED沿直线BD折叠，则点E与点F重合． （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若ED＝2AE，AB•AD，求EF•BD的值． 13、如图，将矩形ABCD沿AF折叠（F在CD边上），点D落在BC边上的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG． （1）求证：四边形EFDG是菱形； （2）若点G恰好是AF的中点，且AB＝3，求四边形EFDG的面积． 14、如图，在边长为4的正方形ABCD中，将△ABD沿射线BD平移，连接EC、GC．求EC+GC的最小值 15、如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点，连接EF，过点E作EG⊥EF交BC于点G． （1）求证：EF＝GE； （2）若AB＝1，则AF+EF+CG的最小值为　 　． 16、菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别是BC，CD上的两个动点，且始终保持∠AEF＝60° （1）试判断△AEF的形状并说明理由； （2）若菱形的边长为2，求△ECF周长的最小值． 17、如图，平行四边形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠DAB＝60°，E在AB上，且AE：EB＝1：3，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，求DP：DQ 18、在▱ABCD中，AB，AD，点A到边BC，CD的距离分别为AE，AF＝1，求∠EAF的度数 （无图题） 19、如图是某区部分街道示意图，其中AB⊥AF，E、D分别是FA和FG的中点，点C、D、E在一条直线上，点A、G、B在一条直线上，BC∥FG．从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B⇒D⇒A⇒E，且长度为5公里，路线2是B⇒C⇒F⇒E，求路线2的长度． 20、如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，且这两个正方形的边长相等．OA1与OC1分别交AB，BC于点E，F． （1）求证：OE＝OF； （2）若BE＝a，BF＝b，请直接写出四边形EBFO的面积为 　 　（用含有a，b的式子表示）； （3）已知AE＝2，CF＝3，求A1E的长． 21、某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD（AB＜BC）的对角线交点O旋转（如图①→②→③），图中M、N分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点． （1）该学习小组中一名成员意外地发现：在图①（三角板的一直角边与OD重合）中，BN2＝CD2+CN2；在图③（三角板的一直角边与OC重合）中，CN2＝BN2+CD2．请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由． （2）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 22、数学活动：探究正方形中的“十字架” ①猜想：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、AD边上，且BF⊥AE，猜想线段AE与BF之间的数量关系：　 　． ②探究：如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB，BC，CD，AD边上，且EG⊥HF，此时线段HF与EG相等吗？如果相等请给出证明，如果不相等请说明理由． ③应用：如图3，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在CD边的中点E处，点B落在点F处，折痕为MN，则线段MN的长为 　　． 23、如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由． （3）如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，请类比（2），求DE的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年人教版数学八年级下册压轴 专项十三：几何压轴题（三）（解析） 1、对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，求AB2+CD2 思路引领：根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 解：∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2， AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2， ∴AB2+CD2＝AD2+BC2， ∵AD＝2，BC＝4， ∴AB2+CD2＝22+42＝20． 故答案为：20． 总结提升：本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 2、如图，已知在Rt△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，AEAB，AFAC，分别以BE、EF、FC为直径作半圆，面积分别为S1，S2，S3，求S1，S2，S3之间的关系 思路引领：根据半圆面积公式结合勾股定理，知S1+S3＝4S2． 