3.1 勾股定理（知识精讲+易错点拨+十一大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第3章《勾股定理》】 3.1 勾股定理 （知识精讲+易错点拨+十一大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 3 考点讲练1：用勾股定理解三角形 4 考点讲练2：勾股数问题 5 考点讲练3：以直角三角形三边为边长的图形面积 6 考点讲练4：勾股定理与网格问题 7 考点讲练5：勾股定理与折叠问题 9 考点讲练6：利用勾股定理求两条线短的平方和（差） 9 考点讲练7：利用勾股定理证明线段平方关系 11 考点讲练8：勾股定理的证明方法 13 考点讲练9：以弦图为背景的计算题 14 考点讲练10：用勾股定理构造图形解决问题 14 考点讲练11：勾股定理与无理数 16 中等题真题汇编练 17 培优题真题汇编练 21 新知精讲梳理 知识点01：勾股定理 定义： 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它表明在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b表示直角三角形的两条直角边，c表示斜边，则有a² + b² = c²。 历史背景： 中国：最早了解并应用勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝的数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”的特例，并被记载于《周髀算经》中。这一发现至少早于古希腊人500多年。 古希腊：在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。 应用： 勾股定理在几何、代数、工程等领域都有广泛的应用。 它常用于求边长、周长、面积，以及证明线段平方关系的问题。 知识点02：勾股定理的证明 证明方法： 勾股定理的证明方法有很多种，教材中常采用拼图法或面积法来证明。 拼图法：利用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形（如正方形或长方形），然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和来化简整理得到勾股定理。 面积法：在直角三角形中，通过计算不同形状的面积（如直角三角形的面积、以斜边为边长的正方形的面积等），并利用面积之间的关系来证明勾股定理。 具体证明过程（以拼图法为例）： 构造四个全等的直角三角形，分别以它们的直角边为边作正方形。 将这四个正方形按一定方式排列，使得它们共用一个顶点，并形成一个大的正方形。 观察大正方形与小正方形之间的关系，利用面积相等来推导勾股定理。 知识点03：直角三角形的性质 基本性质： 直角三角形有一个90°的角，称为直角。 直角三角形的两条直角边互相垂直。 直角三角形的斜边是连接两个直角顶点的边，也是最长的一条边。 其他性质： 勾股定理是直角三角形独有的性质。 在直角三角形中，如果知道两条边的长度，可以利用勾股定理求出第三条边的长度。 直角三角形的面积等于两条直角边长度的乘积的一半，即S = 1/2 × a × b（其中a、b为直角边的长度）。 直角三角形中的两个锐角互余，即它们的角度和为90°。 高频易错知识点拨 勾股定理的易错知识点 易错知识点01：定义理解不清 学生可能将勾股定理简单地理解为三个数的平方关系，而忽视了这三个数必须是直角三角形的三边长。 纠正：明确勾股定理中的a、b代表直角三角形的两条直角边，c代表斜边，且满足a² + b² = c²。 易错知识点02：应用条件混淆 学生可能错误地将勾股定理应用于非直角三角形，或者在没有明确直角三角形的情况下使用勾股定理。 纠正：强调勾股定理只适用于直角三角形，对于其他类型的三角形不适用。 勾股定理证明的易错知识点 易错知识点01：证明方法理解不透彻 学生可能只是机械地记忆了证明过程，而没有真正理解其中的数学逻辑和几何意义。 纠正：通过图形演示和逐步推导，帮助学生理解证明过程中的每一步，特别是面积法和拼图法的应用。 易错知识点02：证明过程中的计算错误 在利用面积法或拼图法证明勾股定理时，学生可能因计算错误而导致证明失败。 纠正：加强学生的计算能力训练，确保在证明过程中能够准确地进行数学运算。 直角三角形的性质易错知识点 易错知识点01：性质混淆 学生可能将直角三角形的性质与其他类型的三角形性质混淆，如误将直角三角形的斜边与锐角三角形的最长边等同起来。 纠正：明确直角三角形的独特性质，如直角、直角边的垂直关系以及勾股定理等，并与其他类型的三角形进行区分。 易错知识点02：面积计算错误 在计算直角三角形的面积时，学生可能忘记使用直角边作为底和高，或者计算过程中出现错误。 纠正：强调直角三角形面积的计算公式S = 1/2 × a × b（其中a、b为直角边的长度），并加强学生的计算能力训练。 易错知识点03：直角三角形的判定错误 学生可能仅凭一个角为直角就判定一个三角形为直角三角形，而忽视了其他可能的情况（如等腰直角三角形等）。 纠正：明确直角三角形的判定条件，即必须有一个角为直角且满足勾股定理的三边关系。 考点讲练1：用勾股定理解三角形 【精讲题】（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）将一个等腰三角形纸板沿垂线段，进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中与共线．若，则的长为 ． 【举一反三练】（23-24八年级上·浙江杭州·开学考试）如图所示，点P在内，点M，N分别是的对称点，分别交于点E，F．    (1)若，则 ， （用含的代数式表示）； (2)①若的周长是，求的长． ②若，直接写出的周长的最小值（用含x的代数式表示 考点讲练2：勾股数问题 【精讲题】（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别为2、5、1、2．则最大的正方形的面积是（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【举一反三练1】（23-24八年级下·安徽淮北·期末）观察下列等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)请用含（为正整数，且）的等式表示上面的规律，并证明其正确性． (2)若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由． 【举一反三练2】（23-24八年级下·河北廊坊·期末）我们知道，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．通过观察常见勾股数“6，8，10”“8，15，17”……猜想一组正整数a，b，，当最小数a为偶数时，另两个正整数b和c满足，，则a，b，c是一组勾股数． (1)根据猜想，一组正整数中，最小数a为10，则另两个数分别是__________，__________； (2)请再举一例证明猜想成立． 考点讲练3：以直角三角形三边为边长的图形面积 【精讲题】（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，在中，，，分别以为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形．若的面积为，的面积为，则的结果为（    ） A．18 B．12 C．36 D．62 【举一反三练1】（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为（    ） A．4 B．5 C．10 D．25 【举一反三练2】（2024·广西梧州·二模）图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，会徽的主题图案是由图2中七个直角三角形演化而成的，其中．则组成会徽的七个直角三角形的面积的平方和为 ．    考点讲练4：勾股定理与网格问题 【精讲题】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上.按要求完成下列画图． (1)在图1中画出一个以为底的等腰，使，点在格点上，并直接写出的周长； (2)在图2中的边上找一点，连接，使．(要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法) 【举一反三练1】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图，在下列边长为1的小正方形组成的网格中，利用网格点画图． (1)画出一条线段，使得； (2)在（1）的基础上，以为边，画出，使得的三边长都为无理数． 【举一反三练2】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点叫做格点，线段和三角形的顶点都在格点上． (1)直接写出______； (2)请仅用无刻度直尺完成下列画图，保留画图痕迹（作图结果用实线表示，作图过程用虚线表示）； ①画出的高； ②在线段右侧找一点F，使得； ③在②的条件下，在线段上找一点G，使． 考点讲练5：勾股定理与折叠问题 【精讲题】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，三角形纸片中，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是 ． 