2.4 线段、角的轴对称性（知识精讲+易错点拨+十大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第2章《轴对称图形》】 2.4 线段、角的轴对称性 （知识精讲+易错点拨+十大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：角平分线的性质 4 考点讲练2：角平分线的判定 5 考点讲练3：角平分线的性质的实际应用 7 考点讲练4：作角平分线（尺规作图） 9 考点讲练5：线段垂直平分线的性质 10 考点讲练6：线段垂直平分线的判定 12 考点讲练7：作已知线段的垂直平分线 15 考点讲练8：作垂线（尺规作图） 16 考点讲练9：轴对称中的光线反射问题 18 考点讲练10：轴对称综合题（几何变换） 19 中等题真题汇编练 22 培优题真题汇编练 26 新知精讲梳理 知识点01：线段的轴对称性 线段的垂直平分线 定义：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也称线段的中垂线。 性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。 判定定理：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 应用：利用线段垂直平分线的性质，可以构造全等三角形，解决与线段长度、角度等相关的问题。 三角形三边垂直平分线的交点 三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心，称为外心。 知识点02：角的轴对称性 角的轴对称性 定义：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴。 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 判定定理：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。 角的内部到角两边距离相等的点 角的内部到角两边距离相等的点一定在角的平分线上。这一性质常用于证明角的平分线或构造与角平分线相关的图形。 知识点03：应用与拓展 构造轴对称图形：通过确定对称轴和对称点，可以构造出原图形的轴对称图形。这对于理解和应用轴对称性质具有重要意义。 解决实际问题：线段和角的轴对称性在解决实际问题中有广泛应用，如建筑设计中的对称布局、图形设计中的对称元素等。 高频易错知识点拨 易错知识点01：线段垂直平分线性质理解错误: 错误理解：学生可能误将“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”理解为“线段上任意一点到线段两端的距离都相等”。 正确理解：应明确是线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，而不是线段上的所有点。 易错知识点02：线段垂直平分线判定定理应用不当 错误应用：学生在证明某点在线段的垂直平分线上时，可能只证明了一个点到线段一个端点的距离等于另一个点到该端点的距离，而忽略了需要同时满足“垂直”和“平分”两个条件。 正确应用：应同时证明该点到线段两个端点的距离相等，并且该点所在的直线垂直于线段且平分线段。 易错知识点03：线段垂直平分线作图失误 错误作图：在用尺规作线段垂直平分线时，学生可能因为半径选择不当（不大于线段长度的一半）而导致所画的弧不相交或只有一个交点。 正确作图：应确保以线段两个端点为圆心、大于线段长度一半的半径画弧，以确保两弧相交，从而得到线段的垂直平分线。 易错知识点04：角平分线的性质混淆 错误混淆：学生可能将“角平分线上的点到角两边的距离相等”与“到角两边距离相等的点在角的平分线上”这两个性质混淆。 正确理解：前者是角平分线的性质，后者是角平分线的判定定理。在应用中需明确区分。 易错知识点05：角平分线的证明过程不完整 错误证明：在证明某点在角的平分线上时，学生可能只证明了该点到角一边的距离等于到另一边某点的距离，而未证明该点确实在角的平分线上。 正确证明：应严格按照判定定理，证明该点到角两边的距离都相等，从而确定该点在角的平分线上。 易错知识点06：角平分线的应用错误 错误应用：在解决实际问题时，学生可能错误地将角平分线的性质应用于非角平分线上的点，导致解题错误。 正确应用：应明确角平分线的性质仅适用于角平分线上的点，在解题时需仔细审题，确保正确应用相关性质。 易错知识点07：拓展知识点易错点 三角形三边垂直平分线的交点 错误理解：学生可能误以为三角形三边垂直平分线的交点一定在三角形内部。 正确理解：三角形三边垂直平分线的交点称为三角形的外心，其位置取决于三角形的形状。在锐角三角形中，外心在三角形内部；在直角三角形中，外心在斜边的中点；在钝角三角形中，外心在三角形外部。 三角形三角平分线的交点 错误理解：学生可能误以为三角形三角平分线的交点一定具有某种特殊的性质（如到三角形三边的距离相等），而实际上这是三角形三边垂直平分线交点的性质。 正确理解：三角形三个角的平分线交于一点，这一点称为三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等，但到三角形三个顶点的距离不一定相等。 考点讲练1：角平分线的性质 【精讲题】（23-24七年级下·山东泰安·期末）如图，为的角平分线，，过作于，交的延长线于，则下列结论： ①；；．其中正确结论的序号有（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【举一反三练1】（22-23八年级上·宁夏吴忠·期末）如图：要在区建一个集贸市场，使它到公路与铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处米，这个集贸市场应建于何处？在图上标出它的位置．（比例尺）    【举一反三练2】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图所示，I是三内角平分线的交点，于E，延长线交于D，的延长线交于F，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【举一反三练3】（23-24七年级下·山西太原·期末）如图，和的平分线交于点E，过点E作于点于点G． (1)试说明：． (2)猜想之间的数量关系，并说明理由． 考点讲练2：角平分线的判定 【精讲题】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图所示，在中，内角与外角的平分线相交于点，，交于，交于，连接，下列结论：①；②；③垂直平分；④． 其中一定正确的有（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 【举一反三练1】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，分别平分和，连接．若，求的度数． 【举一反三练2】（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，已知中，、的平分线交于，交于，交于，连接，过作于． (1)试判断与的数量关系，并证明你的结论； (2)试判断与的数量关系，并证明你的结论； (3)若，探究与的数量关系，并证明你的结论． 【举一反三练3】（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④连接，平分，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 考点讲练3：角平分线的性质的实际应用 【精讲题】（2023·吉林长春·模拟预测）三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法． 【举一反三练1】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，求的长． 【举一反三练2】（23-24八年级上·重庆武隆·期末）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点． (1)在图①中，已知线段、，画线段使它与、组成轴对称图形（画出所有符合题意的线段）； (2)在图②中，找一格点D，使它到、的距离相等，到点A、C的距离也相等．（找到D点即可，不写过程） 【举一反三练3】（23-24八年级上·北京东城·期中）课堂上，老师提出问题： 如图，OM，ON是两条马路，点A，B处是两个居民小区，现要在两条马路之间的空场处建活动中心P，使得活动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等，如何确定活动中心P的位置？    (1)利用尺规作图确定点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)写出作图依据：_____________________________________________________________________． 考点讲练4：作角平分线（尺规作图） 【精讲题】（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（　　） A． B． C． D． 【举一反三练1】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，点在射线上，过点作，，垂足分别为点，，点，分别在，边上，．若，则的值为（    ） A．12 B．8 C． D．10 【举一反三练2】（22-23七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，，于点． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的度数． 【举一反三练3】（19-20八年级上·江苏无锡·期末）如图，已知，请用无刻度直尺和圆规（不要求写作法，保留作图痕迹）； (1)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合； (2)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点能落在边上的点处，且，请在图②中作出点． 考点讲练5：线段垂直平分线的性质 【精讲题】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在四边形中，，，，点在的延长线上，连接交于点，连接，且垂直平分． (1)求证：； (2)求的长． 【举一反三练1】（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，是的角平分线． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、于点E、F；（标明字母，保留作图痕迹，不写作法．） (2)连接、，求证：． 【举一反三练2】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中， 是边上的高，为的角平分线，且，是的中线，延长到点，使得，连接，交于点，交于点，交于点． (1)试说明：； (2)若，试说明：． 【举一反三练3】（22-23八年级下·甘肃张掖·期末）如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D．连接．    (1)若的周长为19，的周长为7，求的长． (2)若，，求的度数． 考点讲练6：线段垂直平分线的判定 【精讲题】（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，四边形中，，E为的中点，连结并延长交的延长线于点F．    (1)求证：； (2)连结，若，求证：是的角平分线． 【举一反三练1】（18-19八年级上·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证． (2)若，，当的长为多少时，点在线段的垂直平分线上?说明原因． 【举一反三练2】．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）在中，，点N在线段上（如图位置），为的斜边，于N，交于M，连接，相交于F，．    求证： (1)． (2)垂直平分． 【举一反三练3】（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）【发现】如图1，，为的中点，平分，过点作，垂足为，连接． （1）求证：是的平分线； （2）连接，求证：垂直平分线段； 【拓展】如图2，，和的平分线和相交于点，过点的直线与，分别相交于点，（点，在的同侧）． （3）判断是否为线段的中点，并说明理由； （4）若四边形的面积为16，的面积为2，则的面积是___________． 考点讲练7：作已知线段的垂直平分线 【精讲题】（2024·陕西西安·三模）如图，已知锐角，，请用尺规作图法，在内部求作一点P．使．且．（保留作图痕迹，不写作法） 【举一反三练1】（23-24八年级上·安徽黄山·期末）如图，两条公路与相交于点，在的内部有两个小区与，现要在的内部修建一个市场，使市场到两条公路的距离相等，且到两个小区的距离相等． (1)市场应修建在什么位置？（请用文字加以说明） (2)在图中标出点的位置（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并写出结论）． 【举一反三练2】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，电信部门要修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔在内，到两个城镇M，N的距离相等，且到两条公路和的距离也相等，发射塔P应修建在什么位置？请用尺规作图标出它的位置．（作图不写作法，但要求保留作图痕迹．） 【举一反三练3】（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线，交于点．    (1)求证：点在线段的垂直平分线上； (2)连接，求证：平分； (3)设，其他条件不变时，求的度数．（用含的式子表示） 考点讲练8：作垂线（尺规作图） 【精讲题】（23-24七年级下·河南周口·期末）如图，点A，B，C均在正方形网格的格点上． (1)作出关于直线对称的图形； (2)尺规作图：在直线上求作一点 P，使点P到A，C的距离相等． (不写作法，保留作图痕迹) 【举一反三练1】（23-24八年级上·河北承德·期中）如图，在中，，． (1)作出的角平分线和边上的高（保留作图痕迹，不要求写作法）． (2)求的度数． 【举一反三练2】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得的周长等于．（保留作图痕迹，不写作法） 【举一反三练3】（23-24七年级下·宁夏吴忠·阶段练习）作图并回答问题：已知，如图，点P在的边上． (1)过点P作边的垂线l； (2)过点P作边的垂线，垂足为D； (3)过点O作的平行线交l于点E，比较，，三条线段的大小，并用“<”连接得___________，得此结论的依据是_____________． 考点讲练9：轴对称中的光线反射问题 【精讲题】（2024·江西·二模）我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个平面镜，，两个平面镜所成的夹角为，位于点 D 处的甲同学在平面镜 中看到位于点A处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线 经过平面镜反射后，又沿射向平面镜，在点 C 处再次反射，反射光线为，已知入射光线，反射光线 ，则等于（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（20-21八年级上·辽宁阜新·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为A（1,3），B（2,1），C（5,1）． （1）直接写出点B关于x轴对称的对称点的坐标为______，直接写出点B关于y轴对称的对称点的坐标为_____，直接写出的面积为_______； （2）在y轴上找一点P使最小，则点P坐标为_______；说明理由． 【举一反三练2】（22-23七年级下·江苏·周测）光线以如图所示的角度照射到平面镜工上，然后在平面镜，之间来回反射．若，，则等于 (    ) A． B． C． D． 【举一反三练3】（19-20八年级上·新疆哈密·期中）如图,(1)  A、B、C三点表示3个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校与3个村庄的距离相等，请你在图中用尺规作图确定学校的位置．(保留作图痕迹,不写画法) （2）如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两城镇供气．泵站修在什么地方，可使所用的输气管线最短? 考点讲练10：轴对称综合题（几何变换） 【精讲题】（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，点F是边上一点，．用直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹），并回答问题： (1)在边上作点D，使得点D到边的距离相等； (2)在射线上作点E，使得点E到点A、点C的距离相等； (3)若点P是射线上一个动点，当取最小值时，在图中作出符合要求的点P，的最小值是 ． 【举一反三练1】．（20-21八年级上·江苏无锡·期末）如图，已知四边形ABCD． （1）在边BC上找一点P，使得AP+PD的值最小，在图①中画出点P； （2）请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）： ①在线段AC上找一点M，使得BM＝CM，请在图②中作出点M； ②若AB与CD不平行，且AB＝CD，请在线段AC上找一点N，使得△ABN和△CDN的面积相等，请在图③中作出点N． 【举一反三练2】（20-21八年级上·北京东城·期末）如图，在中，，D为的中点，E为延长线上一点，连接，过点D作，交的延长线于点F，连接．作点B关于直线的对称点G，连接． （1）依题意补全图形； （2）若． ①求的度数（用含的式子表示）； ②请判断以线段为边的三角形的形状，并说明理由． 【举一反三练3】（20-21七年级下·四川成都·期末）如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点M和点N，在直线MN上取一点C，连接CA，CB，点D是线段AC的延长线上一点，且CD＝AC，点P是直线MN上一动点，连接PD，PB，若BC＝4，则PD+PB的最小值为 ． 中等题真题汇编练 1．（23-24七年级下·河北张家口·期末）已知，求作射线，使平分，那么作法的合理顺序是（    ） ①作射线； ②在射线和上分别截取，使； ③分别以D、E为圆心，大于的长为半径在内作弧，两弧交于点C． A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①② 2．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，中，，的垂直平分线交于点，的周长是21，则的长度为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，则的周长等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（23-24七年级下·河南周口·期末）如图，D为上一点，垂直平分交于点E，已知，，则的长为（   ） A．3 B．5 C．8 D．18 5．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）在中，，，现分别以点和点为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，分别交和于点和，连接，则的周长为 6．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在中，为上一点，平分，于点．若，，则 ． 7．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为 ； 8．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，已知点A、点B以及直线l． (1)用尺规作图的方法在直线上求作一点，使．（保留作图痕迹，不要求写出作法）； (2)在（1）中所作的图中，若，，求证：． 9．（24-25八年级上·全国·假期作业）已知直线及位于其两侧的两点，，如图 (1)在图①中的直线上求一点，使； (2)在图②中的直线上求一点，使直线平分； (3)能否在直线上找一点，使该点到点，的距离之差的绝对值最大？若能，直接指出该点的位置，若不能，请说明理由． 10．（2024·甘肃金昌·三模）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、、、均落在格点上．在图①、图②给定的网格中按要求作图．要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出做法． (1)在图①中的格线上确定一点，使与的长度之和最小； (2)在图②中的格线上确定一点，使． 11．（23-24六年级下·上海宝山·期末）如图，已知点、、在一条直线上，． (1)利用直尺和圆规作的平分线； (2)如果，求的大小． 12．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，，连接．求的度数． 培优题真题汇编练 13．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，D为的中点，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，M为直线上任意一点．若，面积为10，则长度的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 14．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，点，分别是，平分线上的点，于点，于点，于点，则以下结论错误的是（   ） A． B． C．与相等的角只有 D． 15．（2024·湖南湘西·模拟预测）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（    ） A．6 B．11 C．14 D．28 16．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知：如图，平分，，，下列结论：①；②；③， .其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 17．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，则 ． 18．（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ． 19．