1.3.2 证明三角形全等的辅助线作法与几何模型（知识精讲+易错点拨+七大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第1章《全等三角形》】 1.3.2 证明三角形全等的辅助线作法与几何模型 （知识精讲+七大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 考点讲练1：连接两点作辅助线证明全等 4 考点讲练2：倍长中线模型 8 考点讲练3：旋转模型 9 考点讲练4：垂线模型 12 考点讲练5：其他模型 14 考点讲练6：证一条线段等于两条线段和差 17 考点讲练7：全等三角形综合问题 21 中等题真题汇编练 23 培优题真题汇编练 27 新知精讲梳理 【模型1】倍长中线模型 【解题方法】 倍长中线模型概述：当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移。 倍长中线模型模型结论： 【倍长中线】 已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE 1）连接EC,则∆ABD≌∆ECD，AB∥CE 2）连接BE,则∆ADC≌∆EDB，AC∥BE 【模型2】一线三等角模型（或一线三垂直模型） 【解题方法】 1）一线三垂直模型：只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过45°顶点作直线的垂线，构造三垂直，所得两个直角三角形全等。根据全等三角形倒边，得到线段之间的数量关系。 基础 图1 图2 一线三垂直模型一：如图1，AB⊥BC，AB=BC，CE⊥DE，AD⊥DE，则∆ABD≌∆BCE，DE=AD+EC 一线三垂直模型二：如图2，AB⊥BC，AB=BC，CE⊥DE，AD⊥DE，则∆ABD≌∆BCE，DE=AD-EC 2）一线三等角模型：三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。 一线三等角类型： （同侧）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD （异侧）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD 【模型3】手拉手模型 手拉手模型概述：两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个经典的全等模型。因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”。 文字说明：1）点A 为共用顶角顶点，看作头 2）线段AB、AC为等腰∆ABC的两腰，看作两条手臂 线段AM、AN为等腰∆AMN的两腰，看作两条手臂 3）点B与点M看作左手，线段BM看作左手拉左手 点C与点N看作右手，线段CN看作右手拉右手 解题步骤：①找共用顶点，确定“四只手”； ②连接对应端点； ③SAS证明全等。 常见模型： 【模型4】截长补短模型 模型的概述：该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明。其中截长指在长线段中截取一段等于已知线段，补短指将短线段延长，使短线段加上延长线段长度等于长线段。 图解：已知线段AB、CD、EF，简述利用截长补短法证明AB=CD+EF的方法 截长法：在线段AB上，截取AG=CD，判断线段GB和线段EF长度是否相等 补短法：延长线段CD至点H，使DH=EF，判断线段AB和线段GH长度是否相等 【模型5】半角模型 半角模型的概述：当一个角包含着该角的半角，如90°角包含着45°角，120°角包含着60°角，270°角包含着135°角，即出现倍角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则该模型为半角模型。解题方法为：1）过公共点作旋转，2）截长补短的方法构造全等解题。 【模型6】胖瘦模型 模型概述：在等腰三角形内部进行切割，利用其等腰等角的性质进行全等三角形的构造，常以等腰三角形的底边为底，在其内部再做一个等腰三角形。 模型：如图，∆ABC为等腰三角形，点P在线段BC上且点P不是BC的中点。 根据观察，S∆APC>S∆ABP，此时将∆APC看作是胖子，∆ABP看作是瘦子。 结论一：【变胖】如图，在BC上截取CQ=BP,连接AQ,则∆ABQ≌∆ACP，AP=AQ. 结论二：【变瘦】如图，在BC上截取CQ=BP,连接AQ,则∆ABP≌∆ACQ，AP=AQ. 结论三：【找中间状态】如图，过点A作AM⊥BC，垂足于点M,则∆ABM≌∆ACM 方法：见胖瘦，变胖加等腰，变瘦减等腰，中间状态加、减直角三角形。 【模型7】婆罗摩笈多模型 婆罗摩笈多模型条件：1）公共顶点：顶点C 2）等线段：BC=DC CE=CG 3）顶角相等：∠DCB=∠GCE=90° 考点讲练1：连接两点作辅助线证明全等 【精讲题】（20-21八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【举一反三练1】（18-19八年级下·四川绵阳·期中）如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE和等边△ADF，分别连接CE，CF和EF，则下列结论，一定成立的个数是（　　） ①△CDF≌△EBC； ②△CEF是等边三角形； ③∠CDF＝∠EAF； ④CE∥DF A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三练2】（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证： 证明：延长到点，使 在和中 （__________） （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是__________； （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【举一反三练3】（18-19八年级上·福建龙岩·期末）已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．    （Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想； （Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数． 考点讲练2：倍长中线模型 【精讲题】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知是的中线，且．求证：． 【举一反三练1】（2024·山东临沂·一模）如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（19-20八年级下·四川·期中）已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E为△ABC内一点，连接AE，CE，CE⊥AE，过点B作BD⊥AE，交AE的延长线于D．    （1）如图1，求证BD=AE； （2）如图2，点H为BC中点，分别连接EH，DH，求∠EDH的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，点M为CH上的一点，连接EM，点F为EM的中点，连接FH，过点D作DG⊥FH，交FH的延长线于点G，若GH：FH=6：5，△FHM的面积为30，∠EHB=∠BHG，求线段EH的长． 【举一反三练3】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明． ②求证：． 考点讲练3：旋转模型 【精讲题】（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【举一反三练1】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【举一反三练2】（22-23八年级上·湖北武汉·开学考试）【基本模型】    如图，是正方形，，当在边上，在边上时，如图1，、与之间的数量关系为__________． 【模型运用】当点在的延长线上，在的延长线上时，如图2，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论：__________． 【拓展延伸】如图3，已知，，在线段上，在线段上，，请你直接写出、与之间的数量关系． 【举一反三练3】（22-23八年级上·江苏徐州·期中）在中，，．将一个含45°角的直角三角尺按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在边的中点处．