解：∵在Rt△ABC中，AEAB，AFAC， ∴AEBE，AFCF，EF2＝AE2+AF2， ∴EF2BE2CF2． ∴π•EF2π•（BE2CF2），即S2（S1+S3）． ∴S1+S3＝4S2． 总结提升：考查了勾股定理，注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． 3、如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点． （1）求证：DF＝GF； （2）求DF的长度． 思路引领：（1）利用“HL”证明△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF＝GF； （2）设FD＝x，表示出CF、BF，利用勾股定理构建方程即可． （1）证明：∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE， ∴AE＝EG，AB＝BG， ∴ED＝EG， ∵在矩形ABCD中， ∴∠A＝∠D＝90°， ∴∠EGF＝90°， 在Rt△EDF和Rt△EGF中，ED＝EG，EF＝EF， ∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL）， ∴DF＝FG， （2）解：设DF＝x，则CF＝3﹣x，BF＝3+x， 在Rt△BFC中，∵BF2＝BC2+CF2 ∴（2）2+（3﹣x）2＝（3+x）2， 解得：x＝2 ∴DF＝2． 总结提升：此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 4、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设点P的运动时间为t秒（t＞0）． （1）求BC的长． （2）斜边AB上的高是 　 　． （3）若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为 　 ． （4）在整个运动过程中，直接写出△PBC是等腰三角形时t的值． 思路引领：（1）由勾股定理可求得BC的值， （2）再设斜边AB上的高为h，由面积法可求得答案； （3）如图，当点P'在∠BAC的角平分线上时可先利用三角形全等，求出AD＝AC＝8，分别表示各线段，在直角三角形中，利用勾股定理求出t的值． （4）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AC或线段AB上，①当点P在线段AC上时，此时△BCP是等腰直角三角形，②当点P在线段AC上时，又分三种情况：BC＝BP；PC＝BC；PC＝PB，分别求得点P运动的路程，再除以速度即可得出答案． 解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，由勾股定理得：BC＝6； （2）设斜边AB上的高为h， ∵， ∴10h＝6×8， ∴h＝4.8． ∴斜边AB上的高为4.8； 故答案为：4.8； （3）当点P'在∠BAC的角平分线上时，过点P'作P'D⊥AB，如图： ∵AP'平分∠BAC，P'C⊥AC，P'D⊥AB， ∴P'D＝P'C＝2t﹣8， ∵BC＝6， ∴BP'＝6﹣（2t﹣8）＝14﹣2t， 在Rt△ACP'和Rt△ADP'中， ， ∴Rt△ACP'≌Rt△ADP'（HL）， ∴AD＝AC＝8， 又∵AB＝10， ∴BD＝2， 在Rt△BDP'中，由勾股定理得： 22+（2t﹣8）2＝（14﹣2t）2， 解得：t． 故答案为：． （4）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AC或线段AB上， ①当点P在线段AC上时，此时△BCP是等腰直角三角形， ∴此时CP＝BC＝6， ∴AP＝AC﹣CP＝8﹣6＝2， ∴2t＝2， ∴t＝1； ②当点P在线段AB上时，若BC＝BP， 则点P运动的长度为： AC+BC+BP＝8+6+6＝20， ∴2t＝20， ∴t＝10； 若PC＝BC，如图2，过点C作CH⊥AB于点H，则BP＝2BH， 在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8， ∴AB•CH＝AC•BC， ∴10CH＝8×6， ∴CH， 在Rt△BCH中，由勾股定理得： BH3.6， ∴BP＝7.2， ∴点P运动的长度为：AC+BC+BP＝8+6+7.2＝21.2， ∴2t＝21.2， ∴t＝10.6； 若PC＝PB，如图3所示，过点P作PQ⊥BC于点Q， 则BQ＝CQ＝0.5×BC＝3，∠PQB＝90°， ∴∠ACB＝∠PQB＝90°， ∴PQ∥AC， ∴PQ为△ABC的中位线， ∴PQ＝0.5×AC＝0.5×8＝4， 在Rt△BPQ中，由勾股定理得：BP5， 点P运动的长度为：AC+BC+BP＝8+6+5＝19， ∴2t＝19， ∴t＝9.5． 综上，t的值为1或9.5或10或10.6． 总结提升：本题主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键 5、 如图，△CDE中，∠CDE＝135°，CB⊥DE于B，EA⊥CD于A，求证：CEAB． 思路引领：取CE的中点F，连接AF、BF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AF＝EF＝BF＝CF，根据三角形的内角和等于180°求出∠ACE+∠BEC＝45°，然后求出∠AEC+∠BCE＝135°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BFC+∠AFE＝90°，然后求出∠AFB＝90°，从而判断出△ABF是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的可得AFAB，然后证明即可． 