2.1～2.2 轴对称与轴对称图形、轴对称的性质（知识精讲+易错点拨+九大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第2章《轴对称图形》】 2.1-2.2 轴对称与轴对称图形、轴对称的性质 （知识精讲+易错点拨+九大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 3 考点讲练1：轴对称图形的识别 3 考点讲练2：成轴对称的两个图形的识别 5 考点讲练3：根据成轴对称的两个图形的特征进行判断求解 7 考点讲练4：台球桌面上的轴对称问题 8 考点讲练5：折叠问题 10 考点讲练5：画对称轴 12 考点讲练6：求对称轴条数 14 考点讲练7：车牌号码的镜面对称问题 14 考点讲练8：钟表的镜面对称 15 考点讲练9：电子钟示数的镜面对称 16 中等题真题汇编练 17 培优题真题汇编练 20 新知精讲梳理 知识点01：轴对称与轴对称图形 一、轴对称 轴对称是指两个图形之间的特殊关系。具体来说，当把一个图形沿着某一条直线翻折时，如果它能够与另一个图形完全重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称。这条直线被称为对称轴。 定义：两个图形沿某条直线翻折后能完全重合，则称这两个图形成轴对称。 对称轴：使两个图形关于其对称的直线。 对称点：翻折后重合的点。 二、轴对称图形 轴对称图形则是指一个图形本身具有某种对称性。即，当把一个图形沿着某一条直线折叠时，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 定义：一个图形沿某条直线折叠后，两部分能完全重合，则称这个图形是轴对称图形。 对称轴：图形内部的直线，使图形关于其对称。 例子：圆、正方形、长方形、等腰三角形等都是常见的轴对称图形。 知识点02：轴对称的性质 轴对称的性质主要围绕成轴对称的两个图形或轴对称图形本身展开，具体包括以下几点：: 一、全等性 性质：成轴对称的两个图形一定是全等的。即，它们的形状和大小完全相同。 应用：可以利用这一性质来证明两个图形是否成轴对称，或求解与全等相关的数学问题。 二、对应点的连线性质 性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。 应用：这一性质在求解对称点的坐标、证明图形的对称性等方面有重要应用。 三、对应部分的轴对称性 性质：成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称。 应用：这一性质表明，不仅整个图形具有轴对称性，其内部的各个部分（如线段、角等）也可能具有轴对称性。 四、线段和角的轴对称性 线段：线段是轴对称图形，其垂直平分线是它的对称轴。线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 角：角也是轴对称图形，其角平分线所在的直线是它的对称轴。角平分线上的点到角两边的距离相等。 五、等腰三角形和等边三角形的轴对称性 等腰三角形：两边相等的三角形是等腰三角形，它是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。 等边三角形：三边相等的三角形是等边三角形，它也是轴对称图形，有三条对称轴（分别是三条边的中垂线）。 高频易错知识点拨 易错知识点01：概念混淆 学生容易将“轴对称”与“轴对称图形”两个概念混淆。轴对称是指两个图形之间的关系，而轴对称图形是指一个图形自身的特性。 示例：两个全等的三角形不一定是轴对称的，除非它们能沿某条直线翻折后重合；而一个等腰三角形则是轴对称图形，因为它可以沿其高（也是对称轴）翻折后完全重合。 易错知识点02：对称轴的识别 对于一些复杂的图形，学生可能难以准确识别其对称轴。特别是当图形包含多条对称轴时，容易遗漏或误判。 示例：正方形有四条对称轴，分别是两条对角线和连接正方形对边中点的两条线段。学生需要熟练掌握这些基本图形的对称轴。 易错知识点03：性质应用不当： 学生在应用轴对称的性质时，可能忽略了对应点连线被对称轴垂直平分的条件，导致解题错误。 示例：在证明两个三角形全等时，如果已知它们成轴对称，应直接利用轴对称的性质（对应点连线被对称轴垂直平分）来构造全等条件，而不是尝试其他复杂的证明方法。 易错知识点04：图形变换的误解 学生可能将轴对称与平移、旋转等其他图形变换混淆，导致在解题时思路不清。 示例：轴对称是图形关于某条直线的翻折变换，而平移是图形在同一平面内沿某一方向移动一定的距离，旋转是图形绕某一点转动一定的角度。这些变换在性质和应用上都有所不同，需要学生清晰区分。 易错知识点05：复杂图形的处理 对于包含多个部分或复杂结构的轴对称图形，学生可能难以准确应用轴对称的性质进行解题。 示例：在处理多边形或组合图形的轴对称问题时，学生需要仔细分析图形的结构特点，找出对称轴并确定对应点或对应部分，然后利用轴对称的性质进行解题。 考点讲练1：轴对称图形的识别 【精讲题】（2024·甘肃·中考真题）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【举一反三练1】（2024·江西九江·三模）如图，这是由8个边长相同的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有（    ） A．10种 B．9种 C．8种 D．6种 【举一反三练2】（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上． (1)在图1中找到一个格点，画出，使与全等，且以点为顶点的四边形是轴对称图形； (2)在图2中找到一个格点，画出，使与全等，且以点为顶点的四边形不是轴对称图形． 【举一反三练3】（23-24八年级上·江西宜春·阶段练习）如图，在四边形中，，点分别在，上，．    (1)判断该图形是否是轴对称图形 （填“是”或“否”）； (2)求证：． 考点讲练2：成轴对称的两个图形的识别 【精讲题】（2020·浙江杭州·模拟预测）给出如下三个图案，它们具有的公共特点是： ．（写出1个即可） 【举一反三练1】（16-17八年级上·湖北十堰·期末）如图的四组图形中，左边图形与右边图形成轴对称的有（     ） A．1组 B．2组 C．3组 D．0组 【举一反三练2】（20-21八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个方格的边长均为1个单位长度）． （1）写出下列点的坐标：A（    ， ），B（   ，   ） C（    ，    ） （2）若△ABC各顶点的纵坐标不变，横坐标都乘﹣1，请在同一直角坐标系中找出对应的点A′，B′，C′，并依次连接这三个点，从图象可知△ABC与△A′B′C′有怎样的位置关系？ 【举一反三练3】（18-19八年级上·江苏南京·期末）如图，△ABC 和△关于直线 PQ 对称，△和△关于直线 MN对称. （1）用无刻度直尺画出直线MN； （2）直线 MN 和 PQ 相交于点 O，试探究∠AOA2 与直线 MN，PQ 所夹锐角α的数量关系. 考点讲练3：根据成轴对称的两个图形的特征进行判断求解 【精讲题】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，O为内部一点，，P、R为O分别以直线、为对称轴的对称点． (1)请指出当是什么角度时，会使得的长度等于7？并完整说明的长度为何在此时等于7的理由． (2)承（1）小题，请判断当不是你指出的角度时，的长度小于7还是大于7？并完整说明你判断的理由． 【举一反三练1】（23-24七年级下·海南海口·期末）如图，直线是的对称轴． (1)画出中边上的高，与交于点O； (2)试说明； (3)若，求和的度数． 【举一反三练2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，是由经轴对称变换得到的，对称轴为直线．    (1)与全等吗？全等的两个三角形一定能经轴对称变换互相得到吗？ (2)分别找出点、点关于直线l的对称点，如果点在内，那么点关于直线的对称点一定在内吗？ (3)连接，线段与直线有怎样的关系？ 【举一反三练3】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，正六边形关于直线l成轴对称的图形是正六边形，有下列说法：①；②；③直线；④．其中正确的是 （请写出所有正确说法的序号）．    考点讲练4：台球桌面上的轴对称问题 【精讲题】（20-21七年级下·四川成都·期中）如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是 【举一反三练1】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．    (1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球． 【举一反三练2】（22-23八年级上·北京海淀·期中）公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同． 如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题： (1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性． (2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可． 【举一反三练3】（20-21七年级下·四川乐山·期末）画图探究： （1）如图1，点和点位于直线两侧，是直线上一点，点使的值最小．请你通过画图，在图1中找出点； （2）如图2，点和点位于直线同侧，是直线上一点，点使的值最小．请你通过画图，在图2中找出点； 实践应用： （3）如图3，在四边形中，，，点在边上，点在边上，点、点使的周长的值最小．请你通过画图，在图3中找出点和点并求的度数． 考点讲练5：折叠问题 【精讲题】（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，四边形纸片中，，将纸片折叠，使落在边上的处，折痕为，则（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（2024·山西晋城·三模）如图，将正六边形纸片折叠，使点A与点F重合，点C与点D重合，折痕与交于点M，与交于点N；展开纸片，再将纸片折叠，使与重合，此时点A，B的对应点分别为，折痕与交于点K，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，点D，E，F分别在的各边上，，．