【举一反三练1】（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，，，把沿直线折叠，使点A与点B重合，若的周长为，，求的面积． 考点讲练6：利用勾股定理求两条线短的平方和（差） 【精讲题】（22-23八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 【举一反三练1】（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，，垂足为．            图1                  图2 (1)求证：；（图1） (2)求的度数；（图1） (3)如图2，延长到点，使，连接．求证：；并猜想的关系． 【举一反三练2】（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 考点讲练7：利用勾股定理证明线段平方关系 【精讲题】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，于点D，，分别交，于点E、F，连接．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求证：． 【举一反三练1】（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图1，中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题： (1)猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明； (2)如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． 【举一反三练2】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角连接，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断线段与三者之间的等量关系，并证明你的结论． 考点讲练8：勾股定理的证明方法 【精讲题】（23-24八年级上·四川成都·开学考试）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算． (1)我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想： 已知：如图，在和中，，（点B，C，D在一条直线上），，，． 证明：； (2)请利用“数形结合”思想，画图推算出的结果． 【举一反三练1】（23-24七年级下·全国·假期作业）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理． 下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：． 【举一反三练2】（2024八年级下·安徽·专题练习）小明学了勾股定理后很高兴，兴冲冲的回家告诉了爸爸：在中，若，，，，如图，根据勾股定理，则．爸爸笑眯眯地听完后说：很好，你又掌握了一样知识，现在考考你，若不是直角三角形，那勾股定理还成不成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论．（下图备用） 考点讲练9：以弦图为背景的计算题 【精讲题】（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是52，每个直角三角形的长直角边与短直角边的比是，则小正方形的面积为 ． 考点讲练10：用勾股定理构造图形解决问题 【精讲题】（18-19八年级下·全国·单元测试）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：“令有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺（1尺）．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？”设绳索长为x尺，则根据题意可列方程为 ． 【举一反三练1】（2024·吉林·中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为 ． 【举一反三练2】（23-24八年级上·河南郑州·期末）佩奇一家在公园里荡秋千，如图，当秋千静止时，踏板离地面的垂直高度，当佩奇被推送至水平距离处时，秋千踏板离地面的垂直高度，求绳子的长度．    考点讲练11：勾股定理与无理数 【精讲题】（23-24八年级上·河北承德·期末）实数和数轴上的点是一一对应的，你能找到下面数轴上的两个点表示的实数吗？ （1）如图，半径为1个单位长度的圆沿数轴从实数对应的点向右滚动一周，圆上的A点恰好与点B重合，则点B对应的实数是 ． （2）如图，数轴上的点A表示原点，，垂足为D，且，以A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为 ． 【举一反三练1】（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，，在上截取，在上截取，在数轴上，O为原点，则P点对应的实数是 ．    【举一反三练2】（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，在数轴上点A所对应的实数是3，过点A作于A，，以O为圆心，长为半径作弧交数轴正半轴于点C，则点C对应的实数为（    ） A．3.57 B．3.6 C． D． 中等题真题汇编练 1．（2024八年级下·全国·专题练习）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，为正整数），则其弦是（结果用含的式子表示）（ ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·陕西延安·期末）如图，的直角边AC在数轴上，，点A表示的实数为－2，以点A为圆心，AB的长为半径作弧交数轴的正半轴于点D．若，，则点D表示的实数为（    ） A．0.2 B． C． D． 3．（23-24七年级下·山东济南·期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·河南郑州·开学考试）如图所示，点B，D在数轴上，，长为半径画弧，与数轴正半轴交于点A，点A表示的实数是 ． 5．（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，在中，．若，则正方形与正方形的面积之和为（    ） A．25 B．144 C．169 D．以上都不对 6．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）如图，在中，，P 为射线上一点，若是等腰三角形，则的长为 ． 7．（23-24八年级下·重庆万州·期末）如图，在矩形中，，点E为线段的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到，点G在线段上，则的长为 ． 8．（2024·浙江台州·二模）如图，直线直线，直线分别交，于点，．射线平分，交于点；于点，若，，则 ． 9．（23-24八年级下·江西新余·期末）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长？” 10．（22-23八年级下·甘肃陇南·期末）生活中我们经常用到密码，例如支付宝支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：可以因式分解为，当时，，，，此时可以得到数字密码283031． (1)根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码？ (2)已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为、，求出一个由多项式分解因式后得到的密码（只需一个即可）． 11．（21-22七年级下·山东济南·期末）小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 12．（23-24八年级上·河南周口·期末）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图，现从A地分别向，，三地修了三条笔直的公路，，，地、地、地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从地修了一条笔直的公路与公路在处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米． (1)求公路，的长度． (2)若修公路每千米的费用是万元，请求出修建公路的费用． 培优题真题汇编练 13．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，曾用几个全等的直角三角形通过拼接，巧妙利用面积关系证明了勾股定理，体现了我国古代劳动人民的伟大智慧.下面四个图形是用4个全等的直角三角形拼接而成的图形，其中不能得出勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若大正方形的面积为16，小正方形的面积是3，则是（      ） A．19 B．13 C．42 D．29 15．（2024·福建厦门·二模）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．