证明：如图，取CE的中点F，连接AF、BF， ∵CB⊥DE，EA⊥CD， ∴AF＝EF＝BF＝CFCE， 在△CDE中，∵∠CDE＝135°， ∴∠ACE+∠BEC＝180°﹣135°＝45°， ∴∠AEC+∠BCE＝（90°﹣∠ACE）+（90°﹣∠BEC）＝180°﹣45°＝135°， ∴∠BFC+∠AFE＝（180°﹣2∠BCE）+（180°﹣2∠AEC）＝360°﹣2（∠AEC+∠BCE）＝360°﹣2×135°＝90°， ∴∠AFB＝180°﹣（∠BCF+∠AFE）＝180°﹣90°＝90°， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴AFAB， ∴CE＝2AF＝2ABAB， 即CEAB． 总结提升：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键，作出图形更形象直观． 6、如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AC＝26，BD＝24，联结AC、BD，取AC和BD的中点M、N，联结MN，求MN的长度？ 思路引领：连接MB、MD，利用直角三角形斜边上中线的性质得出△MBD为等腰三角形，再利等腰三角形“三线合一”得出MN⊥BD，BN＝NDBD＝12，最后利用勾股定理即可求出MN的长度． 解：如图，连接MB、MD， ∵∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，M是AC的中点， ∴MBAC，MDAC， ∵AC＝26， ∴MB＝MD26＝13， ∵N是BD的中点，BD＝24， ∴MN⊥BD，BN＝DNBD24＝12， ∴MN5， 故答案为：5． 总结提升：本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，灵活应用直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 7、如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，点P、M、N分别为AC，AD、CE的中点． （1）求证：PM＝PN； （2）求∠MPN的度数． 思路引领：（1）连接DC和AE，AE交CD于点Q，证明△ABE≌△DBC，得到AE＝DC，利用中位线的性质证明PM＝PN； （2）根据中位线的性质把∠MPA+∠NPC转化成∠MCA+∠MAC，根据∠DMA＝∠MCA+∠MAC可知求出∠DMA度数即可． （1）证明：连接DC和AE，AE交CD于点Q， ∵△ABD和△BCE都是等边三角形， ∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°， ∴∠ABE＝∠DBC＝60°+∠DBE， 在△ABE和△DBC中， ， ∴△ABE≌△DBC（SAS）， ∴AE＝DC， ∵点P、M、N分别为AC，AD、CE的中点， ∴PNAE，PMDC， 所以PM＝PN． （2）解：∵P为AC中点，N为EC中点， ∴PN∥AE， ∴∠NPC＝∠EAC， 同理可得∠MPA＝∠DCA， ∴∠MPA+∠NPC＝∠EAC+∠DCA， 又∠DQA＝∠EAC+∠DCA， ∴∠MPA+∠NPC＝∠DQA， ∵△ABE≌△DBC， ∴∠QDB＝∠BAQ， ∴∠DQA＝∠DBA＝60°， ∴∠MPA+∠NPC＝60°， ∴∠MPN＝180°﹣60°＝120°． 总结提升：本题主要考查全等三角形的判定和性质、中位线的性质、等边三角形的性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8、如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，点M，N分别为BO，CO的中点，连接ED，EM，MN，ND． （1）求证：四边形EMND是平行四边形． （2）当△ABC的边满足 　 时，四边形EDNM为矩形． 思路引领：（1）由中位线定理，可得ED∥BC，MN∥BC，且都等于边长BC的一半．分析到此，此题证明即可； （2）当AB＝AC时，由SAS证明△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，证出DM＝EN，即可得出四边形EDNM是矩形． （1）证明：△ABC的边AC、AB上的中线BD、CE相交于点O，M、N分别是BO、CO的中点， ∴ED∥BC且EDBC， MN∥BC且MNBC， ∴ED∥MN且ED＝MN， ∴四边形MNDE是平行四边形； （2）解：当AB＝AC时，四边形EDNM为矩形．理由如下： ∵四边形MNDE是平行四边形， ∴OE＝ON，OD＝OM， ∵AB＝AC， ∴AE＝AD， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE， 又∵OE＝ON，OD＝OM，OM＝BM，ON＝CN， ∴DM＝EN， ∴四边形EDNM是矩形． 故答案为：AB＝AC． 总结提升：本题考查了等腰三角形的性质、三角形中位线定理、矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形中位线定理，并能进行推理论证是解决问题的关键． 