将沿翻折， 使得点B落在 处，沿翻折，使得点C 落在处．若，则 °． 【举一反三练3】（23-24七年级下·河南新乡·期末）如图，在长方形纸片中，点E在边上，点F在边上，四边形沿翻折得到四边形且点恰好落在边上；将沿折叠得到且点恰好落在边上． (1)若则 ． (2)若，求的度数． 考点讲练5：画对称轴 【精讲题】（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，网格中的和是轴对称图形． (1)利用网格线，作出和的对称轴； (2)如果每个小正方形的边长为1，则的面积为__________． 【举一反三练1】（23-24八年级上·全国·课后作业）请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写画法，保留作图痕迹.    (1)如图①，四边形中，，，，画出四边形的对称轴； (2)如图②，四边形中，，，画出边的垂直平分线. 【举一反三练2】（22-23八年级上·江苏南京·期中）已知图①、图②都是轴对称图形．仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在图①中，作出该图形的对称轴l； (2)在图②中，作出点P的对称点． 【举一反三练3】（22-23八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，网格中的与为轴对称图形. (1)利用网格线作出与的对称轴l； (2)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出的面积=___________. (3)顶点在格点，找出以BC为一边且与全等（不与重合）的三角形，这样的三角形在网格内共能画出___________个. 考点讲练6：求对称轴条数 【精讲题】（21-22七年级下·福建泉州·期末）正五边形的对称轴共有（      ） A．2条 B．4条 C．5条 D．无数条 【举一反三练1】（16-17七年级·广西贵港·期末）下列轴对称图形中，对称轴条数最少的图形是(　　) A． B． C． D． 【举一反三练2】（20-21七年级上·江苏泰州·阶段练习）一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折2次后，可以得3条折痕，那么对折4次可以得到 条折痕． 【举一反三练3】（22-23八年级上·江苏苏州·阶段练习）下列图形是否是轴对称图形，画出轴对称图形的所有对称轴． 思考：正三角形有_______条对称轴；正四边形有______条对称轴；正五边形有_______条对称轴；正六边形有_______条对称轴；正n边形有_______条对称轴． 当n越来越大时，正多边形接近于什么图形？它有多少条对称轴？ 考点讲练7：车牌号码的镜面对称问题 【精讲题】（2024·湖南岳阳·二模）一平面镜与水平面成角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（      ） A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动 C．以的速度，做竖直向上运动 D．以的速度，做竖直向下运动 【举一反三练1】（21-22八年级上·全国·单元测试）如图，在一张纸上写上“  ”平放在桌子上，同时有两面镜子直立于桌面上，这时的两面镜子上都出现“  ”的像，把在前面放置的镜子里出现的像和左面镜子里出现的像分别叫做“正面像”和“侧面像”，则（     ）    A．“正面像”和“侧面像”都是五位数，前者比较大 B．“正面像”和“侧面像”都是五位数，两者相等 C．“正面像”和“侧面像”都是五位数，前者比较小 D．“正面像”和“侧面像”中，只有一个五位数 【举一反三练2】（23-24八年级上·安徽淮南·期中）一个英文图象平行对着镜子，在镜子里看到的是“”，则这个英文单词的中文意思是 ． 【举一反三练3】（19-20七年级下·全国·课后作业）小强用火柴棒在桌上摆了一个不正确的等式，如图所示，你有没有什么办法，在不移动火柴棒的情况下，使桌面出现一个正确的等式？    考点讲练8：钟表的镜面对称 【精讲题】（23-24八年级上·河南信阳·期中）小明在镜中看到对面电子时钟的示数如图所示，则现在的实际时间为（　　） A． B． C． D． 【举一反三练1】．（22-23七年级下·山东济南·期末）小明在镜中看到对面电子时钟的示数如图所示,这现在的实际时间为（　　）    A．12:01 B．10: 21 C．15:10 D．10:51 【举一反三练2】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·周测）小强从穿衣镜中看到挂在墙上电子表的读数是  ，则电子表的实际读数是 ． 【举一反三练3】（22-23八年级上·河南安阳·期中）小红站在平面镜前，通过镜子看到电子钟的示数如图所示，这时的时刻应是 ． 考点讲练9：电子钟示数的镜面对称 【精讲题】（12-13八年级上·云南昆明·期中）电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是（    ） A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01 【举一反三练1】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）在镜子上看到时间是，那么实际时间为 ． 【举一反三练2】（19-20八年级上·辽宁葫芦岛·期中）小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数为，则电子表的实际时刻是 ． 【举一反三练3】（19-20八年级上·江苏扬州·期中）如图，是平面镜里看到背向墙壁的电子钟示数，这时的实际时间应该是 . 中等题真题汇编练 1．（23-24八年级上·河北承德·期中）如图所示，是四边形的对称轴，，现给出下列结论：①；②；③垂直平分；④， 其中正确的结论有（　　）   A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024八年级下·全国·专题练习）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（　　）． A．B．C． D． 3．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，点B、F在长方形纸片的边上，点G、H在边上，分别沿、折叠，点D和点A都落在点M处若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，四边形中，，在上分别找一点M、N，使周长最小时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，四边形沿直线对折后互相重合，如果，下列结论中正确的是 ．（把你认为正确的结论的序号都填上） ①；②；③；④． 6．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，，点D，E在上，与关于直线对称，则的度数是 ． 7．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，沿折叠使点A落在点处，分别是平分线，若，则 ．    8．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，若，则 ． 9．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，网格中的与为轴对称图形． (1)利用网格线作出与的对称轴l； (2)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出的面积=_______； (3)在网格中画出以为一边且与全等（不与重合）的． 10．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． (1)格点（顶点均在格点上）的面积为______； (2)画出格点向右平移3个单位长度后得到的； (3)在直线DE上画出点P，使最小． 11．（23-24七年级下·山西晋中·期中）综合与实践 折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索． 初步探索 （1）如图1，四边形纸片中，，点E是线段上一点，将纸片沿折叠，点C的对应点为点，测得，求和的度数； 深入探究 （2） 如图2，小明将纸片换成一张长方形纸片（），点E，F分别是线段，上的一点，他先将纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为点，与线段交于点G，点H是线段上一点，再将纸片沿折叠，点D的对应点为点，使得点恰好在上，测得，则______ 培优题真题汇编练 12．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）如图，在中，，平分，若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．1.2 B．2.4 C．4.8 D．9.6 13．（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点P在的内部，点P关于，的对称点分别为A，B，连接交于点C，交于点D，连接、，若，则的度数为（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 14．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，把长方形沿折叠后，点D，C分别落在，的位置．若，则是（    ） A． B． C． D． 15．（22-23八年级上·贵州黔南·期末）如图，在中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，为折痕，若，则边长为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时，的度数是 ．    17．（23-24七年级下·江西抚州·期末）如图1是由两块形状相同的三角板拼成，已知，，点E是边上的动点，连结，将沿直线翻折，点C，D的对应点分别为N，M，当与的一边平行时，的度数为 ． 18．（23-24七年级下·河南平顶山·期中）如图（1）所示是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图（2），再沿折叠成图（3），则图（3）中的的度数是 ．    19．