2.5 等腰三角形的轴对称性（知识精讲+易错点拨+十四大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第2章《轴对称图形》】 2.5 等腰三角形的轴对称性 （知识精讲+易错点拨+十四大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：等边对等角的概念与应用 4 考点讲练2：三线合一的概念与应用 5 考点讲练3：格点图中画等腰三角形 7 考点讲练4：找出图中的等腰三角形 8 考点讲练5：根据等角对等边证明等腰三角形 10 考点讲练6：根据等角对等边证明边相等 11 考点讲练7：根据等角对等边求边长 13 考点讲练8：与直线或图上两点构成的三角形 14 考点讲练9：作等腰三角形（尺规作图） 15 考点讲练10：等腰三角形的性质和判定 17 考点讲练11：三角形边角的不等关系 18 考点讲练12：等边三角形的判定和性质 19 考点讲练13：含30°角的直角三角形 22 考点讲练14：斜边的中线等于斜边的一半 23 中等题真题汇编练 24 培优题真题汇编练 28 新知精讲梳理 知识点01：等腰三角形的定义 定义：有两边相等的三角形称为等腰三角形。在等腰三角形中，相等的两边称为腰，另一边称为底边。两腰之间的夹角称为顶角，腰与底边之间的夹角称为底角。 知识点02：等腰三角形的性质 底角相等：等腰三角形的两个底角相等。这是由等腰三角形的定义直接得出的性质，也称为“等边对等角”。 三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。这一性质是等腰三角形独有的，也是证明等腰三角形相关问题的关键。 知识点03：等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的两边也相等。即“等角对等边”。这是判定一个三角形是否为等腰三角形的重要依据。 知识点04：等腰三角形的轴对称性 轴对称性：等腰三角形是轴对称图形。其对称轴是顶角平分线（也是底边上的中线和底边上的高）所在的直线。沿这条直线折叠，等腰三角形的两部分能够完全重合。 对称性质的应用：利用等腰三角形的轴对称性，可以方便地证明等腰三角形的相关性质，如底角相等、三线合一等。同时，在解决与等腰三角形相关的问题时，也可以利用轴对称性进行构造和推理。 知识点05：例题与练习 例题：通常会通过具体的题目来展示等腰三角形的性质、判定和轴对称性的应用。例如，证明等腰三角形的两个底角相等、证明某三角形是等腰三角形、利用等腰三角形的轴对称性求解线段或角的长度和度数等。 练习：通过大量的练习来巩固学生对等腰三角形知识点的理解和掌握。练习题目会涵盖等腰三角形的定义、性质、判定和轴对称性等多个方面，旨在提高学生的解题能力和思维能力。 知识点06：拓展知识 等边三角形：作为等腰三角形的特例，等边三角形的三条边都相等，三个角也都相等（每个角都是60°）。等边三角形也具有轴对称性，其对称轴有三条，分别是三条边的中垂线。 直角三角形中的等腰三角形：在直角三角形中，如果斜边上的中线等于斜边的一半，那么该直角三角形可以看作是由两个等腰三角形组成的。这一性质在解决直角三角形相关问题时非常有用。 高频易错知识点拨 易错知识点01：等腰三角形的性质理解错误 底角与顶角混淆： 错误理解：学生可能将等腰三角形的两个底角误认为是顶角，或者将顶角误认为是底角。 正确理解：等腰三角形的两个底角相等，且都小于顶角。底角是与等腰三角形的两边（即腰）相邻的角，而顶角是等腰三角形顶点的角。 三线合一性质理解不透彻： 错误理解：学生可能只记住“三线合一”这一说法，但不清楚这三线（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高）是如何合一的，以及它们的具体性质。 正确理解：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，这一性质称为“三线合一”。这一性质在证明等腰三角形的相关问题时非常有用。 易错知识点02：等腰三角形的判定方法混淆 判定条件记忆不清： 错误判定：学生可能将等腰三角形的判定条件与其他三角形的判定条件混淆，如误将“两边相等”作为所有等边三角形的判定条件，而忽略了等腰三角形特有的判定条件。 正确判定：等腰三角形的判定条件主要有两个：一是两边相等（即两腰相等），二是两角相等（且为底角）。满足其中任何一个条件，都可以判定一个三角形为等腰三角形。 忽视题目中的隐含条件： 错误忽视：学生可能在解题过程中忽视题目中的隐含条件，如等腰三角形的对称性、角平分线的性质等，导致无法正确应用等腰三角形的判定方法。 正确应用：在解题时，应仔细审题，找出题目中的隐含条件，并结合等腰三角形的性质进行推理和判定。 易错知识点03：等腰三角形与轴对称性的关系理解不清 轴对称性质理解不透彻： 错误理解：学生可能只知道等腰三角形是轴对称图形，但不清楚其对称轴是什么，以及如何利用这一性质解题。 正确理解：等腰三角形的对称轴是其顶角平分线（也是底边上的中线和底边上的高）所在的直线。这一性质使得等腰三角形在轴对称变换下具有不变性，即沿对称轴折叠后两边能够完全重合。 忽视轴对称性质在解题中的应用： 错误忽视：学生可能在解题过程中忽视轴对称性质的应用，导致解题过程复杂或无法得出正确答案。 正确应用：在解题时，应充分利用等腰三角形的轴对称性质进行推理和计算。例如，可以利用对称轴上的点到两个底角的距离相等这一性质来求解相关线段或角的长度和度数。 考点讲练1：等边对等角的概念与应用 【精讲题】（18-19八年级上·全国·单元测试）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则 ． 【举一反三练1】（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，是的中线，是的中线，且．求证： (1) ； (2)平分． 【举一反三练2】（21-22八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，已知在中，，，点D是边的中点，如果点P在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动． (1)当点Q与点P的速度一样时，运动1秒后，______，______； (2)当点Q与点P的速度一样时，运动1秒后，与是否会全等？请说明理由． (3)当点Q与点P的速度不一样时，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ 考点讲练2：三线合一的概念与应用 【精讲题】（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，是边上的高线，是中线，且于，． (1)求证：是的中点； (2)求证． 【举一反三练1】（23-24七年级下·上海浦东新·期末）在中，，，，猜想线段与的数量关系，并说明理由 【举一反三练2】（22-23八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，点在边上，，是的中点，是的中点． (1)求证：； (2)若点是边的中点，连接，当满足______时（添加一个条件），有线段，并说明理由． 考点讲练3：格点图中画等腰三角形 【精讲题】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）已知，点A，B，C都是格点，用无刻度直尺画图： (1)作的中线； (2)作的高； (3)在上作点E，使； (4)点F为与网格线的交点，在上作点D，使． 【举一反三练1】（2024·吉林长春·一模）图①、图②、图③分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，画的角平分线； (2)在图②中，画的角平分线； (3)在图③中，在边上确定点N，使得． 【举一反三练2】（21-22七年级下·四川成都·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了格点（顶点为网格线的交点）是过网格线的一条直线．    (1)求的面积； (2)作关于直线对称的图形； (3)在边上找一点，连接，使得． 考点讲练4：找出图中的等腰三角形 【精讲题】（23-24八年级上·海南·期末）如图，已知．    (1)利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． ①作的平分线交于点； ②作线段的垂直平分线交于点，交于点． (2)在所作的图中，连接、．写出图中所有的等腰三角形：___________． 【举一反三练1】（23-24八年级上·吉林白山·期中）如图，在四边形中，，，，点E是线段上一点，且．    (1)求证：； (2)直接写出图中所有的等腰三角形． 【举一反三练2】（22-23八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，，点D在上，点E在上，连接、，． (1)求证：； (2)如图2，当时，作于H，请找出图2中的所有等腰三角形（除外），并写出理由． 考点讲练5：根据等角对等边证明等腰三角形 【精讲题】（22-23八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，平分，求证：． 【举一反三练1】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，于点C，E为上一点，连接的延长线交于点F，已知． (1)求证：； (2) _____；（填位置关系，这个结论可以直接用于证明过程） (3)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明：已知：如图，在中，，求证：． 【举一反三练2】（23-24八年级上·吉林白山·阶段练习）如图，在中，平分交于点，交于点，若，，求证：是等腰三角形． 考点讲练6：根据等角对等边证明边相等 【精讲题】（23-24八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，，E是上的一点，，．求证：是直角三角形． 【举一反三练1】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，是边上的高， (1)尺规作图：作的平分线，交于点，交于点（要求：先用铅笔作图，再用黑色笔把它涂黑，不写作法，保留作图痕迹）． (2)求证：为等腰三角形． 【举一反三练2】（2024八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，已知：在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有 个等腰三角形；与、之间的数量关系是 ，的周长是 （2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有 个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长 （3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明． 考点讲练7：根据等角对等边求边长 【精讲题】（18-19八年级上·北京·阶段练习）如图，已知：，点、、、…在射线ON上，点、、、…在射线OM上，、、、…均为等边三角形，若，则的边长为（　　）    A．32 B．64 C．128 D．256 【举一反三练1】（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，，，则 ． 【举一反三练2】（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，是的角平分线，交的延长线于点．是上一点，，作交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 考点讲练8：与直线或图上两点构成的三角形 【精讲题】（22-23八年级上·江西南昌·期中）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有（   ）个． A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24八年级上·北京朝阳·期中）已知：如图，线段直线l．