1.3.1 探索三角形全等的条件（知识精讲+易错点拨+十二大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第1章《全等三角形》】 1.3.1 探索三角形全等的条件 （知识精讲+易错点拨+十三大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 3 考点讲练1：用SSS证明三角形全等 4 考点讲练2：用SSS间接证明三角形全等 6 考点讲练3：全等的性质与SSS综合 7 考点讲练4：用SAS证明三角形全等 8 考点讲练5：用SAS间接证明三角形全等 10 考点讲练6：全等的性质与SAS的综合 11 考点讲练7：用ASA（AAS）证明三角形全等 13 考点讲练8：全等的性质与ASA（AAS）的综合 14 考点讲练9：用HL证明全等 16 考点讲练10：全等的性质与HL的综合 18 考点讲练11：添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 19 考点讲练12：灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 21 考点讲练13：结合尺规作图的全等图形（全等三角形的判定综合） 22 中等题真题汇编练 24 培优题真题汇编练 28 新知精讲梳理 知识点01：三角形全等的定义 三角形全等是指两个三角形的形状和大小完全相同，即它们的三边及三角分别对应相等。 知识点02：三角形全等的判定条件 1. 边边边（SSS） 定义：三边分别相等的两个三角形全等。 几何语言：在△ABC和△DEF中，若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则△ABC≌△DEF（SSS）。 2. 边角边（SAS） 定义：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 几何语言：在△ABC和△DEF中，若AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，则△ABC≌△DEF（SAS）。 3. 角边角（ASA） 定义：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 几何语言：在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DE，则△ABC≌△DEF（ASA）。 4. 角角边（AAS） 定义：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。这是ASA的推论。 几何语言：在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，∠C=∠F，BC=EF，则△ABC≌△DEF（AAS）。 5. 直角三角形的特殊判定条件（HL） 定义：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 几何语言：在Rt△ABC和Rt△DEF中，若∠C=∠F=90°，AC=DF，BC=EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。 知识点03：全等三角形的性质 对应边相等：全等三角形的对应边长度相等。 对应角相等：全等三角形的对应角度相等。 周长和面积相等：全等三角形的周长和面积都相等。 对应边上的高、中线、角平分线相等：全等三角形对应边上的高、中线、角平分线也分别相等。 知识点04：应用与拓展 三角形全等的判定条件在几何证明和实际问题中有着广泛的应用。例如，在测量、建筑设计、机械制图等领域，我们可以利用三角形全等的性质进行精确的计算和设计。 此外，为了证明两个三角形全等，我们可能需要添加辅助线来构造全等三角形或利用其他几何性质进行推导。例如，当题目条件中出现角平分线、垂直线、中点等时，我们可以考虑通过构造辅助线来证明三角形全等。 高频易错知识点拨 易错知识点01：忽视隐含条件 在证明三角形全等时，学生往往容易忽视题目中的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角相等、等边加减等边得到等边、等角加减等角等于等角等。这些隐含条件对于判定三角形全等至关重要，但学生可能因为粗心或缺乏经验而忽略它们。 示例：在证明两个三角形全等时，若已知两边相等，且这两边所对的角是公共角，则可以直接利用SAS（边角边）判定三角形全等，而无需再寻找其他条件。但学生可能会忽视这个公共角，导致无法正确判定三角形全等。 易错知识点02：判定条件混淆 三角形全等的判定条件有多种，包括SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）以及直角三角形的HL（斜边、直角边）定理。学生在应用这些条件时，容易混淆它们之间的区别和适用条件。 示例：在证明两个直角三角形全等时，学生可能会错误地认为只要两个直角三角形的两个锐角分别相等，就可以判定它们全等。然而，这实际上只能证明这两个三角形相似，而不能证明它们全等。正确的做法应该是利用HL定理或其他全等判定条件。 易错知识点03：对应边、对应角找不准 在证明三角形全等时，需要准确找出两个三角形的对应边和对应角。然而，学生有时会因为对图形的理解不够深入或粗心大意而找错对应边和对应角。 示例：在已知两个三角形的三边分别相等的情况下，学生需要确保这三对边是对应边，才能正确判定三角形全等。如果找错了对应边，即使三边长度相等，也无法证明两个三角形全等。 易错知识点04：忽视图形的特殊性质 在解决一些特殊图形（如等腰三角形、等边三角形、直角三角形等）的全等问题时，学生容易忽视这些图形的特殊性质。这些特殊性质往往可以作为证明三角形全等的重要依据。 示例：在等腰三角形中，若已知两边相等，则可以直接利用等腰三角形的性质得出两个底角相等。这个性质在证明三角形全等时非常有用，但学生可能会因为忽视它而导致证明过程复杂化或无法正确证明。 易错知识点05：盲目添加条件 在证明三角形全等时，有时需要添加一些条件来完善证明过程。然而，学生可能会盲目地添加条件，导致证明过程变得复杂且不必要，甚至可能引入错误。 示例：在证明两个三角形全等时，如果已经具备了足够的判定条件（如SSS、SAS、ASA、AAS或HL定理中的条件），则无需再添加其他条件。但学生可能会因为对判定条件的理解不够深入而盲目地添加条件，导致证明过程变得冗长且难以理解。 考点讲练1：用SSS证明三角形全等 【精讲题】（22-23八年级上·江苏·周测）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是 ．                   【举一反三练1】（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，，请添加一个条件（不添加任何辅助线），使． 下面是两位同学的思路： 小明：可以添加． 因为要得到，只要证明．而题目已经给出了和公共边，添加可得； 小华：可以添加．思路与小明的相同． (1)根据添加条件，能得出的同学是_______，其得到的依据是_______； (2)请你添加一个不同的条件，并写出得出的思路． 【举一反三练2】（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，，，垂足分别为B、C．，，与交于点F． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，则图中共有______________对全等三角形． 【举一反三练3】（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）  如图，已知，，，在同一条直线上，，，．与交于点G，    (1)求证； (2)若，求的度数． 考点讲练2：用SSS间接证明三角形全等 【精讲题】（21-22八年级上·福建厦门·期中）如图，AB，CD相交于点O，，请你补充一个条件，使得，你补充的条件是 ． 【举一反三练1】（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）如图，点、在线段上，，，，要判定，较为快捷的方法为（  　） A． B． C． D． 【举一反三练2】（22-23八年级上·吉林白城·期中）已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么图中共有 对全等三角形． 【举一反三练3】（21-22八年级上·江苏南通·期中）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF， 求证：△ABC≌△DEF． 考点讲练3：全等的性质与SSS综合 【精讲题】（23-24九年级下·云南·阶段练习）如图，点，在上，，，．求证：．    【举一反三练1】．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24七年级下·广东梅州·阶段练习）如图，用直尺和圆规作一个已知角的等角，在尺规作图时，用到的三角形全等的判定方法是 ．（从，，，中选择） 【举一反三练3】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知E、C是线段上两点，满足，A，D为线段上方两点，连接，满足． (1)求证：； (2)若五边形的面积为10，的面积为4，请直接写出四边形的面积：________． 考点讲练4：用SAS证明三角形全等 【精讲题】（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，将两根钢条的中点连在一起，使可以绕着点自由转动，就做成了一个测量工具，则的长等于内槽的长，那么判定的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【举一反三练1】（22-23八年级上·山东滨州·期中）如图，平分，，的延长线交于点，如果，则的度数为 ． 【举一反三练2】．（23-24七年级下·宁夏银川·阶段练习）已知：如图，．问：与全等吗？请说明理由． 【举一反三练3】．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，点C、E、B、F在一条直线上，，．    (1)求证：． (2)若，求：的长． 考点讲练5：用SAS间接证明三角形全等 【精讲题】（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，，，添加条件 ，可以根据“”得到． 【举一反三练1】．（22-23七年级下·山东济南·期末）在中，是边上的中线，点E在的延长线上且，则的理由是（    ）    A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24八年级上·全国·课后作业）（新课标  开放性题）（1）如图1，点A，F，E，C在同一条直线上，，，，求证：． （2）若将图1中的沿方向平移得到图2、图3，其他条件不变，还成立吗？为什么？（选择一种情况说明理由）    【举一反三练3】（22-23八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，点在一条直线上，且．