（23-24七年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在中，，D是边上的定点，E是上的动点，沿折叠，点C落在点F处．当与的一边平行时，的度数是 ． 20．（22-23七年级下·湖北武汉·期末）如图，在三角形中，点D，E是边上两点，点F在边AB 上，将三角形沿折叠得三角形，交于点H，将三角形沿折叠恰好得到三角形，且．下列四个结论：①；②；③；④若，则． 其中正确的结论是 （填写序号）．      21．（18-19七年级下·江苏南京·期末）如图，在四边形ABCD中，∠C+∠D=，E、F分别是AD、BC上的点，将四边形CDEF沿直线EF翻折，得到四边形，交AD于点G，若△EFG有两个相等的角，则∠EFG = ． 22．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，和关于直线对称，和的交点在直线上．    (1)若，，求的长； (2)若，，，求的度数； (3)连接和，则和的位置关系，并说明理由． 23．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图所示，和是分别沿着，边翻折形成的，若，求的度数． 24．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在、的位置，的延长线交于点．    (1)如果，求的度数； (2)如果已知∠，则__________（用含的式子表示） (3)探究与的数量关系，并说明理由． 25．（23-24八年级上·浙江金华·期末）定义：如果有三个角，满足，则称是和的“减余角”． (1)已知，，若是和的“减余角”，则 ． (2)现有一张正方形纸片，如图所示，点为线段上一点（不与重合）．连结，将纸片沿着对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为． ①若是和的“减余角”，求的度数． ②再将此正方形纸片沿着所在直线对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为，如图所示．是否存在，，中的一个角是其它两个角的“减余角”？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 26．（22-23八年级上·北京丰台·期末）如图，在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接．    (1)如图1，射线，都在的内部． ①设，则 （用含有的式子表示）； ②作点关于直线的对称点，则线段与图1中已有线段 的长度相等； (2)如图2，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第2章《轴对称图形》】 2.1-2.2 轴对称与轴对称图形、轴对称的性质 （知识精讲+易错点拨+九大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 3 考点讲练1：轴对称图形的识别 3 考点讲练2：成轴对称的两个图形的识别 7 考点讲练3：根据成轴对称的两个图形的特征进行判断求解 11 考点讲练4：台球桌面上的轴对称问题 15 考点讲练5：折叠问题 20 考点讲练5：画对称轴 24 考点讲练6：求对称轴条数 29 考点讲练7：车牌号码的镜面对称问题 31 考点讲练8：钟表的镜面对称 33 考点讲练9：电子钟示数的镜面对称 35 中等题真题汇编练 36 培优题真题汇编练 46 新知精讲梳理 知识点01：轴对称与轴对称图形 一、轴对称 轴对称是指两个图形之间的特殊关系。具体来说，当把一个图形沿着某一条直线翻折时，如果它能够与另一个图形完全重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称。这条直线被称为对称轴。 定义：两个图形沿某条直线翻折后能完全重合，则称这两个图形成轴对称。 对称轴：使两个图形关于其对称的直线。 对称点：翻折后重合的点。 二、轴对称图形 轴对称图形则是指一个图形本身具有某种对称性。即，当把一个图形沿着某一条直线折叠时，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 定义：一个图形沿某条直线折叠后，两部分能完全重合，则称这个图形是轴对称图形。 对称轴：图形内部的直线，使图形关于其对称。 例子：圆、正方形、长方形、等腰三角形等都是常见的轴对称图形。 知识点02：轴对称的性质 轴对称的性质主要围绕成轴对称的两个图形或轴对称图形本身展开，具体包括以下几点：: 一、全等性 性质：成轴对称的两个图形一定是全等的。即，它们的形状和大小完全相同。 应用：可以利用这一性质来证明两个图形是否成轴对称，或求解与全等相关的数学问题。 二、对应点的连线性质 性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。 应用：这一性质在求解对称点的坐标、证明图形的对称性等方面有重要应用。 三、对应部分的轴对称性 性质：成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称。 应用：这一性质表明，不仅整个图形具有轴对称性，其内部的各个部分（如线段、角等）也可能具有轴对称性。 四、线段和角的轴对称性 线段：线段是轴对称图形，其垂直平分线是它的对称轴。线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 角：角也是轴对称图形，其角平分线所在的直线是它的对称轴。角平分线上的点到角两边的距离相等。 五、等腰三角形和等边三角形的轴对称性 等腰三角形：两边相等的三角形是等腰三角形，它是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。 等边三角形：三边相等的三角形是等边三角形，它也是轴对称图形，有三条对称轴（分别是三条边的中垂线）。 高频易错知识点拨 易错知识点01：概念混淆 学生容易将“轴对称”与“轴对称图形”两个概念混淆。轴对称是指两个图形之间的关系，而轴对称图形是指一个图形自身的特性。 示例：两个全等的三角形不一定是轴对称的，除非它们能沿某条直线翻折后重合；而一个等腰三角形则是轴对称图形，因为它可以沿其高（也是对称轴）翻折后完全重合。 易错知识点02：对称轴的识别 对于一些复杂的图形，学生可能难以准确识别其对称轴。特别是当图形包含多条对称轴时，容易遗漏或误判。 示例：正方形有四条对称轴，分别是两条对角线和连接正方形对边中点的两条线段。学生需要熟练掌握这些基本图形的对称轴。 易错知识点03：性质应用不当： 学生在应用轴对称的性质时，可能忽略了对应点连线被对称轴垂直平分的条件，导致解题错误。 示例：在证明两个三角形全等时，如果已知它们成轴对称，应直接利用轴对称的性质（对应点连线被对称轴垂直平分）来构造全等条件，而不是尝试其他复杂的证明方法。 易错知识点04：图形变换的误解 学生可能将轴对称与平移、旋转等其他图形变换混淆，导致在解题时思路不清。 示例：轴对称是图形关于某条直线的翻折变换，而平移是图形在同一平面内沿某一方向移动一定的距离，旋转是图形绕某一点转动一定的角度。这些变换在性质和应用上都有所不同，需要学生清晰区分。 易错知识点05：复杂图形的处理 对于包含多个部分或复杂结构的轴对称图形，学生可能难以准确应用轴对称的性质进行解题。 示例：在处理多边形或组合图形的轴对称问题时，学生需要仔细分析图形的结构特点，找出对称轴并确定对应点或对应部分，然后利用轴对称的性质进行解题。 考点讲练1：轴对称图形的识别 【精讲题】（2024·甘肃·中考真题）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【答案】A或C 【思路点拨】根据轴对称图形的定义解答即可． 本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【规范解答】根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以， 故答案为：A或C． 【举一反三练1】（2024·江西九江·三模）如图，这是由8个边长相同的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有（    ） A．10种 B．9种 C．8种 D．6种 【答案】C 【思路点拨】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．将五块空白的正六边形变号，逐个判断即可作答． 【规范解答】如图， 涂黑的方案有：选择、、、、、、、时，均可得到轴对称图形， 即共计有8种， 故选：C． 【举一反三练2】（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上． (1)在图1中找到一个格点，画出，使与全等，且以点为顶点的四边形是轴对称图形； (2)在图2中找到一个格点，画出，使与全等，且以点为顶点的四边形不是轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了作图—轴对称变换，全等三角形的判定，熟练掌握轴对称图形的性质、全等三角形的判定是解答本题的关键． （1）结合轴对称图形的性质以及全等三角形的判定画出图形即可； （2）根据全等三角形的判定画出图形即可． 【规范解答】（1）解：如图1，即为所求（答案不唯一）， ； （2）解：如图2，即为所求， ． 【举一反三练3】（23-24八年级上·江西宜春·阶段练习）如图，在四边形中，，点分别在，上，．    (1)判断该图形是否是轴对称图形 （填“是”或“否”）； (2)求证：． 【答案】(1)是 (2)见解析 【思路点拨】（1）连接，证明得到，证明，即可得到答案； （2）由（1）得，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：如图，连接，    在和中， ， ， ， 在和中， ， ， 该图形沿直线折叠后能够完全重合， 该图形是轴对称图形， 故答案为：是； （2）证明：由（1）得， ． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质、轴对称图形的定义，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 考点讲练2：成轴对称的两个图形的识别 【精讲题】（2020·浙江杭州·模拟预测）给出如下三个图案，它们具有的公共特点是： ．（写出1个即可） 【答案】都是轴对称图形 【思路点拨】利用已知图形的特征分别得出其公共特征． 【规范解答】解：答案不唯一，例如：都是轴对称图形， 故答案为：都是轴对称图形． 