将直角三角尺绕点D旋转，设交于点N，交于点M，示意图如图所示． (1)【证明推断】求证：；小明给出的思路：若要证明，只需证明即可．请你根据小明的思路完成证明过程； (2)【延伸发现】连接，，如图所示，求证：； (3)【迁移应用】延长交于点P，交于点Q．在图中完成如上作图过程，猜想并证明和的位置关系． 考点讲练4：垂线模型 【精讲题】（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： (1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 【举一反三练2】（23-24八年级上·重庆江津·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图，，，过点作于点，过点作交的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到＝______，＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）①如图，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点； ②如图，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，点的坐标为，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【举一反三练3】（23-24八年级上·辽宁大连·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 考点讲练5：其他模型 【精讲题】（20-21八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，平分，于点P，已知的面积为2，则阴影部分的面积为 ． 【举一反三练1】（16-17八年级·江苏盐城·期中）（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    【举一反三练2】（22-23八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，，，分别平分和，经过点E．求证：． 【举一反三练3】（20-21八年级上·福建三明·期中）如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直线CE于点F． （Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC； （Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD； （Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系　 　． 考点讲练6：证一条线段等于两条线段和差 【精讲题】（23-24七年级下·四川成都·期中）在的高、交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，求的度数； (3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 【举一反三练1】（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点．    (1)求证：△△． (2)猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明） (3)在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形． 【举一反三练2】（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 【举一反三练3】（23-24八年级上·北京东城·期中）已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 考点讲练7：全等三角形综合问题 【精讲题】（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动时间为 秒时，与点、、为顶点的三角形全等（）． 【举一反三练1】（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ）    A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 【举一反三练2】．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】    (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点 F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是 ； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是 ； (3)若是的“边垂角”，且． ①如图2，已知，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且 ，，求证：； 对于上述问题，小明有这样的想法：在上截取，连接，如图3．你明白小明的做法吗？接下来请你求证． ②如图4，若，直接写出四边形ABDC的面积． 【举一反三练3】（2024·浙江温州·三模）如图，在中，，点D是边上一点，，且，与交于点G，过点E作交于点F，交于点H．    (1)求证：； (2)若，求的值． 中等题真题汇编练 一．选择题 1．（2023秋•苏州期中）如图，，，垂足分别为、，且，则与全等的直接理由是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•宜兴市月考）如图，的面积为，垂直的平分线于，则的面积为　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•邗江区期末）如图，点，，，共线，，，添加一个条件，不能判断的是　　 A． B． C． D． 4．（2020秋•如皋市期末）如图，点，分别为的边，上的点，连接并延长至，使，连接．若，，，则的长等于　　 A．1 B．2 C．3 D．5 5．（2018秋•兴化市月考）如图所示，，，点、、在一条直线上，，，，则　　 A． B． C． D． 二．填空题 6．（2021秋•清江浦区校级期中）如图，在中，，，，，是上一点，交于点，若，则图中阴影部分的面积为 　 　． 7．（2020秋•工业园区月考）在中，，、分别为、边上的高，、相交于点，连接．下列结论：（1）；②；③，④若，则的周长等于的长．正确的是 　 　（填序号）． 8．（2023秋•秦淮区校级月考）如图，在中，，，是边上的中线，则的取值范围是　　． 9．（2015•徐州模拟）如图，的面积为，平分，且于，则的面积为　 　． 三．解答题 10．（2023秋•灌云县期中）如图，在中，，点在上，过点作，且，连接．求证：． 11．（2023春•亭湖区校级期末）已知：如图，，，． 求证：（1）； （2）． 12．（2022秋•东海县校级月考）如图，已知、是上的两点，，，，试说明与的关系． 13．（2023秋•东海县月考）如图，在中，已知是的中点，过点作的垂线交的平分线于点，于点，于点． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 14．（2021秋•秦淮区月考）如图，在中，是的中点，，，垂足分别为点，，． 求证：平分． 培优题真题汇编练 一．选择题 1．（2018秋•泰兴市期中）如图，在中，，，分别为、边上的高，、相交于点，连接，则下列结论：①；②；③若，则周长等于的长；其中正确的有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2021秋•镇江期中）如图，中，，，，点在直线上，若将绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2018秋•宜兴市期中）如图，是边长为的等边三角形，是等腰三角形，且，以为顶点做一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长是　　 A． B． C． D．不能确定 4．（2020秋•江阴市校级月考）在中，，，则中线的取值范围是　　 A． B． C． D． 二．填空题 4．（2023秋•丹阳市校级月考）如图，四边形中，，，对角线，若，则的面积为 　 ． 5．（2023秋•栖霞区校级月考）如图，五边形中，，，，为边的中点，，，则五边形的面积为　 ． 6．