9、给出下列定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形． （1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，DA的中点，则中点四边形EFGH形状是 　 　． （2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD＝90°，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，求证：中点四边形EFGH是正方形． 思路引领：（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH＝FG即可． （2）首先证明四边形EFGH是菱形．再证明∠EHG＝90°．利用△APC≌△BPD，得∠ACP＝∠BDP，即可证明∠COD＝∠CPD＝90°，再根据平行线的性质即可证明． （1）证明：如图1中，连接BD． ∵点E，H分别为边AB，DA的中点， ∴EH∥BD，EHBD， ∵点F，G分别为边BC，CD的中点， ∴FG∥BD，FGBD， ∴EH∥FG，EH＝GF， ∴中点四边形EFGH是平行四边形． 故答案为平行四边形； （2）四边形EFGH是正方形． 理由：如图2中，连接AC，BD． ∵∠APB＝∠CPD， ∴∠APB+∠APD＝∠CPD+∠APD， 即∠APC＝∠BPD， 在△APC和△BPD中， ， ∴△APC≌△BPD， ∴AC＝BD ∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点， ∴EFAC，FGBD， ∵四边形EFGH是平行四边形， ∴四边形EFGH是菱形． 如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N． ∵△APC≌△BPD， ∴∠ACP＝∠BDP， ∵∠DMO＝∠CMP， ∴∠COD＝∠CPD＝90°， ∵EH∥BD，AC∥HG， ∴∠EHG＝∠ENO＝∠BOC＝∠DOC＝90°， ∵四边形EFGH是菱形， ∴四边形EFGH是正方形． 总结提升：本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 10、如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A′，折痕为DE．若将∠B沿EA'向内翻折，点B落在DE上，记为B'，求AB的长 思路引领：利用矩形的性质，证明∠ADE＝∠A'DE＝∠A'DC＝30°，∠C＝∠A'B'D＝90°，推出△DB'A'≌△DCA'，CD＝B'D，设AB＝DC＝x，在Rt△ADE中，通过勾股定理可求出AB的长度． 解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ADC＝∠C＝∠B＝90°，AB＝DC， 由翻折知，△AED≌△A'ED，△A'BE≌△A'B'E，∠A'B'E＝∠B＝∠A'B'D＝90°， ∴∠AED＝∠A'ED，∠A'EB＝∠A'EB'，BE＝B'E， ∴∠AED＝∠A'ED＝∠A'EB180°＝60°， ∴∠ADE＝90°﹣∠AED＝30°，∠A'DE＝90°﹣∠A'EB'＝30°， ∴∠ADE＝∠A'DE＝∠A'DC＝30°， 又∵∠C＝∠A'B'D＝90°，DA'＝DA'， ∴△DB'A'≌△DCA'（AAS）， ∴DC＝DB'， 在Rt△AED中， ∠ADE＝30°，AD＝2， ∴AE， 设AB＝DC＝x，则BE＝B'E＝x， ∵AE2+AD2＝DE2， ∴（）2+22＝（x+x）2， 解得，x1（负值舍去），x2， 总结提升：本题考查了矩形的性质，轴对称的性质等，解题关键是通过轴对称的性质证明∠AED＝∠A'ED＝∠A'EB＝60°． 11、如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝1．将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，求四边形AGEF的面积 思路引领：设DF＝m，AG＝n，则CF＝3﹣m，BG＝3﹣n，由折叠的性质可得AF＝EF，AG＝GE，在Rt△ADF中，AF2＝m2+9，在Rt△EFC中，EF2＝4+（3﹣m）2，则有m2+9＝4+（3﹣m）2，可求m，在Rt△BEG中，n2＝（3﹣n）2+1，可求n，分别求出S△GEB，S△ADF＝1，S△CEF，由S四边形AGEF＝S正方形ABCD﹣S△GEB﹣S△ADF﹣S△CEF代入即可求解． 解：设DF＝m，AG＝n， ∵正方形的边长为3， ∴CF＝3﹣m，BG＝3﹣n， 由折叠可得，AF＝EF，AG＝GE， 在Rt△ADF中，AF2＝DF2+DA2， 即AF2＝m2+9， 在Rt△EFC中，EF2＝EC2+CF2， ∵BE＝1， ∴EC＝2， ∴EF2＝4+（3﹣m）2， ∴m2+9＝4+（3﹣m）2， ∴m， 在Rt△BEG中，GE2＝BG2+BE2， ∴n2＝（3﹣n）2+1， ∴n， ∴S△GEB1×（3）， S△ADF3＝1， S△CEF2×（3）， ∴S四边形AGEF＝S正方形ABCD﹣S△GEB﹣S△ADF﹣S△CEF＝915， 另解：过点F作FH⊥AB交于H点，交AE于点Q， ∵正方形ABCD的边长为3，BE＝1， ∴AE， ∵∠HAQ+∠AQH＝∠FQP+∠QFP＝90°， ∴∠HAQ＝∠QFP， ∵HF＝AB， ∴△HFG≌△BAE（ASA）， ∴FG＝AE， ∴S四边形AGEFAE×GF＝5， 方法三：在Rt△BEG中，GE2＝BG2+BE2， ∴n2＝（3﹣n）2+1， ∴n， ∴AG， ∴S四边形AGEF＝2S△AFG＝2AG×HF＝23＝5； 总结提升：本题考查正方形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质、直角三角形面积公式，灵活应用勾股定理是解题的关键． 