第03讲 探索三角形全等的条件（5大考点与题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（苏科版）

第03讲 探索三角形全等的条件 课程标准 学习目标 1 经历探索三角形全等条件的过程，理解各种判定方法的含义； 2 能运用不同的判定方法判定两个三角形全等； 3 在探索和解决问题过程中，培养逻辑推理能力和空间观念. 1. 掌握探索三角形全等的各种条件； 2. 能够灵活运用判定方法解决问题； 3. 提高推理能力和几何直观素养. 知识点一、边角边 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 1.只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，“边边角”不能判定三角形全等； 2.在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上. 知识点二、角边角 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写“角边角”或“ASA”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 知识点三、角角边 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简称为“角角边”或“AAS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 知识点四、边边边 三边分别相等的两个三角形全等，简称为“边边边”或“SSS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 知识点五、斜边、直角边 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简称为“斜边、直角边”或“HL”. 如上图所示，在Rt△ABC与Rt△A’B’C’中，，已知 . 题型01 用边角边判定两个三角形全等 1．如图，∠1＝∠2，要证明△ABC≌△ADE，还需补充的条件是（　　） A．AB＝AD，AC＝AE B．AB＝AD，BC＝DE C．AB＝DE，BC＝AE D．AC＝AE，BC＝DE 2．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝60°，∠C＝35°，则∠DAO的度数是（　　） A．35° B．85° C．95° D．以上都不对 3．如图，CA平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝46°，则∠BAE的度数为 　　． 4．如图，B、C、D、E在同一条直线上，AB∥EF，BC＝DE，AB＝EF，求证：AC＝DF． 题型02 用角边角判定两个三角形全等 1．如图，∠A＝∠D，OA＝OD，∠DOC＝50°，∠DBC的度数为（　　） A．50° B．30° C．45° D．25° 2．如图，点E在△ABC的外部，点D在边BC上，DE交AC于点F．若∠1＝∠2，∠B＝∠ADE，AB＝AD，则（　　） A．△ABC≌△AFE B．△AFE≌△ADC C．△AFE≌△DFC D．△ABC≌△ADE 3．已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，则MH长为　　． 4．如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF．求证：△ABC≌△DEF． 题型03 用角角边判定两个三角形全等 1．如图，∠A＝∠E，AC⊥BE，AB＝EF，BE＝25，CF＝8，则AC＝　　． 2．如图，点D、E分别是AB、AC的中点，BE、CD相交于点O，∠B＝∠C，BD＝CE． 求证：（1）OD＝OE； （2）△ABE≌△ACD． 3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，S△AEH＝6，求CH的长． 4．如图，已知AC，BD相交于点O，AB∥CD，BF＝DE，∠OAE＝∠OCF．求证AE＝CF． 题型04 用边边边判定两个三角形全等 1．如图，CA＝CB，AD＝BD，M、N分别为CA、CB的中点，∠ADN＝80°，∠BDN＝30°，则∠CDN的度数为（　　） A．40° B．15° C．25° D．30° 2．如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠DAB＝80°，则∠DAC＝　　． 3．如图，AB＝AC，AD＝AE，CD＝BE．求证：∠DAB＝∠EAC． 4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）判断FC与AD的数量关系，并说明理由； （2）若AB＝BC+AD，则BE⊥AF吗？为什么？ （3）在（2）的条件下，若EC⊥BF，EC＝3，求点E到AB的距离． 题型05 用斜边、直角边判定两个三角形全等 1．如图，已知DB⊥AN于点B，交AE于点O，OC⊥AM于点C，且OB＝OC．若∠ADB＝54°，则∠OAB的大小为（　　） A．15° B．18° C．22° D．30° 2．如图，已知AD，AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE，求证：BC＝BE． 3．如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE＝CF．求证：∠ACB＝90°． 4．（1）如图①，A，E，F，C四点在一条直线上，AE＝CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，连接BD交AC于点G，若AB＝CD，试说明FG＝EG． （2）若将△DCE沿AC方向移动变为如图②的图形，（1）中其他条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由． 1．如图，已知∠1＝∠2，要说明△ABD≌△ACD，还需从下列条件中选一个，错误的选法是（　　） A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．