（设到直线l的距离为d，满足） 求作：点P．使得点P在直线l上，且点P、点A、点B构成的三角形为等腰三角形（保留作图痕迹，不必写出作法）． (1)满足条件的点共有_________个； (2)在图中用尺规作图作出满足条件的点P； （保留作图痕迹，不必写出作法，不同的点从左到右用下标以示区别，如：） (3)其中，使得的周长最小的点是_________． 【举一反三练2】．（22-23八年级上·湖北鄂州·期末）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC向右平移3个单位，再向下平移1个单位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2关于x轴对称 (1)画出△A1B1C1和△A2B2C2； (2)在x轴上确定一点P，使BP+A1P的值最小，利用作图画出P的位置（保留作图痕迹）； (3)点Q在坐标轴上且满足△ACQ为等腰三角形，则 这样的Q点有　 　个. 考点讲练9：作等腰三角形（尺规作图） 【精讲题】（23-24八年级上·江苏扬州·期末）在中，，直线 l 经过点 A，且与平行．仅用圆规和无刻度的直尺完成下 列画图．（保留画图痕迹，不写作法） (1)如图①，在直线 l 上画出一点 P，使得； (2)如图②，在直线 l 上画出所有的点 Q，使得． 【举一反三练1】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）在中，，直线经过点，且与平行．请用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，在直线l上作出一点P，使得； (2)如图②，在直线上作出所有的点，使得． 【举一反三练2】（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知：在中，作的平分线，在上找一点D，使得，过点D作，交直线于点E． (1)在图中，依题意补全图形； (2)用等式写出之间的数量关系，并给出证明； (3)如果把作的平分线，改为作的外角的平分线，其他条件不变，直接用等式写出之间的数量关系． 考点讲练10：等腰三角形的性质和判定 【精讲题】（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在中，，．延长线段至点，使，过点作射线，点为射线上的动点，分别过点，作直线的垂线，．当的值最大时，的度数为 ． 【举一反三练1】．（23-24八年级上·河南郑州·开学考试）已知，在中，，，点D为直线上一动点（点D不与点B、C重合），连接，使，． (1)如图1，当点D在线段上时，与的数量关系是 ，与的位置关系是 ，、、三条线段的数量关系是 ． (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，其他条件不变，求、、三条线段的数量关系． (3)如图3，当D运动到的延长线上，且A、E分别在直线的两侧，，，求的长． 【举一反三练2】（23-24八年级上·四川成都·开学考试）如图，在中，，，点D为边上一动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作，射线交边于点E． (1)求证：； (2)试探究当的长为多少时，？请给出你的结论，并说明理由； (3)过点A在右侧作，交射线于点F，连接．当为等腰三角形时，求的度数． 考点讲练11：三角形边角的不等关系 【精讲题】（21-22八年级上·贵州遵义·期末）已知锐角，如图． （1）在射线OM上取一点A，以点O为圆心，OA长为半径作弧DE，交射线ON于点B，连接AB； （2）以点B为圆心，AB长为半径作弧，交弧DE于点C； （3）连接BC，AC．作射线OC． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（    ） A． B．若，则 C．OB垂直平分AC D． 【举一反三练1】（20-21八年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若等腰三角形的一边长等于2，另一边长等于3，则它的周长等于（   ）． A．7 B．8 C．9 D．7或8 【举一反三练2】（19-20八年级下·甘肃白银·期末）如图，在ABC中，∠C＝90°，点D为BC上一点，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，F为AC上一点，则下列结论中正确的是（　　） A．DE＝DF B．BD＝FD C．∠1＝∠2 D．AB＝AC 考点讲练12：等边三角形的判定和性质 【精讲题】（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，，都是等边三角形，与交于点H，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求之间的数量关系． 【举一反三练1】（23-24七年级下·四川成都·期中）已知为等边三角形，，为上一点，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点，在上取点，使，连接，，求证：； (3)如图3，已知，为射线上一点，连接，，，连接，若的面积为，的面积为，的面积为，求证： 【举一反三练2】（23-24八年级下·山东济南·期末）在中，，点是线段上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，如果． ① 的度数为　　 °； ②则与全等吗？请说明理由； (2)如图2，如果，当点在线段上移动， ① 的度数是 　 　°； ②当点运动到什么位置时，的周长最小？ 考点讲练13：含30°角的直角三角形 【精讲题】（23-24八年级上·四川泸州·期中）如图，一条船上午6时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午8时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得，．    (1)求海岛B到灯塔C的距离； (2)若这条船继续向正北航行，问上午几时小船与灯塔C的距离最短？ 【举一反三练1】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，已知，点P在边上，，点E，F在边上，连接，有．若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【举一反三练2】（23-24八年级下·山西晋中·期中）如图①，是一块光学直角棱镜，其截面为图②所示的，AB所在的面为不透光的磨砂面，，.现有一束单色光从CB边的点E处垂直射入，到达AB边的点D，恰有，经过反射后（即）从AC边的点F处射出.若光线在棱镜内部经过的路径，则这块棱镜的高度AC为 cm. 考点讲练14：斜边的中线等于斜边的一半 【精讲题】．（2024·浙江杭州·一模）如图，，均为的高，且，连结交于点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，为上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任一点，为的中点，则线段长的最小值是（　　） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）［背景］除了高线、角平分线、中线这三条三角形中的主要特殊线段，三角形中还有很多线段值得我们研究．“等腰分割线”的定义如下：把一个三角形分成两个等腰三角形的线段称为这个三角形的等腰分割线． ［问题］如图，在中，，D是上一点（C，D不重合），且，点E是的中点，连结．    (1)求证：是的等腰分割线． (2)若是的等腰分割线，写出和存在的数量关系． 中等题真题汇编练 1．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）将等腰直角三角板与直尺按如图方式叠放一起，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）若等腰三角形的顶角为，则它的一个底角的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·河北承德·期中）如图，已知是等边三角形，点在同一直线上，且，，则为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，边的垂直平分线交于，点在上，连接，，，则的周长为（    ）    A．6 B．4 C．3 D．12 5．（23-24八年级上·四川泸州·期中）如图，，点E在上，且，，则的大小为 ． 6．（2024·江苏盐城·一模）如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，则 °． 7．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，若，则的长为 ． 8．（23-24七年级下·福建宁德·期末）如图，在中，于点，将沿着翻折得到，延长交于点，连接，设，以下四个结论：    （1）点是的中点； （2）直线是的垂直平分线； （3）； （4）； 其中一定正确的是 （填写序号）． 9．（23-24八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线交于点E，交于点D（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求证：是等边三角形． 10．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，已知：． (1)求作：点P，使点P在内部，且， (2)判断 的形状． 11．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）如图1，仪器可以用来平分一个角，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整与，使他们落在角的两边上，沿画一条射线，那么就是的平分线． (1)根据所学数学知识，请用数学语言说明上述操作的道理； (2)小明发现该仪器还可以用来作已知线段的垂线，操作如下：如图2，将仪器上的点A，C落在线段上，沿画一条直线EF，则．小明的方法合理吗？若合理，请证明；若不合理，请说明理由． 12．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，长方形 中，，，现有一动点 从 出发以 秒的速度，沿矩形的边运动，点返回到点停止，设点运动的时间为秒． (1)当 时， ①______； ②请你在图中画出此时的； ③请你在线段上再找一个不与点重合的点，使得，并在图中标出的长度； (2)当点在上运动时，用含的式子表示的长； (3)当为何值时，连接 ，，是等腰三角形？ 培优题真题汇编练 13．（23-24八年级上·四川泸州·期中）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边为（    ） A． B．或 C． D． 14．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的同样长为半径画弧，两弧相交于两点M、N；②作直线交于点D，连结，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 15．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，直线，等腰直角三角形和等边在之间，点A，D分别在上，点B，C，E，F在同一直线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，，则的度数是 ．（用含的代数式表示） 17．（23-24八年级上·山东济南·开学考试）如图，在等腰中，，，为的角平分线，过点C作交的延长线于点E，若，则的长为 ．    18．