求证：． 考点讲练6：全等的性质与SAS的综合 【精讲题】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）数学活动课上，小组探究学习的任务是测量如图所示的学校后花园里水池的宽度，即，两点之间的距离．小组交流后，制定了设计方案：①先在地上取一个可以直接到达点，的点；②连接并延长到点，使；③连接，并延长到点，使；④连接，并测量出它的长度，则的长度就是，两点之间的距离．数学原理是和全等．请思考：所用的判定定理是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（2024·重庆沙坪坝·一模）如图，D，E是外两点，连接，有，．连接交于点F，则的度数为 ． 【举一反三练2】（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，点、在上，且．求证：． 【举一反三练3】（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，，，，垂直的延长线于点F． (1)如图1． ①和全等吗？请说明理由； ②求的度数； (2)如图2，延长到点G，使得，连接，请你写出，和之间的数量关系，并说明理由． 考点讲练7：用ASA（AAS）证明三角形全等 【精讲题】（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）小轩用如图所示的方法测量小河的宽度．他利用适当的工具，使，点在同一直线上，就能保证，从而可通过测量的长度得知小河的宽度．在这个问题中，可作为证明的依据的是（    ） A．SAS或SSS B．AAS或SSS C．ASA或AAS D．ASA或SAS 【举一反三练1】（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，为的中点，点为射线上（不与点重合）的任意一点，连接，并使的延长线交射线于点．试说明：． 【举一反三练2】（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，点、在上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【举一反三练3】（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在中，，在的上方作，使，且，与交于点，连接． (1)若平分，求证：． (2)求的度数． 考点讲练8：全等的性质与ASA（AAS）的综合 【精讲题】（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，在中，，，点为上一点，连接．过点作于点，过点作交的延长线于点．若，，则的长度为 ． 【举一反三练1】（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连． (1)求证： (2)若，，，求的度数． 【举一反三练2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，交于点F，求证：． 【举一反三练3】（23-24七年级下·四川成都·期中）在的高、交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，求的度数； (3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 考点讲练9：用HL证明全等 【精讲题】（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在中，，线段两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，当的长为何值时，与全等？ 【举一反三练1】（22-23八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，已知，、在线段上，与交于点，且，．求证：． 【举一反三练2】（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，要用“”判定和全等的条件是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【举一反三练3】（21-22九年级上·浙江温州·期中）如图，，，，与交于点O． (1)求证：． (2)若，求的度数． 考点讲练10：全等的性质与HL的综合 【精讲题】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）已知，在等腰直角三角形中，，，，点D是线段上一点，点D不与点B，点C重合，连接，以为一边作，，，且点E与点D在直线两侧，与交于点H，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，在的延长线上取一点F，当时，求证：． (3)过点A作直线的垂线，垂足为G，当时，直接写出与的面积比． 【举一反三练1】（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，，垂足分别是D、E． (1)求证：； (2)求证：． 【举一反三练2】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：如图，，E、F在上，，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【举一反三练3】（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，，，要根据“HL”证明，则还需要添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 考点讲练11：添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【精讲题】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，四边形中，平分．添加一个条件使．则添加的条件可以是 （答案不唯一，添加一个即可）． 【举一反三练1】（20-21八年级上·山东临沂·阶段练习）在△ABC和△AˊB′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，下面判断中正确的是（   ） A．若添加条件AC=A′C′，则△ABC≌△A′B′C′ B．若添加条件BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′ C．若添加条件∠B=∠B′，则△ABC≌△A′B′C′ D．若添加条件 ∠C=∠C′，则△ABC≌△A′B′C′ 【举一反三练2】（17-18八年级上·全国·阶段练习）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以2厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 　　厘米秒时，能够使与全等． 【举一反三练3】（20-21八年级上·全国·单元测试）如图，点C、F在线段BE上，∠ABC＝∠DEF＝90°，BC＝EF，请只添加一个合适的条件使△ABC≌△DEF． （1）根据“ASA”，需添加的条件是　　；根据“HL”，需添加的条件是　　； （2）请从（1）中选择一种，加以证明． 考点讲练12：灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【精讲题】（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ．    【举一反三练1】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）下列说法中正确的是： ①如果两个三角形全等，则这两个三角形对应边上的中线一定相等； ②如果两个直角三角形有一条边和这条边所对的角对应相等，那么这两个直角三角形全等； ③三角形两条角平分线的交点到这个三角形三边的距离相等； ④如果两个三角形有两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形全等． 其中正确的是 ．（只填序号） 【举一反三练2】（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图， 点、、在一条直线上，， ，求证：. 小虎同学的证明过程如下： 证明：， ，    第一步 又，， ≌，     第二步 ．                 第三步 (1)小虎同学的证明过程中，第 步出现错误； (2)请写出正确的证明过程. 【举一反三练3】（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）操作题，根据下列要求画图，并在图中相应位置标明数据． 已知一个三角形的两边长分别是1cm和2cm，一个内角为．    (1)请你借助图画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在下图面这样的三角形；若不能，请说明理由． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40°，”那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有几个？画出满足条件的图形．（在图上把符合条件的图形用黑色笔画出来） 考点讲练13：结合尺规作图的全等图形（全等三角形的判定综合） 【精讲题】（22-23八年级上·山西·阶段练习）如图和中，，点D、E、F、C在同一直线上，有如下三个关系式：；；．    (1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有正确的命题．（用序号写出命题书写形式，如：如果①、②，那么③） (2)选取（1）中一个正确的命题进行证明． 【举一反三练1】（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图所示，已知△ABC. （1）用直尺和圆规作∠A的平分线和边BC的垂直平分线； （要求：不写作法，但需要保留画图痕迹） （2）设（1）中的和直线交于点P，过点P作PE⊥AB，垂足为点E，过点P作PF⊥AC交AC的延长线于点F.请你探究BE和CF之间的数量关系，并加以证明. 【举一反三练2】（23-24八年级上·江苏镇江·期中）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°． （1）利用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不要求写作法），作一个点P，使得点P到∠ACB两边的距离相等，且PA=PB； （2）利用所学知识得到△ABP是 三角形． 