【考点评析】本题考查了轴对称图形，解题的关键是正确把握轴对称图形的特征． 【举一反三练1】（16-17八年级上·湖北十堰·期末）如图的四组图形中，左边图形与右边图形成轴对称的有（     ） A．1组 B．2组 C．3组 D．0组 【答案】A 【思路点拨】:欲分析两个图形是否成中心对称,主要把一个图形绕一个点旋转180°,观察是否能和另一个图形重合即可． 【规范解答】根据中心对称的概念,知①、②、③都是中心对称;④是轴对称 故选：A． 【考点评析】本题重点考查了两个图形成中心对称的定义 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴 如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心 【举一反三练2】（20-21八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个方格的边长均为1个单位长度）． （1）写出下列点的坐标：A（    ， ），B（   ，   ） C（    ，    ） （2）若△ABC各顶点的纵坐标不变，横坐标都乘﹣1，请在同一直角坐标系中找出对应的点A′，B′，C′，并依次连接这三个点，从图象可知△ABC与△A′B′C′有怎样的位置关系？ 【答案】（1）A（3，4），B（1，2）C（5，1）；（2）△ABC与△A′B′C′关于y轴对称；见解析 【思路点拨】（1）根据直角坐标系即可依次写出坐标； （2）根据△ABC各顶点的纵坐标不变，横坐标都乘﹣1,得到对应点的坐标，再顺次连接，根据对称性即可判断． 【规范解答】（1）点的坐标为：A（3，4），B（1，2）C（5，1）； 故答案为：（3，4），（1，2），（5，1）； （2）△A′B′C′即为所求，△ABC与△A′B′C′关于y轴对称． 【考点评析】此题主要考查了作图−−轴对称变换，关键是掌握几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也就是要确定一些特殊的对称点，然后再连接即可． 【举一反三练3】（18-19八年级上·江苏南京·期末）如图，△ABC 和△关于直线 PQ 对称，△和△关于直线 MN对称. （1）用无刻度直尺画出直线MN； （2）直线 MN 和 PQ 相交于点 O，试探究∠AOA2 与直线 MN，PQ 所夹锐角α的数量关系. 【答案】(1)见解析;(2) ∠AO=2α. 【思路点拨】（1）找到并连接关键点，作出关键点的连线的垂直平分线；（2）根据对称找到相等的角，然后进行推理． 【规范解答】解：（1）如图，连接． 作线段的垂直平分线MN． 则直线MN是△和△的对称轴． （2）∠AO 是直线 MN，PQ 所夹锐角α的2倍， 理由：∵△和△关于直线MN对称，∴ 与关于MN对称， ∴. 又∵△ABC 和△关于直线 PQ 对称， ∴∠AOP=∠OP． ∴∠AO =+∠AOP+∠OP =2（ +∠OP）=2α 即∠AO=2α． 【考点评析】本题考查了利用轴对称变换作图，根据轴对称的性质求角的度数是解题的关键. 考点讲练3：根据成轴对称的两个图形的特征进行判断求解 【精讲题】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，O为内部一点，，P、R为O分别以直线、为对称轴的对称点． (1)请指出当是什么角度时，会使得的长度等于7？并完整说明的长度为何在此时等于7的理由． (2)承（1）小题，请判断当不是你指出的角度时，的长度小于7还是大于7？并完整说明你判断的理由． 【答案】(1)时，．证明见解析 (2)的长度小于7，理由见解析 【思路点拨】本题考查轴对称的性质、三角形的三边关系，（1）连接、，根据轴对称的性质可得，，然后判断出点P、B、R三点共线时，再根据平角的定义求解；（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边解答． 【规范解答】（1）解：如图，时，，证明如下： 连接、， ∵P、R为O分别以直线、为对称轴的对称点， ∴，， ∵， ， ∴点P、B、R三点共线， ∴； （2）解：的长度小于7，理由如下： 当，则点P、B、R三点不在同一直线上， ∴， ∵， ∴， 即的长度小于7． 【举一反三练1】（23-24七年级下·海南海口·期末）如图，直线是的对称轴． (1)画出中边上的高，与交于点O； (2)试说明； (3)若，求和的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【思路点拨】本题考查了三角形内角和，三角形外角的性质，余角性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键； （1）根据高的定义即可画出图形， （2）根据是的对称轴，得，，在根据同角的余角相等得，即可解答结论； （3）首先利用三角形内角和定理求出，再利用三角形外角的性质即可求出；利用三角形内角和即可求出． 【规范解答】（1）如图， 在中， 线段是边上的高．             … （2）∵ 直线是的对称轴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴； （3）在中， ∴． 在中， ， ∴． 【举一反三练2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，是由经轴对称变换得到的，对称轴为直线．    (1)与全等吗？全等的两个三角形一定能经轴对称变换互相得到吗？ (2)分别找出点、点关于直线l的对称点，如果点在内，那么点关于直线的对称点一定在内吗？ (3)连接，线段与直线有怎样的关系？ 【答案】(1)与全等，全等的两个三角形不一定能经轴对称变换互相得到 (2)点关于直线的对称点一定在内 (3)线段被直线垂直平分 【思路点拨】本题考查轴对称、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质即可得出答案，全等三角形不一定是轴对称图形，画出反例图形即可； （2）画图予以说明即可； （3）运用轴对称的性质即可得出答案． 【规范解答】（1）解：与全等，全等的两个三角形不一定能经轴对称变换互相得到，这要看这两个三角形的位置关系， 理由如下： 是由经轴对称变换得到的， ， 如图，，但和不是轴对称的关系，   ； （2）解：点、点关于直线的对称点分别是点、点；如果点在内，那么点关于直线的对称点一定在内， 如图，   ； （3）解：线段被直线垂直平分， 理由如下： 如图，设直线交直线于，   ，与关于直线对称， 点，是对称点， 将沿直线折叠后，点与点重合，则有，， 线段被直线垂直平分． 【举一反三练3】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，正六边形关于直线l成轴对称的图形是正六边形，有下列说法：①；②；③直线；④．其中正确的是 （请写出所有正确说法的序号）．    【答案】①③④ 【思路点拨】根据轴对称的性质，多边形的内角和求解，然后判断作答即可． 【规范解答】解：由轴对称的性质可得，，直线，， ∴①③④正确，故符合要求；②错误，故不符合要求； 故答案为：①③④． 【考点评析】本题考查了轴对称的性质，多边形的内角和．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 考点讲练4：台球桌面上的轴对称问题 【精讲题】（20-21七年级下·四川成都·期中）如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是 【答案】673 【思路点拨】如图，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解． 【规范解答】解：如图， 根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环， 经过6次反弹后动点回到出发点，且每次循环它与AB边的碰撞有2次， ∵2021÷6=336…5， 当点P第2021次碰到长方形的边时为第336个循环组后的第5次反弹， ∴它与AB边的碰撞次数是=336×2+1=673次， 故答案为：673． 【考点评析】本题主要考查了轴对称的性质，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 【举一反三练1】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．    (1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查作图—应用与设计作图，生活中的轴对称现象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点，连接交于点，连接，构造等腰直角三角形，取格点，连接，将平移，使点与点重合，交于，交于点，点，点即为所求； （2）作点关于的对称点，连接交一点，连接，点即为所求，作点关于的对称点，连接分别交于点，连接，路径即为所求． 【规范解答】（1）解：如图1中，点，点即为所求；   ， 由勾股定可得：，，，，，， ，，， 、、是等腰直角三角形， ，， 由平移的性质可得， 是等腰直角三角形， ， ； （2）解：如图2中，点即为所求，路径即为所求．   ． 【举一反三练2】（22-23八年级上·北京海淀·期中）公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同． 如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题： (1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性． (2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）作点P关于的对称点，连接交于T，线路即为所求． （2）作点P关于的对称点，作点Q关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于E，交于F，连接交于点G，即为所求． 【规范解答】（1）解：如图2中，作点P关于的对称点，连接交于T，线路即为所求， 原理：∵点和点P关于对称， ∴， ∵， ∴； （2）如图3中， 作点P关于的对称点，作点Q关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于E，交于F，连接交于点G，即为所求． 【考点评析】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题． 【举一反三练3】（20-21七年级下·四川乐山·期末）画图探究： （1）如图1，点和点位于直线两侧，是直线上一点，点使的值最小．