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）如图，在中，，，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，边于点E，F； ②分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P； ③作射线，过点C作于点D．则 ． 19．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，分别以、和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连接、和交于点P，则、、、中某三条线段存在等量关系是 ． 20．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知，点在射线上，点在射线上．均为等边三角形，若，则的边长为 ． 21．（24-25八年级上·全国·假期作业）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．如图，在中，，于D，求证：． 22．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，为等腰直角三角形，，为等边三角形，连接．    (1)求的度数； (2)如图2，作的平分线交于，为线段右侧一点，满足，求证：平分． 23．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：    (1)如图1、两个等腰三角形和中，，，，连接、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是________，此时和的数量关系是________； (2)如图2、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，两线交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，已知，以为边分别向外作等边和等边（等边三角形三条边相等，三个角都等于），连接，两线交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数． 24．（23-24七年级下·上海普陀·期末）小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空． 【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”． 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由） 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度； 问题2：在等腰三角形中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”． （1）与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． （2）当（如图4所示），时，求点C到直线的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第2章《轴对称图形》】 2.5 等腰三角形的轴对称性 （知识精讲+易错点拨+十四大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：等边对等角的概念与应用 4 考点讲练2：三线合一的概念与应用 8 考点讲练3：格点图中画等腰三角形 12 考点讲练4：找出图中的等腰三角形 17 考点讲练5：根据等角对等边证明等腰三角形 21 考点讲练6：根据等角对等边证明边相等 24 考点讲练7：根据等角对等边求边长 27 考点讲练8：与直线或图上两点构成的三角形 30 考点讲练9：作等腰三角形（尺规作图） 34 考点讲练10：等腰三角形的性质和判定 38 考点讲练11：三角形边角的不等关系 44 考点讲练12：等边三角形的判定和性质 47 考点讲练13：含30°角的直角三角形 53 考点讲练14：斜边的中线等于斜边的一半 56 中等题真题汇编练 60 培优题真题汇编练 71 新知精讲梳理 知识点01：等腰三角形的定义 定义：有两边相等的三角形称为等腰三角形。在等腰三角形中，相等的两边称为腰，另一边称为底边。两腰之间的夹角称为顶角，腰与底边之间的夹角称为底角。 知识点02：等腰三角形的性质 底角相等：等腰三角形的两个底角相等。这是由等腰三角形的定义直接得出的性质，也称为“等边对等角”。 三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。这一性质是等腰三角形独有的，也是证明等腰三角形相关问题的关键。 知识点03：等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的两边也相等。即“等角对等边”。这是判定一个三角形是否为等腰三角形的重要依据。 知识点04：等腰三角形的轴对称性 轴对称性：等腰三角形是轴对称图形。其对称轴是顶角平分线（也是底边上的中线和底边上的高）所在的直线。沿这条直线折叠，等腰三角形的两部分能够完全重合。 对称性质的应用：利用等腰三角形的轴对称性，可以方便地证明等腰三角形的相关性质，如底角相等、三线合一等。同时，在解决与等腰三角形相关的问题时，也可以利用轴对称性进行构造和推理。 知识点05：例题与练习 例题：通常会通过具体的题目来展示等腰三角形的性质、判定和轴对称性的应用。例如，证明等腰三角形的两个底角相等、证明某三角形是等腰三角形、利用等腰三角形的轴对称性求解线段或角的长度和度数等。 练习：通过大量的练习来巩固学生对等腰三角形知识点的理解和掌握。练习题目会涵盖等腰三角形的定义、性质、判定和轴对称性等多个方面，旨在提高学生的解题能力和思维能力。 知识点06：拓展知识 等边三角形：作为等腰三角形的特例，等边三角形的三条边都相等，三个角也都相等（每个角都是60°）。等边三角形也具有轴对称性，其对称轴有三条，分别是三条边的中垂线。 直角三角形中的等腰三角形：在直角三角形中，如果斜边上的中线等于斜边的一半，那么该直角三角形可以看作是由两个等腰三角形组成的。这一性质在解决直角三角形相关问题时非常有用。 高频易错知识点拨 易错知识点01：等腰三角形的性质理解错误 底角与顶角混淆： 错误理解：学生可能将等腰三角形的两个底角误认为是顶角，或者将顶角误认为是底角。 正确理解：等腰三角形的两个底角相等，且都小于顶角。底角是与等腰三角形的两边（即腰）相邻的角，而顶角是等腰三角形顶点的角。 三线合一性质理解不透彻： 错误理解：学生可能只记住“三线合一”这一说法，但不清楚这三线（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高）是如何合一的，以及它们的具体性质。 正确理解：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，这一性质称为“三线合一”。这一性质在证明等腰三角形的相关问题时非常有用。 易错知识点02：等腰三角形的判定方法混淆 判定条件记忆不清： 错误判定：学生可能将等腰三角形的判定条件与其他三角形的判定条件混淆，如误将“两边相等”作为所有等边三角形的判定条件，而忽略了等腰三角形特有的判定条件。 正确判定：等腰三角形的判定条件主要有两个：一是两边相等（即两腰相等），二是两角相等（且为底角）。满足其中任何一个条件，都可以判定一个三角形为等腰三角形。 忽视题目中的隐含条件： 错误忽视：学生可能在解题过程中忽视题目中的隐含条件，如等腰三角形的对称性、角平分线的性质等，导致无法正确应用等腰三角形的判定方法。 正确应用：在解题时，应仔细审题，找出题目中的隐含条件，并结合等腰三角形的性质进行推理和判定。 易错知识点03：等腰三角形与轴对称性的关系理解不清 轴对称性质理解不透彻： 错误理解：学生可能只知道等腰三角形是轴对称图形，但不清楚其对称轴是什么，以及如何利用这一性质解题。 正确理解：等腰三角形的对称轴是其顶角平分线（也是底边上的中线和底边上的高）所在的直线。这一性质使得等腰三角形在轴对称变换下具有不变性，即沿对称轴折叠后两边能够完全重合。 忽视轴对称性质在解题中的应用： 错误忽视：学生可能在解题过程中忽视轴对称性质的应用，导致解题过程复杂或无法得出正确答案。 正确应用：在解题时，应充分利用等腰三角形的轴对称性质进行推理和计算。例如，可以利用对称轴上的点到两个底角的距离相等这一性质来求解相关线段或角的长度和度数。 考点讲练1：等边对等角的概念与应用 【精讲题】（18-19八年级上·全国·单元测试）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则 ． 【答案】/80度 【思路点拨】本题考查三角形的内角和定理、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，折叠的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识，属于中考常考题型．连接，根据三角形内角和定理，得出，再结合角平分线的定义，得到，由折叠的性质可知，，，从而得出，，即可求解． 【规范解答】解：如图，连接． ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为． 【举一反三练1】（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，是的中线，是的中线，且．求证： (1) ； (2)平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）由题意知，，，如图，延长到使，连接，证明，则，，，由，，可得，证明，进而结论得证； （2）由（1）可知，，则，进而结论得证． 【规范解答】（1）证明：由题意知，， ∵， ∴， 如图，延长到使，连接， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可知，， ∴， ∴平分． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线，三角形外角的性质，等边对等角．熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线，三角形外角的性质，等边对等角是解题的关键． 【举一反三练2】（21-22八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，已知在中，，，点D是边的中点，如果点P在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动． (1)当点Q与点P的速度一样时，运动1秒后，______，______； (2)当点Q与点P的速度一样时，运动1秒后，与是否会全等？请说明理由． (3)当点Q与点P的速度不一样时，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【答案】(1)3，3 (2)全等，理由见解析 (3) 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，二元一次方程组的应用： （1）根据运动轨迹，速度为秒，即可得到答案； （2）分别求出，，利用进行判定即可； （3）设点Q的运动速度为，经过t秒后，能使与全等，分两种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：解：点P在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动， 当点Q与点P的速度一样时，运动1秒后，，， 故答案为：3，3； （2）解：全等，理由如下： 由（1）知，点Q与点P的速度一样时，运动1秒后，，， ， ， ， ， ， 点D是边上的中点，， ， ， 在和中 ， ； （3）解：设点Q的运动速度为，经过t秒后，能使与全等，则，， ， ， 要使与全等，有两种情况： ①，，即，解得：，不符合题意； ②，，即，解得：， 点Q的运动速度为时，能使与全等． 