主要内容为“将一个几何圈形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”．如图，在等腰中，，，点D为边上一动点，过D作，，则根据出入相补原理，我们可发现，一定为定值，则（   ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：① ；② ；③ 过点B作于点I，延长B交于点J，则．④ 若，则．其中正确的结论个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（22-23八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，，和的角平分线相交于点D，过点作的垂线，交延长线于点，连接，若的面积为6，下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有几个．（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知长方形中，，P是边上的点，将沿折叠，使点A落在点E上，与分别交于点O、F，且，则 ． 19．（23-24八年级下·四川德阳·阶段练习）如图在中，、分别是、的中点，，，，则的长为 ． 20．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则 ． 21．（23-24八年级下·四川德阳·阶段练习）如图，在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为，，，正放置的四个正方形的面积依次为，，，，则的值为 ． 22．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，，点D是边上的一个动点，连接，过点C作，使，连接，点F是的中点，连接并延长，交边所在直线于点G，若，则的长为 ． 23．（23-24八年级下·河南·阶段练习）我国古典数学著作中有一道计算秋千绳索长度的题目．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度． 24．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）在苏教版七下第九章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示． (1)用不同的方法计算图1的面积得到等式： ； (2)图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，从整体看它又是一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式： （结果为最简）； (3)根据上面两个结论，解决下面问题： ①在直角中，，三边长分别为a、b、c，已知，，求的值． ②如图3，四边形中，对角线，互相垂直，垂足为O，，在直角中，，，若的周长为2，则的面积= ． 25．（23-24八年级下·北京·期末）在中，，，点 D在直线上 (点 D 与点A、点C不重合)，连接，过点 D 作 的垂线交直线于点 E，过点A作的垂线交直线于点 F. (1)如图1, 当点 D在线段上时, ①求证: ； ②用等式表示线段，，之间的数量关系并证明. (2) 如图2，当点D在射线上时，依题意补全图形，并直接用等式表示线段，，之间的数量关系. 26．（23-24八年级上·福建福州·期末）在中，，，D是边上的动点，连接． (1)如图1，当D为中点时，求证：是等边三角形； (2)如图2，若，求的最小值； (3)如图3，以为边在右方作等边三角形，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点G，连接，若，求之间的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第3章《勾股定理》】 3.1 勾股定理 （知识精讲+易错点拨+十一大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 3 考点讲练1：用勾股定理解三角形 4 考点讲练2：勾股数问题 6 考点讲练3：以直角三角形三边为边长的图形面积 9 考点讲练4：勾股定理与网格问题 11 考点讲练5：勾股定理与折叠问题 16 考点讲练6：利用勾股定理求两条线短的平方和（差） 18 考点讲练7：利用勾股定理证明线段平方关系 23 考点讲练8：勾股定理的证明方法 29 考点讲练9：以弦图为背景的计算题 32 考点讲练10：用勾股定理构造图形解决问题 34 考点讲练11：勾股定理与无理数 35 中等题真题汇编练 38 培优题真题汇编练 48 新知精讲梳理 知识点01：勾股定理 定义： 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它表明在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b表示直角三角形的两条直角边，c表示斜边，则有a² + b² = c²。 历史背景： 中国：最早了解并应用勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝的数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”的特例，并被记载于《周髀算经》中。这一发现至少早于古希腊人500多年。 古希腊：在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。 应用： 勾股定理在几何、代数、工程等领域都有广泛的应用。 它常用于求边长、周长、面积，以及证明线段平方关系的问题。 知识点02：勾股定理的证明 证明方法： 勾股定理的证明方法有很多种，教材中常采用拼图法或面积法来证明。 拼图法：利用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形（如正方形或长方形），然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和来化简整理得到勾股定理。 面积法：在直角三角形中，通过计算不同形状的面积（如直角三角形的面积、以斜边为边长的正方形的面积等），并利用面积之间的关系来证明勾股定理。 具体证明过程（以拼图法为例）： 构造四个全等的直角三角形，分别以它们的直角边为边作正方形。 将这四个正方形按一定方式排列，使得它们共用一个顶点，并形成一个大的正方形。 观察大正方形与小正方形之间的关系，利用面积相等来推导勾股定理。 知识点03：直角三角形的性质 基本性质： 直角三角形有一个90°的角，称为直角。 直角三角形的两条直角边互相垂直。 直角三角形的斜边是连接两个直角顶点的边，也是最长的一条边。 其他性质： 勾股定理是直角三角形独有的性质。 在直角三角形中，如果知道两条边的长度，可以利用勾股定理求出第三条边的长度。 直角三角形的面积等于两条直角边长度的乘积的一半，即S = 1/2 × a × b（其中a、b为直角边的长度）。 直角三角形中的两个锐角互余，即它们的角度和为90°。 高频易错知识点拨 勾股定理的易错知识点 易错知识点01：定义理解不清 学生可能将勾股定理简单地理解为三个数的平方关系，而忽视了这三个数必须是直角三角形的三边长。 纠正：明确勾股定理中的a、b代表直角三角形的两条直角边，c代表斜边，且满足a² + b² = c²。 易错知识点02：应用条件混淆 学生可能错误地将勾股定理应用于非直角三角形，或者在没有明确直角三角形的情况下使用勾股定理。 纠正：强调勾股定理只适用于直角三角形，对于其他类型的三角形不适用。 勾股定理证明的易错知识点 易错知识点01：证明方法理解不透彻 学生可能只是机械地记忆了证明过程，而没有真正理解其中的数学逻辑和几何意义。 纠正：通过图形演示和逐步推导，帮助学生理解证明过程中的每一步，特别是面积法和拼图法的应用。 易错知识点02：证明过程中的计算错误 在利用面积法或拼图法证明勾股定理时，学生可能因计算错误而导致证明失败。 纠正：加强学生的计算能力训练，确保在证明过程中能够准确地进行数学运算。 直角三角形的性质易错知识点 易错知识点01：性质混淆 学生可能将直角三角形的性质与其他类型的三角形性质混淆，如误将直角三角形的斜边与锐角三角形的最长边等同起来。 纠正：明确直角三角形的独特性质，如直角、直角边的垂直关系以及勾股定理等，并与其他类型的三角形进行区分。 易错知识点02：面积计算错误 在计算直角三角形的面积时，学生可能忘记使用直角边作为底和高，或者计算过程中出现错误。 纠正：强调直角三角形面积的计算公式S = 1/2 × a × b（其中a、b为直角边的长度），并加强学生的计算能力训练。 易错知识点03：直角三角形的判定错误 学生可能仅凭一个角为直角就判定一个三角形为直角三角形，而忽视了其他可能的情况（如等腰直角三角形等）。 纠正：明确直角三角形的判定条件，即必须有一个角为直角且满足勾股定理的三边关系。 考点讲练1：用勾股定理解三角形 【精讲题】（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）将一个等腰三角形纸板沿垂线段，进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中与共线．若，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，根据图形发现等量关系是解题的关键． 利用等腰三角形的性质可以得到，设为x，再运用勾股定理得，再代入解方程即可． 