请你通过画图，在图1中找出点； （2）如图2，点和点位于直线同侧，是直线上一点，点使的值最小．请你通过画图，在图2中找出点； 实践应用： （3）如图3，在四边形中，，，点在边上，点在边上，点、点使的周长的值最小．请你通过画图，在图3中找出点和点并求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析， 【思路点拨】（1）根据两点之间线段最短，连接，与直线相交点即是点； （2）作点关于直线的对称点，则，连接与直线相交点即是点； （3）分别作出点关于，的对称点，，连接分别交、于点、，根据垂直平分线的定义即可求解． 【规范解答】解：（1）根据两点之间线段最短，连接与直线相交点， 此时最小； （2）作点关于直线的对称点，则 ， 连接与直线相交点即是点，此时最小，即最小； （3）如图3，分别作出点关于，的对称点，， 连接分别交、于点、，此时周长最小； ∵，， ∴，∴， ∴． ∴． 【考点评析】此题考查了两点之间线段最短，轴对称的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 考点讲练5：折叠问题 【精讲题】（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，四边形纸片中，，将纸片折叠，使落在边上的处，折痕为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了轴对称的性质，三角形的外角的性质，平角的定义，解题关键是掌握这些性质并能熟练运用．首先根据轴对称的性质得出，，再根据平角的定义和三角形的内角和定理求解即可． 【规范解答】解：四边形纸片中，， ∴， ∵将纸片折叠，使落在边上的处， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【举一反三练1】（2024·山西晋城·三模）如图，将正六边形纸片折叠，使点A与点F重合，点C与点D重合，折痕与交于点M，与交于点N；展开纸片，再将纸片折叠，使与重合，此时点A，B的对应点分别为，折痕与交于点K，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了正多边形的内角和、折叠的性质，熟练掌握正六边形的内角和是解题关键．先根据正六边形的内角和公式可求出，再根据折叠的性质可得，，然后根据四边形的内角和求出，由此即可得． 【规范解答】解：∵四边形是正六边形， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 故选：C． 【举一反三练2】（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，点D，E，F分别在的各边上，，．将沿翻折， 使得点B落在 处，沿翻折，使得点C 落在处．若，则 °． 【答案】70 【思路点拨】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理的应用，设，再结合轴对称的性质与平行线的性质表示，，再结合三角形的内角和定理与平行线的性质可得答案． 【规范解答】解：设， ∵将沿翻折， 使得点B落在 处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵沿翻折，使得点C 落在处． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【举一反三练3】（23-24七年级下·河南新乡·期末）如图，在长方形纸片中，点E在边上，点F在边上，四边形沿翻折得到四边形且点恰好落在边上；将沿折叠得到且点恰好落在边上． (1)若则 ． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了折叠的性质，熟练用折叠的性质进行角度的转换是解题的关键． （1）根据折叠的性质可得，设，则可得，根据列方程，即可解答； （2）根据可求得，再求出和，利用折叠的性质即可得到，即可解答． 【规范解答】（1）解：四边形沿翻折得到四边形且点恰好落在边上， ， 设，则可得， 根据可得， 解得， 故答案为：； （2）解：在中， ∵，， ， ∵点恰好落在边 BC上， ． ， ， ， 由折叠的性质，知 ． 考点讲练5：画对称轴 【精讲题】（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，网格中的和是轴对称图形． (1)利用网格线，作出和的对称轴； (2)如果每个小正方形的边长为1，则的面积为__________． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了根据轴对称的性质作图，利用网格求三角形面积．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据，计算求解即可． 【规范解答】（1）解：由轴对称的性质可知，如图，直线即为所求； （2）解：由题意知，， 故答案为：． 【举一反三练1】（23-24八年级上·全国·课后作业）请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写画法，保留作图痕迹.    (1)如图①，四边形中，，，，画出四边形的对称轴； (2)如图②，四边形中，，，画出边的垂直平分线. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）根据轴对称的性质，对称线交点在对称轴上，结合，，，找到交点即可得到答案； （2）根据轴对称的性质，对称线交点在对称轴上，结合，，，找到交点即可得到答案； 【规范解答】（1）解：由轴对称的性质可得， ∵，，， ∴与，与，关于对称轴对称， 连接即可得到对称轴，如图所示，    （2）解：由轴对称的性质可得， ∵，， ∴与关于对称轴对称， 连接交于一点，相交于一点，连接两点得到直线即为对称轴，如图所示； 【考点评析】本题考查作对称轴及轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握：对称线交点在对称轴上． 【举一反三练2】（22-23八年级上·江苏南京·期中）已知图①、图②都是轴对称图形．仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在图①中，作出该图形的对称轴l； (2)在图②中，作出点P的对称点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）连接AC、BD交于点F，连接FE，FE即为所求对称轴l； （2）延长AD、BC交于点E，令AC、BD的交点为F，连接EF并延长交AB于点H，EH所在直线为该图形的对称轴，连接BP，交EH于点G，连接AG并延长，交BC于点，点即为所求． 【规范解答】（1）如图所示，连接AC、BD交于点F，连接FE，FE即为所求对称轴l， （2）如图所示，延长AD、BC交于点E，令AC、BD的交点为F，连接EF并延长交AB于点H，EH所在直线为该图形的对称轴，连接BP，交EH于点G，连接AG并延长，交BC于点，点即为所求， 【考点评析】本题考查轴对称图形，尺规作图，找出图形的对称轴是解题的关键． 【举一反三练3】（22-23八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，网格中的与为轴对称图形. (1)利用网格线作出与的对称轴l； (2)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出的面积=___________. (3)顶点在格点，找出以BC为一边且与全等（不与重合）的三角形，这样的三角形在网格内共能画出___________个. 【答案】(1)作图见解析； (2)3； (3)3个，作图见解析．　 【思路点拨】（1）连接AD，作出AD的垂直平分线即可； （2）根据解答； （3）分别作出与以BC为公共边，其它两边与AC、BC对应相等的三角形即可． 【规范解答】（1）解：如图，连接AD，作出AD的垂直平分线l， 根据轴对称图形的性质可知，l即是与的对称轴； （2）如图，由题意可得： = =3； （3）如图， △A’BC、△A’’CB、△A’’’CB为满足条件的三角形，共3个． 【考点评析】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握轴对称图形的意义与性质、拆分法求面积的方法、利用SSS判定三角形全等的方法是解题关键． 考点讲练6：求对称轴条数 【精讲题】（21-22七年级下·福建泉州·期末）正五边形的对称轴共有（      ） A．2条 B．4条 C．5条 D．无数条 【答案】C 【思路点拨】根据轴对称图形的性质判断即可． 【规范解答】解：如图： 一个正五边形的对称轴共有5条． 故选：C． 【考点评析】本题考查了轴对称的性质，正五边形过每个顶点垂直对边的直线都是正五边形的对称轴． 【举一反三练1】（16-17七年级·广西贵港·期末）下列轴对称图形中，对称轴条数最少的图形是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】A图形有8条对称轴， B图形有无数条对称轴， C图形有2条对称轴， D图形有6条对称轴， ∴对称轴最少的是C， 故选：C． 【举一反三练2】（20-21七年级上·江苏泰州·阶段练习）一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折2次后，可以得3条折痕，那么对折4次可以得到 条折痕． 【答案】15 【思路点拨】根据对折次数得到分成的份数，再减去1即可得到折痕条数． 【规范解答】解：根据观察可以得到： 对折1次，一张纸分成两份，折痕为1条； 对折2次，一张纸分成=4份，折痕为4-1=3条； 对折3次，一张纸分成 =8份，折痕为8-1=7条； ∴对折4次，一张纸分成 =16份，折痕为16-1=15条 ． 故答案为15． 【考点评析】本题考查折叠问题，掌握分成份数与折叠次数、折痕条数的关系是解题关键 ． 【举一反三练3】（22-23八年级上·江苏苏州·阶段练习）下列图形是否是轴对称图形，画出轴对称图形的所有对称轴． 思考：正三角形有_______条对称轴；正四边形有______条对称轴；正五边形有_______条对称轴；正六边形有_______条对称轴；正n边形有_______条对称轴． 当n越来越大时，正多边形接近于什么图形？它有多少条对称轴？ 【答案】图见解析；3,4,5,6，n；圆，有无数条对称轴． 【规范解答】试题分析：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义可得只有第一个图形不是轴对称图形；作出各图形的对称轴，归纳规律即可． 