【举一反三练3】（2022·广西崇左·中考真题）如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ） 作法： ①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E； ②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C； ③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线． A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS 中等题真题汇编练 一．选择题 1．（2023秋•丹徒区期中）如图，，添加下列条件，仍不能判定的是　　 A． B． C． D． 2．（2024•邗江区二模）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边、上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与、重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是　　 A． B． C． D． 3．（2022春•吴中区期末）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是　　 A． B． C． D． 4．（2020秋•江阴市校级月考）如图，，要使，还需添加一个条件，那么在①；②；③；④这四个关系中可以选择的是　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 5．（2019秋•东台市月考）已知：如图，在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论： ①；②；③；④． 其中结论正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题 6．（2023秋•秦淮区期末）如图，，要使，还需添加条件：　　．（填写一个你认为正确的即可） 7．（2023秋•邳州市校级期中）如图，是的高，，，，则的度数是 　　． 8．（2021秋•鼓楼区校级月考）如图，已知，，请你添加一个条件（一个即可）　　，使． 9．（2022秋•建湖县校级月考）如图，在中，，，，，是上一点，交于点，当时，则图中阴影部分的面积为 　　． 10．（2023秋•栖霞区校级月考）如图，于点，于点，．若要用“”判定，则需要添加的条件为 　　． 三．解答题 11．（2014秋•仪征市校级月考）已知：如图，，，，垂足分别为、，． 求证： （1）； （2）． 12．（2023秋•丹阳市期末）如图，已知，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 13．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图所示，为延长线上的一点，，， 求证：． 14．（2023秋•姜堰区期末）如图，、相交于点，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 15．（2023秋•金坛区期中）如图，在中，，，，垂足为，交线段于，是边上一点，连接，且． （1）求证：； （2）与有怎样的位置关系？证明你的结论； （3）当时，求证：平分． 培优题真题汇编练 一．选择题 1．（2023秋•浦口区校级月考）如图是嘉淇测量水池宽度的方案，下列说法不正确的是　　 ①先确定直线，过点作； ②在上取，两点，使得△； ③过点作； ④作射线□，交于点； ⑤测量☆的长度，即的长． A．△代表 B．□代表 C．☆代表 D．该方案的依据是 2．（2021秋•玄武区期中）如图，若，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是　　 A． B． C． D． 3．（2022秋•宜兴市月考）如图，正五边形中，为边中点，连接，则的度数是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•吴中区校级月考）如图，在中，，分别为，边上的高，，相交于点，，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有　　 A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 二．填空题 5．（2024春•姑苏区校级月考）如图，点，，，在一条直线上，，，要使，则这个条件可以是 　　． 6．（2016秋•江阴市期中）如图，，，点为射线上的一个动点，分别以，为直角边，为直角顶点，在两侧作等腰、等腰，连接交于点，当点在射线上移动时，则的长度为　 　． 7．（2023秋•建邺区校级月考）如图，点，，，在同一条直线上，，，．若，，则的度数为 　　． 8．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，直线，正方形的三个顶点、、分别在直线、、上，点到直线的距离是3，点到直线的距离是6，则正方形的面积为 　　． 9．（2022秋•东台市校级月考）如图，点在上，，交于点，，，，，则　　． 三．解答题 10．（2018秋•溧水区期末）如图是一个平分角的仪器，其中，，将点放在角的顶点，和沿着角的两边放正，沿画一条射线，就是角平分线，请说明它的道理． 11．（2023秋•姜堰区校级月考）如图，在中，，，为延长线上一点，点在边上，且，连接、、． （1）求证：； （2）若，求的度数． 12．（2023秋•鼓楼区期末）常见的折叠椅如图所示． （1）在点、、处设置螺栓后可以使得椅子牢固，其中的数学道理是 　　； （2）若、相交于点，且是、的中点．求证． 13．（2022秋•江宁区校级月考）如图，已知中，，，，点为的中点． （1）如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． ①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； ②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ （2）若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，则经过多少时间后，点与点第一次在的哪一边上相遇？ 14．（2023秋•海安市期中）如图，在中，，，是上一点，于，于． （1）求证：； （2）若，求证：． 15．（2023秋•启东市校级月考）如图，已知是的中线，、是边上的两点，且恰好是线段的中点，，，连接． （1）求证：； （2）若，，，，画出中边上的高，并求的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第1章《全等三角形》】 1.3.1 探索三角形全等的条件 （知识精讲+易错点拨+十三大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 3 考点讲练1：用SSS证明三角形全等 4 考点讲练2：用SSS间接证明三角形全等 9 考点讲练3：全等的性质与SSS综合 11 考点讲练4：用SAS证明三角形全等 14 考点讲练5：用SAS间接证明三角形全等 17 考点讲练6：全等的性质与SAS的综合 21 考点讲练7：用ASA（AAS）证明三角形全等 25 考点讲练8：全等的性质与ASA（AAS）的综合 29 考点讲练9：用HL证明全等 34 考点讲练10：全等的性质与HL的综合 37 考点讲练11：添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 42 考点讲练12：灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 45 考点讲练13：结合尺规作图的全等图形（全等三角形的判定综合） 50 中等题真题汇编练 54 培优题真题汇编练 64 新知精讲梳理 知识点01：三角形全等的定义 三角形全等是指两个三角形的形状和大小完全相同，即它们的三边及三角分别对应相等。 知识点02：三角形全等的判定条件 1. 边边边（SSS） 定义：三边分别相等的两个三角形全等。 几何语言：在△ABC和△DEF中，若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则△ABC≌△DEF（SSS）。 2. 边角边（SAS） 定义：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 几何语言：在△ABC和△DEF中，若AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，则△ABC≌△DEF（SAS）。 3. 角边角（ASA） 定义：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 几何语言：在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DE，则△ABC≌△DEF（ASA）。 4. 角角边（AAS） 定义：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。这是ASA的推论。 几何语言：在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，∠C=∠F，BC=EF，则△ABC≌△DEF（AAS）。 5. 直角三角形的特殊判定条件（HL） 定义：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 几何语言：在Rt△ABC和Rt△DEF中，若∠C=∠F=90°，AC=DF，BC=EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。 知识点03：全等三角形的性质 对应边相等：全等三角形的对应边长度相等。 对应角相等：全等三角形的对应角度相等。 周长和面积相等：全等三角形的周长和面积都相等。 对应边上的高、中线、角平分线相等：全等三角形对应边上的高、中线、角平分线也分别相等。 知识点04：应用与拓展 三角形全等的判定条件在几何证明和实际问题中有着广泛的应用。例如，在测量、建筑设计、机械制图等领域，我们可以利用三角形全等的性质进行精确的计算和设计。 此外，为了证明两个三角形全等，我们可能需要添加辅助线来构造全等三角形或利用其他几何性质进行推导。例如，当题目条件中出现角平分线、垂直线、中点等时，我们可以考虑通过构造辅助线来证明三角形全等。 高频易错知识点拨 易错知识点01：忽视隐含条件 在证明三角形全等时，学生往往容易忽视题目中的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角相等、等边加减等边得到等边、等角加减等角等于等角等。这些隐含条件对于判定三角形全等至关重要，但学生可能因为粗心或缺乏经验而忽略它们。 示例：在证明两个三角形全等时，若已知两边相等，且这两边所对的角是公共角，则可以直接利用SAS（边角边）判定三角形全等，而无需再寻找其他条件。但学生可能会忽视这个公共角，导致无法正确判定三角形全等。 易错知识点02：判定条件混淆 三角形全等的判定条件有多种，包括SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）以及直角三角形的HL（斜边、直角边）定理。