【规范解答】解：如图，设为，为，为，图2中的余角为， ∵为等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， 结合两图，可得， 设为x， 根据勾股定理得： ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 【举一反三练】（23-24八年级上·浙江杭州·开学考试）如图所示，点P在内，点M，N分别是的对称点，分别交于点E，F．    (1)若，则 ， （用含的代数式表示）； (2)①若的周长是，求的长． ②若，直接写出的周长的最小值（用含x的代数式表示） 【答案】(1)， (2)①；② 【思路点拨】（1）如图，连接，根据轴对称的性质可得和都是等腰三角形，且，进而可根据等腰三角形的性质得，同理可得，于是可推得，再根据已知条件和三角形的内角和定理即可求出答案； （2）①根据轴对称的性质可推出的周长，进而可得结果； ②易得是等腰直角三角形，且，从而可根据勾股定理求出，而由轴对称的性质可知即为的周长的最小值，于是可得结果． 【规范解答】（1）解：如图，连接、，   是点P关于的对称点， ，， ， ， 同理可得：，， ； ， ， 故答案为：，； （2）①分别是点P关于的对称点， ， 的周长， 的周长等于， ； ②， ，， 的周长，且的周长的最小值为的长， 的周长的最小值是 【考点评析】本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键． 考点讲练2：勾股数问题 【精讲题】（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别为2、5、1、2．则最大的正方形的面积是（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【思路点拨】此题考查勾股定理的利用，正确理解图中几个正方形与直角三角形的关系是解题的关键.根据直角三角形勾股定理解答得到E的面积是A、B、C、D四个面积的和，由此得到答案. 【规范解答】解：如图， 由图知：正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积， 正方形G的面积=正方形C的面积+正方形D的面积， 正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积， ∴正方形E的面积=正方形A的面积+正方形B的面积+正方形C的面积+正方形D的面积， 故选：B. 【举一反三练1】（23-24八年级下·安徽淮北·期末）观察下列等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)请用含（为正整数，且）的等式表示上面的规律，并证明其正确性． (2)若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；证明见解析 (2)能；35，12，37 【思路点拨】（1）根据题意可得出规律，运用完全平方公式证明即可； （2）由，根据上述规律得出，即可得出结论； 【规范解答】（1）解：由题中等式的规律可得， 证明：左边右边． （2）它的三边长能为勾股数．理由如下： ， 把代入，得， 即， 它的三边长能为勾股数，这组勾股数为35，12，37． 【考点评析】本题考查了勾股定理，勾股数的定义，完全平方公式，数字类变化规律等知识点，能够根据题意得出是解题的关键． 【举一反三练2】（23-24八年级下·河北廊坊·期末）我们知道，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．通过观察常见勾股数“6，8，10”“8，15，17”……猜想一组正整数a，b，，当最小数a为偶数时，另两个正整数b和c满足，，则a，b，c是一组勾股数． (1)根据猜想，一组正整数中，最小数a为10，则另两个数分别是__________，__________； (2)请再举一例证明猜想成立． 【答案】(1)24，26 (2)证明见解析 【思路点拨】本题考查勾股定理的证明． （1）依据材料所给公式，代入计算即可； （2）再任意举例计算即可证明． 【规范解答】（1）解：当a为10，则，， 故答案为：24，26； （2）解：若最小数， 则，， ∵ ∴猜想成立． 考点讲练3：以直角三角形三边为边长的图形面积 【精讲题】（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，在中，，，分别以为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形．若的面积为，的面积为，则的结果为（    ） A．18 B．12 C．36 D．62 【答案】A 【思路点拨】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，根据等腰直角三角形的性质以及三角形的面积公式得出，再根据勾股定理即可求解． 【规范解答】解：∵与都是等腰直角三角形， ∴由题意知，，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴的结果为18， 故选：A． 【举一反三练1】（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为（    ） A．4 B．5 C．10 D．25 【答案】D 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用．理解以直角三角形两直角边为边长的正方形面积之和等于以斜边为边长的正方形面积是解决此题的关键．能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积． 【规范解答】解：如图 根据勾股定理得到：正方形C与D的面积的和是正方形P的面积；正方形A与B的面积的和是正方形Q的面积；而正方形P，Q的面积的和是正方形M的面积． 正方形M的面积为， 正方形A，B，C，D的面积的和为25． 故选：D． 【举一反三练2】（2024·广西梧州·二模）图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，会徽的主题图案是由图2中七个直角三角形演化而成的，其中．则组成会徽的七个直角三角形的面积的平方和为 ．    【答案】7 【思路点拨】本题考查了勾股定理．利用勾股定理依次计算出，，，，然后依据计算出前几个三角形的面积，然后依据规律解答即可得到结论． 【规范解答】解：由题意得， ， ， ， ， ；；；；； ∴ ， 故答案为：7． 考点讲练4：勾股定理与网格问题 【精讲题】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上.按要求完成下列画图． (1)在图1中画出一个以为底的等腰，使，点在格点上，并直接写出的周长； (2)在图2中的边上找一点，连接，使．(要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法) 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 【思路点拨】本题考查了在格点图中画等腰三角形，平行线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等． （1）以为底的等腰，则点在的垂直平分线上，结合，即点到的距离等于点到的距离，即可确定点的位置；再根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出的值，即可求出的周长； （2）根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等可推得，即可得出． 【规范解答】（1）解：如图：点即为所求． 则， 故的周长为． （2）解：如图：． 理由：如图： ∵，，， ∴， ∴， ∵， 即， ∴． 【举一反三练1】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图，在下列边长为1的小正方形组成的网格中，利用网格点画图． (1)画出一条线段，使得； (2)在（1）的基础上，以为边，画出，使得的三边长都为无理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查的是作图应用与设计作图，勾股定理和网格，熟知勾股定理是解答此题的关键． （1）根据，然后利用网格的特点求解即可； （2）根据勾股定理得到，，，然后画出三角形即可． 【规范解答】（1）如图所示，即为所求； ； （2）如图所示，即为所求； ，，． 【举一反三练2】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点叫做格点，线段和三角形的顶点都在格点上． (1)直接写出______； (2)请仅用无刻度直尺完成下列画图，保留画图痕迹（作图结果用实线表示，作图过程用虚线表示）； ①画出的高； ②在线段右侧找一点F，使得； ③在②的条件下，在线段上找一点G，使． 【答案】(1)； (2)①见解析；②见解析；③见解析 【思路点拨】 本题考查了利用网格求三角形的面积、格点作图、无刻度直尺作图、三角形全等的判定与性质、平移的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，灵活运用所学知识点是解此题的关键． （1）利用割补法求三角形的面积即可； （2）①取格点T，连接交于点H，线段即为所求； ②利用数形结合的思想以及全等三角形的性质，作出，即可； ③取格点K，连接，交于点G即可（是等腰直角三角形）． 