（2021秋•苏州期末）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以勾股定理为背景的邮票．如图，在中，，，．分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，并按如图所示作长方形，延长交于．则长方形的面积为 　 　． 三．解答题 7．（2022秋•东台市期中）（1）问题发现 如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接． 填空：①的度数为　　； ②线段，之间的数量关系为　　． （2）拓展探究 如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由． 12．（2023秋•秦淮区校级月考）在中，为锐角，点为射线上一点，且与点、不重合，连接，以为边，向外作等边三角形，连接． （1）若，； ①如图1，当点在线段上时，试探讨与的数量关系和此时与位置关系，并说明理由； ②如图2，当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请说明理由； （2）如图3，若，，点在线段上，且时，求的度数． 13．（2023秋•海安市期中）已知，，点在边上，点是边上一动点，．以线段为边在上方作等边，连接、，再以线段为边作等边（点、在的同侧），作于点． （1）如图1，．①依题意补全图形；②求的度数； （2）如图2，当点在射线上运动时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 14．（2022秋•秦淮区校级月考）已知，在中，，，，三点都在直线上，且， （1）如图①，若，则与的数量关系为 　　，与的数量关系为 　　； （2）如图②，判断并说明线段，与的数量关系； （3）如图③，若只保持，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由． 15．（2021秋•苏州期末）【情境】某校数学兴趣小组尝试自制数学学具进行自主合作探究．图①是一块边长为的等边三角形学具，是边上一个动点，由点向点运动，速度为，是边延长线上一动点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动，连接，交于点，设点运动的时间为． 【问题】（1）填空：　 　； （2）当时，求的值； 【探究】如图②，过点作，垂足为，在点，点运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第1章《全等三角形》】 1.3.2 证明三角形全等的辅助线作法与几何模型 （知识精讲+七大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 考点讲练1：连接两点作辅助线证明全等 4 考点讲练2：倍长中线模型 12 考点讲练3：旋转模型 19 考点讲练4：垂线模型 28 考点讲练5：其他模型 36 考点讲练6：证一条线段等于两条线段和差 44 考点讲练7：全等三角形综合问题 53 中等题真题汇编练 60 培优题真题汇编练 69 新知精讲梳理 【模型1】倍长中线模型 【解题方法】 倍长中线模型概述：当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移。 倍长中线模型模型结论： 【倍长中线】 已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE 1）连接EC,则∆ABD≌∆ECD，AB∥CE 2）连接BE,则∆ADC≌∆EDB，AC∥BE 【模型2】一线三等角模型（或一线三垂直模型） 【解题方法】 1）一线三垂直模型：只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过45°顶点作直线的垂线，构造三垂直，所得两个直角三角形全等。根据全等三角形倒边，得到线段之间的数量关系。 基础 图1 图2 一线三垂直模型一：如图1，AB⊥BC，AB=BC，CE⊥DE，AD⊥DE，则∆ABD≌∆BCE，DE=AD+EC 一线三垂直模型二：如图2，AB⊥BC，AB=BC，CE⊥DE，AD⊥DE，则∆ABD≌∆BCE，DE=AD-EC 2）一线三等角模型：三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。 一线三等角类型： （同侧）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD （异侧）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD 【模型3】手拉手模型 手拉手模型概述：两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个经典的全等模型。因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”。 文字说明：1）点A 为共用顶角顶点，看作头 2）线段AB、AC为等腰∆ABC的两腰，看作两条手臂 线段AM、AN为等腰∆AMN的两腰，看作两条手臂 3）点B与点M看作左手，线段BM看作左手拉左手 点C与点N看作右手，线段CN看作右手拉右手 解题步骤：①找共用顶点，确定“四只手”； ②连接对应端点； ③SAS证明全等。 常见模型： 【模型4】截长补短模型 模型的概述：该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明。其中截长指在长线段中截取一段等于已知线段，补短指将短线段延长，使短线段加上延长线段长度等于长线段。 图解：已知线段AB、CD、EF，简述利用截长补短法证明AB=CD+EF的方法 截长法：在线段AB上，截取AG=CD，判断线段GB和线段EF长度是否相等 补短法：延长线段CD至点H，使DH=EF，判断线段AB和线段GH长度是否相等 【模型5】半角模型 半角模型的概述：当一个角包含着该角的半角，如90°角包含着45°角，120°角包含着60°角，270°角包含着135°角，即出现倍角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则该模型为半角模型。解题方法为：1）过公共点作旋转，2）截长补短的方法构造全等解题。 【模型6】胖瘦模型 模型概述：在等腰三角形内部进行切割，利用其等腰等角的性质进行全等三角形的构造，常以等腰三角形的底边为底，在其内部再做一个等腰三角形。 模型：如图，∆ABC为等腰三角形，点P在线段BC上且点P不是BC的中点。 根据观察，S∆APC>S∆ABP，此时将∆APC看作是胖子，∆ABP看作是瘦子。 结论一：【变胖】如图，在BC上截取CQ=BP,连接AQ,则∆ABQ≌∆ACP，AP=AQ. 结论二：【变瘦】如图，在BC上截取CQ=BP,连接AQ,则∆ABP≌∆ACQ，AP=AQ. 结论三：【找中间状态】如图，过点A作AM⊥BC，垂足于点M,则∆ABM≌∆ACM 方法：见胖瘦，变胖加等腰，变瘦减等腰，中间状态加、减直角三角形。 【模型7】婆罗摩笈多模型 婆罗摩笈多模型条件：1）公共顶点：顶点C 2）等线段：BC=DC CE=CG 3）顶角相等：∠DCB=∠GCE=90° 考点讲练1：连接两点作辅助线证明全等 【精讲题】（20-21八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【思路点拨】连接，可证≌，根据全等三角形对应角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【规范解答】连接，如图， 在与中 ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键． 【举一反三练1】（18-19八年级下·四川绵阳·期中）如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE和等边△ADF，分别连接CE，CF和EF，则下列结论，一定成立的个数是（　　） ①△CDF≌△EBC； ②△CEF是等边三角形； ③∠CDF＝∠EAF； ④CE∥DF A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路点拨】利用“边角边”证明△CDF和△EBC全等，判定①正确；同理求出△CDF和△EAF全等，根据全等三角形对应边相等可得，判定△ECF是等边三角形，判定②正确；利用“8字型”判定③正确；若，则C、F、A三点共线，故④错误；即可得出答案． 