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，平分，于点，连接，若，，则的面积是 ．    20．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，，则 ． 21．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图，中，，，三条角平分线，，交于点O，于点H．下列结论：①，②，③平分，④，其中正确的结论序号有 ． 22．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，直线与直线相交于点，并且互相垂直，点和点分别是直线和上的两个动点，且线段长度不变，点是关于直线的对称点，连接，若，则的度数是 ． 23．（23-24八年级上·重庆江北·阶段练习）如图，中，，，，垂足是，平分，交于点．在外有一点，使，．在上取一点，使，连接交于点，连接．①；②；③；④．其中正确的结论有： ．（只填序号）    24．（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一格点（即三角形的顶点都在格点上）．    (1)在图中作出关于直线l对称的； (2)若有一格点P到点A，B的距离相等，则网格中满足条件的点P有__________个； (3)在直线l上找到一点Q，使的值最小． 25．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，平分于点E，点F在上，．求证：． 26．（2024·江苏南通·二模）如图，点P是内一射线上一点，点M、N分别是边、上的点，连接，且，． 求证：是的平分线． 小星的解答如下： 证明：在和中， ∵，，， ∴……第一步 ∴……第二步 ∴是的平分线．……第三步 (1)小星的解答从第 步开始出现错误； (2)请写出你认为正确的证明过程． 27．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）【问题背景】 如图，在中，，，是的角平分线，它们相交于点． 【初步探究】（1）如图1，连接，求证：点在的平分线上； 【深入探究】（2）如图2，延长交于点，过点作于点于点，并连接，试判断与的大小关系； 【拓展延伸】（3）如图3，延长交于点，连接交于点，过点作于点，于点，请问和有何数量关系？ 28．（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）如图，点A在y轴正半轴上，点D在点A下方的y轴上，点B在x轴正半轴上，平分与x轴交于点C． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若点A的坐标为，点E为上一点，且，求的长； (3)如图3，若，过C作于点F，点H为线段上一动点，点G为线段上一动点，在运动过程中，始终满足，试判断之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第2章《轴对称图形》】 2.4 线段、角的轴对称性 （知识精讲+易错点拨+十大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：角平分线的性质 4 考点讲练2：角平分线的判定 9 考点讲练3：角平分线的性质的实际应用 15 考点讲练4：作角平分线（尺规作图） 19 考点讲练5：线段垂直平分线的性质 23 考点讲练6：线段垂直平分线的判定 28 考点讲练7：作已知线段的垂直平分线 34 考点讲练8：作垂线（尺规作图） 38 考点讲练9：轴对称中的光线反射问题 42 考点讲练10：轴对称综合题（几何变换） 46 中等题真题汇编练 52 培优题真题汇编练 62 新知精讲梳理 知识点01：线段的轴对称性 线段的垂直平分线 定义：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也称线段的中垂线。 性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。 判定定理：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 应用：利用线段垂直平分线的性质，可以构造全等三角形，解决与线段长度、角度等相关的问题。 三角形三边垂直平分线的交点 三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心，称为外心。 知识点02：角的轴对称性 角的轴对称性 定义：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴。 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 判定定理：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。 角的内部到角两边距离相等的点 角的内部到角两边距离相等的点一定在角的平分线上。这一性质常用于证明角的平分线或构造与角平分线相关的图形。 知识点03：应用与拓展 构造轴对称图形：通过确定对称轴和对称点，可以构造出原图形的轴对称图形。这对于理解和应用轴对称性质具有重要意义。 解决实际问题：线段和角的轴对称性在解决实际问题中有广泛应用，如建筑设计中的对称布局、图形设计中的对称元素等。 高频易错知识点拨 易错知识点01：线段垂直平分线性质理解错误: 错误理解：学生可能误将“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”理解为“线段上任意一点到线段两端的距离都相等”。 正确理解：应明确是线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，而不是线段上的所有点。 易错知识点02：线段垂直平分线判定定理应用不当 错误应用：学生在证明某点在线段的垂直平分线上时，可能只证明了一个点到线段一个端点的距离等于另一个点到该端点的距离，而忽略了需要同时满足“垂直”和“平分”两个条件。 正确应用：应同时证明该点到线段两个端点的距离相等，并且该点所在的直线垂直于线段且平分线段。 易错知识点03：线段垂直平分线作图失误 错误作图：在用尺规作线段垂直平分线时，学生可能因为半径选择不当（不大于线段长度的一半）而导致所画的弧不相交或只有一个交点。 正确作图：应确保以线段两个端点为圆心、大于线段长度一半的半径画弧，以确保两弧相交，从而得到线段的垂直平分线。 易错知识点04：角平分线的性质混淆 错误混淆：学生可能将“角平分线上的点到角两边的距离相等”与“到角两边距离相等的点在角的平分线上”这两个性质混淆。 正确理解：前者是角平分线的性质，后者是角平分线的判定定理。在应用中需明确区分。 易错知识点05：角平分线的证明过程不完整 错误证明：在证明某点在角的平分线上时，学生可能只证明了该点到角一边的距离等于到另一边某点的距离，而未证明该点确实在角的平分线上。 正确证明：应严格按照判定定理，证明该点到角两边的距离都相等，从而确定该点在角的平分线上。 易错知识点06：角平分线的应用错误 错误应用：在解决实际问题时，学生可能错误地将角平分线的性质应用于非角平分线上的点，导致解题错误。 正确应用：应明确角平分线的性质仅适用于角平分线上的点，在解题时需仔细审题，确保正确应用相关性质。 易错知识点07：拓展知识点易错点 三角形三边垂直平分线的交点 错误理解：学生可能误以为三角形三边垂直平分线的交点一定在三角形内部。 正确理解：三角形三边垂直平分线的交点称为三角形的外心，其位置取决于三角形的形状。在锐角三角形中，外心在三角形内部；在直角三角形中，外心在斜边的中点；在钝角三角形中，外心在三角形外部。 三角形三角平分线的交点 错误理解：学生可能误以为三角形三角平分线的交点一定具有某种特殊的性质（如到三角形三边的距离相等），而实际上这是三角形三边垂直平分线交点的性质。 正确理解：三角形三个角的平分线交于一点，这一点称为三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等，但到三角形三个顶点的距离不一定相等。 考点讲练1：角平分线的性质 【精讲题】（23-24七年级下·山东泰安·期末）如图，为的角平分线，，过作于，交的延长线于，则下列结论： ①；；．其中正确结论的序号有（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【思路点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键，难点在于需要二次证明三角形全等．根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出；根据全等三角形对应角相等可得，利用“字型”证明． 【规范解答】解： 平分，，， ， 在和中， ， ，故①正确； ， 在和中， ， ， ， ，故②正确； ， ， 设交于， ， ，故③正确； 综上所述，正确的结论有①②③共个． 故选：． 【举一反三练1】（22-23八年级上·宁夏吴忠·期末）如图：要在区建一个集贸市场，使它到公路与铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处米，这个集贸市场应建于何处？在图上标出它的位置．（比例尺）    【答案】见解析 【思路点拨】此题主要考查了作图与应用设计，应用比例尺画图，角平分线性质的应用，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．作的角平分线，在射线上截取，使得，点即为所求． 【规范解答】解： 设距离交点， ， 解得：， ． ． 如图所示：作的角平分线，在射线上截取，使得，   集贸市场应建于点处，点即为所求． 【举一反三练2】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图所示，I是三内角平分线的交点，于E，延长线交于D，的延长线交于F，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【思路点拨】由I是三内角平分线的交点，，可得，，由，可得，进而可得，可判断①的正误；如图，作于，作于，则，由，可判断②的正误；证明，则，同理，，由，即，可判断③的正误；由于无法判断全等，则不一定相等，，可判断④的正误． 【规范解答】解：∵I是三内角平分线的交点，， ∴，， ∵， ∴， ∴，①正确，故符合要求； 如图，作于，作于， ∵I是三内角平分线的交点， ∴， ∴，②正确，故符合要求； ∵，， ∴， ∴， 同理，， ∴，即，③正确，故符合要求； ∵，，但无法判断全等， ∴不一定相等， ∴，④错误，故不符合要求； 故选：A． 【考点评析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【举一反三练3】（23-24七年级下·山西太原·期末）如图，和的平分线交于点E，过点E作于点于点G． (1)试说明：． (2)猜想之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析． 【思路点拨】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作，交于点，根据角平分线的性质可得，即可求证； （2）先证明，得到，同理可得：，即可求解． 【规范解答】（1）证明：过点作，交于点，如图： ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴． 考点讲练2：角平分线的判定 【精讲题】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图所示，在中，内角与外角的平分线相交于点，，交于，交于，连接，下列结论：①；②；③垂直平分；④． 