【规范解答】（1）解：如图所示： ∴， ； （2）①如图，线段即为所求， 由图可得：，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为的高； ②如图，即为所求， ③如图，取格点K，连接，交于点G，（是等腰直角三角形）．点G即为所求， 考点讲练5：勾股定理与折叠问题 【精讲题】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，三角形纸片中，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，根据折叠的性质证明，进而证明，然后利用勾股定理建立方程求解即可． 【规范解答】解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【举一反三练1】（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，，，把沿直线折叠，使点A与点B重合，若的周长为，，求的面积． 【答案】的面积为96 【思路点拨】本题考查了轴对称的性质，勾股定理等．利用折叠的性质，得到 是解题的关键． 根据折叠的性质可知，利用三角形周长可求出的值，再根据勾股定理可求出与的长，进而求出三角形的面积即可． 【规范解答】解：由折叠可知， ， ，， ，即 又， ，， ． 答：的面积为96． 考点讲练6：利用勾股定理求两条线短的平方和（差） 【精讲题】（22-23八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和勾股定理，中垂线的性质； （1）延长至使，连接，证明，从而得，，由得为中垂线，故，在中根据勾股定理即可的结论； （2）结合（1）中的结论可得，，在中利用勾股定理即可解决． 【规范解答】（1）证明：作，交延长线于，连接 ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， （2）解：设， ，，， 则， ， ， ， 即：， 由（1）知：，，， ，， ， ， 即：， 解得：， 即：． 【举一反三练1】（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，，垂足为．            图1                  图2 (1)求证：；（图1） (2)求的度数；（图1） (3)如图2，延长到点，使，连接．求证：；并猜想的关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析； 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理； （1）根据题意和题目中的条件可以找出的条件； （2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到的度数； （3）根据题意和三角形全等的知识，结合勾股定理即可得出的关系． 【规范解答】（1）证明：， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， ， ， ， ； （3）； 证明：， ， 在和中， ， ， ，， ， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中，， 又， ， ． 【举一反三练2】（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为， 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点． （1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证； （2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质、勾股定理，即可求解． 【规范解答】（1）证明：如图所示，连接， ∵是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. （2）解：∵是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. ∵ ∴， 即， 解得：． 考点讲练7：利用勾股定理证明线段平方关系 【精讲题】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，于点D，，分别交，于点E、F，连接．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求证：． 【答案】(1)为等腰直角三角形，理由见解析 (2)证明见解析 【思路点拨】本题考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，第二问正确作出辅助线是关键． （1）先根据等腰三角形三线合一的性质得，得垂直平分，则，再利用即可证明； （2）在上取一点H，使，连接，证明，得，，由等腰三角形三线合一的性质得，最后由勾股定理和等量代换可得结论． 【规范解答】（1）解：为等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （2）解：在上取一点H，使，连接，    ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 中，由勾股定理得：， ∴． 【举一反三练1】（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图1，中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题： (1)猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明； (2)如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． 【答案】(1) (2)不变，，证明见详解 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． （1）通过证明，得到，在中，有，即； （2）作，且截取，连接，连接，先证明，再证明，则，在 中，，即． 【规范解答】（1）解：， ∵中，， ∴， 将沿折叠，得，连接 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，有，即． （2）解：结论不变， 作，且截取，连接，连接， ∵ ， ∴，， 又， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， 在 中，，即． 【举一反三练2】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角连接，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断线段与三者之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形综合问题以及勾股定理，证是解题关键． （1）证得，结合、可得，即可求证； （2）由得，结合，得，根据勾股定理即可求解. 【规范解答】（1）证明：∵，D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 考点讲练8：勾股定理的证明方法 【精讲题】（23-24八年级上·四川成都·开学考试）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算． (1)我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想： 已知：如图，在和中，，（点B，C，D在一条直线上），，，． 证明：； (2)请利用“数形结合”思想，画图推算出的结果． 【答案】(1)见解析 (2)画图见解析， 【思路点拨】本题考查了勾股定理的证明及完全平方公式，熟练掌握数形相结合的思想是解题的关键． （）先证明，得出，然后利用面积法证明即可； （）利用面积法计算即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴梯形的面积， 梯形的面积， ∴， 化简可得：； ； （2）解：如图所示： 大正方形的面积； 大正方形的面积， ∴． 【举一反三练1】（23-24七年级下·全国·假期作业）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理． 下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键．证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理即可得到勾股定理表达式． 【规范解答】证明：如图（1），连接，过点作边上的高，则． ， ， ， ． 【举一反三练2】（2024八年级下·安徽·专题练习）小明学了勾股定理后很高兴，兴冲冲的回家告诉了爸爸：在中，若，，，，如图，根据勾股定理，则．爸爸笑眯眯地听完后说：很好，你又掌握了一样知识，现在考考你，若不是直角三角形，那勾股定理还成不成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论．（下图备用） 【答案】①在锐角三角形中，．②在钝角三角形中，；证明见解析 【思路点拨】本题考查了勾股定理，作出高转化到直角三角形中去，利用勾股定理得出结论．根据题意要分锐角三角形、钝角三角形分别证明，作出它们的高，根据高是两个直角三角形的一个公用直角边，利用勾股定理作出证明． 