1.1～1.2 全等图形与全等三角形（知识精讲+易错点拨+五大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第1章《全等三角形》】 1.1-1.2 全等图形与全等三角形 （知识精讲+易错点拨+五大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：图形的全等 4 考点讲练2：利用全等图形求正方形网格中角度之和 4 考点讲练3：将已知图形分割成几个全等图形 5 考点讲练4：全等三角形的概念 6 考点讲练5：全等三角形的性质 8 中等题真题汇编练 9 培优题真题汇编练 13 新知精讲梳理 知识点01：全等图形的概念和性质 1. 全等图形的定义 定义：形状、大小完全相同的图形放在一起能够完全重合，这样的两个图形称为全等图形。这意味着，无论图形如何平移、翻折或旋转，只要它们的形状和大小保持不变，它们就是全等的。 要点诠释：全等图形不仅形状相同，而且大小也相等。这包括图形的周长和面积都相等。 2. 全等图形的性质 对应边相等：在全等图形中，对应边（即能够完全重合的边）的长度相等。 对应角相等：在全等图形中，对应角（即能够完全重合的角）的度数相等。 其他性质：全等图形对应边上的高、中线等也相等，这些性质是进一步研究其他全等图形的重要工具。 知识点02：全等三角形的概念和性质 1. 全等三角形的定义 定义：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。这意味着，无论两个三角形如何放置，只要它们能够完全重合，它们就是全等的。 要点诠释：在写两个三角形全等时，通常将对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边和对应角。 2. 对应顶点、对应边、对应角 定义：两个全等三角形重合在一起时，重合的顶点称为对应顶点，重合的边称为对应边，重合的角称为对应角。 表示方法：例如，若△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中A和D、B和E、C和F是对应顶点；AB和DE、BC和EF、AC和DF是对应边；∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F是对应角。 3. 找对应边、对应角的方法 方法： 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边。 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。 有公共边的，公共边是对应边；有公共角的，公共角是对应角。 有对顶角的，对顶角一定是对应角。 两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）。 4. 全等三角形的性质 对应边相等：全等三角形的对应边长度相等。 对应角相等：全等三角形的对应角度数相等。 其他性质：全等三角形对应边上的高、中线、角平分线等也相等；全等三角形的周长和面积都相等。 高频易错知识点拨 全等图形的易错知识点 易错知识点01：定义理解不透彻 易错点：学生可能将“相似”与“全等”混淆，认为只要形状相似就是全等。 纠正：明确全等图形不仅形状相同，而且大小也必须完全相等，即能够完全重合。 易错知识点02：对应边、对应角的识别 易错点：在复杂图形中，学生可能难以准确识别对应边和对应角。 纠正：通过平移、旋转、翻折等方法帮助学生理解对应边、对应角的概念，并学会在图形中标记它们。 易错知识点03：性质应用不熟练 易错点：在解决实际问题时，学生可能无法灵活应用全等图形的性质。 纠正：通过大量练习，特别是结合生活实例的题目，帮助学生加深对全等图形性质的理解和应用。 全等三角形的易错知识点 易错知识点04：判定定理的记忆与运用 易错点：学生可能混淆不同的判定定理（如SSS、SAS、ASA、AAS、HL），导致无法正确判定两个三角形是否全等。 纠正：通过图表、口诀等方式帮助学生记忆判定定理，并通过大量练习加深理解和运用。 易错知识点05：对应边、对应角的错误识别 易错点：在复杂的图形中，学生可能无法准确识别全等三角形的对应边和对应角。 纠正：强调对应边、对应角的识别方法，如利用公共边、公共角、对顶角等作为突破口。 易错知识点06：隐含条件的忽视 易错点：在证明全等三角形时，学生可能忽视题目中的隐含条件（如公共边、公共角、对顶角等）。 纠正：培养学生敏锐的观察力和分析能力，学会从题目中挖掘隐含条件，并巧妙地利用它们来证明三角形全等。 易错知识点07：证明过程的逻辑混乱 易错点：学生在证明三角形全等时，可能出现逻辑不严密、推理过程混乱的情况。 纠正：强调证明过程的逻辑性和条理性，要求学生按照一定的步骤（如先找边、再找角或先找角、再找边）进行证明，并养成用符号语言表示证明过程的习惯。 易错知识点08：特殊图形的干扰 易错点：在涉及特殊图形（如等腰三角形、等边三角形、直角三角形等）的全等证明中，学生可能受到图形特殊性的干扰而忽略了一般性的判定定理。 纠正：强调特殊图形也是一般图形的特例，仍然可以运用一般性的判定定理进行证明。同时，也要让学生掌握特殊图形的特殊性质和判定方法。 考点讲练1：图形的全等 【精讲题】（23-24七年级下·全国·假期作业）下列叙述中错误的是（    ） A．能够完全重合的两个图形称为全等图形 B．全等图形的形状和大小都相同 C．所有正方形都是全等图形 D．平移、翻折、旋转前后的图形全等 【举一反三练1】（23-24八年级上·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（    ） A．面积相等的图形叫做全等图形 B．周长相等的图形叫做全等图形 C．能完全重合的图形叫做全等图形 D．形状相同的图形叫做全等图形 【举一反三练2】（2022九年级·全国·专题练习）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠A＝110°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠B＝ ． 【举一反三练3】（23-24七年级下·全国·课后作业）图中有①～⑤ 5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，则②～⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形全等的有 ．（只填序号即可） 考点讲练2：利用全等图形求正方形网格中角度之和 【精讲题】（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为 . 