考点讲练2：三线合一的概念与应用 【精讲题】（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，是边上的高线，是中线，且于，． (1)求证：是的中点； (2)求证． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【思路点拨】（）连接，由直角三角形的性质可得，由是中线得，进而可得，即得，再根据三角形三线合一即可求证； （）由等腰三角形的性质得，，再根据三角形外角性质即可求证； 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：连接， ∵是的中线， ∴是的中线， ∵是高， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即是的中点； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【举一反三练1】（23-24七年级下·上海浦东新·期末）在中，，，，猜想线段与的数量关系，并说明理由 【答案】，理由见解析 【思路点拨】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，过点作于点，证明，得，由等腰三角形三线合一得，进而得出结论．掌握等腰三角形三线合一性质是解题的关键． 【规范解答】解：线段与的数量关系：． 理由：过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【举一反三练2】（22-23八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，点在边上，，是的中点，是的中点． (1)求证：； (2)若点是边的中点，连接，当满足______时（添加一个条件），有线段，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线的性质即可证明； （2）连接，由等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线的性质可得，结合（1）中的结论即可解答． 【规范解答】（1）证明：连接， ， ∵，是的中点， ∴， 又∵是的中点， ∴； （2）解：当时，线段， 理由如下： 连接， ， ∵，是的中点， ∴， ∵点是边的中点， ∴， 由（1）可得 ∴当时，． 考点讲练3：格点图中画等腰三角形 【精讲题】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）已知，点A，B，C都是格点，用无刻度直尺画图： (1)作的中线； (2)作的高； (3)在上作点E，使； (4)点F为与网格线的交点，在上作点D，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【思路点拨】本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角形的中线的定义，利用数形结合的思想作出中线即可； （2）取格点，，，得到，据此即可作出高； （3）取格点，连接交于点，点即为所求（构造等腰直角三角形解决问题）； （4）观察图形知，取格点，连接交于点，点即为所求（构造等腰直角三角形解决问题）． 【规范解答】（1）解：如图，线段，即为所求； （2）解：如图，线段，即为所求； （3）解：如图，点即为所求； （4）解：如图，点即为所求， 【举一反三练1】（2024·吉林长春·一模）图①、图②、图③分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，画的角平分线； (2)在图②中，画的角平分线； (3)在图③中，在边上确定点N，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据等腰三角形的三线合一的性质解决问题； （2）取格点，连接，取的中点，连接交一点，线段即为所求； （3）取的中点，连接，取格点，连接，取的中点，连接，作的角平分线，交于点，连接，延长交于点，点即为所求（可以证明，，再利用三角形的外角的性质证明． 【规范解答】（1）解：如图①中，线段即为所求； （2）解：如图②中，线段即为所求； （3）解：如图③中，点即为所求． 【举一反三练2】（21-22七年级下·四川成都·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了格点（顶点为网格线的交点）是过网格线的一条直线．    (1)求的面积； (2)作关于直线对称的图形； (3)在边上找一点，连接，使得． 【答案】(1)10 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【思路点拨】本题考查网格中求三角形面积、对称作图及作线段垂直平分线，涉及三角形面积公式、对称性质、等腰三角形性质等，熟练掌握网格中求图形面积、对称作图及作垂直平分线是解决问题的关键． （1）如图所示，在网格中得到三角形的底边与高长，根据三角形面积公式，代值求解即可得到答案； （2）根据点的对称性，作出三个顶点关于直线的对称点，连接三点即可得到； （3）由题意，在边上找一点，使，根据等腰三角形性质得到，将题目转化为作线段的垂直平分线，如图所示即可得到答案． 【规范解答】（1）解：如图所示：   ； （2）解：如图所示：   即为所求； （3）解：如图所示：   点即为所求． 考点讲练4：找出图中的等腰三角形 【精讲题】（23-24八年级上·海南·期末）如图，已知．    (1)利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． ①作的平分线交于点； ②作线段的垂直平分线交于点，交于点． (2)在所作的图中，连接、．写出图中所有的等腰三角形：___________． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2)，，， 【思路点拨】本题考查了基本作图和等腰三角形的判定： （1）①利用尺规作出的角平分线即可；②利用尺规作出线段的垂直平分线即可； （2）根据等腰三角形的定义判断即可． 【规范解答】（1）解：①如图，射线就是所要求作的的平分线；    ②如图，直线就是所要求作的线段的垂直平分线；    （2）垂直平分线段， ，， ，是等腰三角形， ，，， ， ， ，是等腰三角形． 故答案为：，，，． 【举一反三练1】（23-24八年级上·吉林白山·期中）如图，在四边形中，，，，点E是线段上一点，且．    (1)求证：； (2)直接写出图中所有的等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)图中的等腰三角形有、 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识点，掌握全等三角形的判定成为解题的关键． （1）根据平行线的性质判定，再由可得，再结合，利用即可证明结论； （2）根据（1）的结论可得，再结合等腰梯形的性质即可确定所有等腰三角形． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵由（1）可得 ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰三角形． ∴图中的等腰三角形有、． 【举一反三练2】（22-23八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，，点D在上，点E在上，连接、，． (1)求证：； (2)如图2，当时，作于H，请找出图2中的所有等腰三角形（除外），并写出理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，，，，见解析． 【思路点拨】（1）证出，证明，由全等三角形的性质得出． （2）根据等腰三角形的判定可得出结论． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴； （2）解：，，， 理由：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴和都是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 由（1）可知是等腰三角形． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，证明是解题的关键． 考点讲练5：根据等角对等边证明等腰三角形 【精讲题】（22-23八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质； （1）根据证明即可得出结论； （2）由（1）可得，因为，则，所以，又因为平分，所以，所以，则． 【规范解答】（1）在和中， ∴， ∴． （2）由（1）可得， ∵， ∴， ∴ 又∵平分， ∴， ∴ ∴． 【举一反三练1】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，于点C，E为上一点，连接的延长线交于点F，已知． (1)求证：； (2) _____；（填位置关系，这个结论可以直接用于证明过程） (3)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明：已知：如图，在中，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)⊥ (3)见解析 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理的证明等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会利用面积法证明勾股定理． （1）首先证明，再根据证明即可； （2）根据全等三角形对应角相等得，再证明即可得到结论． （3））利用，结合三角形的面积公式，即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：⊥； （3）证明：∵， ∴， ∴． 【举一反三练2】（23-24八年级上·吉林白山·阶段练习）如图，在中，平分交于点，交于点，若，，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【思路点拨】此题考查等腰三角形的判定，先根据三角形内角和求出，再利用角平分线和垂直得到，即可得到，最后利用等角对等边得到等腰三角形． 【规范解答】证明：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 考点讲练6：根据等角对等边证明边相等 【精讲题】（23-24八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，，E是上的一点，，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【规范解答】本题考查了直角三角形的判定，全等三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．根据，得，利用“”可证明，根据全等三角形的性质得，从而得出，则是直角三角形． 【思路点拨】证明：∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【举一反三练1】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，是边上的高， (1)尺规作图：作的平分线，交于点，交于点（要求：先用铅笔作图，再用黑色笔把它涂黑，不写作法，保留作图痕迹）． (2)求证：为等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查作图基本作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． （1）以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，分别以、为圆心大于长为半径画弧，两弧交于点，直线射线交于，线段即为所求； （2）根据同角的余角相等和角的和差证明，然后根据等角对等边推出． 