DB＝DC D．AB＝AC 2．如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为（　　） A．30cm B．27cm C．24cm D．21cm 3．如图，AB∥CF，E为DF的中点，若AB＝7cm，CF＝5cm，则BD是（　　） A．2cm B．2.5cm C．3cm D．3.5cm 4．如图，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s），当点Q的运动速度为（　　）cm/s时，在某一时刻，A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等． A．1或 B．1或 C．2或 D．1 5．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取AB的垂线BF上的点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 6．如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，D为BC延长线上一点，EC⊥AC且AC＝CE，垂足为C，连接BE，若BC＝6，则△BCE的面积为（　　） A． B．9 C．18 D．36 7．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上的动点，连接AE，AF，EF．若∠EAF＝45°，∠BAE＝α，则∠AEF＝　 　（用含α的式子表示）． 8．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，则DE的长是 　 　． 9．如图，AC＝DC，AB＝DE，CB＝CE．若∠1＝40°，则∠2＝　 　°． 10．如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，下列结论： ①EM＝FN，②CD＝DN，③∠FAN＝∠EAM．④△ACN≌△ABM． 其中正确的有　 　． 11．如图，AB＝CB，BE＝BF，∠1＝∠2，证明：△ABE≌△CBF． 12．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF， （1）求证：AD平分∠BAC； （2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长． 13．（1）如图①，在线段CD上找点O，连结BO，使BO平分△ABC的面积． （2）如图②，在线段GE上找点Q，连结HQ，使HQ∥FE． （3）如图③，已知每个小正方形的边长为1个单位，线段 MN＝5，PK是△MNP 的边MN上的高，请直接写出PK＝　 　． 14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，EC⊥AC，垂足为C，AE交线段BC于F，D是AC边上一点，连接BD，且BD＝AE． （1）求证：CE＝AD； （2）BD与AE有怎样的位置关系？证明你的结论； （3）当∠CFE＝∠ADB时，求证：BD平分∠ABC． 15．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连接AE、DE、DC． （1）求证：△ABE≌△CBD； （2）若∠CAE＝24°，求∠BDC的度数． 16．如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想． 17．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°． （1）当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想； （2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 探索三角形全等的条件 课程标准 学习目标 1 经历探索三角形全等条件的过程，理解各种判定方法的含义； 2 能运用不同的判定方法判定两个三角形全等； 3 在探索和解决问题过程中，培养逻辑推理能力和空间观念. 1. 掌握探索三角形全等的各种条件； 2. 能够灵活运用判定方法解决问题； 3. 提高推理能力和几何直观素养. 知识点一、边角边 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 1.只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，“边边角”不能判定三角形全等； 2.在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上. 知识点二、角边角 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写“角边角”或“ASA”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 知识点三、角角边 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简称为“角角边”或“AAS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 知识点四、边边边 三边分别相等的两个三角形全等，简称为“边边边”或“SSS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 知识点五、斜边、直角边 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简称为“斜边、直角边”或“HL”. 如上图所示，在Rt△ABC与Rt△A’B’C’中，，已知 . 题型01 用边角边判定两个三角形全等 1．如图，∠1＝∠2，要证明△ABC≌△ADE，还需补充的条件是（　　） A．AB＝AD，AC＝AE B．AB＝AD，BC＝DE C．AB＝DE，BC＝AE D．AC＝AE，BC＝DE 【分析】根据三角形内角和定理，由∠1＝∠2，然后根据“SAS”对各选项进行判断． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠C＝∠E， ∴当AE＝AC，DE＝BC时，可根据“SAS”判断△ABC≌△ADE． 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 2．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝60°，∠C＝35°，则∠DAO的度数是（　　） A．35° B．85° C．95° D．以上都不对 【分析】由“SAS”可证△OAD≌△OBC，就可以得出∠C＝∠D，从而得出结论． 【解答】解：在△OAD和△OBC中 ， ∴△OAD≌△OBC（SAS）， ∴∠D＝∠C． ∵∠C＝35°， ∴∠D＝35°． ∴∠DAO＝180°﹣∠D﹣∠O＝180°﹣60°﹣35°＝85°， 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用，解答时证明三角形全等是关键． 3．如图，CA平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝46°，则∠BAE的度数为 　　． 【分析】由CA平分∠DCB，得∠ACB＝∠ACD，即可证明△ACB≌△ACD，得∠B＝∠D，所以∠B+∠ACB＝∠D+∠ACD＝∠EAC＝46°，则∠BAC＝134°，所以∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝88°． 【解答】解：∵CA平分∠DCB， ∴∠ACB＝∠ACD， 在△ACB和△ACD中， ， ∴△ACB≌△ACD（SAS）， ∴∠B＝∠D， ∴∠B+∠ACB＝∠D+∠ACD， ∵∠EAC＝∠D+∠ACD＝46°， ∴∠B+∠ACB＝46°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝180°﹣46°＝134°， ∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝134°﹣46°＝88°， 故答案为：88°． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明△ACB≌△ACD是解题的关键． 4．如图，B、C、D、E在同一条直线上，AB∥EF，BC＝DE，AB＝EF，求证：AC＝DF． 【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠E，利用SAS证明△ACB≌△FDE，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【解答】证明：∵AB∥EF， ∴∠B＝∠E， 在△ACB和△FDE中， ， ∴△ACB≌△FDE（SAS）， ∴AC＝DF． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答． 题型02 用角边角判定两个三角形全等 1．如图，∠A＝∠D，OA＝OD，∠DOC＝50°，∠DBC的度数为（　　） A．50° B．30° C．45° D．25° 【分析】由题中条件易证得△AOB≌△DOC，可得∠ACB＝∠DBC，由三角形外角的性质可得∠DOC＝∠ACB+∠DBC，即可得∠DBC的度数． 【解答】解：∵∠A＝∠D，OA＝OD，∠AOB＝∠DOC， ∴△AOB≌△DOC（ASA）， ∴OB＝OC， ∴∠ACB＝∠DBC， ∵∠DOC＝∠ACB+∠DBC， ∴∠DBC∠DOC＝25°． 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质等知识点，找到相应等量关系的角是解题的关键． 2．如图，点E在△ABC的外部，点D在边BC上，DE交AC于点F．若∠1＝∠2，∠B＝∠ADE，AB＝AD，则（　　） A．△ABC≌△AFE B．△AFE≌△ADC C．△AFE≌△DFC D．△ABC≌△ADE 【分析】根据ASA证明△ABC≌△ADE，可得结论． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（ASA）． 故选：D． 【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 3．已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，则MH长为　　． 【分析】只要证明△MQP≌△NQH，可得PQ＝QH＝5，根据MQ＝NQ＝9，即可解决问题． 【解答】解：∵MQ⊥PN，NR⊥PM， ∴∠NQH＝∠NRP＝∠HRM＝90°， ∵∠RHM＝∠QHN， ∴∠PMH＝∠HNQ， 在△MQP和△NQH中， ， ∴△MQP≌△NQH（ASA）， ∴PQ＝QH＝5， ∵NQ＝MQ＝9， ∴MH＝MQ﹣HQ＝9﹣5＝4， 故答案为4． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 4．如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF．求证：△ABC≌△DEF． 【分析】根据题目已知条件利用ASA即可求出△ABC≌△DEF． 【解答】证明：∵AC∥DF， ∴∠CAB＝∠FDE（两直线平行，同位角相等）， 又∵BC∥EF， ∴∠CBA＝∠FED（两直线平行，同位角相等）， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）． 【点评】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理并能熟练推理是解题的关键． 题型03 用角角边判定两个三角形全等 1．如图，∠A＝∠E，AC⊥BE，AB＝EF，BE＝25，CF＝8，则AC＝　　． 【分析】由“AAS”可证△ABC≌△EFC，可得BC＝CF＝8，AC＝CE，即可求解． 【解答】解：在△ABC和△EFC中， ， ∴△ABC≌△EFC（AAS）， ∴BC＝CF＝8，AC＝CE， ∵BE＝BC+CE＝25， ∴CE＝25﹣8＝17， ∴AC＝CE＝17， 故答案为：17． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 2．