学生在应用这些条件时，容易混淆它们之间的区别和适用条件。 示例：在证明两个直角三角形全等时，学生可能会错误地认为只要两个直角三角形的两个锐角分别相等，就可以判定它们全等。然而，这实际上只能证明这两个三角形相似，而不能证明它们全等。正确的做法应该是利用HL定理或其他全等判定条件。 易错知识点03：对应边、对应角找不准 在证明三角形全等时，需要准确找出两个三角形的对应边和对应角。然而，学生有时会因为对图形的理解不够深入或粗心大意而找错对应边和对应角。 示例：在已知两个三角形的三边分别相等的情况下，学生需要确保这三对边是对应边，才能正确判定三角形全等。如果找错了对应边，即使三边长度相等，也无法证明两个三角形全等。 易错知识点04：忽视图形的特殊性质 在解决一些特殊图形（如等腰三角形、等边三角形、直角三角形等）的全等问题时，学生容易忽视这些图形的特殊性质。这些特殊性质往往可以作为证明三角形全等的重要依据。 示例：在等腰三角形中，若已知两边相等，则可以直接利用等腰三角形的性质得出两个底角相等。这个性质在证明三角形全等时非常有用，但学生可能会因为忽视它而导致证明过程复杂化或无法正确证明。 易错知识点05：盲目添加条件 在证明三角形全等时，有时需要添加一些条件来完善证明过程。然而，学生可能会盲目地添加条件，导致证明过程变得复杂且不必要，甚至可能引入错误。 示例：在证明两个三角形全等时，如果已经具备了足够的判定条件（如SSS、SAS、ASA、AAS或HL定理中的条件），则无需再添加其他条件。但学生可能会因为对判定条件的理解不够深入而盲目地添加条件，导致证明过程变得冗长且难以理解。 考点讲练1：用SSS证明三角形全等 【精讲题】（22-23八年级上·江苏·周测）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是 ．                   【答案】 【思路点拨】由“SSS”可证△ABC≌△ADC，可得∠BAC=∠DAC，可证AE就是∠PRQ的平分线，即可求解． 【规范解答】解：在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC=∠DAC， ∴AE就是∠PRQ的平分线， 故答案为：SSS． 【考点评析】本题考查了全等三角形判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键． 【举一反三练1】（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，，请添加一个条件（不添加任何辅助线），使． 下面是两位同学的思路： 小明：可以添加． 因为要得到，只要证明．而题目已经给出了和公共边，添加可得； 小华：可以添加．思路与小明的相同． (1)根据添加条件，能得出的同学是_______，其得到的依据是_______； (2)请你添加一个不同的条件，并写出得出的思路． 【答案】(1)小明， (2)添加的条件：，证明见解析 【思路点拨】（1）根据全等三角形的判定定理求解即可； （2）添加条件，然后证明出，进而可得到． 【规范解答】（1）小明：添加 在和中 ∴ ∴ ∴添加小明的条件可以证明； 小华： ∵，， ∴得到的条件是 ∴无法证明 ∴无法证明出 综上所述，根据添加条件，能得出的同学是小明，其得到的依据是； （2）添加的条件： 在和中 ∴ ∴． 【考点评析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定定理． 【举一反三练2】（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，，，垂足分别为B、C．，，与交于点F． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，则图中共有______________对全等三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)5 【思路点拨】（1）根据HL证明与全等，利用全等三角形的性质解答即可； （2）利用HL证明与全等，进而得出，利用证明 与全等后解答即可； （3）再证明，，结合前面（1） （2），从而可得答案． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴ 在与中 ∴ ∴； （2）∵ ∴， 在与中 ∴， ∴， ∴， 在与中 ∴， ∴； （3）根据 可得， 由， 可得， ∴全等三角形有，，，，， 故答案为：5． 【考点评析】本题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题． 【举一反三练3】（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）  如图，已知，，，在同一条直线上，，，．与交于点G，    (1)求证； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）由，可得，证明即可； （2）如图，由（1）知，，则，，，由三角形内角和定理可得，进而可求的度数． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴，即， ∵，，， ∴； （2）解：如图，    由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 考点讲练2：用SSS间接证明三角形全等 【精讲题】（21-22八年级上·福建厦门·期中）如图，AB，CD相交于点O，，请你补充一个条件，使得，你补充的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】在与中，已经有条件： 所以补充可以利用证明两个三角形全等. 【规范解答】解：在与中， 所以补充： 故答案为： 【考点评析】本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用边边边公理证明两个三角形全等”是解本题的关键. 【举一反三练1】（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）如图，点、在线段上，，，，要判定，较为快捷的方法为（  　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了三角形全等的判定，得到是解题的关键．由推出，再根据，，三边对应相等，即可求解． 【规范解答】，, ， ，， ． 故选：A． 【举一反三练2】（22-23八年级上·吉林白城·期中）已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么图中共有 对全等三角形． 【答案】3 【思路点拨】由已知条件，结合图形可得△ADB≌△ACB，△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO共3对．找寻时要由易到难，逐个验证． 【规范解答】解：∵AD=AC，BD=BC，AB=AB， ∴△ADB≌△ACB； ∴∠CAO=∠DAO，∠CBO=∠DBO， ∵AD=AC，BD=BC，OA=OA，OB=OB ∴△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO． ∴图中共有3对全等三角形． 故答案为3． 【举一反三练3】（21-22八年级上·江苏南通·期中）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF， 求证：△ABC≌△DEF． 【答案】证明见解析 【思路点拨】首先根据AF=DC，可推得AF﹣CF=DC﹣CF，即AC=DF；再根据已知AB=DE，BC=EF，根据全等三角形全等的判定定理SSS即可证明△ABC≌△DEF． 【规范解答】∵AF=DC， ∴AF﹣CF=DC﹣CF，即AC=DF； 在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF（SSS） 考点讲练3：全等的性质与SSS综合 【精讲题】（23-24九年级下·云南·阶段练习）如图，点，在上，，，．求证：．    【答案】见解析 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，先证明，进而证明，即可推出． 【规范解答】证明：， ， ， 在和中， ， ， ． 【举一反三练1】．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要查了全等三角形的判定和性质：根据题意可得，再证明，可得，进而即可求解 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【举一反三练2】（23-24七年级下·广东梅州·阶段练习）如图，用直尺和圆规作一个已知角的等角，在尺规作图时，用到的三角形全等的判定方法是 ．（从，，，中选择） 【答案】 【思路点拨】本题考查三角形全等的判定和性质和基本作图，熟练掌握三角形全等的判定和性质，以及基本作图是解题的关键．从作图可知，，，根据证，根据全等三角形的对应角相等推出即可． 【规范解答】解：连接，， 从作图可知，，， ， ， ， 故答案为：． 【举一反三练3】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知E、C是线段上两点，满足，A，D为线段上方两点，连接，满足． (1)求证：； (2)若五边形的面积为10，的面积为4，请直接写出四边形的面积：________． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【思路点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质． （1）利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，利用五边形ABFDG的面积，求出，再根据四边形的面积求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵五边形的面积， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：3． 考点讲练4：用SAS证明三角形全等 【精讲题】（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，将两根钢条的中点连在一起，使可以绕着点自由转动，就做成了一个测量工具，则的长等于内槽的长，那么判定的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【思路点拨】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等是关键．因为是用两钢条中点连在一起做成一个测量工件，可求出两边分别对应相等，再加上对顶角相等，可判断出两个三角形全等，且用的是． 【规范解答】解：两钢条中点连在一起做成一个测量工件， ，， ， ． 所以的长等于内槽宽， 用的是的判定定理． 故选：A 【举一反三练1】（22-23八年级上·山东滨州·期中）如图，平分，，的延长线交于点，如果，则的度数为 ． 