【规范解答】（1）解：（1）如图线段即为所求； （2）， ， ，， ， ，，， ， ， 是等腰三角形． 【举一反三练2】（2024八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，已知：在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有 个等腰三角形；与、之间的数量关系是 ，的周长是 （2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有 个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长 （3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明． 【答案】（1）5；；20；（2）2；，周长为18；（3） 【思路点拨】本题主要考查的是等腰三角形的性质和判断，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，，再根据两直线平行，内错角相等可得，，然后求出，，再根据等角对等边可得，，然后解答即可； （2）根据角平分线的定义可得，，再根据两直线平行，内错角相等可得，，然后求出，，再根据等角对等边可得，，然后解答即可； （3）由（2）知，，然后利用等量代换即可证明、、有怎样的数量关系． 【规范解答】解：（1）． 理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ， ∵， ，，，， ，， ，，， 等腰三角形有，，，，共5个， ， 即， 的周长． 故答案为：5；；20； （2）， 平分，平分， ，， ∵， ，， ，， ，， 等腰三角形有，， ，即． 可得的周长为18． （3）， 由（1）知， ， ， ， 又， ． 考点讲练7：根据等角对等边求边长 【精讲题】（18-19八年级上·北京·阶段练习）如图，已知：，点、、、…在射线ON上，点、、、…在射线OM上，、、、…均为等边三角形，若，则的边长为（　　）    A．32 B．64 C．128 D．256 【答案】D 【思路点拨】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，数字规律的探求，正确得出各三角形边长的数字规律是解题的关键．根据等边三角形的性质及等腰三角形的性质，可得出每个等边三角形的边长的规律，进而得出答案． 【规范解答】是等边三角形， ， 同理可得，，，以此类推， 的边长为． 故选D． 【举一反三练1】（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，由两直线平行，内错角相等，与两个角平分线，列出相等的角，通过等角对等边，可得到两个等腰三角形，代入已知线段长度，即可求解，解题的关键是：通过平行与角平分线的条件，推导出等腰三角形． 【规范解答】解：， ，， 又和的平分线分别交于点、， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，是的角平分线，交的延长线于点．是上一点，，作交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）由角平分线的定义得，由平行线的性质得，，等量代换可证结论成立； （2）由等角对等边得，根据证明得，进而可求出的长． 【规范解答】（1）是的角平分线， ． ， ， ； （2）， ． ， ． ， ． 在和中， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，以及全等三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键． 考点讲练8：与直线或图上两点构成的三角形 【精讲题】（22-23八年级上·江西南昌·期中）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有（   ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据题意，分三种情况：当时，当时，当时，即可解答． 【规范解答】解：如图所示： 分三种情况： ①当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，， ②当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，， ③当时，作的垂直平分线，交网格线的格点为，，，， 综上所述：使成为等腰三角形，则满足条件的点有个， 故选：B． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，分三种情况讨论是解题的关键． 【举一反三练1】（23-24八年级上·北京朝阳·期中）已知：如图，线段直线l．（设到直线l的距离为d，满足） 求作：点P．使得点P在直线l上，且点P、点A、点B构成的三角形为等腰三角形（保留作图痕迹，不必写出作法）． (1)满足条件的点共有_________个； (2)在图中用尺规作图作出满足条件的点P； （保留作图痕迹，不必写出作法，不同的点从左到右用下标以示区别，如：） (3)其中，使得的周长最小的点是_________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路点拨】本题考查了作图，熟悉基本几何图形的性质是解题的关键． （1），（2）以点为圆心，为半径画弧交直线于点和点，再以为圆心，为半径画弧交直线于点和点，然后再作的垂直平分线交直线于点； （3）个等腰三角形中的周长最小． 【规范解答】（1）解：满足条件的点一共是个； （2）解：以点为圆心，为半径画弧交直线于点和点，再以为圆心，为半径画弧交直线于点和点，然后再作的垂直平分线交直线于点． ； （3）解：由图可知，的周长最小， 故使得的周长最小的点是． 【举一反三练2】．（22-23八年级上·湖北鄂州·期末）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC向右平移3个单位，再向下平移1个单位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2关于x轴对称 (1)画出△A1B1C1和△A2B2C2； (2)在x轴上确定一点P，使BP+A1P的值最小，利用作图画出P的位置（保留作图痕迹）； (3)点Q在坐标轴上且满足△ACQ为等腰三角形，则 这样的Q点有　 　个. 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析； (3)7 【思路点拨】（1）利用平移的性质以及轴对称的性质分别得出对应点位置进而得出答案； （2）利用轴对称求最短路线的方法得出点位置； （3）利用等腰三角形的性质进而得出符合题意的答案． 【规范解答】（1）如图所示：和即为所求, （2）(2)如上图所示：作的对称点，连接和与轴的交点即可，点即为所求； （3）如图所示：即为所求，共个点 故答案为. 【考点评析】本题主要考查了根据平移的性质、轴对称的性质来画图，利用轴对称求最短路径问题，利用等腰三角形的性质来找点，能够理解并且运用这些性质是解题的关键． 考点讲练9：作等腰三角形（尺规作图） 【精讲题】（23-24八年级上·江苏扬州·期末）在中，，直线 l 经过点 A，且与平行．仅用圆规和无刻度的直尺完成下 列画图．（保留画图痕迹，不写作法） (1)如图①，在直线 l 上画出一点 P，使得； (2)如图②，在直线 l 上画出所有的点 Q，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质． （1）以点为圆心，为半径画弧交直线于，则，而，，所以，而可得，故； （2）以点为圆心，为半径画弧交直线于，再以点为圆心，为半径画弧交直线于，则，所以，易得，从而可得． 【规范解答】（1）如图①，点为所作； （2）如图②，点、即为所求， 【举一反三练1】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）在中，，直线经过点，且与平行．请用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，在直线l上作出一点P，使得； (2)如图②，在直线上作出所有的点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质． （1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法”作图； （2）以点为圆心，为半径画弧交直线于，再以点为圆心，为半径画弧交直线于，则，所以，易得． 【规范解答】（1）解：如图：点即为所求； （2）如图：点、即为所求． 【举一反三练2】（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知：在中，作的平分线，在上找一点D，使得，过点D作，交直线于点E． (1)在图中，依题意补全图形； (2)用等式写出之间的数量关系，并给出证明； (3)如果把作的平分线，改为作的外角的平分线，其他条件不变，直接用等式写出之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2),证明见解析 (3) 【思路点拨】根据题意补全图形即可． （2）在上截取，从而构造，则，再利用等腰三角形的“三线合一”性质证得，再结合即可获得结论． （3）与（2）的思路类似． 【规范解答】（1）补全图形如图所示： （2），证明如下： 在上取一点F，使，连接．（如图） ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴为等腰三角形底边上的高， ∴， 由得 ∵ ∴，得 即： （3）结论：．理由如下： 在射线上取一点F，使（如图） ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵，即 ∴，即 ∴ ∴ 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定和性质、利用等腰三角形“三线合一”证明，解题的关键是利用角平分线构造全等三角形． 考点讲练10：等腰三角形的性质和判定 【精讲题】（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在中，，．延长线段至点，使，过点作射线，点为射线上的动点，分别过点，作直线的垂线，．当的值最大时，的度数为 ． 【答案】/130度 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质．如图，过点作直线于点．证明，推出与重合时，的值最大，此时，画出相应的图形，根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果． 【规范解答】解：如图，过点作直线于点． 直线，直线， ， ，， ， ， ， 与重合时，的值最大， 当与重合，与重合时，的值最大，此时， ， ， ， ， ， 又， ， ， 故答案为：． 【举一反三练1】．（23-24八年级上·河南郑州·开学考试）已知，在中，，，点D为直线上一动点（点D不与点B、C重合），连接，使，． (1)如图1，当点D在线段上时，与的数量关系是 ，与的位置关系是 ，、、三条线段的数量关系是 ． (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，其他条件不变，求、、三条线段的数量关系． (3)如图3，当D运动到的延长线上，且A、E分别在直线的两侧，，，求的长． 【答案】(1)；； (2) (3)2 【思路点拨】本题三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由“”可证，可得，由等腰直角三角形的性质可得，可得结论； （2）由“”可证，可得，由线段的关系可得结论； （3）由“”可证，可得，由线段的关系可得结论． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ， ， ， 在和中， ， ． ，， ． ，， ， ， ， 即； 故答案为：；；． （2），理由如下： ， ， ， 在和中， ， ． ， ； （3）， ， 即， 在和中， ， ． ， ， ， ． 