如图，点D、E分别是AB、AC的中点，BE、CD相交于点O，∠B＝∠C，BD＝CE． 求证：（1）OD＝OE； （2）△ABE≌△ACD． 【分析】（1）直接利用AAS即可判定△BOD≌△COE，根据全等三角形的性质即可得解； （2）由题意得AD＝AE，AB＝AC，根据SAS即可判定△ABE≌△ACD． 【解答】证明：（1）在△BOD和△COE中， ， ∴△BOD≌△COE（AAS）， ∴OD＝OE； （2）∵点D、E分别是AB、AC的中点， ∴AD＝BDAB，AE＝CEAC， ∵BD＝CE． ∴AD＝AE，AB＝AC， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）． 【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理（ASA、SAS、AAS、SSS、HL）是解题的关键． 3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，S△AEH＝6，求CH的长． 【分析】先根据△AEH的面积算出AE的长度，再根据全等三角形的知识算出CE的长度，由CE﹣HE即可求出CH的长度． 【解答】解：∵CE⊥AB， ∴∠AEC＝90°， ∴S△AEHAE×EHAE＝6， ∴AE＝4， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， 又∵∠AHE＝∠CHD， ∴∠EAH＝∠ECB， 在△BEC和△HEA中， ， ∴△BEC≌△HEA（AAS）， ∴AE＝CE＝4， ∴CH＝CE﹣EH＝4﹣3＝1． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定，作这类题的关键在于准确找到判定三角形全等的条件，也要熟练运用全等三角形的性质． 4．如图，已知AC，BD相交于点O，AB∥CD，BF＝DE，∠OAE＝∠OCF．求证AE＝CF． 【分析】由AB∥CD得∠B＝∠D，∠BAO＝∠DCO，而∠OAE＝∠OCF，可证明∠BAE＝∠DCF，由BF＝DE可证明BE＝DF，于是根据“有两个角及其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”可证明△ABE≌△CDF，得AE＝CF． 【解答】证明：如图，∵AB∥CD， ∴∠B＝∠D，∠BAO＝∠DCO， ∵∠OAE＝∠OCF， ∴∠BAO﹣∠OAE＝∠DCO﹣∠OCF， ∴∠BAE＝∠DCF， ∵BF＝DE， ∴BF﹣EF＝DE﹣EF， ∴BE＝DF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AE＝CF． 【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，准确地找出全等三角形的对应边和对应角是解题的关键． 题型04 用边边边判定两个三角形全等 1．如图，CA＝CB，AD＝BD，M、N分别为CA、CB的中点，∠ADN＝80°，∠BDN＝30°，则∠CDN的度数为（　　） A．40° B．15° C．25° D．30° 【分析】由“SSS”可证△CAD≌△CBD，可得∠CDA＝∠CDB，∠A＝∠B，由“SAS”可证△ADM≌△BDN，可得∠ADM＝∠BDN＝30°，即可求解． 【解答】解：在△CAD和△CBD中， ， ∴△CAD≌△CBD（SSS）， ∴∠CDA＝∠CDB，∠A＝∠B， 又∵AC＝CB，M，N分别为CA，CB的中点， ∴AM＝BN，又AD＝BD， ∴△ADM≌△BDN（SAS）， ∴∠ADM＝∠BDN＝30°， ∵∠ADN＝80°， ∴∠ADM+2∠CDN＝80°， ∴∠CDN＝25°， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键． 2．如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠DAB＝80°，则∠DAC＝　　． 【分析】根据全等三角形的判定定理得出△ABC≌△ADC，根据全等三角形的性质得出∠DAC＝∠BAC，即可求出结果． 【解答】证明：在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠DAC＝∠BAC ∵∠DAB＝80°， ∴∠DAC＝40°， 故答案为：40°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 3．如图，AB＝AC，AD＝AE，CD＝BE．求证：∠DAB＝∠EAC． 【分析】三角形全等条件中必须是三个元素，可用SSS判定两个三角形全等． 【解答】证明：在△ADC与△AEB中， ， ∴△ADC≌△AEB（SSS）， ∴∠DAC＝∠EAB， ∴∠DAC﹣∠BAC＝∠EAB﹣∠BAC， ∴∠DAB＝∠EAC 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；用SSS判定两个三角形全等是正确解决问题的关键． 4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）判断FC与AD的数量关系，并说明理由； （2）若AB＝BC+AD，则BE⊥AF吗？为什么？ （3）在（2）的条件下，若EC⊥BF，EC＝3，求点E到AB的距离． 【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答； （2）由（1）知△ADE≌△FCE，得到AE＝EF，AD＝CF，由于AB＝BC+AD，等量代换得到AB＝BC+CF，即AB＝BF，证得△ABE≌△FBE，即可得到结论； （3）在（2）的条件下有△ABE≌△FBE，得到∠ABE＝∠FBE，根据角平分线的性质即可得到结果． 【解答】证明：（1）∵AD∥BC， ∴∠ADC＝∠ECF， ∵E是CD的中点， ∴DE＝EC， ∵在△ADE与△FCE中，， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴FC＝AD； （2）由（1）知△ADE≌△FCE， ∴AE＝EF，AD＝CF， ∵AB＝BC+AD， ∴AB＝BC+CF， 即AB＝BF，在△ABE与△FBE中，， ∴△ABE≌△FBE， ∴∠AEB＝∠FEB＝90°， ∴BE⊥AE； （3）在（2）的条件下有△ABE≌△FBE， ∴∠ABE＝∠FBE，∴E到BF的距离等于E到AB的距离， ∵CE⊥BF，CE＝3， ∴点E到AB的距离为3． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 题型05 用斜边、直角边判定两个三角形全等 1．如图，已知DB⊥AN于点B，交AE于点O，OC⊥AM于点C，且OB＝OC．若∠ADB＝54°，则∠OAB的大小为（　　） A．15° B．18° C．22° D．30° 【分析】先由DB⊥AN、OC⊥AM得到∠DBA＝∠OCA＝90°，然后结合OB＝OC，OA＝OA得证△OAB≌△OAC，进而得到∠OAB＝∠OAC，再利用∠ADB＝54°求得∠DAB的大小，最后求得∠OAB的大小． 【解答】解：∵DB⊥AN，OC⊥AM， ∴∠DBA＝∠OCA＝90°， ∵OB＝OC，OA＝OA， ∴△OAB≌△OAC（HL）， ∴∠OAB＝∠OAC， ∵∠ADB＝54°，∠DBA＝90°， ∴∠DAB＝90°﹣54°＝36°， ∴∠OAB＝18°． 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的内角和定理，解题的关键是会利用HL定理证明三角形全等． 2．如图，已知AD，AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE，求证：BC＝BE． 【分析】证明Rt△ADC≌Rt△AFE（HL），由全等三角形的性质得出CD＝EF．证明Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）．由全等三角形的性质得出BD＝BF．则可得出答案． 【解答】证明：∵AD，AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高， ∴∠D＝∠F＝90°． 在Rt△ADC和Rt△AFE中， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）． ∴CD＝EF． 在Rt△ABD和Rt△ABF中， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）． ∴BD＝BF． ∴BD﹣CD＝BF﹣EF， 即BC＝BE． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明Rt△ADC≌Rt△AFE是解题的关键． 3．如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE＝CF．求证：∠ACB＝90°． 【分析】先利用HL定理证明△ACE和△CBF全等，再根据全等三角形对应角相等可以得到∠EAC＝∠BCF，因为∠EAC+ACE＝90°，所以∠ACE+∠BCF＝90°，根据平角定义可得∠ACB＝90°． 【解答】证明：如图，在Rt△ACE和Rt△CBF中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL）， ∴∠EAC＝∠BCF， ∵∠EAC+∠ACE＝90°， ∴∠ACE+∠BCF＝90°， ∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定，全等三角形对应角相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 4．（1）如图①，A，E，F，C四点在一条直线上，AE＝CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，连接BD交AC于点G，若AB＝CD，试说明FG＝EG． （2）若将△DCE沿AC方向移动变为如图②的图形，（1）中其他条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由． 【分析】（1）连接BE、FD，首先由题意推出AF＝CE，∠BFA＝∠DEC＝90°，则由全等三角形的判定定理HL证得Rt△BFA≌Rt△DEC，便知BF＝DE，推出四边形BEDF为平行四边形，即可推出BD与EF互相平分，即FG＝EG； （2）同（1）的证明过程． 【解答】解：（1）连接BE、FD， ∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠BFA＝∠DEC＝90°． 又∵AE＝CF， ∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE， 在Rt△BFA与Rt△DEC中， ， ∴Rt△BFA≌Rt△DEC（HL）， ∴BF＝DE， ∵BF∥DE， ∴四边形BEDF为平行四边形， ∴BD与EF互相平分， ∴FG＝EG； （2）上述结论还成立．理由如下： ∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠BFA＝∠DEC＝90°． 又∵AE＝CF， ∴AE﹣EF＝CF﹣EF，即AF＝CE， 在Rt△BFA与Rt△DEC中， ， ∴Rt△BFA≌Rt△DEC（HL）， ∴BF＝DE， ∵BF∥DE， ∴四边形BEDF为平行四边形， ∴BD与EF互相平分， ∴FG＝EG． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 1．如图，已知∠1＝∠2，要说明△ABD≌△ACD，还需从下列条件中选一个，错误的选法是（　　） A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．DB＝DC D．AB＝AC 【分析】先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法对选项逐一验证，排除错误的选项．本题中C、AB＝AC与∠1＝∠2、AD＝AD组成了SSA是不能由此判定三角形全等的． 【解答】解：A、加∠ADB＝∠ADC，∵∠1＝∠2，AD＝AD，∠ADB＝∠ADC，∴△ABD≌△ACD（ASA），是正确选法； B、加∠B＝∠C∵∠1＝∠2，AD＝AD，∠B＝∠C，∴△ABD≌△ACD（AAS），是正确选法； C、加DB＝DC，满足SSA，不能得出△ABD≌△ACD，是错误选法； D、加AB＝AC，∵∠1＝∠2，AD＝AD，AB＝AC，∴△ABD≌△ACD（SAS），是正确选法． 