【举一反三练1】（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（    ）． A．30° B．45° C．55° D．60° 【举一反三练2】（20-21八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3= 度． 考点讲练3：将已知图形分割成几个全等图形 【精讲题】．（23-24八年级上·广西钦州·期中）如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【举一反三练1】（20-21七年级下·福建宁德·期末）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于 ． 【举一反三练2】（21-22八年级上·湖南长沙·期末）试在下列两个图中，沿正方形的网格线（虚线）把这两个图形分别分割成两个全等的图形，将其中一部分涂上阴影． 【举一反三练3】（21-22八年级上·北京西城·期中）作图题 将的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种（约定某种划分法经过旋转、轴对称得到的划分法与原划分法相同）．    考点讲练4：全等三角形的概念 【精讲题】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．等边三角形都全等 【举一反三练1】（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（21-22八年级上·陕西西安·阶段练习）下列四个图形中，是全等形的是（    ）      A．①和② B．③和④ C．①和③ D．②和③ 【举一反三练3】（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）作图题：        (1)如图，在图1所给方格纸中，每个小正方形边长都是1，标号为①②③的三个三角形均为格点三角形（顶点在方格顶点处），请按要求将图2中的指定图形分割成三个三角形，使它们与标号为①②③的三个三角形分别对应全等．（分割线画成实线） (2)如图3，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． ①在图中画出与关于直线l成轴对称的； ②请直线l上找到一点P，使得的距离之和最小． ③的面积是________． 考点讲练5：全等三角形的性质 【精讲题】（24-25八年级上·江苏·假期作业）如图，，请写出图中的对应角，对应边． ①的对应角为( )；②的对应角为( )；③的对应角为( )；④的对应边为( )；⑤的对应边为( )． 【举一反三练1】．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图，已知，点是上一点，交于点． （1）与CF的位置关系是 ； （2）若，，则的长为 ． 【举一反三练2】（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，．如果，，那么中边的长是    【举一反三练3】（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持．若点的运动时间为，则当等于几秒时，与全等．    中等题真题汇编练 1．（22-23八年级上·河北邢台·期末）与下图全等的图形是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·安徽宣城·期末）下列四个图形中，属于全等图形的是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．③和④ 3．（22-23八年级上·广西河池·期末）对于“全等图形”的描述，下列说法正确的是（    ） A．边长相等的图形 B．面积相等的图形 C．周长相等的图形 D．能够完全重合的图形 4．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，，如果，，那么度数是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）根据下列条件，能唯一画出的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．， 6．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，若，则 °． 7．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）已知≌，点与点，点与点分别是对应顶点，若，，，则 ， ． 8．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么x的值是 °． 9．（17-18七年级下·全国·单元测试）如图，四边形与四边形全等，则 ， ， ， ． 10．（21-22七年级下·陕西榆林·期中）如图是由与四边形全等的6个四边形拼成的图形，若，则的长为 cm． 11．（20-21七年级下·浙江金华·期末）如图，把一张长方形纸板裁去两个边长为3cm的小正方形和两个全等的小长方形，再把剩余部分（阴影部分）四周折起，恰好做成一个有底有盖的长方体纸盒，纸盒底面长方形的长为3kcm，宽为2kcm，则（1）裁去的每个小长方形面积为 cm2；（用k的代数式表示）（2）若长方体纸盒的表面积是底面积的正整数倍，则正整数k的值为 ． 12．（19-20八年级上·山西吕梁·阶段练习）如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形．(要求至少要画出两种方法) ．    13．（19-20七年级下·江苏苏州·期末）如图，用三种不同的方法沿网格线把正方形分割成4个全等的图形（三种方法得到的图形相互间不全等）． 14．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，点A、D、C、F在同一直线上，． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 15．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，已知中，，，，点为的中点，如果点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向A点运动，设运动时间为（秒）． (1)用含的代数式表示的长度：__________． (2)若与全等，则点的运动速度为多少？请说明理由． 16．