【规范解答】解：①当三角形是锐角三角形时， 证明：如图，作垂足是，设的长为， 根据勾股定理得： 整理得： ②当三角形为钝角三角形时 证明：如图，过点作的垂线交于点，设的长为， 在直角三角形中， 在直角三角形中，， 整理得： ，． 所以：①在锐角三角形中，． ②在钝角三角形中，． 考点讲练9：以弦图为背景的计算题 【精讲题】（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是52，每个直角三角形的长直角边与短直角边的比是，则小正方形的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查勾股定理，设直角三角形的长直角边与短直角边的长为，，根据勾股定理得到，解方程求出x的值，然后计算小正方形的面积即可． 【规范解答】解：设直角三角形的长直角边与短直角边的长为，， 则， 解得：或（舍去） ∴小正方形的面积为， 故答案为：． 【举一反三练1】（2024·山东济南·二模）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个大小相同的“赵爽弦图”（如图1）中的两个小正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成边长为10的正方形，则空白部分面积为    【答案】50 【思路点拨】本题主要考查正方形的面积，根据大正方形的边长求出“赵爽弦图”中正方形的边长是解题的关键． 【规范解答】解：正方形的边长为10， “赵爽弦图”中正方形的边长5， 空白处的面积大正方形的面积小正方形面积． 故答案为：． 考点讲练10：用勾股定理构造图形解决问题 【精讲题】（18-19八年级下·全国·单元测试）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：“令有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺（1尺）．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？”设绳索长为x尺，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设绳索长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【规范解答】设绳索长为尺， 可列方程为：， 故答案为：． 【举一反三练1】（2024·吉林·中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程． 【规范解答】解：设的长度为x尺，则， ∵， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24八年级上·河南郑州·期末）佩奇一家在公园里荡秋千，如图，当秋千静止时，踏板离地面的垂直高度，当佩奇被推送至水平距离处时，秋千踏板离地面的垂直高度，求绳子的长度．    【答案】绳子的长度为 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，四边形是矩形，，设绳子的长度为，则，再由勾股定理列出方程，解方程即可得出答案，根据勾股定理得出方程是解题的关键． 【规范解答】解：由题意可知，，四边形是矩形， ， ， 设绳子的长度为，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：绳子的长度为． 考点讲练11：勾股定理与无理数 【精讲题】（23-24八年级上·河北承德·期末）实数和数轴上的点是一一对应的，你能找到下面数轴上的两个点表示的实数吗？ （1）如图，半径为1个单位长度的圆沿数轴从实数对应的点向右滚动一周，圆上的A点恰好与点B重合，则点B对应的实数是 ． （2）如图，数轴上的点A表示原点，，垂足为D，且，以A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为 ． 【答案】 / 【思路点拨】本题考查了数轴与实数，数轴上两点之间的距离，勾股定理等知识．熟练掌握数轴与实数，数轴上两点之间的距离，勾股定理是解题的关键． （1）由题意知，点A，点B之间的距离为，则点B对应的实数是； （2）由勾股定理得，，则，点C表示的数为，计算求解，然后作答即可． 【规范解答】（1）解：由题意知，点A，点B之间的距离为， ∴点B对应的实数是， 故答案为：； （2）解：由勾股定理得，， ∴， ∴点C表示的数为， 故答案为：． 【举一反三练1】（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，，在上截取，在上截取，在数轴上，O为原点，则P点对应的实数是 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理，用数轴上的点表示无理数，根据勾股定理得出，进而得出，即可解答． 【规范解答】解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴则P点对应的实数是， 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，在数轴上点A所对应的实数是3，过点A作于A，，以O为圆心，长为半径作弧交数轴正半轴于点C，则点C对应的实数为（    ） A．3.57 B．3.6 C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，先根据题意确定，，再根据勾股定理求出，可得答案． 【规范解答】由题意可知，， 根据勾股定理，得， 所以． 因为点C在正半轴， 所以点C对应的实数为． 故选：C． 中等题真题汇编练 1．（2024八年级下·全国·专题练习）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，为正整数），则其弦是（结果用含的式子表示）（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了勾股数，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 根据题意得为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【规范解答】解：为正整数， 为偶数，设其股是，则弦为， 根据勾股定理得，， 解得， 弦是， 故选：C． 2．（23-24八年级下·陕西延安·期末）如图，的直角边AC在数轴上，，点A表示的实数为－2，以点A为圆心，AB的长为半径作弧交数轴的正半轴于点D．若，，则点D表示的实数为（    ） A．0.2 B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】由勾股定理得，，然后根据点表示的实数为，计算作答即可．本题考查了勾股定理，实数与数轴．熟练掌握勾股定理，实数与数轴是解题的关键． 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∵点A表示的实数为 ∴点表示的实数为 故选：C 3．（23-24七年级下·山东济南·期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【规范解答】解：A、大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和， ， 以上公式为完全平方公式，故A选项不能说明勾股定理， B、由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ， 整理可得，故B选项可以证明勾股定理， C、大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故C选项可以证明勾股定理， D、整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ， 整理得，故D选项可以证明勾股定理， 故选：A． 4．（23-24八年级上·河南郑州·开学考试）如图所示，点B，D在数轴上，，长为半径画弧，与数轴正半轴交于点A，点A表示的实数是 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了勾股定理，实数与数轴，先根据勾股定理求出的长度从而得到的长度，再减去即可得到答案，解题的关键是用勾股定理求出． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴点A表示的实数是， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，在中，．若，则正方形与正方形的面积之和为（    ） A．25 B．144 C．169 D．以上都不对 【答案】C 【思路点拨】本题考查勾股定理，由图可知正方形的面积为；正方形的面积为；在中，由勾股定理可得，从而得到答案，熟记勾股定理，数形结合表示正方形与正方形的面积之和是解决问题的关键． 【规范解答】解：如图所示，正方形的面积为；正方形的面积为； 在中，，由勾股定理可得， ， ，即正方形与正方形的面积之和为， 故选：C． 6．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）如图，在中，，P 为射线上一点，若是等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或6或2 【思路点拨】由题意可求得；分三种情况考虑：；；即可． 