故选：C． 【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，但SSA无法证明三角形全等． 2．如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为（　　） A．30cm B．27cm C．24cm D．21cm 【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答． 【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°， ∴∠BCE＝∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； 由题意得：AD＝EC＝9cm，DC＝BE＝21cm， ∴DE＝DC+CE＝30（cm）， 答：两堵木墙之间的距离为30cm． 故选：A． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． 3．如图，AB∥CF，E为DF的中点，若AB＝7cm，CF＝5cm，则BD是（　　） A．2cm B．2.5cm C．3cm D．3.5cm 【分析】根据平行的性质求得内错角相等，根据ASA得出△ADE≌△CFE，从而得出AD＝CF，已知AB，CF的长，即可得出BD的长． 【解答】解：∵AB∥FC， ∴∠ADE＝∠EFC， ∵E是DF的中点， ∴DE＝EF， 在△ADE与△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（ASA）， ∴AD＝CF＝5cm， ∴BD＝AB﹣AD＝7﹣5＝2（cm）． 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 4．如图，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s），当点Q的运动速度为（　　）cm/s时，在某一时刻，A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等． A．1或 B．1或 C．2或 D．1 【分析】设点Q的运动速度是x cm/s，有两种情况：①AP＝BP，AC＝BQ，②AP＝BQ，AC＝BP，列出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：设点Q的运动速度是x cm/s， ∵∠CAB＝∠DBA＝60°， ∴A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等，有两种情况： ①AP＝BP，AC＝BQ， 则1×t＝6﹣1×t， 解得：t＝3， 则4＝3x， 解得：x； ②AP＝BQ，AC＝BP， 则1×t＝tx，6﹣1×t＝4， 解得：t＝2，x＝1， 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键． 5．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取AB的垂线BF上的点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法． 【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD， 所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法． 故选：C． 【点评】此题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 6．如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，D为BC延长线上一点，EC⊥AC且AC＝CE，垂足为C，连接BE，若BC＝6，则△BCE的面积为（　　） A． B．9 C．18 D．36 【分析】过A作AH⊥BC于H，过E作EF⊥BC于F，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 【解答】解：过A作AH⊥BC于H，过E作EF⊥BC于F， ∵AB＝AC， ∴BH＝HC， ∵∠ACE＝90°， ∴∠ACH+∠ECF＝90°， ∵∠CAH+∠ACH＝90°， ∴∠ECF＝∠CAH， 在△ACH与△CEF中， ， ∴△ACH≌△CEF（AAS）， ∴EF＝CHBC＝3， ∴△BCE的面积， 故选：B． 【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答． 7．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上的动点，连接AE，AF，EF．若∠EAF＝45°，∠BAE＝α，则∠AEF＝　90°﹣α　（用含α的式子表示）． 【分析】根据正方形的性质可得AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，易证△GAE≌△FAE（SAS），根据全等三角形的性质可得∠AEF＝∠AEG，进而解答即可． 【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°， 将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，G、B、E三点共线，如图所示： 则AF＝AG，∠DAF＝∠BAG， ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝45°， ∴∠GAE＝∠FAE＝45°， 在△GAE和△FAE中， ， ∴△GAE≌△FAE（SAS）， ∴∠AEF＝∠AEG， ∵∠BAE＝α， ∴∠AEB＝90°﹣α， ∴∠AEF＝∠AEB＝90°﹣α， 故答案为：90°﹣α． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，涉及旋转的性质，添加合适的辅助线是解题的关键． 8．