（16-17八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，当点P与点C重合时，停止运动．设点P的运动时间为t秒： (1)________．（用t的代数式表示） (2)如图1，当t为何值时，． (3)如图2，当点P从点B开始运动，同时点Q从点C向点D运动（当点Q与点D重合时停止运动）．以秒的速度沿向点D运动．当v为何值，使得与全等？若存在，求出v的值；若不存在，请说明理由． 培优题真题汇编练 17．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，，的延长线交于点，交于点．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，与交于点D，与交于点E，，，关于甲、乙、丙的说法正确的是（    ） 甲：；乙：；丙：    A．只有甲 B．甲和乙 C．乙和丙 D．三人均正确 19．（23-24八年级上·湖北·周测）已知，，，其中．点P以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为 秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的倍； ②当、两点同时到达A点时，； ③若，，时，与垂直； 以上说法正确的选项为（   ）    A．① B．①② C．①②③ D．①③ 20．（2021·浙江宁波·二模）百变魔尺，魅力无穷，如图是用24段魔尺（24个等腰直角三角形，把等腰直角三角形最长边看做1）围成的长为4宽为3的长方形．用该魔尺能围出不全等的长方形个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 21．（18-19七年级下·全国·课后作业）如图，△EFG≌△NMH，△EFG的周长为15cm，HN=6cm，EF=4cm，FH=1cm，则HG= ． 22．（17-18七年级下·广西贵港·期末）如图，已知正方形中阴影部分的面积为3，则正方形的面积为 ． 23．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，，，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以单位秒和单位秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点，于点，则点的运动时间等于 秒时，与全等． 24．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，现有一动点，从点出发沿着三角形的边运动回到点停止，速度为，设运动时间为． （1）如图，当 时，的面积等于面积的一半； （2）如图，在中，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点出发，沿着边运动回到点A停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，则点Q的运动速度是 ． 25．（18-19七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，，是的中点．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为（）．设点的运动速度为，若使得与全等，则的值为 ．    26．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知在中，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由出发向点运动，同时点在线段上由点出发向A点运动．设运动时间为． (1)第时，______，______．（用含的代数式表示） (2)当和恰好是以点和为对应点的全等三角形时，求的值． 27．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图①，在中，，，，，现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当时，________cm； (2)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 28．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为．    (1)______．（用的代数式表示） (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 29．（23-24八年级·江苏·假期作业）沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．    30．（20-21八年级上·四川广元·阶段练习）把的正方形方格图形分割成两个全等图形，如图，沿着虚线画出种不同的分法，把的正方形方格图形分割成两个全等图形． 31．（17-18七年级下·全国·课后作业）如图，某校有一块正方形花坛，现要把它分成4块全等的部分，分别种植四种不同品种的花卉，图中给出了一种设计方案，请你再给出四种不同的设计方案． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第1章《全等三角形》】 1.1-1.2 全等图形与全等三角形 （知识精讲+易错点拨+五大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：图形的全等 4 考点讲练2：利用全等图形求正方形网格中角度之和 5 考点讲练3：将已知图形分割成几个全等图形 8 考点讲练4：全等三角形的概念 10 考点讲练5：全等三角形的性质 13 中等题真题汇编练 16 培优题真题汇编练 27 新知精讲梳理 知识点01：全等图形的概念和性质 1. 全等图形的定义 定义：形状、大小完全相同的图形放在一起能够完全重合，这样的两个图形称为全等图形。这意味着，无论图形如何平移、翻折或旋转，只要它们的形状和大小保持不变，它们就是全等的。 要点诠释：全等图形不仅形状相同，而且大小也相等。这包括图形的周长和面积都相等。 2. 全等图形的性质 对应边相等：在全等图形中，对应边（即能够完全重合的边）的长度相等。 对应角相等：在全等图形中，对应角（即能够完全重合的角）的度数相等。 其他性质：全等图形对应边上的高、中线等也相等，这些性质是进一步研究其他全等图形的重要工具。 知识点02：全等三角形的概念和性质 1. 全等三角形的定义 定义：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。这意味着，无论两个三角形如何放置，只要它们能够完全重合，它们就是全等的。 