【规范解答】在中，，，， ∵都是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ， ∴， 在和中，， ∴，故①正确； 在中，设AE交CD于O，AE交DF于K，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③正确； 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故②正确； 则， 若时， 则， ∵， ∴， 则C、F、A三点共线 已知中没有给出C、F、A三点共线，故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③． 故选：C． 【考点评析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是能通过题目所给的条件以及选用合适的判定三角形全等的方法证明． 【举一反三练2】（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证： 证明：延长到点，使 在和中 （__________） （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是__________； （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）已作；对顶角相等；； （2） （3）6 【思路点拨】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）延长到点，使，由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解； （3））延长交的延长线于F，由“”可证，则，，证明，得，根据，即可得的长． 【规范解答】（1）证明：延长到点，使， 在和中， ， ； （2）由（1）得：，且，， ， 在中，， ； （3）延长交的延长线于F， ，， ， 在和中， ， ，， 又且 ， ， ， ． 即：的长是6． 【举一反三练3】（18-19八年级上·福建龙岩·期末）已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．    （Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想； （Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数． 【答案】（1）BM＝AN，BM⊥AN．（2）结论成立.（3）90°． 【思路点拨】(1)根据已知条件可证△MBP≌△ANP，得出MB＝AN，∠PAN＝∠PMB，再延长MB交AN于点C，得出,因此有BM⊥AN； (2)根据所给条件可证△MPB≌△APN，得出结论BM＝AN； (3) 取PB的中点C，连接AC，AB，通过已知条件推出△APC为等边三角形，∠PAC＝∠PCA＝60°，再由CA＝CB，进一步得出∠PAB的度数. 【规范解答】解：（Ⅰ）结论：BM＝AN，BM⊥AN． 理由：如图1中，    ∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN， ∴△MBP≌△ANP（SAS）， ∴MB＝AN． 延长MB交AN于点C． ∵△MBP≌△ANP， ∴∠PAN＝∠PMB， ∵∠PAN+∠PNA＝90°， ∴∠PMB+∠PNA＝90°， ∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°， ∴BM⊥AN． （Ⅱ）结论成立 理由：如图2中，    ∵△APM，△BPN，都是等边三角形 ∴∠APM＝∠BPN＝60° ∴∠MPB＝∠APN＝120°， 又∵PM＝PA，PB＝PN， ∴△MPB≌△APN（SAS） ∴MB＝AN． （Ⅲ）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．    ∵△APM，△PBN都是等边三角形 ∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN ∵点C是PB的中点，且PN＝2PM， ∴2PC＝2PA＝2PM＝PB＝PN， ∵∠APC＝60°， ∴△APC为等边三角形， ∴∠PAC＝∠PCA＝60°， 又∵CA＝CB， ∴∠CAB＝∠ABC＝30°， ∴∠PAB＝∠PAC+∠CAB＝90°． 【考点评析】本题是一道关于全等三角形的综合性题目，充分考查了学生对全等三角形的判定定理及其性质的应用的能力，此类题目常常需要数形结合，借助辅助线才得以解决，因此，作出合理正确的辅助线是解题的关键. 考点讲练2：倍长中线模型 【精讲题】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知是的中线，且．求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了倍长中线证全等，三角形的三边关系；延长至点E，使，连接，证明，得出，进而根据三角形的三边关系，即可得证． 【规范解答】证明：如图，延长至点E，使，连接， 在中， ∴， ∴． 在中，， ∴， 即． 【举一反三练1】（2024·山东临沂·一模）如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 延长至，使，连接．由证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【规范解答】解：延长至，使，连接． 则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ， 故选：A． 【举一反三练2】（19-20八年级下·四川·期中）已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E为△ABC内一点，连接AE，CE，CE⊥AE，过点B作BD⊥AE，交AE的延长线于D．    （1）如图1，求证BD=AE； （2）如图2，点H为BC中点，分别连接EH，DH，求∠EDH的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，点M为CH上的一点，连接EM，点F为EM的中点，连接FH，过点D作DG⊥FH，交FH的延长线于点G，若GH：FH=6：5，△FHM的面积为30，∠EHB=∠BHG，求线段EH的长． 【答案】（1）见解析；（2）∠EDH＝45°；（3）EH＝． 【思路点拨】（1）根据全等三角形的判定得出△CAE≌△ABD，进而利用全等三角形的性质得出AE＝BD即可； （2）根据全等三角形的判定得出△AEH≌△BDH，进而利用全等三角形的性质解答即可； （3）过点M作MS⊥FH于点S，过点E作ER⊥FH，交HF的延长线于点R，过点E作ET∥BC，根据全等三角形判定和性质解答即可． 【规范解答】证明：（1）∵CE⊥AE，BD⊥AE， ∴∠AEC＝∠ADB＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ACE+CAE＝∠CAE+∠BAD＝90°， ∴∠ACE＝∠BAD， 在△CAE与△ABD中 ∴△CAE≌△ABD（AAS）， ∴AE＝BD； （2）连接AH ∵AB＝AC，BH＝CH， ∴∠BAH＝，∠AHB＝90°， ∴∠ABH＝∠BAH＝45°， ∴AH＝BH， ∵∠EAH＝∠BAH﹣∠BAD＝45°﹣∠BAD， ∠DBH＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD﹣∠ABH＝45°﹣∠BAD， ∴∠EAH＝∠DBH， 在△AEH与△BDH中 ∴△AEH≌△BDH（SAS）， ∴EH＝DH，∠AHE＝∠BHD， ∴∠AHE+∠EHB＝∠BHD+∠EHB＝90° 即∠EHD＝90°， ∴∠EDH＝∠DEH＝； （3）过点M作MS⊥FH于点S，过点E作ER⊥FH，交HF的延长线于点R，过点E作ET∥BC，交HR的延长线于点T． ∵DG⊥FH，ER⊥FH， ∴∠DGH＝∠ERH＝90°， ∴∠HDG+∠DHG＝90° ∵∠DHE＝90°， ∴∠EHR+∠DHG＝90°， ∴∠HDG＝∠HER 在△DHG与△HER中 ∴△DHG≌△HER （AAS）， ∴HG＝ER， ∵ET∥BC， ∴∠ETF＝∠BHG，∠EHB＝∠HET， ∠ETF＝∠FHM， ∵∠EHB＝∠BHG， ∴∠HET＝∠ETF， ∴HE＝HT， 在△EFT与△MFH中 ， ∴△EFT≌△MFH（AAS）， ∴HF＝FT， ∴， ∴ER＝MS， ∴HG＝ER＝MS， 设GH＝6k，FH＝5k，则HG＝ER＝MS＝6k， ， k＝， ∴ER=， ∴HE＝． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于压轴题． 【举一反三练3】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明． ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【思路点拨】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证出，由兄弟三角形的定义可得出结论； （2）①延长至，使，证明，由全等三角形的性质得出； ②证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【规范解答】（1）证明：， ， 又，， 和是兄弟三角形； （2）证明：①延长至，使， 为的中点， ， 在和中， ， ， ； ②， ， ∴， ， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 考点讲练3：旋转模型 【精讲题】（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【答案】(1) (2)的大小不变， (3) 【思路点拨】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案； （2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，； （3）作交于点G，作于点H，可证明，得，由，得，则，由，得，则，所以，即可推导出． 【规范解答】（1）∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）的大小不改变， 如图①，作交于点F，则，    ∴， 由（1）得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． （3）E， 理由：如图②，作交于点G，作于点H，则    ∴， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【举一反三练1】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【思路点拨】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【规范解答】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 【举一反三练2】（22-23八年级上·湖北武汉·开学考试）【基本模型】    如图，是正方形，，当在边上，在边上时，如图1，、与之间的数量关系为__________． 【模型运用】当点在的延长线上，在的延长线上时，如图2，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论：__________． 【拓展延伸】如图3，已知，，在线段上，在线段上，，请你直接写出、与之间的数量关系． 【答案】【基本模型】；【模型运用】：，证明见解析；【拓展延伸】：． 【思路点拨】（1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）； （3）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，根据旋转变换的性质可得和全等，根据全等三角形对应角相等可得，对应边相等可得，，对应角相等可得，再根据证明，并证明、、三点共线，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解． 【规范解答】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 故答案为：； （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 故答案为：； （3）结论：． 理由：如图3，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则， ，，，， 又， ， ， 又， ， 、、三点共线， 在和中，， ， ， 又， ． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质。本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形。 【举一反三练3】（22-23八年级上·江苏徐州·期中）在中，，．将一个含45°角的直角三角尺按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在边的中点处．将直角三角尺绕点D旋转，设交于点N，交于点M，示意图如图所示． (1)【证明推断】求证：；小明给出的思路：若要证明，只需证明即可．请你根据小明的思路完成证明过程； (2)【延伸发现】连接，，如图所示，求证：； (3)【迁移应用】延长交于点P，交于点Q．在图中完成如上作图过程，猜想并证明和的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，见解析 【思路点拨】（1）在中，根据点D是的中点，得出，由，是直角三角尺，得出，从而得到，在和中，立即证明全等，由性质即可解答； （2）根据，得出，，，从而得到，由于是含45°直角三角尺，推出，利用即可证明和全等，从而求解； （3）猜想：，理由：根据和，得出，又根据，等量代换得到从而证明． 【规范解答】（1）证明：在中，∵，， ∴， 又∵点D是的中点， ∴，且， ∴， 又∵是直角三角尺， ∴，即， ∴ 在和中 ∴， ∴； （2）证明：∵ ∴，， ∴，且由于是含45°直角三角尺， ∴， ∴ 即 在和中 ∴， ∴； （3）解：作图正确（如图所示） 猜想：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查了旋转的性质、直角三角尺的特征、全等三角形的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质． 考点讲练4：垂线模型 【精讲题】（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题主要考查直角三角形的全等判定与性质，首先证明，又由，，得出，，进而得出答案． 【规范解答】解：∵，，，， ∴， ∴ 又∵，， ∴，， ∴． 故选B 【举一反三练1】（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： (1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了全等三角形的常见模型－垂直模型，熟记模型的构成以及结论是解题关键． （1）过点B作于点F，证得，根据“三线合一”可得，即可求解； （2）结合（1）的推理过程可得得，再证得即可求解． 【规范解答】（1）解：，理由如下： 过点B作于点F，即， ， ，， . ， . . 在和中，， . . ，， . . （2）解：.理由如下： 过点B作于点F，∴， 由（1）可得：， . ， ，. ， . . 在和中，， . . 【举一反三练2】（23-24八年级上·重庆江津·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图，，，过点作于点，过点作交的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到＝______，＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）①如图，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点； ②如图，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，点的坐标为，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）存在，或 【思路点拨】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识； （1）由全等三角形的性质可得出答案； （2）过点作交于点，过点作交于点，证明，得出；同理可得：．得出，证明，由全等三角形的性质可得出； （3）分两种情况，由全等三角形的性质可得出答案． 【规范解答】（1）解：由题意可知， ，， 故答案为：，； （2）证明：如图1，过点作交于点，过点作交于点， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 同理可得：． ， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点． （3）解：如图，当点在轴正半轴上时，由【模型呈现】可知， ，， ， ， ； 当点在轴负半轴上时，同理可得． 综上所述，点的坐标为或． 