其中一定正确的有（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 【答案】D 【思路点拨】此题主要考查了角平分线的性质和定义，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等．利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④进行一一判断，是解决问题的关键． 【规范解答】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①正确； 过P作于M，于N，于S， ∵平分，平分， ∴， ∴平分， ∵；故②不正确； ∵，平分， ∴垂直平分，故③正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故④不正确． 本题正确的有：①③， 故选：D． 【举一反三练1】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，分别平分和，连接．若，求的度数． 【答案】43° 【思路点拨】本题考查角平分线的判定和性质，过点O作，、，则根据角平分线的性质得到，，则，即可得到平分， 进而解题即可 【规范解答】解：如图，过点O作，、，垂足分别为D，E，F， ∵和的平分线交于点O，，，， ∴，， ∴， ∴平分． ∵∠， ∴． 【举一反三练2】（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，已知中，、的平分线交于，交于，交于，连接，过作于． (1)试判断与的数量关系，并证明你的结论； (2)试判断与的数量关系，并证明你的结论； (3)若，探究与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 (3)，证明见解析 【思路点拨】（1）根据角平分线的定义可得，，然后由，即可获得答案； （2）过作于，于，首先根据角平分线的性质定理可得，，得，进而证明为的角平分线，结合（1）可知，，再证明，即可证明结论； （3）结合题意证明，然后利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明． 【规范解答】（1），证明如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴ ； （2），证明如下： 过作于，于， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∴在的角平分线上， ∴， 结合（1）可知，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3），证明如下： ∵， ∴由（1）知，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【考点评析】本题主要考查了角平分线的定义、角平分线的性质定理和判定定理、直角三角形两锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并正确作出辅助线是解题关键． 【举一反三练3】（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④连接，平分，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【思路点拨】 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质定理，掌握相关性质是解题关键．根据角平分线的定义和三角形内角和定理，即可判断①结论；证明，即可判断②结论；证明，即可判断③结论；根据角平分线的判定和性质定理，即可判断④结论． 【规范解答】 解：在中， ， ， 又、分别平分、， ， ，故①正确． ， 又， ， ， ， 又，， ， ，，，故②正确． 在和中， ，，， ， ，故③正确． 的角平分线、相交于点P， 点P到、的距离相等，点P到、的距离相等， 点P到、的距离相等， 点P在的平分线上， 平分，故④正确． 故选：D． 考点讲练3：角平分线的性质的实际应用 【精讲题】（2023·吉林长春·模拟预测）三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法． 【答案】4处，图见解析 【思路点拨】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质等知识，利用角平分线的性质作出图形即可． 【规范解答】解：如图，满足条件的点有4个，图中即为所求． 【举一反三练1】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)4 【思路点拨】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）利用角平分线的性质证明，证明，则，即可证明结论； （2）根据列式计算即可． 【规范解答】（1）证明：∵是的角平分线，分别是和的高． ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【举一反三练2】（23-24八年级上·重庆武隆·期末）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点． (1)在图①中，已知线段、，画线段使它与、组成轴对称图形（画出所有符合题意的线段）； (2)在图②中，找一格点D，使它到、的距离相等，到点A、C的距离也相等．（找到D点即可，不写过程） 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【思路点拨】此题主要考查了利用轴对称设计图案以及线段垂直平分线的性质等知识，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． （1）利用轴对称图形的性质得出答案； （2）直接利用角平分线的性质和线段垂直平分线的性质得出答案． 【规范解答】（1）解：以为对称轴，则为所求的线段，如图： 以为对称轴，则为所求的线段，如图： （2）解：做的角平分线，线段的垂直平分线，两线交于点，则点就是所求的点，如图：    【举一反三练3】（23-24八年级上·北京东城·期中）课堂上，老师提出问题： 如图，OM，ON是两条马路，点A，B处是两个居民小区，现要在两条马路之间的空场处建活动中心P，使得活动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等，如何确定活动中心P的位置？    (1)利用尺规作图确定点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)写出作图依据：_____________________________________________________________________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）作的平分线和线段的垂直平分线，则交点即为所求点； （2）根据（1）中图形证明即可． 【规范解答】（1）如图，点为所求；    （2）作的平分线，线段的垂直平分线，交于点，    连接，，过点作于点，于点． ，， 且 点在的平分线上， ∴，即活动中心P到两条马路的距离相等， 点在线段的垂直平分线上， ∴，即活动中心P到两个小区的距离也相等， 点为所求作的点． 【考点评析】本题考查了角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，利用角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，找出点的位置是解题的关键． 考点讲练4：作角平分线（尺规作图） 【精讲题】（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查三角形外角性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．先用三角形内角和求出，再用角平分线求出，由线段垂直平分线知，然后用外角性质求出，最后根据三角形的内角和求出． 【规范解答】解：在中，，， ， 由作图可知，平分，垂直平分， ，， ， ， 故选：C． 【举一反三练1】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，点在射线上，过点作，，垂足分别为点，，点，分别在，边上，．若，则的值为（    ） A．12 B．8 C． D．10 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据题意可知平分，由角平分线的性质定理可得，进而证明，由全等三角形的性质可得，再证明，可得，然后由求解即可． 【规范解答】解：根据题意，可知平分， ∵，， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【举一反三练2】（22-23七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，，于点． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）根据尺规作角平分线的方法求解即可； （2）首先根据三角形内角和定理得到，然后利用角平分线的概念得到，从而，然后利用对顶角的性质求解即可． 【规范解答】（1）如图，射线即为所求； （2），， ， 平分， ， ， ， ． 【考点评析】此题考查了尺规作角平分线，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，对顶角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【举一反三练3】（19-20八年级上·江苏无锡·期末）如图，已知，请用无刻度直尺和圆规（不要求写作法，保留作图痕迹）； (1)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合； (2)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点能落在边上的点处，且，请在图②中作出点． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路点拨】本题考查了作图复杂作图、翻折变换，解决本题的关键是熟练翻折的性质． （1）根据线段垂直平分线的性质即可在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合； （2）延长至，作的平分线，得过点的垂线，延长交于点， 作的角平分线交于点，过点作的垂线交于点即可． 【规范解答】（1）解：如图1所示：点即为所求作的点； （2）如图2所示：点即为所求作的点． 作图如下： 延长至， 作的平分线， 得过点的垂线， 延长交于点， 作的角平分线交于点， 过点作的垂线交于点． 考点讲练5：线段垂直平分线的性质 【精讲题】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在四边形中，，，，点在的延长线上，连接交于点，连接，且垂直平分． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质可得，由平行线的性质可得，最后利用“”即可证明； （2）由全等三角形的性质得出，推出，再由线段垂直平分线的性质即可得出答案． 【规范解答】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴． 【举一反三练1】（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，是的角平分线． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、于点E、F；（标明字母，保留作图痕迹，不写作法．） (2)连接、，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了尺规作线段垂直平分线，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质； （1）根据尺规作线段垂直平分线的方法作图即可； （2）连接，与交于点O，证明，可得，根据线段垂直平分线的性质可得，等量代换可得结论． 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）证明：如图，连接，与交于点O， ∵平分， ∴， ∵垂直平分线段， ∴ ∴在和中， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴． 【举一反三练2】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中， 是边上的高，为的角平分线，且，是的中线，延长到点，使得，连接，交于点，交于点，交于点． (1)试说明：； (2)若，试说明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【思路点拨】（）证明得到，进而由即可求证； （）证明得到，进而由平行线的性质得到，即可由三角形内角和定理得到，即可求证； 本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，垂直的定义，从图形中找到全等三角形是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：∵是的中线， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）证明：∵ 是边上的高， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【举一反三练3】（22-23八年级下·甘肃张掖·期末）如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D．连接．    (1)若的周长为19，的周长为7，求的长． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）先证明，，结合的周长为19，的周长为7，可得，从而可得答案； （2）先求解，证明，再利用全等三角形的性质可得答案． 【规范解答】（1）解：∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为19，的周长为7， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． 考点讲练6：线段垂直平分线的判定 【精讲题】（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，四边形中，，E为的中点，连结并延长交的延长线于点F．    (1)求证：； (2)连结，若，求证：是的角平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握各判定和性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，再根据证明即可； （2）由得到，根据垂直平分得到，推出，由此证得，即可得到是的角平分线． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 又∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵垂直， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的角平分线． 【举一反三练1】（18-19八年级上·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证． (2)若，，当的长为多少时，点在线段的垂直平分线上?说明原因． 【答案】(1)证明见解析； (2)当时，点在线段的垂直平分线上，理由见解析． 【思路点拨】（）根据“”证明，即可求证； （）由（）可得，当是，可得，根据线段垂直平分线的判定定理即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，线段垂直平分线的判定定理，掌握这些定理是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴； （2）解：当时，点在线段的垂直平分线上． 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 【举一反三练2】．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）在中，，点N在线段上（如图位置），为的斜边，于N，交于M，连接，相交于F，．    求证： (1)． (2)垂直平分． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【思路点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，熟记垂直平分线的判定定理是解本题的关键； （1）先证明，再证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，结合，可得结论． 【规范解答】（1）证明：， ∴点B在线段的垂直平分线上 ， ， 在和中，， （2）由（1）知， ， ∴点M在线段的垂直平分线上， ． 点B在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【举一反三练3】（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）【发现】如图1，，为的中点，平分，过点作，垂足为，连接． （1）求证：是的平分线； （2）连接，求证：垂直平分线段； 【拓展】如图2，，和的平分线和相交于点，过点的直线与，分别相交于点，（点，在的同侧）． （3）判断是否为线段的中点，并说明理由； （4）若四边形的面积为16，的面积为2，则的面积是___________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）E为线段的中点，理由见解析；（4）6 【思路点拨】本题主要考查角平分线性质定理与判定定理、线段垂直平分线的性质及全等三角形的判定和性质； （1）由题意得和，根据角平分线的判定定理即可判定； （2）根据题意证得，得，根据线段垂直平分线的性质即可判定； （3）过点E作的垂线，交的延长线于点F，交于点G，有．作于点P，由角平分线的性质可得，证得，即可求证；（4）因为和，有，根据，得到即可． 【规范解答】证明：（1）∵， ∴． 又∵，平分， ∴． ∵E为的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是的平分线； （2）∵平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴点A，E都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分线段； （3）E为线段的中点； 理由：过点E作的垂线，交的延长线于点F，交于点G，如图， ∵， ∴． 作于点P，由角平分线的性质可得． 在与中， ， ∴， ∴， ∴E为线段的中点； （4）在和中， ， ∴， 则 同理可证，则 ∴． 又∵， ∴ ∴， ∴． 考点讲练7：作已知线段的垂直平分线 【精讲题】（2024·陕西西安·三模）如图，已知锐角，，请用尺规作图法，在内部求作一点P．使．且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了作图—复杂作图，先作的平分线，再作的垂直平分线，直线交于点，则点即为所求，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了等腰三角形的性质． 【规范解答】解：如图，点即为所求， ． 【举一反三练1】（23-24八年级上·安徽黄山·期末）如图，两条公路与相交于点，在的内部有两个小区与，现要在的内部修建一个市场，使市场到两条公路的距离相等，且到两个小区的距离相等． (1)市场应修建在什么位置？（请用文字加以说明） (2)在图中标出点的位置（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并写出结论）． 【答案】(1)的角平分线和线段的垂直平分线的交点处 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了作图的应用与设计作图，正确掌握角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质是解题的关键，直接利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法即可得出答案． 【规范解答】（1）解：点应修建在的角平分线和线段的垂直平分线的交点处； （2）解：如图所示，点即为所求． 【举一反三练2】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，电信部门要修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔在内，到两个城镇M，N的距离相等，且到两条公路和的距离也相等，发射塔P应修建在什么位置？请用尺规作图标出它的位置．（作图不写作法，但要求保留作图痕迹．） 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，尺规作图；由发射塔到两个城镇M，N的距离相等可知发射塔在线段的垂直平分线上，由发射塔到两条公路和的距离也相等可知发射塔在的角平分线上，故作线段的垂直平分线与的角平分线，它们的交点即为所求． 【规范解答】解：点P位置如图所示： 【举一反三练3】（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线，交于点．    (1)求证：点在线段的垂直平分线上； (2)连接，求证：平分； (3)设，其他条件不变时，求的度数．（用含的式子表示） 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【思路点拨】（）连接，，根据线段垂直平分线的性质和判定即可； （）根据等边对等角和线段垂直平分线的性质即可求解； （）由线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理和四边形内角和定理进行求解． 【规范解答】（1）如图，连接，，    ∵垂直平分，垂直平分AC， ∴，， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上； （2）由（）知，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∴， 同理， ∴，即平分； （3）∵垂直平分，垂直平分， ∴，，， 设，， ∴，， 在中，，， ∴，即， 在四边形中，， ∴． 【考点评析】此题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，三角形内角和定理和四边形内角和，熟练掌握各个知识点是解题的关键． 