试题解析： 3,4,5,6，n；圆，有无数条对称轴． 考点：轴对称图形． 考点讲练7：车牌号码的镜面对称问题 【精讲题】（2024·湖南岳阳·二模）一平面镜与水平面成角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（      ） A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动 C．以的速度，做竖直向上运动 D．以的速度，做竖直向下运动 【答案】A 【思路点拨】本题考查了镜面反射的原理与性质．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【规范解答】解：根据镜面对称的性质，在平面镜中的顺序与现实中的恰好相反，且关于镜面对称， 则小球在平面镜中的像是以的速度，做竖直向上运动． 故选：A． 【举一反三练1】（21-22八年级上·全国·单元测试）如图，在一张纸上写上“  ”平放在桌子上，同时有两面镜子直立于桌面上，这时的两面镜子上都出现“  ”的像，把在前面放置的镜子里出现的像和左面镜子里出现的像分别叫做“正面像”和“侧面像”，则（     ）    A．“正面像”和“侧面像”都是五位数，前者比较大 B．“正面像”和“侧面像”都是五位数，两者相等 C．“正面像”和“侧面像”都是五位数，前者比较小 D．“正面像”和“侧面像”中，只有一个五位数 【答案】C 【思路点拨】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称． 【规范解答】解：根据镜面对称的性质，“2”和“5”关于镜面对称，“1”、“0”、“5”、“8”在镜中的成像还是原数， 则数码“21058”在正面镜子中的像是51028，在侧面镜子中的像是85012， 即可得“正面像”和“侧面像”中，都有一个五位数，前者比较小． 故选：C． 【考点评析】本题考查镜面对称，解决此类题应认真观察，注意技巧，可以写在纸上演示一下． 【举一反三练2】（23-24八年级上·安徽淮南·期中）一个英文图象平行对着镜子，在镜子里看到的是“”，则这个英文单词的中文意思是 ． 【答案】数学 【思路点拨】本题考查镜面对称，平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，因此可以把镜中呈现的图片，沿着一条竖直线翻折，看翻折后是怎样的图形．掌握镜面对称的性质是解题的关键． 【规范解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所给的图片与成镜面对称， 英文单词的中文意思是：数学． 故答案为：数学． 【举一反三练3】（19-20七年级下·全国·课后作业）小强用火柴棒在桌上摆了一个不正确的等式，如图所示，你有没有什么办法，在不移动火柴棒的情况下，使桌面出现一个正确的等式？    【答案】见解析 【思路点拨】根据镜面对称的性质即可解答. 【规范解答】沿着镜面反射即可，如图所示．    【考点评析】本题考查镜面对称，熟练掌握镜面对称的性质是解题关键. 考点讲练8：钟表的镜面对称 【精讲题】（23-24八年级上·河南信阳·期中）小明在镜中看到对面电子时钟的示数如图所示，则现在的实际时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【规范解答】解：∵是从镜子中看， ∴对称轴为竖直方向的直线， ∵2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， ∴这时的时刻应是． 故选：C． 【举一反三练1】．（22-23七年级下·山东济南·期末）小明在镜中看到对面电子时钟的示数如图所示,这现在的实际时间为（　　）    A．12:01 B．10: 21 C．15:10 D．10:51 【答案】D 【思路点拨】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【规范解答】根据镜面对称的性质，对称轴为竖直方向的直线，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为． 故选：D． 【考点评析】本题考查了镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反． 【举一反三练2】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·周测）小强从穿衣镜中看到挂在墙上电子表的读数是  ，则电子表的实际读数是 ． 【答案】 【思路点拨】根据镜面成像原理，所成的像为反像，可判断电子表的实际读数． 【规范解答】解：依题意，电子表的实际读数是， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了镜面对称，熟练掌握镜面对称是解题的关键． 【举一反三练3】（22-23八年级上·河南安阳·期中）小红站在平面镜前，通过镜子看到电子钟的示数如图所示，这时的时刻应是 ． 【答案】 【思路点拨】根据轴对称的性质，即可得出答案． 【规范解答】解：∵小红站在平面镜前，通过镜子看到电子钟的示数与实际示数关于平面镜对称，左右相反， ∴这时的时刻应是． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握关于对称轴对称的两个图形，左右相反或上下相反． 考点讲练9：电子钟示数的镜面对称 【精讲题】（12-13八年级上·云南昆明·期中）电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是（    ） A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01 【答案】C 【思路点拨】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右顺序颠倒，且关于镜面对称． 【规范解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与10：51成轴对称，所以此时实际时刻为10：51． 故选：C． 【考点评析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 【举一反三练1】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）在镜子上看到时间是，那么实际时间为 ． 【答案】 【思路点拨】根据镜面对称的特征进行作答即可． 【规范解答】解：在镜子里看见的时间是，实际时间是， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了轴对称内容，涉及电子钟示数的镜面对称，根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好是左右颠倒，且关于镜面对称，难度中等， 【举一反三练2】（19-20八年级上·辽宁葫芦岛·期中）小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数为，则电子表的实际时刻是 ． 【答案】10：50 【思路点拨】镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称．注意镜子的2实际应为5． 【规范解答】解：电子表的实际时刻是10：50，可以把给定的读数写在纸上，然后把纸翻过来看到的读数就是实际读数． 故答案为10：50 【考点评析】此题考查镜面对称，解题关键在于掌握对于这类题型常用的解题方法为把给定的读数写在纸上，然后把纸翻过来看到的读数就是实际读数． 【举一反三练3】（19-20八年级上·江苏扬州·期中）如图，是平面镜里看到背向墙壁的电子钟示数，这时的实际时间应该是 . 【答案】12：05 【思路点拨】注意镜面对称的特点，并结合实际求解. 【规范解答】解：根据镜面对称的性质，如图所示的真实图象应该是12：05. 故答案为12：05. 【考点评析】考查了镜面对称的知识，解决此类问题要注意所学知识与实际情况的结合． 中等题真题汇编练 1．（23-24八年级上·河北承德·期中）如图所示，是四边形的对称轴，，现给出下列结论：①；②；③垂直平分；④， 其中正确的结论有（　　）   A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题考查了轴对称的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 根据轴对称的性质可直接判断①和③，根据等角对等边可判断②，无法判断④正确． 【规范解答】解：∵是四边形的对称轴， ∴， ∴②正确，垂直平分， ③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴①正确； 无法说明④正确． 故选C． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查轴对称-最短路线的问题，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题．会作对称点是解此类问题的基础，要求学生能熟练掌握，并熟练应用．另外本题的解决还应用了三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边．先作点关于街道的对称点，再根据三角形的两边之和大于第三边，得出，再进行边的等量代换，即可作答． 【规范解答】解：如图：作点关于街道的对称点，连接交街道所在直线于点， ， ， 在街道上任取除点以外的一点，连接，，， ， 在中，两边之和大于第三边， ， ， 点到两小区送奶站距离之和最小． 故选：C． 3．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，点B、F在长方形纸片的边上，点G、H在边上，分别沿、折叠，点D和点A都落在点M处若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角性质，解决本题的关键是掌握折叠的性质．根据折叠性质，平行线性质，三角形内角和定理，三角形外角性质计算即可. 【规范解答】解：∵长方形， ∴， ∴， ∵分别沿，折叠，使点D和点A都落在点M处， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选D． 4．（23-24七年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，四边形中，，在上分别找一点M、N，使周长最小时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是轴对称—最短路线问题．