【举一反三练3】（23-24八年级上·辽宁大连·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【思路点拨】本题考查一线三直角全等问题， （1）由，得，则，而，即可证明，得，，于是得到问题的答案； （2）作于点，因为于点，于点，所以，由（1）得，因为，所以，则，而，即可证明，得，所以，再证明，则． 【规范解答】（1））解：于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故答案为：，． （2）证明：如图2，作于点， ∵于点，于点E， ∴， 由， 同理（1）得， ∴， 在和中， ∴， ∴． 考点讲练5：其他模型 【精讲题】（20-21八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，平分，于点P，已知的面积为2，则阴影部分的面积为 ． 【答案】1 【思路点拨】延长交于，证明，利用三角形的中线的性质即可得解． 【规范解答】解：延长交于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴阴影部分的面积； 故答案为：1． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质．遇到角平分线和垂线，构造全等三角形是解题的关键． 【举一反三练1】（16-17八年级·江苏盐城·期中）（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    【答案】（1）见解析；（2）成立；（3）不成立，应当是，见解析 【思路点拨】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）延长到G，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）先证明，由全等三角形的性质得出．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论； （3）在上截取，使连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【规范解答】证明：延长到G，使，连接．    ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵ ∴． ∴． ∵． ∴ （2）（1）中的结论仍然成立． ， ， 在与中， ， ， ， ， 即 在与中 ， ， 即， ； （3）结论不成立，应当是． 证明：在上截取，使连接．    ∵， ∴． ∵ ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． 【举一反三练2】（22-23八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，，，分别平分和，经过点E．求证：． 【答案】证明见解析 【思路点拨】在上截取，连接，通过证明和，然后根据全等三角形的性质分析求证． 【规范解答】证明：在上截取，连接． ∵，分别平分和， ∴． ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 【举一反三练3】（20-21八年级上·福建三明·期中）如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直线CE于点F． （Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC； （Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD； （Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系　 　． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）AF＝AD+BD 【思路点拨】（Ⅰ）先判断出∠ACF＝∠AEG，再用同角的余角相等判断出∠CAF＝∠EAG，即可得出结论； （Ⅱ）先用ASA判断出△ACM≌△ABD，得出AM＝AD，CM＝BD，由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC，得出∠AGE＝∠AFC，再判断出CM∥AB，得出∠MCF＝∠AGC，进而判断出MF＝CM，即可得出结论； （Ⅲ）同（Ⅱ）的方法，即可得出结论． 【规范解答】解：（Ⅰ）∵AC＝AE， ∴∠ACF＝∠AEG， ∵AF⊥AD， ∴∠DAF＝90°＝∠CAB， ∴∠DAF﹣∠FAG＝∠CAB﹣∠FAG， ∴∠CAF＝∠EAG， 在△AGE和△AFC中， ， ∴△AGE≌△AFC（ASA）； （Ⅱ）如图1，过点C作CM⊥AC，交AF延长线于点M， ∴∠ACM＝90°＝∠ABD， 由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB， 在△ACM和△ABD中， ， ∴△ACM≌△ABD（ASA）， ∴AM＝AD，CM＝BD， 由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC， ∴∠AGE＝∠AFC， ∴180°﹣∠AGE＝180°﹣∠AFC， ∴∠AGC＝∠AFG， ∵∠CFM＝∠AFG， ∴∠AGC＝∠CFM， ∵∠BAC＝90°＝∠ACM， ∴∠BAC+∠ACM＝180°， ∴CM∥AB， ∴∠MCF＝∠AGC， ∴∠CFM＝∠MCF， ∴MF＝CM， ∴AM＝AF+CM， ∴AD＝AF+BD； （Ⅲ）AD＝AF﹣BD； 过点C作CM⊥AC，交AF于点M， ∴∠ACM＝90°＝∠ABD， 由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB， 在△ACM和△ABD中， ， ∴△ACM≌△ABD（ASA）， ∴AM＝AD，CM＝BD， 由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC， ∴∠G＝∠F， ∵∠BAC＝90°＝∠ACM， ∴CM∥AB， ∴∠MCF＝∠G， ∴∠F＝∠MCF， ∴MF＝CM， ∴AF＝AM+CM＝AD+BD， 故答案为：AF＝AD+BD． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合平行线的判定与性质证明是解题的关键． 考点讲练6：证一条线段等于两条线段和差 【精讲题】（23-24七年级下·四川成都·期中）在的高、交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，求的度数； (3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【思路点拨】（1）根据直角三角形的两个锐角互余及等角的余角相等即可得出结论； （2）证和全等得，从而得为等腰直角三角形，进而可得的度数； （3）在上截取，连接，先证和全等得，，再证，进而可依据“”判定和全等，从而得，由此可得线段、、的数量关系． 此题主要考查了三角形的高，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，理解三角形的高，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线，构造全等三角形． 【规范解答】（1）证明：的高、交于点，如图1所示： ，， ，， ， （2）解：在和中， ， ， ， 为等腰直角三角形， ； （3）解：、、的数量关系是：，证明如下： 在上截取，连接，如图2所示： 是的高，， ，， 在和中， ， ， ，， 由（2）可知：，即， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ． 【举一反三练1】（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点．    (1)求证：△△． (2)猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明） (3)在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)图见解析，或，理由见解析 【思路点拨】本题考查几何变换综合题，需要学生掌握三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． （1）利用判定； （2）根据全等三角形的对应边相等可以求得，进而即可得到结论； （3）与（1）证明过程同理，并结合图形，进行线段的等量代换以及线段的和差运算，则或，即可作答． 【规范解答】（1）证明：于点，于点，， ，，， ． 在和中 ， ． （2）解：．理由如下： 由（1）知，，则 ∴ ∴ （3）解：结论：或． 