考点讲练8：作垂线（尺规作图） 【精讲题】（23-24七年级下·河南周口·期末）如图，点A，B，C均在正方形网格的格点上． (1)作出关于直线对称的图形； (2)尺规作图：在直线上求作一点 P，使点P到A，C的距离相等． (不写作法，保留作图痕迹) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了作轴对称图形，作垂线．熟练掌握作轴对称图形，作垂线是解题的关键． （1）利用轴对称的性质作图即可； （2）由题意知，根据点为线段的垂直平分线与的交点，作图即可． 【规范解答】（1）解：由轴对称的性质作图，如图1，即为所作； （2）解：由垂直平分线的性质可知，点为线段的垂直平分线与的交点，如图2，点即为所作； 【举一反三练1】（23-24八年级上·河北承德·期中）如图，在中，，． (1)作出的角平分线和边上的高（保留作图痕迹，不要求写作法）． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了尺规作图，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，综合运用各知识点是解答本题的关键． （1）用直尺和圆规作图即可； （2）由三角形内角和求出，由角平分线的定义得，由三角形外角的性质得，进而可求出的度数． 【规范解答】（1）解：如图， （2）∵，， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【举一反三练2】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得的周长等于．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【思路点拨】此题考查了垂直平分线的崔嵬作图，垂直平分线的性质，根据垂直平分线的尺规作图步骤作的垂直平分线即可． 【规范解答】解：如图，点即为所求， 【举一反三练3】（23-24七年级下·宁夏吴忠·阶段练习）作图并回答问题：已知，如图，点P在的边上． (1)过点P作边的垂线l； (2)过点P作边的垂线，垂足为D； (3)过点O作的平行线交l于点E，比较，，三条线段的大小，并用“<”连接得___________，得此结论的依据是_____________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)作图见解析，，垂线段最短． 【思路点拨】本题考查尺规作图，直角三角形的性质．掌握基本的尺规作图和直角三角形斜边最长是解题关键． （1）根据垂线的作法作图即可； （2）根据垂线的作法作图即可； （3）根据运用“同位角相等，两直线平行”，同作相等的角作平行线，再根据垂线段最短解答即可． 【规范解答】（1）解：如图，垂线l即为所作； （2）解：如图，垂线即为所作； （3）解：如图，即为所作． 由作图可知和为直角三角形， ∴，， ∴，得此结论的依据是垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 考点讲练9：轴对称中的光线反射问题 【精讲题】（2024·江西·二模）我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个平面镜，，两个平面镜所成的夹角为，位于点 D 处的甲同学在平面镜 中看到位于点A处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线 经过平面镜反射后，又沿射向平面镜，在点 C 处再次反射，反射光线为，已知入射光线，反射光线 ，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了光的反射定律，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由光的反射定律以及平行线的性质，推出，再结合三角形内角和，推出的度数． 【规范解答】如图所示，由光的反射定律，可以知道， ， ， 故选：C ． 【举一反三练1】（20-21八年级上·辽宁阜新·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为A（1,3），B（2,1），C（5,1）． （1）直接写出点B关于x轴对称的对称点的坐标为______，直接写出点B关于y轴对称的对称点的坐标为_____，直接写出的面积为_______； （2）在y轴上找一点P使最小，则点P坐标为_______；说明理由． 【答案】（1），，7；（2）；理由见解析． 【思路点拨】（1）根据关于x轴、y轴对称的点的坐标特征即可得到B1、B2坐标，利用分割法即可求得△AB1B2面积； （2）根据轴对称的性质得到B3（﹣2，﹣1），求得直线B3A解析式继而令时即可求解． 【规范解答】（1）关于x轴对称点B， 坐标为 关于y轴对称点 坐标为 ∴S△AB1B2面积＝ 故的面积为7， （2）点P坐标为， 理由如下：∵B1（2，﹣1）关于y轴对称点B3（﹣2，﹣1）， 连接B3A交于y轴于P则P为所求， 设直线B3A表达式为， 把B3（﹣2，﹣1），A（1，3）代入得 解得 当时 【考点评析】本题考查轴对称有关知识，解题的关键是熟练掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特征及轴对称的性质． 【举一反三练2】（22-23七年级下·江苏·周测）光线以如图所示的角度照射到平面镜工上，然后在平面镜，之间来回反射．若，，则等于 (    ) A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角将已知转化到三角形中，利用三角形的内角和是求解． 【规范解答】解：如图： 由反射规律可知：，，， 又∵ ∴， 即 ． 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了三角形内角和定理，掌握入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角是解题关键，注意隐含的的关系的使用． 【举一反三练3】（19-20八年级上·新疆哈密·期中）如图,(1)  A、B、C三点表示3个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校与3个村庄的距离相等，请你在图中用尺规作图确定学校的位置．(保留作图痕迹,不写画法) （2）如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两城镇供气．泵站修在什么地方，可使所用的输气管线最短? 【答案】（1）见解析   （2）见解析 【思路点拨】（1）根据中垂线的性质，作AB、BC的中垂线相交于点P，则点P即为所求． （2）作点A关于直线l的对称点A’，连接A’B与直线l交于点P，则点P即为所求． 【规范解答】（1）如图所示，点P即为所求． （2）如图所示，泵站修在P点，可使所用的输气管线最短． 【考点评析】本题考查了尺规作图的相关问题，掌握尺规作图的方法是解题的关键． 考点讲练10：轴对称综合题（几何变换） 【精讲题】（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，点F是边上一点，．用直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹），并回答问题： (1)在边上作点D，使得点D到边的距离相等； (2)在射线上作点E，使得点E到点A、点C的距离相等； (3)若点P是射线上一个动点，当取最小值时，在图中作出符合要求的点P，的最小值是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)作图见解析，13 【思路点拨】（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，即作的平分线交于一点，即为点D，即可作答． （2）根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等，即作线段的垂直平分线与相交于一点，即为点，即可作答． （3）作点F关于射线的对称点，连接，交射线于一点P，此时，根据勾股定理列式计算，即可作答． 【规范解答】（1）解：点D如图所示： （2）解：点E如图所示： （3）解：点P如图所示： ∵， ∴， 即在中，， 即， 即． 【考点评析】本题考查了作角平分线，作垂直平分线，轴对称性质，勾股定理等知识内容：难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【举一反三练1】．（20-21八年级上·江苏无锡·期末）如图，已知四边形ABCD． （1）在边BC上找一点P，使得AP+PD的值最小，在图①中画出点P； （2）请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）： ①在线段AC上找一点M，使得BM＝CM，请在图②中作出点M； ②若AB与CD不平行，且AB＝CD，请在线段AC上找一点N，使得△ABN和△CDN的面积相等，请在图③中作出点N． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析． 【思路点拨】（1）作A点关于BC的对称点A′，连接DA′交BC于P点，利用PA=PA′，则PA+PD=DA′，根据两点之间线段最短可判断P点满足条件； （2）①作BC的垂直平分线交AC于M；②BA和CD的延长线相交于O点，作∠BOC的平分线交AC于N． 【规范解答】解：（1）如图①，点P为所作； （2）①如图①，点M为所作； ②如图②，点N为所作． 【考点评析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了最短路径问题． 【举一反三练2】（20-21八年级上·北京东城·期末）如图，在中，，D为的中点，E为延长线上一点，连接，过点D作，交的延长线于点F，连接．作点B关于直线的对称点G，连接． （1）依题意补全图形； （2）若． ①求的度数（用含的式子表示）； ②请判断以线段为边的三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）补图见解析；（2）①；②以线段为边的三角形是直角三角形，理由见解析． 【思路点拨】(1)根据题意画出图形解答即可； (2) ①根据轴对称的性质解答即可；②根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质得出，进而解答即可． 【规范解答】解：（1）补全图形，如图所示， （2）①∵，∴， 由轴对称性质可知，， ∵，∴， ∴， ②以线段为边的三角形是直角三角形， 如图,连接， 由轴对称性质可知，， ∵D是的中点，∴， ∵，∴， ∵， ∴，∴， ∵，∴， ∴， ∴以线段为边的三角形是直角三角形， ∴以线段为边的三角形是直角三角形． 【考点评析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质解答． 【举一反三练3】（20-21七年级下·四川成都·期末）如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点M和点N，在直线MN上取一点C，连接CA，CB，点D是线段AC的延长线上一点，且CD＝AC，点P是直线MN上一动点，连接PD，PB，若BC＝4，则PD+PB的最小值为 ． 【答案】6 【思路点拨】根据轴对称的性质和垂直平分线的性质判断即可； 【规范解答】解：由作法得MN垂直平分AB， ∴CA＝CB＝4，PA＝PB， ∵CD＝AC＝2， ∴AD＝6， ∵PA+PD≤AD（点A、P、D共线时取等号）， ∴PA+PD的最小值为6， ∴PB+PD的最小值为6． 故答案为6． 【考点评析】本题主要考查了垂直平分线的性质和轴对称最短距离问题，准确分析计算是解题的关键． 