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，则DE的长是 　2　． 【分析】根据条件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE＝DC，就可以求出DE的值． 【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°， ∴∠EBC+∠BCE＝90°． ∵∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠DCA． 在△CEB和△ADC中， ， ∴△CEB≌△ADC（AAS）， ∴BE＝DC＝1，CE＝AD＝3． ∴DE＝EC﹣CD＝3﹣1＝2 故选答案为2． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，学会正确寻找全等三角形，属于中考常考题型． 9．如图，AC＝DC，AB＝DE，CB＝CE．若∠1＝40°，则∠2＝　40　°． 【分析】由题意可证△ABC≌△DEC，可得∠A＝∠D，再根据三角形内角和即可得∠1＝∠2． 【解答】解：如图，设AC，ED交于点F， 在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（SSS）， ∴∠A＝∠D， ∵∠1+∠AFE+∠A＝180°，∠2+∠DFC+∠D＝180°，∠AFE＝∠DFC， ∴∠2＝∠1＝40°． 故答案为：40． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，关键是全等三角形判定定理的应用． 10．如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，下列结论： ①EM＝FN，②CD＝DN，③∠FAN＝∠EAM．④△ACN≌△ABM． 其中正确的有　①③④　． 【分析】只要证明△ABE≌△ACF，△ANC≌△AMB，利用全等三角形的性质即可一一判断． 【解答】解：在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（AAS）， ∴∠BAE＝∠CAF，BE＝CF，AB＝AC， ∴∠BAE﹣∠BAC＝∠CAF﹣∠BAC， 即∠1＝∠2，故③正确； 在△ACN和△ABM中， ， ∴△ACN≌△ABM（ASA），故④正确； ∴CN＝BM．∵CF＝BE， ∴EM＝FN，故①正确， CD与DN的大小无法确定，故②错误． 故答案为①③④． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记三角形全等的判定方法并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 11．如图，AB＝CB，BE＝BF，∠1＝∠2，证明：△ABE≌△CBF． 【分析】利用∠1＝∠2，即可得出∠ABE＝∠CBF，再利用全等三角形的判定SAS得出即可． 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠FBE＝∠2+∠FBE，即∠ABE＝∠CBF， 在△ABE与△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 12．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF， （1）求证：AD平分∠BAC； （2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长． 【分析】（1）求出∠E＝∠DFC＝90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE＝DF，根据角平分线性质得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出AE＝AF，BE＝CF，即可求出答案． 【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°， ∴在Rt△BED和Rt△CFD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴DE＝DF， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD平分∠BAC； （2）解：∵∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，DE＝DF， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL） ∴AE＝AF， ∵AC＝20，CF＝BE＝4， ∴AE＝AF＝20﹣4＝16， ∴AB＝AE﹣BE＝16﹣4＝12． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等． 13．（1）如图①，在线段CD上找点O，连结BO，使BO平分△ABC的面积． （2）如图②，在线段GE上找点Q，连结HQ，使HQ∥FE． （3）如图③，已知每个小正方形的边长为1个单位，线段 MN＝5，PK是△MNP 的边MN上的高，请直接写出PK＝　3　． 【分析】（1）根据三角形的中线平分三角形的面积作图即可； （2）连接HM交EG于点Q，证明△EFA≌△HMN（SAS），得∠EFG＝∠HMN，再证明∠EGM＝∠MHN，然后根据平行线的判定即可得出结论； （3）根据面积法求出△PMN的面积，再由三角形面积公式求出PK的长即可． 【解答】解：（1）如图①，设AC的中点为R，作射线BR交CD于点O， 则点O为所求作的点．理由如下： ∵点R为AC的中点， ∴OA＝OC， ∴△ABO和△CBO等底同高， ∴△ABO和△CBO的面积相等， 即BO平分△ABC的面积． （2）如图②，连接HM交EG于点Q， 则点Q为所求的点．理由如下： 由图②可知，∠EFG＝∠EGM， 在△EFA和△HMN中， ， ∴△EFA≌△HMN（SAS）， ∴∠EFG＝∠HMN， ∴∠EGM＝∠MHN， ∴HQ∥FE； （3）如图③，∵S△PMN＝4×6﹣3×4÷2﹣1×3÷2﹣3×6÷2＝7.5，S△PMNMN•PK， ∴MN•PK＝2×7.5＝15， ∵MN＝5， ∴PK＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及三角形面积等知识，正确作出图形是解题的关键． 