理由：设与的交点为， 当离点近时，结论为； 当离点近时，结论为（注：当为中点时，，两点重合，线段不存在）． 当离点近时，如图：    同（1）可证明， ，． ， ． 当离点近时，如图：        同理，得． 【举一反三练2】（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路点拨】（1）根据直线l，直线l，，可得，利用可证明，根据即可得到； （2）同（1）利用可证明，根据即可得到； （3）过作于，的延长线于，可构造两组一线三直角全等模型，即：，，从而可以得到，，再根据可得，即可确定的长度； 【规范解答】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （2）∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （3）如图，过作于，的延长线于， ∴ ∵，， ∴ 在和中， ， ∴ ∴，， 同理可得： ∴，， 即：，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【考点评析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，一线三直角全等模型，线段之间的计算，构造合理的辅助线及掌握等腰直角三角形下的一线三直角全等模型是解决本题的关键． 【举一反三练3】（23-24八年级上·北京东城·期中）已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 【答案】(1)图见解析， (2)成立，证明见解析 (3) 【思路点拨】（1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． 【规范解答】（1）解：补全图形，如图：    解题思路为先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：； （2）成立，证明如下： 延长到点，使，则，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使，    ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴．’ 故答案为：． 考点讲练7：全等三角形综合问题 【精讲题】（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动时间为 秒时，与点、、为顶点的三角形全等（）． 【答案】6或12或18 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定定理和性质是解题关键． 此题要分两种情况：①当在线段上时，②当在上，再分别分两种情况或进行计算即可． 【规范解答】解：①当在线段上，时，， ， ， ， ∴的运动时间为秒； ②当在线段上，时，， 这时，因此时间为0秒（舍去）； ③当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为(秒)； ④当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为(秒)， ∴点的运动时间为6或12或18． 故答案为：6或12或18． 【举一反三练1】（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ）    A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【思路点拨】本题考查了两个全等三角形的判定及性质，根据已知条件判定两个三角形全等，可得到对应边及对应角相等，据此可判断①③，再结合条件证明两个三角形全等，可得到④，即可求得结果，灵活运用两个全等三角形的条件及性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴①③都正确， 在中， ， ∴， 故④正确， 根据已知条件无法证明②是否正确， 故①③④正确， 故选：A． 【举一反三练2】．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】    (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点 F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是 ； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是 ； (3)若是的“边垂角”，且． ①如图2，已知，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且 ，，求证：； 对于上述问题，小明有这样的想法：在上截取，连接，如图3．你明白小明的做法吗？接下来请你求证． ②如图4，若，直接写出四边形ABDC的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)①见解析；② 【思路点拨】（1）根据“边垂角”的定义即可得到答案； （2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论； （3）①延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，即可得到结论； ②连接，过点作与延长交于点，根据等腰三角形性质证明即可得到答案． 【规范解答】（1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是； （2）解：若是的“边垂角”，分两种情况 ①如图，是的“边垂角”， ， ， ， ，    ②如图， 是的“边垂角”， ， ， ， ，    综上所述，与的数量关系是或； （3）解：①延长交于点， 是的“边垂角”， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点关于直线对称点为点， ， ， ；    ②连接，过点作与延长交于点， 是的“边垂角”， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， ．    【考点评析】本题主要考查新定义，四边形的内角和定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练理解“边垂角”的定义是解题的关键． 【举一反三练3】（2024·浙江温州·三模）如图，在中，，点D是边上一点，，且，与交于点G，过点E作交于点F，交于点H．    (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查平行线性质，全等三角形判定，垂直的定义，四边形内角和，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）利用平行线性质得到，利用垂直的定义得到，即可证明； （2）利用平行线性质得到，在利用四边形内角和得到，即可解题． 【规范解答】（1）证明：， ， ， ， ， ． （2）解：，， ， ，， ． 中等题真题汇编练 一．选择题 1．（2023秋•苏州期中）如图，，，垂足分别为、，且，则与全等的直接理由是　　 A． B． C． D． 解：，， ， 在和中， ， ， 故选：． 2．（2023秋•宜兴市月考）如图，的面积为，垂直的平分线于，则的面积为　　 A． B． C． D． 解：延长交于， 垂直的平分线于， ， 又知，， ， ，， 和等底同高， ， ， 故选：． 3．（2023秋•邗江区期末）如图，点，，，共线，，，添加一个条件，不能判断的是　　 A． B． C． D． 解：， ． 、由，，可以判定，不符合题意； 、由，，不可以判定，符合题意； 、由，，可以判定，不符合题意； 、由，，可以判定，不符合题意； 故选：． 4．（2020秋•如皋市期末）如图，点，分别为的边，上的点，连接并延长至，使，连接．若，，，则的长等于　　 A．1 B．2 C．3 D．5 解：， ， 在与中， ， ， ， ， ， 又， ， 故选：． 5．（2018秋•兴化市月考）如图所示，，，点、、在一条直线上，，，，则　　 A． B． C． D． 解：， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 故选：． 二．填空题 6．（2021秋•清江浦区校级期中）如图，在中，，，，，是上一点，交于点，若，则图中阴影部分的面积为 　30　． 解：， ， 在和中， ， ， ， 图中阴影部分面积． 故答案为：30． 7．（2020秋•工业园区月考）在中，，、分别为、边上的高，、相交于点，连接．下列结论：（1）；②；③，④若，则的周长等于的长．