【规范解答】解：， ， 由勾股定理得：； 当时，如图，则； 当时，过点C作于E，如图； 则，， 由勾股定理得：， ； 当时，则， ； 而， 即， ， 是等边三角形， ， ； 综上，的长为或6或2． 【考点评析】本题考查了含30度直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，注意分类讨论． 7．（23-24八年级下·重庆万州·期末）如图，在矩形中，，点E为线段的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到，点G在线段上，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查勾股定理，翻折定义．根据题意可得，，得出，因为，所以，连接，设，即可得到答案． 【规范解答】解：连接， ∵，， ∴，，， 连接，设， 可得方程：， 代入数值可得：， 解得， ∴， 故答案为：． 8．（2024·浙江台州·二模）如图，直线直线，直线分别交，于点，．射线平分，交于点；于点，若，，则 ． 【答案】4 【思路点拨】此题考查了平行线的性质、勾股定理．根据角平分线定义及平行线的性质求出，根据等腰三角形的判定得出，再根据勾股定理求解即可． 【规范解答】解：平分， ， ∵， ， ， ， ，， ， 于点， ， 故答案为：4． 9．（23-24八年级下·江西新余·期末）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长？” 【答案】14.5尺． 【思路点拨】设绳索有尺长，由勾股定理得出方程，解方程即可．本题考查了勾股定理的应用，理解题意，由勾股定理得出方程是解题的关键． 【规范解答】解： ∵ ∴四边形是矩形 ∴ 依题意得 则设绳索有尺长， 在中， 即， 解得：， 即绳索长14.5尺． 10．（22-23八年级下·甘肃陇南·期末）生活中我们经常用到密码，例如支付宝支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：可以因式分解为，当时，，，，此时可以得到数字密码283031． (1)根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码？ (2)已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为、，求出一个由多项式分解因式后得到的密码（只需一个即可）． 【答案】(1)可得数字密码是151020；也可以是152010；101520；102015，201510，201015 (2)24121(答案不唯一) 【思路点拨】本题考查了因式分解的应用，勾股定理，利用因式分解解决求值问题，利用因式分解解决证明问题，利用因式分解简化计算问题，考查了用类比的方法解决问题；（2）小题中计算出的值为解决问题的关键． （1）先分解因式得到，然后利用题中设计密码的方法写出所有可能的密码； （2）利用勾股定理和周长得到，，再利用完全平方公式可计算出，然后与（1）小题的解决方法一样． 【规范解答】（1）， 当，时，，， 可得数字密码是151020；也可以是152010；101520；102015，201510，201015； （2）由题意得：解得， 而， 所以可得数字密码为24121． 11．（21-22七年级下·山东济南·期末）小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)21.6米； (2)应该往回收线8米． 【思路点拨】本题考查勾股定理的实际应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）勾股定理求出的长，再加上小明的身高即可； （2）如图勾股定理求出此时的长，即可得出结果． 【规范解答】（1）解：由勾股定理得， （米）， （米）； （2）如图，由勾股定理得， （米）， （米）， 他应该往回收线8米． 12．（23-24八年级上·河南周口·期末）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图，现从A地分别向，，三地修了三条笔直的公路，，，地、地、地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从地修了一条笔直的公路与公路在处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米． (1)求公路，的长度． (2)若修公路每千米的费用是万元，请求出修建公路的费用． 【答案】(1)7千米，千米 (2)修建公路的费用为万元 【思路点拨】本题考查了勾股定理，三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）利用三角形的等面积方法即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，千米，千米， ∴（千米）． ∵千米， ∴千米， ∴（千米）． （2）∵， ∴， 解得千米， ∴修建公路DH的费用为（万元） 培优题真题汇编练 13．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，曾用几个全等的直角三角形通过拼接，巧妙利用面积关系证明了勾股定理，体现了我国古代劳动人民的伟大智慧.下面四个图形是用4个全等的直角三角形拼接而成的图形，其中不能得出勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 【规范解答】选项A：如图， 大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得， 故选项A能得出勾股定理； 选项B：如图， 由图可得：， 整理得， 故选项B能得出勾股定理； 选项C：如图， 证明：由图可知 ，，正方形边长为， 即． 故选项C能得出勾股定理； 选项D不能得出勾股定理； 故选：D 14．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若大正方形的面积为16，小正方形的面积是3，则是（      ） A．19 B．13 C．42 D．29 【答案】D 【思路点拨】本题考查“赵爽弦图”为背景的代数式求值，涉及勾股定理、三角形面积及正方形面积等知识，熟练掌握“赵爽弦图”图形构成，数形结合，掌握代数式求值方法是解决问题的关键． 根据题意，求出大正方形边长、直角三角形面积、大正方形面积，进而得到，，利用完全平方和公式展开后，代入求值即可得到答案． 【规范解答】解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为， ，且直角三角形的斜边长为， 大正方形的边长为，则， 大正方形的面积为16，小正方形的面积是3， ，即，则， ， 故选：D． 15．（2024·福建厦门·二模）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．主要内容为“将一个几何圈形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”．如图，在等腰中，，，点D为边上一动点，过D作，，则根据出入相补原理，我们可发现，一定为定值，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，等面积法的应用，先连接，过作于，求解及，再利用等面积法可得答案． 【规范解答】解：连接，    过作于， ∵等腰，，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ， 故选：C． 16．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：① ；② ；③ 过点B作于点I，延长B交于点J，则．④ 若，则．其中正确的结论个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路点拨】本题考查勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． 首先根据题意证明出，进而得到，即可判断①；过点F作交延长线于点O，证明出，得到，然后利用三角形面积公式即可得到，即可判断②；过点A作交的延长线于点P，过点C作，证明出，得到，同理得到，得到，然后证明出，得到，即可判断③；根据全等三角形的性质得到，然后利用勾股定理证明出，同理得到，然后得到，即可判断④． 【规范解答】∵在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴，故①正确； 如图所示，过点F作交延长线于点O， ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∵， ∴，故②正确； 如图所示，过点A作交的延长线于点P，过点C作 ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ 同理可证， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴，故③正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴ 同理可证， ∴，故④正确． 综上所述，正确的结论个数是4． 故选：D． 17．（22-23八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，，和的角平分线相交于点D，过点作的垂线，交延长线于点，连接，若的面积为6，下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有几个．