【举一反三练2】（23-24八年级上·四川成都·开学考试）如图，在中，，，点D为边上一动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作，射线交边于点E． (1)求证：； (2)试探究当的长为多少时，？请给出你的结论，并说明理由； (3)过点A在右侧作，交射线于点F，连接．当为等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)的度数为或 【思路点拨】本题考查了等腰三角形性质，三角形外角性质，全等三角形性质和判定，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． （1）根据，，即可证得； （2）根据，可得，再结合，，可证得，从而求得的长； （3）根据题意画出草图，利用等腰三角形性质证明，得到，根据为等腰三角形，分①当时， ②当时， ③，三种情况讨论，再结合等腰三角形性质以及三角形外角性质求解，即可解题． 【规范解答】（1）证明：由图可知：， ， ； （2）解：时，理由如下： ， 为等腰三角形，， 又， 在与中： ， ， 此时； （3）解：，，， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形， ①当时， ， ； ②当时， ， ， ， ③， ， 与点D为边上一动点产生矛盾， 故此类型不存在； 综上所述，的度数为或． 考点讲练11：三角形边角的不等关系 【精讲题】（21-22八年级上·贵州遵义·期末）已知锐角，如图． （1）在射线OM上取一点A，以点O为圆心，OA长为半径作弧DE，交射线ON于点B，连接AB； （2）以点B为圆心，AB长为半径作弧，交弧DE于点C； （3）连接BC，AC．作射线OC． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（    ） A． B．若，则 C．OB垂直平分AC D． 【答案】D 【思路点拨】由作法得BA＝BC，OA＝OC，则判断△AOB≌△COB，所以∠BOC＝∠AOB，则于是可对A选项进行判断；若AC＝OA，则可判断△OAC为等边三角形，则∠AOB＝60°，于是可对B选项进行判断；利用OA＝OC，BA＝BC得到OB垂直平分AC，则可对C选项进行判断；根据三角形三边的关系可对D选项进行判断． 【规范解答】解：由作法得BA＝BC，OA＝OC， 而OB为公共边， ∴△AOB≌△COB（SSS）， ∴∠BOC＝∠AOB，所以A选项的结论正确； 若AC＝OA，则OA＝OC＝AC， ∴△OAC为等边三角形， ∴∠AOB＝60°，所以B选项的结论正确； ∵OA＝OC，BA＝BC， ∴OB垂直平分AC，所以C选项的结论正确； ∵AB＋BC＞AC， 而AB＝BC， ∴2AB＞AC，所以D选项的结论错误． 故选：D． 【考点评析】本题考查了作图−复杂作图，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，三角形三边关系，也考查了垂直平分线的判定．熟练掌握相关性质是解题的关键． 【举一反三练1】（20-21八年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若等腰三角形的一边长等于2，另一边长等于3，则它的周长等于（   ）． A．7 B．8 C．9 D．7或8 【答案】D 【思路点拨】分边长2为腰和边长3为腰两种情况解答，并运用三角形的三边关系验证解答即可． 【规范解答】解：①当边长2为腰时，三边为2、2、3，由2+2＞3，则可组成三角形，即周长为2+2+3=7； ②当边长3为腰时，三边为3、3、2，由2+3＞3，则可组成三角形，即周长为2+3+3=8； 所以该等腰三角形的周长为7或8． 故答案为D． 【考点评析】本题主要考查了等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，正确应用三角形的三边关系是解答本题的关键、也是解答本题的易错点． 【举一反三练2】（19-20八年级下·甘肃白银·期末）如图，在ABC中，∠C＝90°，点D为BC上一点，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，F为AC上一点，则下列结论中正确的是（　　） A．DE＝DF B．BD＝FD C．∠1＝∠2 D．AB＝AC 【答案】C 【思路点拨】在直角三角形DCF中，利用斜边长度大于直角边长度，可以得到DF＞DC，又DC＝DE，所以DF＞DE，故A选项错误，同理，D选项错误，假设BD＝FD，则可以判定△DBE≌△DFC，所以∠B＝∠DFC，而在题目中，∠B是定角，∠DFC随着F的变化而变化，假设不成立，故B选项是错误的，由DE＝DC，DC⊥AC，DE⊥AB，根据Rt△DEA≌Rt△DCA（HL）得到C选项是正确的． 【规范解答】解：（1）在直角三角形DCF中，利用斜边长度大于直角边长度，可以得到DF＞DC，又DC＝DE，所以DF＞DE， 故A选项错误； （2）△BDE与△DCF，只满足∠DEB＝∠DCF＝90°，DC＝DE的条件，不能判定两个三角形全等，故不能得到BD＝FD， 另一方面，假设BD＝FD， 在Rt△DBE与△DFC中， ， ∴Rt△DBE≌Rt△DFC（HL）， ∴∠B＝∠DFC， 而图中∠B大小是固定的，∠DFC的大小随着F的变化而变化，故上述假设是不成立的， 故B选项错误； （3）∵DC⊥AC，DE⊥AB，DC＝DE， 在Rt△DEA和Rt△DCA中， ， ∴Rt△DEA≌Rt△DCA（HL）， ∴∠1＝∠2， 故C选项正确； （4）在直角三角形ABC中，利用斜边长度大于直角边长度，可以得到AB＞AC， 故D选项错误， 故选：C． 【考点评析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边不等关系关系，掌握全等三角形的性质与判定，直角三角形三边关系是解题关键． 考点讲练12：等边三角形的判定和性质 【精讲题】（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，，都是等边三角形，与交于点H，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【思路点拨】（1）根据等边三角形性质结合证即可： （2）过点分别作，，由得到，从而，，故有，根据角平分线判定即可得到平分，据此即可求解； （3）在上截取一点，使得，证明是等边三角形，即可证明，从而得解． 【规范解答】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：如图，过点分别作，，垂足为点，， 由（1）知：，， ，， ，， ，， 点在的平分线上，， 即平分， ； （3）解：，理由： 如图，在上截取一点，使得， 由（1）和（2）知：，． 是等边三角形， 是等边三角形． ，，． ， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查了等边三角形性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，角平分线的判定，三角形的内角和定理的综合运用，熟练掌握以上知识是解答的关键． 【举一反三练1】（23-24七年级下·四川成都·期中）已知为等边三角形，，为上一点，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点，在上取点，使，连接，，求证：； (3)如图3，已知，为射线上一点，连接，，，连接，若的面积为，的面积为，的面积为，求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【思路点拨】（1）由“”可证，可得； （2）由“”可证，可得，，可证是等边三角形，可得，即可得结论； （3）由“”可证，可得，，，由“”可证，可得，即可求解． 【规范解答】（1）证明： 是等边三角形，， ，， 又， ， ； （2）， ， 又，， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ； （3）如图3，在上截取，连接， ，，， ， ，，， ， ， 在中，， 又， ， ， 又， ， 又， ， ， ． 【考点评析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【举一反三练2】（23-24八年级下·山东济南·期末）在中，，点是线段上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，如果． ① 的度数为　　 °； ②则与全等吗？请说明理由； (2)如图2，如果，当点在线段上移动， ① 的度数是 　 　°； ②当点运动到什么位置时，的周长最小？ 【答案】(1)①；②全等，证明见解析 (2)①；②当点运动到的中点时，是周长最小 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）①根据已知条件证明，根据全等三角形的性质即可求解；②根据，得出，即可证明； （2）①证明，得到，即可求解；②根据全等三角形的性质得出的周长，根据等边三角形的性质可得当最小时，当点运动到的中点时，是周长最小，即可求解． 【规范解答】（1） 解：①； ②与全等， 理由：，， ，， ， 在和中， ， ， ， ； （2）①，， ，， ， 又， 在和中， ， ， ， ， 故 答 案 为：； ②由①知，， ， ， 的周长， 为定值， 当的值最小时，得到周长最小， ，， 是等边三角形， ， 时，的值最小，此时， 当点运动到的中点时，是周长最小． 考点讲练13：含30°角的直角三角形 【精讲题】（23-24八年级上·四川泸州·期中）如图，一条船上午6时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午8时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得，．    (1)求海岛B到灯塔C的距离； (2)若这条船继续向正北航行，问上午几时小船与灯塔C的距离最短？ 【答案】(1)海岛B到灯塔C的距离为30海里 (2)上午9时小船与灯塔C的距离最短 【思路点拨】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，读懂题意并添加合适的辅助线是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质，得，那么，故海里； （2）过点C作于点P，根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔C的最短距离．根据三角形内角和定理，得．根据含30度角的直角三角形的性质，在中，，求出，从而解决此题． 【规范解答】（1）解：由题意得：（海里）， ∵，， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴海岛B到灯塔C的距离为30海里； （2）如图，过点C作于点P，    ∴根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔C的最短距离，， 又∵， ∴， 在中，， ∴（海里）， ∴（小时）， 则（时）， 故上午9时小船与灯塔C的距离最短． 【举一反三练1】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，已知，点P在边上，，点E，F在边上，连接，有．若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【思路点拨】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确地做出辅助线是解题的关键．过作于，根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论． 【规范解答】解：过作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B 【举一反三练2】（23-24八年级下·山西晋中·期中）如图①，是一块光学直角棱镜，其截面为图②所示的，AB所在的面为不透光的磨砂面，，.