正确的是 　①③④　（填序号）． 解：中，，分别为、边上的高， ，而和有一条公共边， ， ③正确； ， ，和都是的余角， 而， ， ， ， ①正确； 若，则，，显然不可能，故②错误， 若，根据①得， ， 即为的中点， 为线段的垂直平分线， ，， ， 即周长等于的长， ④正确． 故答案为①③④ 8．（2023秋•秦淮区校级月考）如图，在中，，，是边上的中线，则的取值范围是　　． 解： 延长到，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中 ， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 9．（2015•徐州模拟）如图，的面积为，平分，且于，则的面积为　2　． 解：如图，延长交于， 平分，， ， ，， 的面积． 故答案为：2． 三．解答题 10．（2023秋•灌云县期中）如图，在中，，点在上，过点作，且，连接．求证：． 证明：， ， 在和中， ， ， ． 11．（2023春•亭湖区校级期末）已知：如图，，，． 求证：（1）； （2）． 证明：（1）， ． 在与中， ， ， （2）， ， ． 12．（2022秋•东海县校级月考）如图，已知、是上的两点，，，，试说明与的关系． 解：， ，即． ， ． 在和中， ， ． ，． ． 综上：，． 13．（2023秋•东海县月考）如图，在中，已知是的中点，过点作的垂线交的平分线于点，于点，于点． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． （1）连接、． 是的平分线， 于点，于点， ， 又垂直平分， ， ， ； （2）在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ． 14．（2021秋•秦淮区月考）如图，在中，是的中点，，，垂足分别为点，，． 求证：平分． 证明：是的中点， ， ，， 和都是直角三角形， 在与中， ， ， ， 是的角平分线． 培优题真题汇编练 一．选择题 1．（2018秋•泰兴市期中）如图，在中，，，分别为、边上的高，、相交于点，连接，则下列结论：①；②；③若，则周长等于的长；其中正确的有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解：中，，分别为、边上的高，， ，和都是的余角， 而， ， ，故①正确， ， ，故②正确； 若，根据①得， ， 即为的中点， 为线段的垂直平分线， ，， ， 即周长等于的长，故③正确． 综上所述，正确的结论有3个． 故选：． 2．（2021秋•镇江期中）如图，中，，，，点在直线上，若将绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 解：如图，连接， 在中，， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 点在过点且垂直的直线上运动， 当时，的值最小，即的值最小， ，， ， ，， ， ， ， 故选：． 3．（2018秋•宜兴市期中）如图，是边长为的等边三角形，是等腰三角形，且，以为顶点做一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长是　　 A． B． C． D．不能确定 解：是等腰三角形，且， ， 是边长为的等边三角形， ， ， 延长至，使，连接， 在和中，，，， ， ，， ， ， ，，为公共边， ， ， 的周长是：， 故选：． 4．（2020秋•江阴市校级月考）在中，，，则中线的取值范围是　　 A． B． C． D． 解：延长到，使，连接， 是的中线， ， 在与中， ， ， ， 根据三角形的三边关系得：， ， ， ， 故选：． 二．填空题 4．（2023秋•丹阳市校级月考）如图，四边形中，，，对角线，若，则的面积为 　98　． 解：过点作，垂足为， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积， 故答案为：98． 5．（2023秋•栖霞区校级月考）如图，五边形中，，，，为边的中点，，，则五边形的面积为　90　． 解：如图，延长到，使，连接、、， 在和中， ， 中， ，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 故答案为：90． 6．（2021秋•苏州期末）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以勾股定理为背景的邮票．如图，在中，，，．分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，并按如图所示作长方形，延长交于．则长方形的面积为 　12　． 解：如图，过点作于， ，，， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在△和中， ， △， ， 长方形的面积． 故答案为：12． 三．解答题 7．（2022秋•东台市期中）（1）问题发现 如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接． 填空：①的度数为　　； ②线段，之间的数量关系为　　． （2）拓展探究 如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由． 解：（1），， ， 在和中， ， ， ，， ； （2），， 理由：如图2， 和均为等腰直角三角形， ，，， ． 在和中， ， ， ，． 为等腰直角三角形， ， 点、、在同一直线上， ． ， ． ，， ． ， ， ． 12．（2023秋•秦淮区校级月考）在中，为锐角，点为射线上一点，且与点、不重合，连接，以为边，向外作等边三角形，连接． （1）若，； ①如图1，当点在线段上时，试探讨与的数量关系和此时与位置关系，并说明理由； ②如图2，当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请说明理由； （2）如图3，若，，点在线段上，且时，求的度数． 解：（1）①，； 理由如下： ，， 是等边三角形， ， 又是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ； ②，仍然成立，理由如下： 和是等边三角形， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ， ； （2）过点作，交于点， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， 是等边三角形， ． 13．（2023秋•海安市期中）已知，，点在边上，点是边上一动点，．以线段为边在上方作等边，连接、，再以线段为边作等边（点、在的同侧），作于点． （1）如图1，．①依题意补全图形；②求的度数； （2）如图2，当点在射线上运动时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 解：（1）①如图所示，即为所求； ②是等边三角形， ， ， ， ； （2），证明如下： 如图，连接，， 由（2）可知，是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 14．（2022秋•秦淮区校级月考）已知，在中，，，，三点都在直线上，且， （1）如图①，若，则与的数量关系为 　　，与的数量关系为 　　； （2）如图②，判断并说明线段，与的数量关系； （3）如图③，若只保持，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）， ， ， ，， ， ，， 故答案为：，； （2）， 由（1）同理可得， ，， ； （3）存在，当时， ，， ； 当时， ，， ， 综上：或． 15．（2021秋•苏州期末）【情境】某校数学兴趣小组尝试自制数学学具进行自主合作探究．图①是一块边长为的等边三角形学具，是边上一个动点，由点向点运动，速度为，是边延长线上一动点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动，连接，交于点，设点运动的时间为． 【问题】（1）填空：　24　； （2）当时，求的值； 【探究】如图②，过点作，垂足为，在点，点运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由． （1）解：是边长为12的等边三角形， ，， 设， 则，， ， ， 故答案为：24． （2）解：，， ， ， ， ； （3）解：线段的长度不改变， 过点作交延长线于点，连接，， ， 点、速度相同， ， 是等边三角形， ， ，，， ， ， ， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$