【答案】/84度 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质及判定，角平分线的性质，灵活运用全等三角形的性质及判定是解题的关键． 利用全等三角形的判定方法证出，再通过角的等量代换求解即可． 【规范解答】解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【举一反三练2】．（23-24七年级下·宁夏银川·阶段练习）已知：如图，．问：与全等吗？请说明理由． 【答案】与全等，理由见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 由题意知，．证明即可． 【规范解答】解：与全等．理由如下； ∵， ∴，即． ∵，， ∴． 【举一反三练3】．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，点C、E、B、F在一条直线上，，．    (1)求证：． (2)若，求：的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质． （1）根据，得到，由，利用即可证明，根据即可得出结论； （2）由（1）知，根据即可得出结果． 【规范解答】（1）证明：， ， 在与中，， ， ， ， ； （2）解：由（1）知， ， ． 考点讲练5：用SAS间接证明三角形全等 【精讲题】（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，，，添加条件 ，可以根据“”得到． 【答案】 【思路点拨】此题考查了添加条件证明两个三角形全等，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键，根据两直线平行内错角相等推出，结合已知条件，若根据“”得到，则应添加的条件为． 【规范解答】解：∵， ∴， 若，则 在和中 ∴， 故答案为：． 【举一反三练1】．（22-23七年级下·山东济南·期末）在中，是边上的中线，点E在的延长线上且，则的理由是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】由是边上的中线，得，又，，由判定，即可得到答案. 【规范解答】解：∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 由判定， 故选：A. 【考点评析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法. 【举一反三练2】（23-24八年级上·全国·课后作业）（新课标  开放性题）（1）如图1，点A，F，E，C在同一条直线上，，，，求证：． （2）若将图1中的沿方向平移得到图2、图3，其他条件不变，还成立吗？为什么？（选择一种情况说明理由）    【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析 【思路点拨】（1）由可得，于是；由平行线的性质可得，再根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明； （2）如图3，由可得，于是；由两直线平行内错角相等可得，于是可得两角的补角，再根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明； 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴； （2）解：仍成立． 理由如下（如题图3）： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴； 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，线段的和差，掌握全等三角形“边角边”的判定条件是解题关键． 【举一反三练3】（22-23八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，点在一条直线上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【思路点拨】由可得出，由，利用“两直线平行，内错角相等”可得出，结合，即可证出． 【规范解答】证明：∵，点在一条直线上， ∴， 即． ∵， ∴． 在和中， ∴． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定，牢记“两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等”是解题的关键． 考点讲练6：全等的性质与SAS的综合 【精讲题】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）数学活动课上，小组探究学习的任务是测量如图所示的学校后花园里水池的宽度，即，两点之间的距离．小组交流后，制定了设计方案：①先在地上取一个可以直接到达点，的点；②连接并延长到点，使；③连接，并延长到点，使；④连接，并测量出它的长度，则的长度就是，两点之间的距离．数学原理是和全等．请思考：所用的判定定理是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定，根据题意知，，，可用证明两三角形全等． 【规范解答】解：由题意知，， 在和中， ， ． 故选：C 【举一反三练1】（2024·重庆沙坪坝·一模）如图，D，E是外两点，连接，有，．连接交于点F，则的度数为 ． 【答案】/140度 【思路点拨】设交于点，由已知，推出 ，证明，得，可求得，则，即可得到结论；此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． 【规范解答】解：设交于点， 在和中， ， ， 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，点、在上，且．求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定，根据平行线的性质得出，进而即可证明． 【规范解答】证明：∵ ∴ 在中， ∴． 【举一反三练3】（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，，，，垂直的延长线于点F． (1)如图1． ①和全等吗？请说明理由； ②求的度数； (2)如图2，延长到点G，使得，连接，请你写出，和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①和全等，理由见解析；②； (2)，理由见解析． 【思路点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识，证明是解题的关键． （1）①由可证； ②由等腰直角三角形的性质可得，由全等三角形的性质可得，即可求解； （2）由全等三角形的性质可得，，由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可得，，由可证，可得，可得结论． 【规范解答】（1）解：①，理由如下： ， ， 在和中， ， ； （2）②，， ， ， ， ， ， ； （2）解：． 理由：， ，， ， ，， ， ，， 又， ， ， ． 考点讲练7：用ASA（AAS）证明三角形全等 【精讲题】（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）小轩用如图所示的方法测量小河的宽度．他利用适当的工具，使，点在同一直线上，就能保证，从而可通过测量的长度得知小河的宽度．在这个问题中，可作为证明的依据的是（    ） A．SAS或SSS B．AAS或SSS C．ASA或AAS D．ASA或SAS 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法求解即可． 【规范解答】根据题意可知． ∵， ∴，． 方法一： 在和中 ∴． 方法二： 在和中 ∴． 故选：C 【举一反三练1】（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，为的中点，点为射线上（不与点重合）的任意一点，连接，并使的延长线交射线于点．试说明：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查了利用证明三角形全等，由P为的中点，可得，再由对顶角相等可得出，结合已知条件可得出． 【规范解答】解为的中点， ． 又， 【举一反三练2】（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，点、在上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)∠D的度数是 【思路点拨】（1）由，推导出，由，证明，即可根据“”证明； （2）由，，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”得，，求得． 此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出，，进而证明是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：，， ， ，， ， ， 的度数是． 【举一反三练3】（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在中，，在的上方作，使，且，与交于点，连接． (1)若平分，求证：． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质即角平分线性质， （1）延长，交于点，由题意得，有，由垂直得，证得，有即可证明结论； （2）过点分别作于点，于点，有，得到，可得，即可求得角度． 【规范解答】（1）证明：延长，交于点，如图， ，，， ， ， ． ，， ． ，， ， ， ． （2）解：过点分别作于点，于点，如图， ． ，， ， ， ∵， ∴， ． 考点讲练8：全等的性质与ASA（AAS）的综合 【精讲题】（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，在中，，，点为上一点，连接．过点作于点，过点作交的延长线于点．若，，则的长度为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，先证明，根据全等三角形的性质可得，，进一步可得的长． 【规范解答】，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 【举一反三练1】（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连． (1)求证： (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． （1）利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可； （2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出，根据，结合角的和差关系即可得答案． 