14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，EC⊥AC，垂足为C，AE交线段BC于F，D是AC边上一点，连接BD，且BD＝AE． （1）求证：CE＝AD； （2）BD与AE有怎样的位置关系？证明你的结论； （3）当∠CFE＝∠ADB时，求证：BD平分∠ABC． 【分析】（1）根据HL证明Rt△CAE与Rt△ABD全等，进而解答即可； （2）根据全等三角形的性质和角之间的关系解答即可； （3）证出FB＝AB，由等腰三角形的性质可得出结论． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，EC⊥AC， ∴∠ACE＝∠BAD＝90°， 在Rt△ACE和Rt△BAD中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△BAD（HL）， ∴CE＝AD； （2）解：BD⊥AE， 证明：∵△ACE≌△BAD， ∴∠CAE＝∠ABD， ∴∠AOD＝∠BAE+∠ABD＝∠BAE+∠CAE＝∠BAC＝90°， ∴AE⊥BD． （3）证明：∵∠ADB+∠DAE＝∠DAE+∠BAE＝90°， ∴∠ADB＝∠BAE， ∵∠CFE＝∠ADB，∠CFE＝∠AFB， ∴∠AFB＝∠BAE． ∴FB＝AB， ∵BD⊥AE， ∴∠ABD＝∠FBD， 即BD平分∠ABC． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明Rt△ACE≌Rt△BAD是解题的关键． 15．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连接AE、DE、DC． （1）求证：△ABE≌△CBD； （2）若∠CAE＝24°，求∠BDC的度数． 【分析】（1）利用SAS即可证明△ABE≌△CBD； （2）由全等三角形的性质得∠AEB＝∠CDB，再由外角的性质求出∠AEB的度数，即可确定出∠BDC的度数． 【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°， ∴∠CBD＝180°﹣∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝∠CBD， 在△ABE和△CBD中， ， ∴△ABE≌△CBD（SAS）； （2）解：∵AB＝CB，∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝∠ACB＝45°， 由（1）得：△ABE≌△CBD， ∴∠AEB＝∠BDC， ∵∠AEB为△AEC的外角， ∴∠AEB＝∠ACB+∠CAE＝24°+45°＝69°， ∴∠BDC＝69°． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 16．如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想． 【分析】通过延长CF，将DE和BF放在一起，便于寻找等量关系，通过两次三角形全等证明，得出结论． 【解答】猜想：DE+BF＝EF．证明：延长CF，作∠4＝∠1，如图： ∵将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF∠DAB， ∴∠1+∠2＝∠3+∠5，∠2+∠3＝∠1+∠5， ∵∠4＝∠1， ∴∠2+∠3＝∠4+∠5， ∴∠GAF＝∠FAE， 在△AGB和△AED中，， ∴△AGB≌△AED（ASA）， ∴AG＝AE，BG＝DE， 在△AGF和△AEF中，， ∴△AGF≌△AEF（SAS）， ∴GF＝EF， ∴DE+BF＝EF． 证毕． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助角，将DE和BF放在一起，便于数量关系的猜想和证明． 17．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°． （1）当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想； （2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 【分析】（1）延长BD交CE于F，易证△EAC≌△DAB，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，根据∠AEC+∠ACE＝90°，可得∠ABD+∠AEC＝90°，即可解题； （2）延长BD交CE于F，易证∠BAD＝∠EAC，即可证明△EAC≌△DAB，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，根据∠ABC+∠ACB＝90°，可以求得∠CBF+∠BCF＝90°，即可解题． 【解答】证明：（1）延长BD交CE于F， 在△EAC和△DAB中， ， ∴△EAC≌△DAB（SAS）， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE， ∵∠AEC+∠ACE＝90°， ∴∠ABD+∠AEC＝90°， ∴∠BFE＝90°，即EC⊥BD； （2）延长BD交CE于F， ∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠EAC＝90°， ∴∠BAD＝∠EAC， ∵在△EAC和△DAB中， ， ∴△EAC≌△DAB（SAS）， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE， ∵∠ABC+∠ACB＝90°， ∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝90°， ∴∠BFC＝90°，即EC⊥BD． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△EAC≌△DAB是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$