12、如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是线段AD、BC上的点，点O是EF与BD的交点．若将△BED沿直线BD折叠，则点E与点F重合． （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若ED＝2AE，AB•AD，求EF•BD的值． 思路引领：（1）证明△OBF≌△ODE，得到OB＝OD即可得出结论． （2）由ED＝2AE，AB•AD，可得出菱形BEDF的面积，进而可得出EF•BD的值． （1）证明：将△BED沿BD折叠，使E，F重合， ∴OE＝OF，EF⊥BD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝90°，AD∥BC， ∴∠ODE＝∠OBF， 在△OBF和△ODE中， ， ∴△OBF≌△ODE（AAS）， ∴OB＝OD， ∵OE＝OF， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴四边形BFDE是菱形． （2）解：∵AB•AD， ∴S△ABDAB•AD， ∵ED＝2AE， ∴EDAD， ∴S△BDE：S△ABD＝2：3， ∴S△BDE， ∴菱形BEDF的面积EF•BD＝2S△BDE， ∴EF•BD． 总结提升：本题考查了翻折变换的性质、菱形的判定与性质、矩形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 13、如图，将矩形ABCD沿AF折叠（F在CD边上），点D落在BC边上的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG． （1）求证：四边形EFDG是菱形； （2）若点G恰好是AF的中点，且AB＝3，求四边形EFDG的面积． 思路引领：（1）连接DE，与AF交于点O，由折叠（轴对称）性质可得DE⊥AF，OD＝OE，证明Rt△FDO≌Rt△GEO，可得OF＝OG，进而证明四边形EFDG是菱形； （2）根据点G是AF的中点，且AF是Rt△AFD的斜边，可得DG＝AG＝FG，证明△DGF是等边三角形，△ADE是等边三角形，再根据勾股定理即可求出DE的长，进而可求菱形EFDG的面积． 解：（1）证明：如图，连接DE，与AF交于点O， 由折叠（轴对称）性质得： DE⊥AF，OD＝OE， ∵EG∥CD， ∴∠ODF＝∠OEG， ∴Rt△FDO≌Rt△GEO（ASA）， ∴OF＝OG， ∴四边形EFDG是菱形； （2）∵点G是AF的中点，且AF是Rt△AFD的斜边， ∴DG＝AG＝FG， 又四边形EFDG是菱形， ∴DG＝DF， ∴△DGF是等边三角形， ∴∠AFD＝60°， 又∠BAD＝∠ADC＝90°， ∴∠BAE＝∠EAF＝∠FAD＝30°， ∵在Rt△AEB中，AB＝3，AE＝2BE， ∴由勾股定理求得： ，， ∴， ∴在Rt△AFD中，由勾股定理求得： DF＝GF＝2， 又△ADE是等边三角形， ∴， 则菱形EFDG的面积为： ． 总结提升：本题考查了翻折变换、三角形的面积、菱形的性质、勾股定理、矩形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 14、如图，在边长为4的正方形ABCD中，将△ABD沿射线BD平移，连接EC、GC．求EC+GC的最小值 思路引领：如图，连接AC与BD交于点O，过点C作l∥BD，点E关于l对称的对称点为M，连接CM，GM，EM，EM与l的交点为N，与BD交点为P，则EM⊥l，EM⊥BD，CE＝CM，EN＝MN，求出AC，NP，GP，PE，MN，PM的值，当G、C、M三点不共线时，有GC+CM＞GM；当G、C、M三点共线时，有GC+CM＝GM；有EC+GC＝GC+CM≥GM，可知G、C、M三点共线时，EC+GC值最小，在Rt△PGM中，由勾股定理得，根据EC+GC＝GM可得EC+GC的最小值． 解：如图，连接AC与BD交于点O，过点C作l∥BD，点E关于l对称的对称点为M，连接CM，GM，EM，EM与l的交点为N，与BD交点为P 则EM⊥l，EM⊥BD，CE＝CM，EN＝MN， ∵， ∴两平行线的距离， ∵EM⊥BD， ∴∠GEP＝45°， ∴， ∴， ∴， ∴， 当G、C、M三点不共线时，有GC+CM＞GM， 当G、C、M三点共线时，有GC+CM＝GM， ∴EC+GC＝GC+CM≥GM， ∴G、C、M三点共线时，EC+GC值最小， 在Rt△PGM中，由勾股定理得， ∴EC+GC的最小值为， 故答案为：． 总结提升：本题考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，三角形的三边关系，勾股定理，正弦值等知识，对知识的灵活运用是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 15、如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点，连接EF，过点E作EG⊥EF交BC于点G． （1）求证：EF＝GE； （2）若AB＝1，则AF+EF+CG的最小值为　 　． 思路引领：（1）过点E作EH⊥BC于点H，可证△AEF≌△EGH，结论可得． （2）根据△AEF≌△EGH可得AF＝HG，EF＝EG，则CG+AF＝CH＝1，所以当EG值最小时，AF+EF+CG值最小．即EG⊥BC时，AF+EF+CG值最小，即可求其值． 解：（1）如图，过点E作EH⊥BC于点H． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥BC，∠A＝90°． ∴AB＝EH，∠A＝∠EHG＝∠AEH＝90°． ∴∠FEH+∠AEF＝90°． ∵EG⊥EF， ∴∠FEH+∠HEG＝90°． ∴∠AEF＝∠HEG． ∵AD＝2AB，AD＝2AE， ∴AE＝AB． ∴AE＝HE且∠AEF＝∠HEG，∠A＝∠EHG ∴△AEF≌△HEG． ∴EF＝GE． （2）∵在矩形ABCD中，AD＝2AB，AB＝1 ∴AD＝2， ∴AE＝DE＝1 ∵∠D＝∠C＝90°，EH⊥BC ∴DCHE是矩形 ∴DE＝CH＝1 ∵△AEF≌△EHG ∴AF＝HG，EF＝EG，EH＝AE＝1 ∴AF+EF+CG＝HG+CG+EG＝CH+EG＝1+EG 由两平行线之间垂线段最短，当EG⊥BC时，AF+EF+CG的值最小 即EG＝1时，AF+EF+CG的最小值为2 总结提升：本题考查的是最短距离问题，全等三角形，矩形的性质，关键是灵活运用各个性质解决问题． 16、菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别是BC，CD上的两个动点，且始终保持∠AEF＝60° （1）试判断△AEF的形状并说明理由； （2）若菱形的边长为2，求△ECF周长的最小值． 思路引领：（1）先根据四边形ABCD是菱形判断出△ABC的形状，在AB上截取BG＝BE，则△BGE是等边三角形．再由ASA定理得出△AGE≌△ECF，故可得出AE＝AF，由此可得出结论； （2）根据垂线段最短可知当AE⊥BC时△ECF周长最小，由直角三角形的性质求出CE的长，故可得出结论． 解：（1）△AEF是等边三角形，理由是： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC． ∵∠B＝60°． ∴△ABC是等边三角形， 在AB上截取BG＝BE，则△BGE是等边三角形 ∴AG＝AB﹣BG＝BC﹣BE＝EC， ∵∠AEC＝∠BAE+∠B＝∠AEF+∠FEC，又因为∠B＝∠AEF＝60° ∴∠BAE＝∠CEF． 在△AGE与△ECF中， ． ∴△AGE≌△ECF（ASA）， ∴AE＝AF． ∵∠AEF＝60°， ∴△AEF是等边三角形． （2）由（1）知△AEF是等边三角形，△AGE≌△ECF ∴CF＝GE＝BE，CF+EC＝BC＝2（定值） ∵垂线段最短， ∴当AE⊥BC时，AE＝EF最小，此时△ECF周长最小、 ∵BC＝2，∠B＝60°， ∴AE， ∴△ECF周长的最小值＝2． 总结提升：本题考查的是菱形的性质，熟知四条边都相等的平行四边形是菱形是解答此题的关键． 17、如图，平行四边形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠DAB＝60°，E在AB上，且AE：EB＝1：3，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，求DP：DQ 思路引领：连接DE，DF，过点F作FN⊥AB，交AB的延长线于点N，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于点M，根据题意可得△ADF的面积＝△DEC的面积平行四边形ABCD的面积，从而可得，然后设AB＝4a，BC＝3a，分别表示出AN，FN，EM，CM的长，再利用勾股定理求出AF，CE，进行计算即可解答． 解：连接DE，DF，过点F作FN⊥AB，交AB的延长线于点N，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于点M， 由题意得： △ADF的面积＝△DEC的面积平行四边形ABCD的面积， ∴AF•DP＝CE•DQ， ∴， ∵AB：BC＝4：3， ∴设AB＝4a，BC＝3a， ∵AE：EB＝1：3， ∴AE＝a，EB＝3a， ∵F是BC的中点， ∴BFBCa， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠CBM＝60°， ∴∠BFN＝∠BCM＝30°， 在Rt△BFN和Rt△BCM中， ∴BNBFa，BMBCa， CMBMa，FNBNa， ∴AN＝AB+BNa，EM＝EB+BMa， 在Rt△ANF和Rt△ECM中，根据勾股定理得： AFa， CE3a， ∴， ∴DP：DQ＝6：， 总结提升：本题考查了勾股定理，解直角三角形，平行四边形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 18、在▱ABCD中，AB，AD，点A到边BC，CD的距离分别为AE，AF＝1，求∠EAF的度数 思路引领：首先根据题意画出图形，再根据勾股定理可得DF＝AF，AE＝BE，然后再根据三角形内角和可得∠DAF＝45°，∠EAB＝45°，根据平行四边形的性质可得AB∥CD，进而得到∠D+∠DAB＝180°，求出∠DAB的度数，进而可得答案，同理可得出∠EAF另一个度数． 解：如图1所示： ∵AF⊥DC，AE⊥CB， ∴∠DFA＝90°，∠AEB＝90°， ∵AD，AF＝1， ∴DF＝1， ∴∠D＝∠DAF＝45°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠DAB＝135°， ∵AB，AE，∴EB， ∴∠EAB＝45°， ∴∠EAF＝135°﹣45°﹣45°＝45°， 如图2，过点A作AE⊥CB延长线于点E，过点A作AF⊥CD延长线于点F， 同理可得：∠EAB＝45°，∠BAD＝45°，∠FAD＝45°， 则∠EAF＝135°， 故答案为：45°或135°． 