要使周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作点A关于BC和CD的对称点，即可得到，进而求得，即可得到答案． 【规范解答】解：作点A关于和的对称点，连接，交于M，交于N， ， 则即为周长最小值， ， ， ，， ， 故选：C． 5．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，四边形沿直线对折后互相重合，如果，下列结论中正确的是 ．（把你认为正确的结论的序号都填上） ①；②；③；④． 【答案】①③④ 【思路点拨】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，证明，即可得出结论． 【规范解答】解：∵四边形沿直线对折后互相重合， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴； 综上：正确的是①③④． 6．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，，点D，E在上，与关于直线对称，则的度数是 ． 【答案】/50度 【思路点拨】本题考查直角三角形的两锐角互余，轴对称性质，以及外角问题，掌握直角三角形的两锐角互余，轴对称性质，以及外角性质，会用已知角求余角，利用对称轴证角相等，利用外角关系解决问题是关键．由，，得，根据对称性的性质可得，根据三角形外角的性质得出，求出结果即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵点D，E在上，与关于直线对称， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，沿折叠使点A落在点处，分别是平分线，若，则 ．    【答案】136 【思路点拨】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，折叠的性质．设相交于点G，利用角平分线的定义可得到，从而可得的度数，由折叠可得的度数，利用三角形外角的性质即可求得的度数，从而求得的度数． 【规范解答】解：如图，设相交于点G， ∵分别是平分线， ∴， ∴ ， ∴， 由折叠得， ∴， ∴； 故答案为：136． 8．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，若，则 ． 【答案】70 【思路点拨】本题考查了平行线的性质和折叠的性质，解题的关键是掌握两直线平行内错角相等的性质、折叠的性质． 根据长方形的对边平行知，得，再根据折叠的性质知，继而由可得答案． 【规范解答】解：由题意知，， ∴， 根据折叠的性质知， ， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，网格中的与为轴对称图形． (1)利用网格线作出与的对称轴l； (2)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出的面积=_______； (3)在网格中画出以为一边且与全等（不与重合）的． 【答案】(1)见详解 (2)3 (3)见解析 【思路点拨】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握轴对称图形的意义与性质、拆分法求面积的方法、利用判定三角形全等的方法是解题关键． （1）连接，作出的垂直平分线即可； （2）利用“割补法 ”即可求得的面积； （3）分别作出以为公共边，且与其它两边、对应相等的三角形即可． 【规范解答】（1）解：如图，连接，作出的垂直平分线l； 根据轴对称图形的性质可知，l即是与的对称轴； （2）的面积； 故答案为：3； （3）作图如下： 即为所作． 10．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． (1)格点（顶点均在格点上）的面积为______； (2)画出格点向右平移3个单位长度后得到的； (3)在直线DE上画出点P，使最小． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】本题考查了三角形的面积、平移作图、最短路径问题等知识点，掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据网格，用矩形减去部分三角形面积，算出的面积即可； （2）先画出点A、B、C的对应点、、，连接即可得到； （3）作点A关于的对称点，连接交于点P，点P即为所求的点． 【规范解答】（1）， 故答案为：5； （2）如图，即为所求： （3）如图所示，点P即为所求， 11．（23-24七年级下·山西晋中·期中）综合与实践 折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索． 初步探索 （1）如图1，四边形纸片中，，点E是线段上一点，将纸片沿折叠，点C的对应点为点，测得，求和的度数； 深入探究 （2）如图2，小明将纸片换成一张长方形纸片（），点E，F分别是线段，上的一点，他先将纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为点，与线段交于点G，点H是线段上一点，再将纸片沿折叠，点D的对应点为点，使得点恰好在上，测得，则______ 【答案】（1），；（2） 【思路点拨】（1）由平行的性质可得求出，由折叠的性质可知：，，，即可求出，由三角形内角和求出，即可求出． （2）由折叠的性质可知∶ ，，，，， ，又由平行的性质可知，，进而可求出，由三角形内角和求出， 由对顶角相等得出，进一步即可求出． 【规范解答】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知：，，， ∴．， ∴， ∴． （2）由折叠的性质可知∶ ，，，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【考点评析】本题主要考查了平行的性质，折叠的性质，对顶角相等以及三角形内角和定理，掌握这些性质是解题的关键． 培优题真题汇编练 12．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）如图，在中，，平分，若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．1.2 B．2.4 C．4.8 D．9.6 【答案】C 【思路点拨】本题考查了轴对称的性质、垂线段最短等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．作点关于的对称点，连接，则，从而可得，先根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为，再根据轴对称的性质可得点在边上，然后根据垂线段最短可得当时，的值最小，最后利用三角形的面积公式求解即可得． 【规范解答】解：如图，作点关于的对称点，连接， 由轴对称的性质得：， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， ∵平分， ∴点在边上， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， 则此时，即， 解得， 即的最小值是， 故选：C． 13．（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点P在的内部，点P关于，的对称点分别为A，B，连接交于点C，交于点D，连接、，若，则的度数为（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了对称的性质、三角形的内角和定理、对顶角相等等知识，由题意可得，，由三角形的内角和定理可得，由对顶角相等可得，从而得到，最后由三角形的内角和定理进行计算即可得到答案． 【规范解答】解：根据题意可得： ，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 14．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，把长方形沿折叠后，点D，C分别落在，的位置．若，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了折叠的性质，平行线的性质．熟练掌握折叠的性质，平行线的性质，明确角度之间的数量关系是解题的关键． 由折叠的性质可知，，，由，可得，根据，计算求解即可． 【规范解答】解：由折叠的性质可知，，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 15．（22-23八年级上·贵州黔南·期末）如图，在中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，为折痕，若，则边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了折叠的性质，三角形的面积，由折叠可得，，进而由得到，根据三角形面积即可得到，进而求解，由折叠的性质得到是解题的关键． 【规范解答】解：由折叠可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：． 16．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时，的度数是 ．    【答案】/68度 【思路点拨】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，两点间线段最短等知识，解答本题的关键要明确：涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理．作点关于的对称点，关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，，此时的周长最小，然后利用轴对称的性质及三角形内角和定理求解即可． 【规范解答】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，，此时的周长最小．    ∵， ∴． 由轴对称的性质，得，． ∴． ∴． 故答案为：． 17．（23-24七年级下·江西抚州·期末）如图1是由两块形状相同的三角板拼成，已知，，点E是边上的动点，连结，将沿直线翻折，点C，D的对应点分别为N，M，当与的一边平行时，的度数为 ． 【答案】或或 【思路点拨】本题考查了折叠的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是根据图形的变形分类讨论．