中等题真题汇编练 1．（23-24七年级下·河北张家口·期末）已知，求作射线，使平分，那么作法的合理顺序是（    ） ①作射线； ②在射线和上分别截取，使； ③分别以D、E为圆心，大于的长为半径在内作弧，两弧交于点C． A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①② 【答案】C 【思路点拨】本题考查基本作图—角平分线．根据角平分线的作图方法，进行排序判断即可． 【规范解答】解：作法的合理顺序是： ②在射线和上分别截取，使； ③分别以D、E为圆心，大于的长为半径在内作弧，两弧交于点C． ①作射线； 故选：C． 2．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，中，，的垂直平分线交于点，的周长是21，则的长度为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【思路点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得出，由的周长是21得出，结合计算即可得出答案． 【规范解答】解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长是21， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，则的周长等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线性质知，，的周长． 【规范解答】解：∵垂直平分 ∴， ∴的周长 故选：D． 4．（23-24七年级下·河南周口·期末）如图，D为上一点，垂直平分交于点E，已知，，则的长为（   ） A．3 B．5 C．8 D．18 【答案】A 【思路点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质求出，然后利用线段和差关系求解即可． 【规范解答】解：∵垂直平分交于点E，， ∴， 又， ∴， 故选：A． 5．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）在中，，，现分别以点和点为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，分别交和于点和，连接，则的周长为 【答案】14 【思路点拨】本题考查的是作图基本作图，线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论． 【规范解答】解：是线段的垂直平分线， ， 的周长． 故答案为：． 6．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在中，为上一点，平分，于点．若，，则 ． 【答案】5 【思路点拨】本题考查了角平分线的性质， 过D作于H，根据角平分线的性质得出，然后利用三角形面积求解即可． 【规范解答】解∶过D作于H， ∵平分，，， ∴， 又， ∴， 故答案为：5． 7．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为 ； 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质．利用线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”可得，然后利用的周长为和等量代换可得，即可解答． 【规范解答】解：∵的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点． ∴， ∵的周长为， ， ， ， ∴的长为； 故选：． 8．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，已知点A、点B以及直线l． (1)用尺规作图的方法在直线上求作一点，使．（保留作图痕迹，不要求写出作法）； (2)在（1）中所作的图中，若，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）利用线段垂直平分线的尺规作图法，作出的垂直平分线得出即可； （2）利用全等三角形的判定方法以及利用其性质得出即可． 此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质，熟练应用线段垂直平分线的性质是解题关键． 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）解：在和中 ， ． 9．（24-25八年级上·全国·假期作业）已知直线及位于其两侧的两点，，如图 (1)在图①中的直线上求一点，使； (2)在图②中的直线上求一点，使直线平分； (3)能否在直线上找一点，使该点到点，的距离之差的绝对值最大？若能，直接指出该点的位置，若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)能；点Q即为所求作的点 【思路点拨】本题考查线段的垂直平分线性质、轴对称的性质以及三角形三边关系等知识，灵活运用这些知识是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线与的交点即为所求． （2）作点关于的对称点，连接并延长交于点，点即为所求． （3）图2中的点即为所求． 【规范解答】（1）解：连接，作线段的垂直平分线，直线和直线的交点为，点即为所求，如图①． （2）解：作点关于直线的对称点，连接且延长交直线于点，点即为所求，见图②． （3）图②中的点即为所求，见图③． 理由如下：在直线上任意取一点，连接，，， 、关于直线对称， ， （当与重合时等号成立）， ， 与重合时， ， 故点即为所求的点． 10．（2024·甘肃金昌·三模）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、、、均落在格点上．在图①、图②给定的网格中按要求作图．要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出做法． (1)在图①中的格线上确定一点，使与的长度之和最小； (2)在图②中的格线上确定一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了轴对称的性质，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对称点的位置是解题的关键． （1）如图所示，作关于的对称点，连接，交于，点即为所求； （2）如图所示，作关于的对称点，连接并延长交于，点即为所求． 【规范解答】（1） （2） 11．（23-24六年级下·上海宝山·期末）如图，已知点、、在一条直线上，． (1)利用直尺和圆规作的平分线； (2)如果，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查尺规作角平分线、角平分线的定义、解一元一次方程，正确作出角平分线是解答的关键． （1）根据尺规作角平分线的作图方法即可； （2）设，则，，根据角平分线的定义得到，根据已知条件结合角的运算得到关于x的方程，然后求解x值即可． 【规范解答】（1）解：如图，射线即为所求作； （2）解：∵， ∴设，则， ∴， ∵射线是的平分线， ∴， ∵， ∴，解得， 即． 12．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，，连接．求的度数． 【答案】 【思路点拨】此题考查了角平分线的性质，理解角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解答此题的关键．过点作于点，于点，先通过计算得出，根据角平分线的性质得，，进而得，据此根据角平分线的性质可得出结论 【规范解答】解：如图，过点作于点，于点， ，， ， ， ， ，即为的平分线． 又，， ． 是的平分线， ， ， 点在的平分线上， 平分． 培优题真题汇编练 13．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，D为的中点，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，M为直线上任意一点．若，面积为10，则长度的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【思路点拨】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称-最短路径问题，连接，交直线于点N，设交于点G，当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长，结合已知条件求出即可． 【规范解答】解：连接，交直线于点N，设交于点G， 由题意得，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长． ∵，D为的中点， ∴， ∵，面积为10， ∴， 解得． 故选：B． 14．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，点，分别是，平分线上的点，于点，于点，于点，则以下结论错误的是（   ） A． B． C．与相等的角只有 D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，余角的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，再利用“HL”证明，根据全等三角形对应边相等可得，，同理可得，，然后求出，然后对各项分析判断即可． 【规范解答】解：∵A，B分别是，平分线上的点， ∴，， ∵， ∴，故选项A结论正确， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得，， ∴，故B选项结论正确， ∵， ∴， ∵A，B分别是，平分线上的点， ∴，， ∴，， ∴， ∵于点C，于点D， ∴，， ∴，， 与互余的角有，，，共4个，故选项C结论错误 ∵， 故选项D结论正确． 故选：C． 15．（2024·湖南湘西·模拟预测）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（    ） A．6 B．11 C．14 D．28 【答案】C 【思路点拨】此题考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质得到点E到和的距离相等，点E到的距离等于的长度，利用三角形面积公式即可得到答案． 【规范解答】解：由基本作图得到平分， ∴点E到和的距离相等， ∴点E到的距离等于的长度，即点E到的距离为4， ∴． 故选：C． 16．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知：如图，平分，，，下列结论：①；②；③， .其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．过作，交的延长线于，证，进而得出①正确，再证，进而得到③④正确，没有条件能证明②，进而即可解决问题． 【规范解答】解：如图，过作，交的延长线于， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故③正确； ，故④正确； ， ，故②错误， 综上所述：正确的是①③④． 故选：D． 17．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，则 ． 【答案】/46度 【思路点拨】连接，过E作于R，交于Q，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出，，根据全等求出，求出，即可求出答案． 