总结提升：此题主要考查了勾股定理的应用，平行四边形的性质，关键是正确计算出∠DAF＝45°，∠EAB＝45°． 19、如图是某区部分街道示意图，其中AB⊥AF，E、D分别是FA和FG的中点，点C、D、E在一条直线上，点A、G、B在一条直线上，BC∥FG．从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B⇒D⇒A⇒E，且长度为5公里，路线2是B⇒C⇒F⇒E，求路线2的长度． 思路引领：连接CF，证明四边形BCDG是平行四边形，得到DG＝CB，再证明四边形BCFD为平行四边形，可得CF＝BD，根据线段垂直平分线的性质得到BC＝DA，进而可求解． 解：连接CF， ∵E、D分别是FA和FG的中点， ∴DE∥AB，FD＝DG， ∵BC∥DF， ∴四边形BCDG是平行四边形， ∴DG＝CB． ∴FD＝CB， 又∵BC∥DF， ∴四边形BCFD是平行四边形， ∴CF＝BD， ∵AB⊥AF， ∴CE⊥AF， ∴CE垂直平分AF， ∴FD＝DA， ∴BC＝DA， ∵路线1是B⇒D⇒A⇒E，且长度为5公里， ∴BD+AD+AE＝5（公里） ∴路线2的长度：BC+CF+FE＝AD+BD+AE＝5（公里）． 总结提升：本题考查的是平行四边形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键． 20、如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，且这两个正方形的边长相等．OA1与OC1分别交AB，BC于点E，F． （1）求证：OE＝OF； （2）若BE＝a，BF＝b，请直接写出四边形EBFO的面积为 　 　（用含有a，b的式子表示）； （3）已知AE＝2，CF＝3，求A1E的长． 思路引领：（1）由“ASA”可证△AOE≌△BOF，可得OE＝OF； （2）由全等三角形的性质可得S△AOE＝S△BOF，AE＝BF，由正方形的面积公式可求解； （3）由等腰直角三角形的性质可求EO，即可求解． （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AO＝BO，∠AOB＝90°，∠OAB＝∠OBC＝45°， ∵∠AOE+∠EOB＝90°，∠BOF+∠EOB＝90°， ∴∠AOE＝∠BOF． 在△AOE和△BOF中， ， ∴△AOE≌△BOF（ASA）， ∴OE＝OF； （2）解：∵△AOE≌△BOF， ∴S△AOE＝S△BOF，AE＝BF， ∴四边形EBFO的面积＝S△AOB，AB＝BE+AE＝a+b， ∴四边形EBFO的面积（a+b）2； （3）如图，连接EF， ∵BF＝AE＝2，CF＝3， ∴BC＝5， ∴A1E＝BC＝5， ∴BE＝3， ∴EF， ∵EO＝FO，∠EOF＝90°， ∴△EOF是等腰直角三角形， ∴EO＝FO， ∴A1E＝5． 总结提升：本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 21、某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD（AB＜BC）的对角线交点O旋转（如图①→②→③），图中M、N分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点． （1）该学习小组中一名成员意外地发现：在图①（三角板的一直角边与OD重合）中，BN2＝CD2+CN2；在图③（三角板的一直角边与OC重合）中，CN2＝BN2+CD2．请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由． （2）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 思路引领：（1）连接DN，根据矩形得出OB＝OD，根据线段垂直平分线得出BN＝DN，根据勾股定理求出DN的平方，即可求出答案； （2）延长NO交AD于点P，连接PM，MN，证△BNO≌△DPO，推出OP＝ON，DP＝BN，根据线段垂直平分线求出PM＝MN，根据勾股定理求出即可． （1）选①， 证明：连接DN， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OD， ∵∠DON＝90°， ∴BN＝DN， ∵∠BCD＝90°， ∴DN2＝CD2+CN2， ∴BN2＝CD2+CN2； （2）证明：延长NO交AD于点P，连接PM，MN， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OD＝OB，AD∥BC， ∴∠DPO＝∠BNO，∠PDO＝∠NBO， 在△BON和△DOP中 ∵， ∴△BON≌△DOP（AAS）， ∴ON＝OP，BN＝PD， ∵∠MON＝90°， ∴PM＝MN， ∵∠ADC＝∠BCD＝90°， ∴PM2＝PD2+DM2，MN2＝CM2+CN2， ∴PD2+DM2＝CM2+CN2， ∴BN2+DM2＝CM2+CN2． 总结提升：本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的综合运用，主要考查学生的猜想能力和推理能力，题目比较好，但是有一定的难度． 22、数学活动：探究正方形中的“十字架” ①猜想：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、AD边上，且BF⊥AE，猜想线段AE与BF之间的数量关系：　 　． ②探究：如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB，BC，CD，AD边上，且EG⊥HF，此时线段HF与EG相等吗？