现有一束单色光从CB边的点E处垂直射入，到达AB边的点D，恰有，经过反射后（即）从AC边的点F处射出.若光线在棱镜内部经过的路径，则这块棱镜的高度AC为 cm. 【答案】 【思路点拨】本题考查含角的直角三角形三边的关系，等边三角形判定与性质，由，，得，又，得，而，得，证明是等边三角形，得，然后求得，由即可求解． 【规范解答】解：，， ， ， ，， ，， ， ，，， ∴是等边三角形； ∴， ， ∴，， ∴， 故答案为16. 考点讲练14：斜边的中线等于斜边的一半 【精讲题】．（2024·浙江杭州·一模）如图，，均为的高，且，连结交于点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了垂直平分线性质和判定，直角三角形性质，等腰三角形性质，根据题意得到垂直平分线段，得到，结合直角三角形性质得到，利用等腰三角形性质得到，再根据求解，即可解题． 【规范解答】解：为的高，且， 垂直平分线段， ， 为的高，即， ， ， ， ， 故选：A． 【举一反三练1】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，为上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任一点，为的中点，则线段长的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】如图，连接连接，设交于点，先判定为线段的垂直平分线，再判定，然后由全等三角形的性质可得答案． 【规范解答】解：如图，连接，设交于点． 是直角三角形 为的中点， ， 是等边三角形 点在线段的垂直平分线上 同理，点在线段的垂直平分线上， 为线段的垂直平分线， ， 点在射线上，当时，的值最小，如图所示，设点为垂足， ， ， 则在和中， ． ， 故选：D． 【考点评析】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、垂线段最短，解题的关键在于画出正确辅助线． 【举一反三练2】（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）［背景］除了高线、角平分线、中线这三条三角形中的主要特殊线段，三角形中还有很多线段值得我们研究．“等腰分割线”的定义如下：把一个三角形分成两个等腰三角形的线段称为这个三角形的等腰分割线． ［问题］如图，在中，，D是上一点（C，D不重合），且，点E是的中点，连结．    (1)求证：是的等腰分割线． (2)若是的等腰分割线，写出和存在的数量关系． 【答案】(1)详见解析 (2)或 【思路点拨】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，理解新定义是解本题的关键． （1）证明，即可得到结论； （2）先证明，再根据是的等腰分割线，分或，再结合三角形的内角和定理即可得到结论． 【规范解答】（1）解：∵，E是中点 ∴， ∴是的等腰分割线 （2）∵， ∴， ∴ ∵是的等腰分割线， ∴是等腰三角形 ∴或， 当时，    当时 ， ∴， ∵， ∴． 中等题真题汇编练 1．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）将等腰直角三角板与直尺按如图方式叠放一起，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，根据等腰直角三角形的性质可求出的度数，然后利用平行线的性质求解即可． 【规范解答】解∶如图， 根据题意，得，， ∴， 故选∶A． 2．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）若等腰三角形的顶角为，则它的一个底角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据等腰三角形的两底角相等即可求解． 【规范解答】解：等腰三角形的顶角为， 则它的一个底角的度数为， 故选：B． 3．（23-24八年级上·河北承德·期中）如图，已知是等边三角形，点在同一直线上，且，，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据等边三角形三个角相等，可知，根据等腰三角形底角相等即可得出的度数． 【规范解答】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 故选：D． 4．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，边的垂直平分线交于，点在上，连接，，，则的周长为（    ）    A．6 B．4 C．3 D．12 【答案】A 【思路点拨】本题考查了垂直平分线的性质、等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得出，结合垂直平分线的性质，得出，即可作答． 【规范解答】解：∵ ∴ ∵边的垂直平分线交于 ∴ ∵的周长 ∴的周长 故选：A 5．（23-24八年级上·四川泸州·期中）如图，，点E在上，且，，则的大小为 ． 【答案】/20度 【思路点拨】本题考查等腰三角形的性质和平行直线的性质，先根据等腰三角形的性质得，再由三角形的内角和定理得，然后根据平行线的性质可得出的度数． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 6．（2024·江苏盐城·一模）如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，则 °． 【答案】24 【思路点拨】本题考查了正多边形的内角与外角、等腰三角形的性质，熟练正五边形的内角，正六边形的内角是解题的关键．根据正五边形的内角和和正六边形的内角和公式求得正五边形的内角和正六边形的内角，然后根据周角的定义和等腰三角形性质可得结论． 【规范解答】解：由题意可得，正五边形的每个内角为，正六边形的每个内角为， 则， ∵， ∴． 故答案为：24． 7．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，若，则的长为 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查了正多边形的内角和定理，含角的直角三角形的性质，根据正多边形的内角和定理可得正六边形的每个内角，由此可得，根据含角的直角三角形的性质即可求解． 【规范解答】解：根据题意可得，正六边形的每个内角为， ∵六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成， ∴，， 在中，， ∴， 故答案为：1 ． 8．（23-24七年级下·福建宁德·期末）如图，在中，于点，将沿着翻折得到，延长交于点，连接，设，以下四个结论：    （1）点是的中点； （2）直线是的垂直平分线； （3）； （4）； 其中一定正确的是 （填写序号）． 【答案】①②③ 【思路点拨】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，根据等腰三角形三线合一的性质以及翻折的性质可判断①②，根据三角形内角和定理和平角的定义可判定③④． 【规范解答】解：∵，， ∴， 即点是的中点，故①正确． ∵将沿着翻折得到， ∴，，，， ∴，且平分， 即直线是的垂直平分线；故②正确． ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确． ∵， ∴， ∴，故④错误． 综上①②③正确， 故答案为：①②③ 9．（23-24八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线交于点E，交于点D（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】此题主要考查了等边三角形的判定和线段垂直平分线的作法，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． （1）利用线段垂直平分线的作法作图即可； （2）首先利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等证明，进而可得两个内角的度数为，进而可得结论． 【规范解答】（1）解：如图所示：DE即为所求； （2）证明是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ，， ， ， 是等边三角形． 10．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，已知：． (1)求作：点P，使点P在内部，且， (2)判断 的形状． 【答案】(1)见解析 (2)等腰直角三角形 【思路点拨】本题考查了作图复杂作图，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线和线段垂直平分线的作法． （1）作的角平分线，作的垂直平分线，两条线交于点即可． （2）根据垂直平分线的性质以及等腰三角形的定义即可判断． 【规范解答】（1）解：①先作出线段的垂直平分线； ②再作出的角平分线，与的交点为； 则即为所求作的点． （2）连接， 由（1）可得，为线段垂直平分线上的一点， ， ， ， 为等腰直角三角形． 11．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）如图1，仪器可以用来平分一个角，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整与，使他们落在角的两边上，沿画一条射线，那么就是的平分线． (1)根据所学数学知识，请用数学语言说明上述操作的道理； (2)小明发现该仪器还可以用来作已知线段的垂线，操作如下：如图2，将仪器上的点A，C落在线段上，沿画一条直线EF，则．小明的方法合理吗？若合理，请证明；若不合理，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)合理，证明见解析 【思路点拨】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些知识点是解题关键． （1）根据全等三角形的判定和性质得出，，即可证明； （2）根据（1）中结论得出是的平分线，再由等腰三角形的三线合一即可证明． 【规范解答】（1）解：在和中， ∴， ∴， 即就是的平分线； （2）合理，理由： 由（1）知是的平分线， ∵， ∴， 即． 12．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，长方形 中，，，现有一动点 从 出发以 秒的速度，沿矩形的边运动，点返回到点停止，设点运动的时间为秒． (1)当 时， ①______； ②请你在图中画出此时的； ③请你在线段上再找一个不与点重合的点，使得，并在图中标出的长度； (2)当点在上运动时，用含的式子表示的长； (3)当为何值时，连接 ，，是等腰三角形？ 【答案】(1)①2；②见解析；③见解析 (2) (3)秒或4秒或13秒 【思路点拨】此题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定及性质，动点问题，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质及动点的运动状态，从而进行分类讨论． （1）①当时，cm，即可得到的长度； ②根据题意即可作图； ③当时，由①可知，，，进而可知，，得，，再由即可得结论； （2）由题意可知，点运动的路程为，分两种情况：当在上时， 当在上时，即可求解； （3）分三种情况讨论，当点P在上时，当点P在上时，当点P在上时，根据全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质即可得到答案． 