【规范解答】解：连接，过E作于R，交于Q， ∵是线段的中垂线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意： ① 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ② 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 18．（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知平分，根据角平分线的性质可知，结合求出，． 【规范解答】解：作图可知平分， ∵是边上的高，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 19．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，平分，于点，连接，若，，则的面积是 ．    【答案】18 【思路点拨】此题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，熟记性质定理是解题的关键： 过点O作于点E，根据平分，，得到，根据面积公式求出三角形的面积． 【规范解答】解：如图，过点O作于点E，    ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故答案为：18． 20．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，，则 ． 【答案】 【思路点拨】连接，过E作于R，交于Q，交于O，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出，，根据全等求出，求出，求出，求出的度数，再求出，求出，根据三角形的外角性质求出，再求出答案即可． 【规范解答】解：连接，过E作于R，交C于Q，交于O， ∵是线段的中垂线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意： ① 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ② 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 21．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图，中，，，三条角平分线，，交于点O，于点H．下列结论：①，②，③平分，④，其中正确的结论序号有 ． 【答案】①②④ 【思路点拨】由得，即可求得，可判断①正确； 由，而，可推导出，可判断②正确； 由，得，再由推导出，即可证明，可判断③错误； 过点O作于点M，于点N，证明，得出，可判断④正确． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，故①正确； ∵于H， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误； 如图，过点O作于点M，于点N， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定和性质，与角平分线有关的三角形内角和问题，角平分线的性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 22．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，直线与直线相交于点，并且互相垂直，点和点分别是直线和上的两个动点，且线段长度不变，点是关于直线的对称点，连接，若，则的度数是 ． 【答案】或 【思路点拨】分两种情况：当时，取的中点，连接、，当时，取的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线的性质、等边三角形的判定得出是等边三角形，进而依据轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义及性质以及三角形内角和定理进行计算即可得出答案． 【规范解答】解：如图，当时，取的中点，连接、， ，为的中点， ， 点是关于直线的对称点， 垂直平分，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ； 当时，取的中点，连接、， 同理可得，， ， ， ， ， 综上所述，的度数是或， 故答案为：或． 【考点评析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、轴对称的性质等知识点，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 23．（23-24八年级上·重庆江北·阶段练习）如图，中，，，，垂足是，平分，交于点．在外有一点，使，．在上取一点，使，连接交于点，连接．①；②；③；④．其中正确的结论有： ．（只填序号）    【答案】①②③④ 【思路点拨】①通过角的转换和等腰直角三角形的性质，得到和，从而证明，根据全等三角形对应边相等得到结论；②过点作于点，通过证明是的垂直平分线就易得出结论；③通过证明和来证明结论；④过点作于点，根据角平分线的性质得出，根据，即可得出结论． 【规范解答】①∵，， ∴， ， ∴， 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；故①正确 ②过E作于点G． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即G是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，即．故②正确； ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，∴， ∵，∴， ∴，， ∵，∴， ∴． ∴，故③正确；    ④如图所示，过点作于点，    ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵，     ∴， ∴，， ∴， ∵, ∴， 即 故答案为：①②③④． 【考点评析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 24．（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一格点（即三角形的顶点都在格点上）．    (1)在图中作出关于直线l对称的； (2)若有一格点P到点A，B的距离相等，则网格中满足条件的点P有__________个； (3)在直线l上找到一点Q，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)见解析 【思路点拨】本题主要考查轴对称作图、轴对称-最短路线问题、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握轴对称的性质以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作出对应点，然后顺次连接即可； （2）利用网格，作线段AB的垂直平分线，所经过的格点即为满足条件的点P的位置； （3）连接，交直线l于点Q，连接，此时的值最小． 【规范解答】（1）解：如图：即为所求．    （2）解：如图：满足到点A，B的距离相等， ∴网格中满足条件的点P有4个． 故答案为：4． （3）解：如图，点Q即为所求． 25．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，平分于点E，点F在上，．求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法可以证明和全等，从而可以证明结论成立． 【规范解答】证明：∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 26．（2024·江苏南通·二模）如图，点P是内一射线上一点，点M、N分别是边、上的点，连接，且，． 求证：是的平分线． 小星的解答如下： 证明：在和中， ∵，，， ∴……第一步 ∴……第二步 ∴是的平分线．……第三步 (1)小星的解答从第 步开始出现错误； (2)请写出你认为正确的证明过程． 【答案】(1)一 (2)见解析 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 过点P作，于点D，E，根据证明，即可得到，然后根据角平分线的判定定理即可得到结论． 【规范解答】（1）小星的解答从第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2）证明：过点P作，于点D，E， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是的平分线． 27．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）【问题背景】 如图，在中，，，是的角平分线，它们相交于点． 【初步探究】（1）如图1，连接，求证：点在的平分线上； 【深入探究】（2）如图2，延长交于点，过点作于点于点，并连接，试判断与的大小关系； 【拓展延伸】（3）如图3，延长交于点，连接交于点，过点作于点，于点，请问和有何数量关系？ 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【思路点拨】本题考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点作的垂线段，分别交于点，证明即可解答； （2）过点作的垂线段，交的延长线于点，可得，证明，可得，即可解答； （3）过点作的垂线段，交于点，过点作于点于点，同（2）中原理可得平分，可得即可解答。 【规范解答】（1）证明：如图，过点作的垂线段，分别交于点， ，是的角平分线， ， 点在的角平分线上（到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上）； （2），理由如下： 如图，过点作的垂线段，交的延长线于点， 是的角平分线，， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作的垂线段，交于点，过点作于点于点， 根据（2）中原理可得， 是的平分线， ， ， 平分，，， ． 28．（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）如图，点A在y轴正半轴上，点D在点A下方的y轴上，点B在x轴正半轴上，平分与x轴交于点C． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若点A的坐标为，点E为上一点，且，求的长； (3)如图3，若，过C作于点F，点H为线段上一动点，点G为线段上一动点，在运动过程中，始终满足，试判断之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析 【思路点拨】本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）由“”可证，可得； （2）由“”可证，可得，可证，由等腰三角形的性质可得，即可求解； （3）由“”可证，可得，由“”可证，可得，即可求解； 添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图3，在的延长线截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$