如果相等请给出证明，如果不相等请说明理由． ③应用：如图3，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在CD边的中点E处，点B落在点F处，折痕为MN，则线段MN的长为 　　． 思路引领：①设AE交BF于点P，由四边形ABCD是正方形得AD＝BA，∠D＝∠BAF＝90°，由BF⊥AE得∠APB＝90°，根据同角的余角相等可证明∠DAE＝∠ABF，即可证明△DAE≌△ABF，得AE＝BF； ②作AQ∥FH交BC于点Q，作DR∥EG交AB于点R、交AQ于点P、交HF于点K，则四边形AQFH是平行四边形，四边形DREG是平行四边形，所以AQ＝HF，DR＝EG，再证明AQ⊥DR，则AQ＝DR，于是得HF＝EG； ③作AT∥MN交CD于点T，连接BE交MN于点J、交AT于点K，先由折叠得点E与点B关于直线MN对称，则MN⊥BE，证明四边形AMNT是平行四边形，则MN＝AT，可证明AT⊥BE，则AT＝BE，根据勾股定理求出BE的长，得MN＝AT＝BE，即可求出MN的长． 解：①AE＝BF， 理由：如图1，设AE交BF于点P， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝BA，∠D＝∠BAF＝90°， ∵BF⊥AE， ∴∠APB＝90°， ∴∠DAE+∠EAB＝90°，∠ABF+∠EAB＝90°， ∴∠DAE＝∠ABF， ∴△DAE≌△ABF（ASA）， ∴AE＝BF， 故答案为：AE＝BF． ②HF＝EG， 证明：如图2，作AQ∥FH交BC于点Q，作DR∥EG交AB于点R、交AQ于点P、交HF于点K， ∵AH∥FQ，AQ∥FH， ∴四边形AQFH是平行四边形， ∴AQ＝HF， ∵DG∥ER，DR∥EG， ∴四边形DREG是平行四边形， ∴DR＝EG， 设HF交EG于点L， ∵∠APR＝∠HKR＝∠HLE＝90°， ∴AQ⊥DR， 由（1）得AQ＝DR， ∴HF＝EG． ③如图3，作AT∥MN交CD于点T，连接BE交MN于点J、交AT于点K， 由折叠得点E与点B关于直线MN对称， ∵MN⊥BE， ∴∠MJB＝∠AKB＝90°， ∴AT⊥BE， 由（1）得MN＝AT， ∵四边形ABCD是正方形，AB＝AD＝4，点E是AD的中点， ∴∠BAE＝90°，AE＝DEAB＝2， ∴BE2， ∴AT＝2， ∵AM∥NT，AT∥MN， ∴四边形AMNT是平行四边形， ∵MN＝AT＝2， ∴线段MN的长为2， 故答案为：2． 总结提升：此题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形和平行四边形是解题的关键． 23、如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由． （3）如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，请类比（2），求DE的长． 思路引领：（1）根据矩形的性质得∠DAB＝∠B＝90°，由等角的余角相等可得∠ADE＝∠BAF，利用AAS可得△ADE≌△BAF（AAS），由全等三角形的性质得AD＝AB，即可得四边形ABCD是正方形； （2）利用AAS可得△ADE≌△BAF（AAS），由全等三角形的性质得AE＝BF，由已知BH＝AE可得BH＝BF，根据线段垂直平分线的性质可得即可得AH＝AF，△AHF是等腰三角形； （3）延长CB到点H，使BH＝AE＝6，连接AH，利用SAS可得△DAE≌△ABH（SAS），由全等三角形的性质得AH＝DE，∠AHB＝∠DEA＝60°，由已知DE＝AF可得AH＝AF，可得△AHF是等边三角形，则AH＝HF＝HB+BF＝AE+BF＝6+2＝8，等量代换可得DE＝AH＝8． （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝∠B＝90°， ∵DE⊥AF， ∴∠DAB＝∠AGD＝90°， ∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°， ∴∠ADE＝∠BAF， ∵DE＝AF， ∴△ADE≌△BAF（AAS）， ∴AD＝AB， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD是正方形； （2）解：△AHF是等腰三角形， 理由：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB＝∠ABH＝90°， ∵DE⊥AF， ∴∠DAB＝∠AGD＝90°， ∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°， ∴∠ADE＝∠BAF， ∵DE＝AF， ∴△ADE≌△BAF（AAS）， ∴AE＝BF， ∵DE＝AF， ∴BH＝AE， ∴BH＝BF， ∵∠ABH＝90°， ∴AH＝AF， ∴△AHF是等腰三角形； （3）解：延长CB到点H，使BH＝AE＝6，连接AH， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AB＝AD， ∴∠ABH＝∠BAD， ∵BH＝AE， ∴△DAE≌△ABH（SAS）， ∴AH＝DE，∠AHB＝∠DEA＝60°， ∵DE＝AF， ∴AH＝AF， ∴△AHF是等边三角形， ∴AH＝HF＝HB+BF＝AE+BF＝6+2＝8， ∴DE＝AH＝8． 总结提升：本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于压轴题 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