先根据三角板的特征证明，再分，三种情况，分别求解． 【规范解答】解：∵， ∴， 当，如图， ， 可知点M在上， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∴； 当，如图， ∴， ∴， 由折叠可知：， ∴； 当，如图， ∴ ∴， 由折叠可知：， ∴； 综上：的度数为或或， 故答案为：或或． 18．（23-24七年级下·河南平顶山·期中）如图（1）所示是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图（2），再沿折叠成图（3），则图（3）中的的度数是 ．    【答案】/105度 【思路点拨】本题考查了翻折变换以及长方形形的性质，解题的关键是找出．解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键．由矩形的性质可知，由此可得出，再根据翻折的性质可知每翻折一次减少一个的度数，由此即可算出度数． 【规范解答】解：四边形为长方形， ， ． 由翻折的性质可知： 图2中，，， 图3中，． 故选： 19．（23-24七年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在中，，D是边上的定点，E是上的动点，沿折叠，点C落在点F处．当与的一边平行时，的度数是 ． 【答案】或或 【思路点拨】本题主要考查了图形的折叠变换及性质，平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，先求出，再根据折叠的性质得，然后根据当与的一边平行，分下两种情况进行讨论：①当时；②当时，又有两种情况：（ⅰ）点F在上方时；（ⅱ）当点F在下方时，分情况进行求解即可； 【规范解答】解：， ． 由折叠的性质得， ． 当与的一边平行，有以下两种情况： ①当时（如图），， ， ， ， ； ②当时，又有两种情况： （i）点F在上方时（如图）． ， ， ， ， ； （ⅱ）当点F在下方时（如图）． 设， ， ， ， ． ， ， 解得， ． 综上所述，符合题意的的度数是或或． 20．（22-23七年级下·湖北武汉·期末）如图，在三角形中，点D，E是边上两点，点F在边AB 上，将三角形沿折叠得三角形，交于点H，将三角形沿折叠恰好得到三角形，且．下列四个结论：①；②；③；④若，则． 其中正确的结论是 （填写序号）．      【答案】①③④ 【思路点拨】由折叠的性质可得，，则，，，由，可得，，则，由，可得，则，进而可判断①的正误；由题意知，无法判断与的关系，进而可判断②的正误；由，则，，可得，即，进而可判断③的正误；根据，可得，整理得，即，则，进而可判断④的正误； 【规范解答】解：由折叠的性质可得，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，①正确，故符合要求； ∵，无法判断与的关系，②错误，故不符合要求； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，③正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，④正确，故符合要求； 故答案为：①③④． 【考点评析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，全等的性质，三角形内角和、三角形外角的性质等知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 21．（18-19七年级下·江苏南京·期末）如图，在四边形ABCD中，∠C+∠D=，E、F分别是AD、BC上的点，将四边形CDEF沿直线EF翻折，得到四边形，交AD于点G，若△EFG有两个相等的角，则∠EFG = ． 【答案】或 【思路点拨】根据题意△EFG有两个角相等，于是有三种情况，分别令不同的两个角相等，利用折叠的性质和四边形的内角和列方程，最后综合得出答案． 【规范解答】解：分三种情况： （1）当∠FGE＝∠FEG时， 设∠EFG＝x，则∠EFC＝x，∠FGE＝∠FEG＝， 在四边形GFCD中，由内角和为得： ， ∵∠C+∠D＝， ∴， 解得：； （2）当∠GFE＝∠FEG时， 在四边形GFCD中，由内角和为得：， 得，显然不成立， 即此种情况不存在； （3）当∠FGE＝∠GFE时， 同理有：， ∵∠C+∠D＝， ∴， 解得：， 故答案为：或． 【考点评析】本题考查了图形的翻折，三角形和四边形的内角和，有一定难度，熟悉三角形和四边形的内角和定理以及正确的分情况讨论是解题关键． 22．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，和关于直线对称，和的交点在直线上．    (1)若，，求的长； (2)若，，，求的度数； (3)连接和，则和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)6 (2) (3)；理由见解析 【思路点拨】本题考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定，熟练掌握轴对称的性质是银题的关键． （1）根据轴对称的性质：对应边相等，求解即可； （2）根据轴对称的性质：对应角相等，以及三角形内角和等于180度，求解即可； （3）根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴互相垂直可得，，即可由平行线的判定即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴ ． （2）解：∵和关于直线对称， ∴，与关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：， 理由：如图，    ∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称，点与点关于直线对称， ∴，， ． 23．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图所示，和是分别沿着，边翻折形成的，若，求的度数． 【答案】 【思路点拨】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角性质，根据题意设，，，利用三角形内角和定理建立方程求解，得到，，利用折叠的性质得到，，进而得到，，再利用三角形外角性质即可求解． 【规范解答】解：根据题意设，，， 则， 解得， 则，，， 由折叠的性质可知，， ，， ，， ． 24．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在、的位置，的延长线交于点．    (1)如果，求的度数； (2)如果已知∠，则__________（用含的式子表示） (3)探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，折叠性质，外角性质，熟练掌握这些性质是解答本题的关键． （1）由平行线性质得到的度数，再由折叠性质得到的度数，最后根据平角定义即可求出的度数； （2）由平行线性质和折叠性质得到，根据外角性质即可得到的度数； （3）由平行线性质得到和，即可推出最后结果． 【规范解答】（1）解：， ， 由折叠知， ， ； （2）解：， ， 由折叠的性质可得：， ； （3）解：， ， ， ， ． 25．（23-24八年级上·浙江金华·期末）定义：如果有三个角，满足，则称是和的“减余角”． (1)已知，，若是和的“减余角”，则 ． (2)现有一张正方形纸片，如图所示，点为线段上一点（不与重合）．连结，将纸片沿着对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为． ①若是和的“减余角”，求的度数． ②再将此正方形纸片沿着所在直线对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为，如图所示．是否存在，，中的一个角是其它两个角的“减余角”？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)；存在．当时，为和的“减余角”； 当时，为和的“减余角”． 【思路点拨】（）根据“减余角”的定义即可求解； （）根据“减余角”的定义即可求解； 存在．分三种情况根据“减余角”的定义解答即可求解； 本题考查了新定义角度的运算，折叠的性质，理解“减余角”的定义是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由题意可得，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由折叠可得，， 设，则， ∵是和的“减余角”， ∴， 解得， ∴的度数为； 存在． 由折叠可得，，， 设，，则， 当为和的“减余角”时， 由题意可得，， 解得， ∴， ∴当时，为和的“减余角”； 当为和的“减余角”时， 由题意可得，， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴当时，为和的“减余角”； 当为和的“减余角”时， 由题意可得，， 故此种情况不存在； 综上，当时，为和的“减余角”； 当时，为和的“减余角”． 26．（22-23八年级上·北京丰台·期末）如图，在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接．    (1)如图1，射线，都在的内部． ①设，则 （用含有的式子表示）； ②作点关于直线的对称点，则线段与图1中已有线段 的长度相等； (2)如图2，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①；② (2)，证明见详解 【思路点拨】（1）①根据，即可获得答案； ②连接，证明，即可获得答案； （2）作点关于直线的对称点，连接，设，证明，由全等三角形的性质可得，即可获得结论． 【规范解答】（1）解：①∵，， ∴， ∵， ∴； ②如下图，连接，    由对称的性质可得，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：①；②； （2），证明如下： 作点关于直线的对称点，连接，如下图，    由对称的性质可得，，， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 【考点评析】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 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