【规范解答】（1）证明：∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【举一反三练2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，交于点F，求证：． 【答案】证明见解析 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，垂线的定义，先由垂线的定义得到，再由三角形内角和定理证明，进而证明，即可证明． 【规范解答】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【举一反三练3】（23-24七年级下·四川成都·期中）在的高、交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，求的度数； (3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【思路点拨】（1）根据直角三角形的两个锐角互余及等角的余角相等即可得出结论； （2）证和全等得，从而得为等腰直角三角形，进而可得的度数； （3）在上截取，连接，先证和全等得，，再证，进而可依据“”判定和全等，从而得，由此可得线段、、的数量关系． 此题主要考查了三角形的高，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，理解三角形的高，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线，构造全等三角形． 【规范解答】（1）证明：的高、交于点，如图1所示： ，， ，， ， （2）解：在和中， ， ， ， 为等腰直角三角形， ； （3）解：、、的数量关系是：，证明如下： 在上截取，连接，如图2所示： 是的高，， ，， 在和中， ， ， ，， 由（2）可知：，即， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ． 考点讲练9：用HL证明全等 【精讲题】（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在中，，线段两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，当的长为何值时，与全等？ 【答案】当的长为5或10时，和全等 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定，分和两种情况，进行讨论求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 当时： ∵，， ∴； 当时： ∵，， ∴； 综上：当的长为5或10时，和全等． 【举一反三练1】（22-23八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，已知，、在线段上，与交于点，且，．求证：． 【答案】见解析． 【思路点拨】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由推出，利用进行判定． 【规范解答】证明：， ，即， ， 与都为直角三角形， 在和中， ． 【举一反三练2】（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，要用“”判定和全等的条件是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【思路点拨】根据直角三角形全等的判定方法对各个选项进行一一判断，即可得出答案． 【规范解答】解：A、在和中，，，，由“”可判定，故本选项不符合题意； B、在和中，，，，由“”可判定，故本选项不符合题意； C、在和中，，，由“”可判定，故本选项符合题意； D、在和中，，，，由“”可判定，故本选项不符合题意； 故选：C． 【考点评析】此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，难度不大，是一道基础题． 【举一反三练3】（21-22九年级上·浙江温州·期中）如图，，，，与交于点O． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)60° 【思路点拨】（1）直接利用证明即可； （2）首先根据三角形内角和定理和全等三角形的性质求出，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【规范解答】（1）证明：在和中， ∴； （2）解：∵，， ∴ ∵ ∴． 【考点评析】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 考点讲练10：全等的性质与HL的综合 【精讲题】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）已知，在等腰直角三角形中，，，，点D是线段上一点，点D不与点B，点C重合，连接，以为一边作，，，且点E与点D在直线两侧，与交于点H，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，在的延长线上取一点F，当时，求证：． (3)过点A作直线的垂线，垂足为G，当时，直接写出与的面积比． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)或 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，涉及、以及等判定方法， （1）利用“”证明即可作答； （2）结合（1）的结论，再利用“”证明即可作答； （3）分类讨论，第一种情况：点G在点E的下方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，先证明，即有，，同理可证明：，再证明，可得，问题即可作答；第二种情况：点G在点E的上方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，按照第一种情况作答即可． 【规范解答】（1）∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （2）∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴； （3）分类讨论： 第一种情况：点G在点E的下方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，如图， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 同理可证明：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴； 第二种情况：点G在点E的上方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，如图， 同理可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：与的面积比为 或者． 【举一反三练1】（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，，垂足分别是D、E． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，证明是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）由全等三角形的性质得到，证明，则，即可证明结论． 【规范解答】（1）证明∵， ∴， ∴在和中， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【举一反三练2】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：如图，，E、F在上，，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【思路点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，以及平行的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）由题意得到和是直角三角形，再由证明全等即可； （2）由全等的性质得到，即可证明结论． 【规范解答】（1）证明：， ， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ． 【举一反三练3】（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，，，要根据“HL”证明，则还需要添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定定理．根据垂直定义求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可． 【规范解答】解：还需要添加的条件是， 理由是：，， ， 在和中， ， ， 故选：D． 考点讲练11：添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【精讲题】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，四边形中，平分．添加一个条件使．则添加的条件可以是 （答案不唯一，添加一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定，根据题意可以得到，，然后根据全等三角形的判定方法写出添加的条件即可，注意本题答案不唯一． 【规范解答】解：∵平分， ∴ ∵， 若添加，则； 若添加，则； 故答案为：． 【举一反三练1】（20-21八年级上·山东临沂·阶段练习）在△ABC和△AˊB′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，下面判断中正确的是（   ） A．若添加条件AC=A′C′，则△ABC≌△A′B′C′ B．若添加条件BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′ C．若添加条件∠B=∠B′，则△ABC≌△A′B′C′ D．若添加条件 ∠C=∠C′，则△ABC≌△A′B′C′ 【答案】ACD 【思路点拨】已知两个三角形的一组角和角的一组边相等，可添加已知角的另一组边相等，利用SAS判定三角形全等，也可以添加另外两个角中任意一组角相等，利用AAS或ASA判定三角形全等． 【规范解答】解：A选项，添加条件AC=A′C′，可利用SAS判定则△ABC≌△A′B′C′，选项正确，符合题意； B选项，添加条件BC=B′C′，不能判定两个三角形全等，选项不正确； C选项，添加条件∠B=∠B′，可利用ASA判定△ABC≌△A′B′C′，选项正确，符合题意； D选项，添加条件∠C=∠C′，可利用AAS判定△ABC≌△A′B′C′， 选项正确，符合题意； 故选ACD 【考点评析】本题主要考查全等三角形的判定定理，解决本题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定定理． 