【规范解答】（1）解：①当时，点P走过的路程为：， ∵cm， ∴， 故答案为：2； ②如图所示： ③当时，，理由如下： 由①可知，，， 在长方形中，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴； （2）由题意可知，点运动的路程为， 当在上时，即时，，则； 当在上时，即时，，则； 即：； （3）当点P在上时，是等腰三角形， ∴， 在长方形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）， ②当点P在上时，是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴（秒）， ③当点P在上时，是等腰三角形， ∵， ∴， ∴（秒）， 综上所述，秒或4秒或13秒时，是等腰三角形． 培优题真题汇编练 13．（23-24八年级上·四川泸州·期中）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．分两种情况进行讨论即可. 【规范解答】解：等腰三角形的周长为，其中一边长为， 有以下两种情况： ①当腰长为时，设底边为，则，解得：， 此时该等腰三角形的三边为：，，， ， ，，不能构成三角形，故不合题意，舍去； ②当底边为时，设腰长为， 则，解得：， 此时该等腰三角形的三边为：，，， ， ，，能构成三角形， 该三角形的底边为． 故选：D． 14．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的同样长为半径画弧，两弧相交于两点M、N；②作直线交于点D，连结，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、线段垂直平分线定理以及三角形外角性质，熟练掌握各个性质定理是解题关键．根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理可得，根据题目中作图步骤可知，垂直平分线段，根据线段垂直平分线定理可知，根据等边对等角得到，根据三角形外角性质可知，进而求得，根据图形可知，即可解决问题． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 根据作图步骤可知，垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D 15．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，直线，等腰直角三角形和等边在之间，点A，D分别在上，点B，C，E，F在同一直线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，准确识图，熟练掌握等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质是解决问题的关键． 延长交于H，根据两直线平行同旁内角互补可求得，由等腰直角三角形性质得，再由等边三角形性质得，再由四边形内角和等于得，由此可得的度数． 【规范解答】解：延长交于H，如下图所示： ∵，， ∴，， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在四边形中， ， 即， ∴， ∴． 故选：B． 16．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，，则的度数是 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，根据已知条件可推出，从而可知，根据得到，由即可得到答案． 【规范解答】解：∵， ， 在和中， ， ， ， ∵ ， ， ∴ ， 故答案为：． 17．（23-24八年级上·山东济南·开学考试）如图，在等腰中，，，为的角平分线，过点C作交的延长线于点E，若，则的长为 ．    【答案】/ 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．延长交的延长线于点F，证，得，再证，得，然后由等腰三角形的性质得，即可得出结论． 【规范解答】解：如图，延长交的延长线于点F，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）如图，在中，，，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，边于点E，F； ②分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P； ③作射线，过点C作于点D．则 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查尺规作图——角平分线，三角形内角和定理以及等腰直角三角形，根据题意得直线为的角平分线，结合题意得，，则即可． 【规范解答】解：根据题意可知，直线为的角平分线， ∵，， ∴， ∴， ∵， 则， 故答案为：， 19．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，分别以、和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连接、和交于点P，则、、、中某三条线段存在等量关系是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质； 证明，，可得，，求出，在上截取，连接，证明，再证，可得，进而可得． 【规范解答】解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 如图，在上截取，连接， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知，点在射线上，点在射线上．均为等边三角形，若，则的边长为 ． 【答案】128 【思路点拨】根据等边三角形的性质得可得，，再根据，可知，进而求出，然后根据等边三角形的性质说明，可知各角之间的关系，进而得出，即可得出规律，再根据规律得出答案. 【规范解答】解：∵是等边三角形， ∴ ∴. ∵ ∴ 又∵， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵、是等边三角形， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， 以此类推：的边长为， ∴的边长为：． 故答案为：128． 【考点评析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定等，弄清各边的规律是解题的关键． 21．（24-25八年级上·全国·假期作业）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．如图，在中，，于D，求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 在上截取，连接，证明，得出，，证出得出，即可证明； 【规范解答】解：在上截取，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 22．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，为等腰直角三角形，，为等边三角形，连接．    (1)求的度数； (2)如图2，作的平分线交于，为线段右侧一点，满足，求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等边对等角，四边形内角和定理，角平分线的判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的定义得到，由等边三角形的性质得到，，则，，由此根据等边对等角和三角形内角和定理可得答案； （2）如图所示，过点作于，交延长线于，连接，由角平分线的定义得到，则由三角形内角和定理得到，证明，得到，，则由周角的定义得到，根据四边形内角和定理求出，则，由此证明，得到，即可证明平分． 【规范解答】（1）解：为等腰直角三角形，， ， 是等边三角形， ，， ，， ； （2）证明：如图所示，过点作于，交延长线于，连接，   平分， ， ， ，， ， ，， ， ，，， ， ， 又， ， ， 平分． 23．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：    (1)如图1、两个等腰三角形和中，，，，连接、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是________，此时和的数量关系是________； (2)如图2、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，两线交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，已知，以为边分别向外作等边和等边（等边三角形三条边相等，三个角都等于），连接，两线交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数． 【答案】(1)， (2)且，理由见解析 (3)， 【思路点拨】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）先判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）先判断出，得出，，进而判断出，即可得出结论； （3）由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为，利用等式的性质得到，利用可得出得，，求出，即可求出的度数． 【规范解答】（1）解：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴和全等的三角形是，此时和的数量关系是． 故答案为：，； （2）且； 理由如下：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 综上所述：且． （3）和都为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； ，， ∴ ， ∴． 24．（23-24七年级下·上海普陀·期末）小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空． 【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”． 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由） 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度； 问题2：在等腰三角形中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”． （1）与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． （2）当（如图4所示），时，求点C到直线的距离． 【答案】问题1：1，30；问题2：（1），（2）， 【思路点拨】问题1：根据等边三角形的性质和“布洛卡点”的定义即可知其“布洛卡点”个数和角度； 问题2：（1）根据等腰三角形的性质可得，结合题意可知，则有，利用三角形内角和定理可得，即可得到； （2）过C点作与D，根据可得，且，由题意得，求得，，则有和，，继而证明，则有和，即可得到，可得点C到直线的距离． 【规范解答】解：问题1： 由题意知三角形中有两个“布洛卡点”， ∵等边三角形每个角为， ∴两个“布洛卡点”重合为一个，且每个角为， 故答案为：1，30． 问题2：（1），理由如下： ∵， ∴， ∵M是的“布洛卡点”，是“布洛卡角”， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， （2）过C点作与D，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【考点评析】本题主要考查新定义下的三角形角度理解，涉及等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质和三角形内角的应用，解得的关键是对新定义的理解，以及角度之间的转化． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$