（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】由可判定①不正确；根据，和的角平分线相交于点，可得，而，即得，故②正确；由和的角平分线相交于点，知是的内心，可判定③正确；由，得，又平分，，可得，即可判定④不正确． 【规范解答】， ∴， ①不正确； ， ， 和的角平分线相交于点， ， ， ， ， ，故②正确； 和的角平分线相交于点，三条角平分线交于同一点 平分，故③正确； ，，， ∴， ∴， 平分，， ， ∴， ∴，故④不正确； 综上所述，正确的有②③ 故选：B． 【考点评析】本题考查三角形的综合应用，涉及三角形的内心、三角形面积、三角形全等的判定及性质等知识，解题的关键是从图中找出并证明． 18．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知长方形中，，P是边上的点，将沿折叠，使点A落在点E上，与分别交于点O、F，且，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用，关键在于折叠所对应的边角相等,利用方程的思想解题．根据题意证明，再设出未知数,利用勾股定理列出方程解出即可． 【规范解答】解：∵四边形是长方形， ∴， 由折叠的性质得：， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， 设，则 ∴， 在中，，即 解得：． 故答案为：． 20．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查等腰直角三角形的性质，折叠的性质以及勾股定理，设，由折叠得，，，由勾股定理求出在中，由勾股定理，求出的值即可． 【规范解答】解：如图， ∵， ∴， 在中， ∴， ∴， 设， 由折叠得，，， ∴，， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得，， ∴， 故答案为：． 21．（23-24八年级下·四川德阳·阶段练习）如图，在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为，，，正放置的四个正方形的面积依次为，，，，则的值为 ． 【答案】8 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明是解题的关键．证≌，得，同理，． 【规范解答】解：如下图所示，将图中点命名： ， 在和中， ， ≌， ，， ∴， 同理可证， ∴． 故答案为：． 22．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，，点D是边上的一个动点，连接，过点C作，使，连接，点F是的中点，连接并延长，交边所在直线于点G，若，则的长为 ． 【答案】或 【思路点拨】分点G在上，和在延长线上，两种情况讨论，当点G在上，连接，证明，可得，再由等腰三角形的性质可得，设，则，由勾股定理可得，即可求解；当点G在延长线上，连接，同理可证，得，，由是等腰直角三角形，点是的中点，得到是的垂直平分线，推出，设，则，，利用勾股定理即可求解． 【规范解答】解：如图，当点G在上，连接，    ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴，即， 是等腰直角三角形，点是的中点， 是的垂直平分线， ， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即； 如图，当点G在延长线上，连接， 同理可得：，， ∴， ∴， 是等腰直角三角形，点是的中点， 是的垂直平分线， ， 设，则，， ， ， ， ，即， 解得：， ， 综上，的长为或 故答案为：或． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，证明，是解题的关键． 23．（23-24八年级下·河南·阶段练习）我国古典数学著作中有一道计算秋千绳索长度的题目．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度． 【答案】14.5尺 【思路点拨】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 设尺，表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果． 【规范解答】解：由题意得：，， 设尺， 尺，尺， （尺），尺， 在中，尺，尺，尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 则秋千绳索的长度为14.5尺． 24．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）在苏教版七下第九章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示． (1)用不同的方法计算图1的面积得到等式： ； (2)图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，从整体看它又是一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式： （结果为最简）； (3)根据上面两个结论，解决下面问题： ①在直角中，，三边长分别为a、b、c，已知，，求的值． ②如图3，四边形中，对角线，互相垂直，垂足为O，，在直角中，，，若的周长为2，则的面积= ． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【思路点拨】本题主要考查了代数式，整式的混合运算，勾股定理，掌握常见的几何图形的面积公式以及整式的运算法则是解题的关键． （1）根据图形列出代数式即可； （2）图中的面积为直角梯形的面积，也可以看成几个三角形面积的和，分别列出代数式即可得到答案； （3）①利用（2）的结论代入数据计算即可；②根据三角形面积公式计算即可． 【规范解答】（1）解：图1的面积为大正方形的面积，即， 图1的面积也可以为两个不同正方形的面积加上两个相同长方形的面积，即， 故可得等式； （2）解：图2的面积为直角梯形的面积，即 图2的面积也可以看作个直角三角形的面积和，即， 故可得到等式， 故； （3）解：①，， ； ②，在直角中，，， 在直角中， 25．（23-24八年级下·北京·期末）在中，，，点 D在直线上 (点 D 与点A、点C不重合)，连接，过点 D 作 的垂线交直线于点 E，过点A作的垂线交直线于点 F. (1)如图1, 当点 D在线段上时, ①求证: ； ②用等式表示线段，，之间的数量关系并证明. (2)如图2，当点D在射线上时，依题意补全图形，并直接用等式表示线段，，之间的数量关系. 【答案】(1)①见解析；②； (2)； 【思路点拨】（1）本题考查三角形全等的判定与性质，勾股定理，三角形内外角关系及内角和定理，等腰三角形的性质，①先根据，得到，根据，得到，，即可得到证明；②在上截取，证明，结合勾股定理即可得到答案； （2）本题考查三角形全等的判定与性质，过D作，先证明，得到，即可得到答案； 【规范解答】（1）①证明：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②解：在上截取， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， 在与中， ，， ∵， ∴； （2）解：图形如图所示，，理由如下， 过D作， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 26．（23-24八年级上·福建福州·期末）在中，，，D是边上的动点，连接． (1)如图1，当D为中点时，求证：是等边三角形； (2)如图2，若，求的最小值； (3)如图3，以为边在右方作等边三角形，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点G，连接，若，求之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)的最小值为； (3)，理由见解析 【思路点拨】（1）利用斜边中线的性质求得，利用直角三角形的性质求得，利用有一个角是的等腰三角形是等边三角形即可证明结论成立； （2）在外作，作交于点，交于点，得到，此时有最小值，最小值为的长，据此求解即可； （3）作边的中点，连接，依据“”判定和全等得，进而可证，据此即可得出；过点作交于点，先证和全等得，，再证即可得出线段，，之间的数量关系． 【规范解答】（1）证明：∵，D为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：在外作，作交于点，交于点， ∵，， ∴， ∴，此时有最小值，最小值为的长， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴的最小值为； （3）解：，，之间的数量关系是，理由如下： 作边的中点，连接， 在中，， 同理为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， 即， ， 在和中， ， ， ， ， ； 过点作交于点，如图： 则， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ， 又， ， ， 又， ， ． 【考点评析】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$