【举一反三练2】（17-18八年级上·全国·阶段练习）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以2厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 　　厘米秒时，能够使与全等． 【答案】2或3 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定，解一元一次方程等知识，分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度，利用分类讨论思想，由分类情况列方程解决问题是本题的关键． 【规范解答】解：设点运动的时间为秒，则，， ， 当，时，与全等，此时，，解得， ， 此时，点的运动速度为（厘米秒）， 当，时，与全等，此时，，解得， 点的运动速度为（厘米秒）， 故答案为：2或3． 【举一反三练3】（20-21八年级上·全国·单元测试）如图，点C、F在线段BE上，∠ABC＝∠DEF＝90°，BC＝EF，请只添加一个合适的条件使△ABC≌△DEF． （1）根据“ASA”，需添加的条件是　　；根据“HL”，需添加的条件是　　； （2）请从（1）中选择一种，加以证明． 【答案】（1）∠ACB＝∠DFE，AC＝DF；（2）选择添加条件AC＝DE，证明见解析． 【思路点拨】（1）根据题意添加条件即可； （2）选择添加条件AC＝DE，根据“HL”证明即可． 【规范解答】（1）根据“ASA”，需添加的条件是∠ACB＝∠DFE，根据“HL”，需添加的条件是AC＝DF， 故答案为：∠ACB＝∠DFE，AC＝DF； （2）选择添加条件AC＝DE证明， 证明：∵∠ABC＝∠DEF＝90°， ∴在Rt△ABC和Rt△DEF中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题关键，证明三角形全等时注意条件的对应． 考点讲练12：灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【精讲题】（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ．    【答案】或 【思路点拨】先找出点D的位置，再画出符合的所有情况即可． 【规范解答】解：过B作于D，    ∵点B到射线的距离为d， ∴， ①如图，    当C点和D点重合时，，此时是一个直角三角形； ②如图，    当时，此时C点的位置有两个，即有两个； ③如图，    当时，此时是一个三角形； 所以x的范围是或， 故答案为：或． 【考点评析】本题考查了考查全等三角形的判定，点到直线的距离等知识点，注意：能求出符合的所有情况是解此题的关键． 【举一反三练1】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）下列说法中正确的是： ①如果两个三角形全等，则这两个三角形对应边上的中线一定相等； ②如果两个直角三角形有一条边和这条边所对的角对应相等，那么这两个直角三角形全等； ③三角形两条角平分线的交点到这个三角形三边的距离相等； ④如果两个三角形有两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形全等． 其中正确的是 ．（只填序号） 【答案】①③ 【思路点拨】此题考查了直角三角形全等的判定，全等三角形的性质，熟记直角三角形全等的判定，全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的判定与性质求解即可； 【规范解答】解：①如果两个三角形全等，则这两个三角形对应边上的中线一定相等，故符合题意， ②如果两个直角三角形有一条直角边和这条边所对的角对应相等，那么这两个直角三角形全等，故不符合题意； ③三角形两条角平分线的交点到这个三角形三边的距离相等，故符合题意； ④如果两个三角形有两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形不一定全等，故不符合题意． 故答案为：①③． 【举一反三练2】（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图， 点、、在一条直线上，， ，求证：. 小虎同学的证明过程如下： 证明：， ，    第一步 又，， ≌，     第二步 ．                 第三步 (1)小虎同学的证明过程中，第 步出现错误； (2)请写出正确的证明过程. 【答案】(1)二 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． （1）根据三角形全等的判定定理求解即可； （2）过点分别作交的延长线于点，交的延长线于点，利用证明≌，根据全等三角形的性质得出，利用证明≌，从而得出． 【规范解答】（1）小虎同学的证明过程中，第二步出现错误， 故答案为：二； （2）证明：如图：过点分别作交的延长线于点，交的延长线于点， ，，， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， 在和中， ， ≌， ． 【举一反三练3】（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）操作题，根据下列要求画图，并在图中相应位置标明数据． 已知一个三角形的两边长分别是1cm和2cm，一个内角为．    (1)请你借助图画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在下图面这样的三角形；若不能，请说明理由． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40°，”那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有几个？画出满足条件的图形．（在图上把符合条件的图形用黑色笔画出来） 【答案】(1)见解析 (2)可以，见解析 (3)4个，见解析 【思路点拨】（1）根据题意画图，让内角的两边为1cm和2cm； （2）根据题意画图，让内角的一边为1cm，对边为2cm； （3）根据题意画图，让内角的两边分别为3cm，4cm；让内角的一边分别为3cm，对边为4cm；让内角的一边分别为4cm，对边为3cm，为锐角三角形；让内角的一边分别为4cm，对边为3cm，为钝角三角形； 【规范解答】（1）解：如图①，    （2）解：如图②，    （3）解：彼此不全等的三角形共有4个，      【考点评析】本题考查全等三角形，理解全等三角形四种判定方法中的边角组和方式是解题的关键． 考点讲练13：结合尺规作图的全等图形（全等三角形的判定综合） 【精讲题】（22-23八年级上·山西·阶段练习）如图和中，，点D、E、F、C在同一直线上，有如下三个关系式：；；．    (1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有正确的命题．（用序号写出命题书写形式，如：如果①、②，那么③） (2)选取（1）中一个正确的命题进行证明． 【答案】(1)正确的命题：如果①，③，那么②；如果②，③，那么① (2)见详解 【思路点拨】（1）根据全等三角形的判定方法来判断即可作答； （2）根据全等三角形的判定与性质，即可证明． 【规范解答】（1）正确的命题：如果①，③，那么②；如果②，③，那么①， （2）如果①，③，那么②， 证明如下：∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， 即． 如果②，③，那么①，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴ ∴． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的常用的判定方法有，，，、等． 【举一反三练1】（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图所示，已知△ABC. （1）用直尺和圆规作∠A的平分线和边BC的垂直平分线； （要求：不写作法，但需要保留画图痕迹） （2）设（1）中的和直线交于点P，过点P作PE⊥AB，垂足为点E，过点P作PF⊥AC交AC的延长线于点F.请你探究BE和CF之间的数量关系，并加以证明. 【答案】（1）见解析 （2）BE=CF. 【思路点拨】（1）以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AB、AC相交，再以这两点为圆心，以大于它们长度的为半径画弧，两弧相交于一点，过点A与交点作射线即为∠A的平分线；分别以点B、C为圆心，以大于BC长度为半径画弧，在BC的两边分别相交于一点，过这两点作直线即为BC的垂直平分线； （2）结论BE=CF．利用全等三角形的性质即可证明. 【规范解答】解：（1） （2）BE=CF.         连接PB和PC        ∵AP平分∠CAB，PE⊥AB，PF⊥AC ∴PE=PF.              ∵l2垂直平分BC边, ∴PC=PB.            由HL证明△PFC≌△PEB ∴BE=CF. 【考点评析】本题考查了作图—复杂作图与线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握作图与线段垂直平分线的性质. 【举一反三练2】（23-24八年级上·江苏镇江·期中）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°． （1）利用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不要求写作法），作一个点P，使得点P到∠ACB两边的距离相等，且PA=PB； （2）利用所学知识得到△ABP是 三角形． 【答案】（1）详见解析；（2）△APB是等腰直角三角形． 【规范解答】试题分析：（1）作∠ACB的平分线及线段AB的垂直平分线，这两条线的交点就是所要求作的点P ；（2）作PE⊥BC于E，PM⊥CA交CA的延长线于M，即可得PE=PM，可证得四边形MECP是矩形，利用HL证明Rt△AMP≌Rt△PEB,根据全等三角形的性质可得∠MPA=∠EPB,即可证明∠APB=90°,所以△APB是等腰直角三角形． 试题解析：解：（1）如图所示： （2）△APB是等腰直角三角形． 考点：作图——角平分线、垂直平分线；三角形全等的判定及性质． 【举一反三练3】（2022·广西崇左·中考真题）如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ） 作法： ①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E； ②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C； ③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线． A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS 【答案】C 【规范解答】试题分析：如图，连接EC、DC． 根据作图的过程知， 在△EOC与△DOC中， ， △EOC≌△DOC（SSS）． 故选C． 考点：1.全等三角形的判定；2.作图—基本作图． 中等题真题汇编练 一．选择题 1．（2023秋•丹徒区期中）如图，，添加下列条件，仍不能判定的是　　 A． B． C． D． 解：，， 当添加时，； 当添加时，不能判断； 当添加时，； 当添加时，． 故选：． 2．（2024•邗江区二模）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边、上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与、重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是　　 A． B． C． D． 解：做法中用到的三角形全等的判定方法是 证明如下： 由题意得，， 在和中， ， 所以 故为的平分线． 故选：． 3．（2022春•吴中区期末）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是　　 A． B． C． D． 解：画一个三角形，使，，， 符合全等三角形的判定定理， 故选：． 4．（2020秋•江阴市校级月考）如图，，要使，还需添加一个条件，那么在①；②；③；④这四个关系中可以选择的是　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 解：①，，， 根据不能推出，故错误； ②根据，，能推出，故正确； ③，，， 根据能推出，故正确； ④，，， 根据能推出，故正确； 故选：． 5．（2019秋•东台市月考）已知：如图，在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论： ①；②；③；④． 其中结论正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 解：①， ，即， 在和中，， ， ，本选项正确； ②为等腰直角三角形， ， ， ， ， ，本选项正确； ③， ， ， 则，本选项正确； ④， ，故此选项正确， 故选：． 二．填空题 6．（2023秋•秦淮区期末）如图，，要使，还需添加条件：　　．（填写一个你认为正确的即可） 解：由已知可得， ，， 若添加条件，则； 若添加条件，则； 若添加条件，则； 故答案为：． 7．（2023秋•邳州市校级期中）如图，是的高，，，，则的度数是 　　． 解：是的高， ， 在和中， ， ， ， 是的高，， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（2021秋•鼓楼区校级月考）如图，已知，，请你添加一个条件（一个即可）　或或或　，使． 解：，， 当添加，可根据“”判定； 当添加，可根据“”判定； 当添加或，可根据“”判定． 故答案为：或或或． 9．（2022秋•建湖县校级月考）如图，在中，，，，，是上一点，交于点，当时，则图中阴影部分的面积为 　24　． 解：， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， 图中阴影部分面积 ， 故答案为：24． 10．（2023秋•栖霞区校级月考）如图，于点，于点，．若要用“”判定，则需要添加的条件为 　　． 解：添加的条件为， ， ， 于点，于点， ， 在和中， ， ． 故答案为：． 三．解答题 11．（2014秋•仪征市校级月考）已知：如图，，，，垂足分别为、，． 求证： （1）； （2）． 证明：（1）， ，即， 在和中， ， ， ； （2）， ， ． 12．（2023秋•丹阳市期末）如图，已知，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． （1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ． 13．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图所示，为延长线上的一点，，， 求证：． 证明：，， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ． 14．（2023秋•姜堰区期末）如图，、相交于点，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． （1）证明：在和中， ， ． （2）解：， ，， ， ， ， ， ， ， 的长为8． 15．（2023秋•金坛区期中）如图，在中，，，，垂足为，交线段于，是边上一点，连接，且． （1）求证：； （2）与有怎样的位置关系？证明你的结论； （3）当时，求证：平分． （1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， 证明：， ， ， ． （3）证明：， ， ，， ． ， ， ， 即平分． 培优题真题汇编练 一．选择题 1．（2023秋•浦口区校级月考）如图是嘉淇测量水池宽度的方案，下列说法不正确的是　　 ①先确定直线，过点作； ②在上取，两点，使得△； ③过点作； ④作射线□，交于点； ⑤测量☆的长度，即的长． A．△代表 B．□代表 C．☆代表 D．该方案的依据是 解：①先确定直线，过点作； ②在上取、两点，使得； 故选项正确； ③过点作； ④作射线，交于点； 故选项正确； ⑤测量的长度，即的长； 故选项正确； ，， ． ，， ． ． 该方案的依据是； 故选项错误； 故选：． 2．（2021秋•玄武区期中）如图，若，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是　　 A． B． C． D． 解：、根据，，能推出，正确，故本选项错误； 、根据，，能推出，正确，故本选项错误； 、两边和一角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项正确； 、根据，，能推出，正确，故本选项错误； 故选：． 3．（2022秋•宜兴市月考）如图，正五边形中，为边中点，连接，则的度数是　　 A． B． C． D． 解：如图，连接，， 正五边形中， ，， 在与中， ， ， ，， ， ， ， 故选：． 4．（2023秋•吴中区校级月考）如图，在中，，分别为，边上的高，，相交于点，，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有　　 A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 解：如图，延长交于， ，分别为，边上的高， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，故①正确； ， ， ， ，故②错误； ，， ， ，故③正确； ，， ， ， ， 垂直平分， ，， 的周长 ，故④正确． 正确的有①③④． 故选：． 二．填空题 5．（2024春•姑苏区校级月考）如图，点，，，在一条直线上，，，要使，则这个条件可以是 　（答案不唯一）　． 解：， ， ， ， 添加， ； 添加， ； 添加或， ； 故答案为：（答案不唯一）． 6．（2016秋•江阴市期中）如图，，，点为射线上的一个动点，分别以，为直角边，为直角顶点，在两侧作等腰、等腰，连接交于点，当点在射线上移动时，则的长度为　2　． 解：如图，过点作，垂足为点， ， ， ， 、均为等腰直角三角形， ，； 在与中， ， ，； ， ， 在与中， ， ， ；而， ， 故答案为：2． 7．（2023秋•建邺区校级月考）如图，点，，，在同一条直线上，，，．若，，则的度数为 　110　． 解：， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：110． 8．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，直线，正方形的三个顶点、、分别在直线、、上，点到直线的距离是3，点到直线的距离是6，则正方形的面积为 　45　． 解：过点作于点，过点作于点， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：45． 9．（2022秋•东台市校级月考）如图，点在上，，交于点，，，，，则　7　． 解：， 又，， ， ， ，， ． 故答案为：7． 三．解答题 10．（2018秋•溧水区期末）如图是一个平分角的仪器，其中，，将点放在角的顶点，和沿着角的两边放正，沿画一条射线，就是角平分线，请说明它的道理． 解：与中， ，，， ， ． 即平分． 不论是大还是小，始终有平分． 11．（2023秋•姜堰区校级月考）如图，在中，，，为延长线上一点，点在边上，且，连接、、． （1）求证：； （2）若，求的度数． （1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，， ， 由（1）得：， ， 为的外角， ， ． 12．（2023秋•鼓楼区期末）常见的折叠椅如图所示． （1）在点、、处设置螺栓后可以使得椅子牢固，其中的数学道理是 　三角形的稳定性　； （2）若、相交于点，且是、的中点．求证． （1）解：根据题意可知：其中的数学道理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性； （2）证明：是、的中点， ，， 在和中， ， ， ． 13．（2022秋•江宁区校级月考）如图，已知中，，，，点为的中点． （1）如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． ①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； ②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ （2）若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，则经过多少时间后，点与点第一次在的哪一边上相遇？ 解：（1）设运动的时间为，则， ①， 理由：点的运动速度与点的运动速度相等， ， 当时，， ，，，点为的中点， ，， 在和中， ， ． ②点的运动速度与点的运动速度不相等， ， 设点的速度为， ， ，且， ， ， ， 在和中， ， ， 当点的运动速度为时，． （2）设经过点与点第一次相遇， 根据题意得， 解得， 的周长为， （周， 经过24秒，点与点第一次在的边上相遇． 14．（2023秋•海安市期中）如图，在中，，，是上一点，于，于． （1）求证：； （2）若，求证：． 证明：（1），，， ， ， 又，， ， ． （2）由（1）得，， 又， ， 又于， ， 平分， ，， ， ， ， ． 15．（2023秋•启东市校级月考）如图，已知是的中线，、是边上的两点，且恰好是线段的中点，，，连接． （1）求证：； （2）若，，，，画出中边上的高，并求的长度． （1）证明：是的中线， ， 是线段的中点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， 是直角三角形， 是的中线， ， 是中边上的高， ， ， ． 的长度为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$