要点诠释：在写两个三角形全等时，通常将对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边和对应角。 2. 对应顶点、对应边、对应角 定义：两个全等三角形重合在一起时，重合的顶点称为对应顶点，重合的边称为对应边，重合的角称为对应角。 表示方法：例如，若△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中A和D、B和E、C和F是对应顶点；AB和DE、BC和EF、AC和DF是对应边；∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F是对应角。 3. 找对应边、对应角的方法 方法： 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边。 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。 有公共边的，公共边是对应边；有公共角的，公共角是对应角。 有对顶角的，对顶角一定是对应角。 两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）。 4. 全等三角形的性质 对应边相等：全等三角形的对应边长度相等。 对应角相等：全等三角形的对应角度数相等。 其他性质：全等三角形对应边上的高、中线、角平分线等也相等；全等三角形的周长和面积都相等。 高频易错知识点拨 全等图形的易错知识点 易错知识点01：定义理解不透彻 易错点：学生可能将“相似”与“全等”混淆，认为只要形状相似就是全等。 纠正：明确全等图形不仅形状相同，而且大小也必须完全相等，即能够完全重合。 易错知识点02：对应边、对应角的识别 易错点：在复杂图形中，学生可能难以准确识别对应边和对应角。 纠正：通过平移、旋转、翻折等方法帮助学生理解对应边、对应角的概念，并学会在图形中标记它们。 易错知识点03：性质应用不熟练 易错点：在解决实际问题时，学生可能无法灵活应用全等图形的性质。 纠正：通过大量练习，特别是结合生活实例的题目，帮助学生加深对全等图形性质的理解和应用。 全等三角形的易错知识点 易错知识点04：判定定理的记忆与运用 易错点：学生可能混淆不同的判定定理（如SSS、SAS、ASA、AAS、HL），导致无法正确判定两个三角形是否全等。 纠正：通过图表、口诀等方式帮助学生记忆判定定理，并通过大量练习加深理解和运用。 易错知识点05：对应边、对应角的错误识别 易错点：在复杂的图形中，学生可能无法准确识别全等三角形的对应边和对应角。 纠正：强调对应边、对应角的识别方法，如利用公共边、公共角、对顶角等作为突破口。 易错知识点06：隐含条件的忽视 易错点：在证明全等三角形时，学生可能忽视题目中的隐含条件（如公共边、公共角、对顶角等）。 纠正：培养学生敏锐的观察力和分析能力，学会从题目中挖掘隐含条件，并巧妙地利用它们来证明三角形全等。 易错知识点07：证明过程的逻辑混乱 易错点：学生在证明三角形全等时，可能出现逻辑不严密、推理过程混乱的情况。 纠正：强调证明过程的逻辑性和条理性，要求学生按照一定的步骤（如先找边、再找角或先找角、再找边）进行证明，并养成用符号语言表示证明过程的习惯。 易错知识点08：特殊图形的干扰 易错点：在涉及特殊图形（如等腰三角形、等边三角形、直角三角形等）的全等证明中，学生可能受到图形特殊性的干扰而忽略了一般性的判定定理。 纠正：强调特殊图形也是一般图形的特例，仍然可以运用一般性的判定定理进行证明。同时，也要让学生掌握特殊图形的特殊性质和判定方法。 考点讲练1：图形的全等 【精讲题】（23-24七年级下·全国·假期作业）下列叙述中错误的是（    ） A．能够完全重合的两个图形称为全等图形 B．全等图形的形状和大小都相同 C．所有正方形都是全等图形 D．平移、翻折、旋转前后的图形全等 【答案】C 【思路点拨】本题考查了旋转的性质，全等形的性质，由全等图形的性质和平移，折叠，旋转的性质依次判断可求解． 【规范解答】解：A、能够完全重合的两个图形称为全等形，故A选项不符合题意； B、全等形的形状和大小都相同，故B选项不符合题意； C、所有正方形不一定是全等形，故D选项符合题意； D、平移、翻折、旋转前后的图形全等，故D选项不符合题意； 故选：C． 【举一反三练1】（23-24八年级上·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（    ） A．面积相等的图形叫做全等图形 B．周长相等的图形叫做全等图形 C．能完全重合的图形叫做全等图形 D．形状相同的图形叫做全等图形 【答案】C 【思路点拨】本题考查了全等形的概念．全等图形指的是完全重合的图形，包括边长、角度、面积、周长等，但面积、周长相等的图形不一定全等，要具体进行验证分析． 【规范解答】解：A、面积相等，但图形不一定能完全重合，说法错误； B、周长相等的两个图形不一定能完全重合，说法错误； C、能完全重合的图形叫做全等图形，符合全等形的概念，正确； D、形状相同的两个图形也不一定是全等形，说法错误； 故选：C． 【举一反三练2】（2022九年级·全国·专题练习）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠A＝110°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠B＝ ． 【答案】 【思路点拨】根据全等图形的性质，，再根据四边形的内角和为360º得到． 【规范解答】解：根据题意得： 所以, 故答案为： 【考点评析】本题考查了全等图形，熟练掌握全等图形的有关知识是解题的关键． 【举一反三练3】（23-24七年级下·全国·课后作业）图中有①～⑤ 5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，则②～⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形全等的有 ．（只填序号即可） 【答案】②④⑤ 【思路点拨】本题考查全等图形，根据能够完全重合的图形叫做全等图形，进行判断即可． 【规范解答】由全等形的概念可知，②④⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形能够完全重合， 故答案为：②④⑤． 考点讲练2：利用全等图形求正方形网格中角度之和 【精讲题】（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为 . 【答案】/45度 【思路点拨】观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解． 【规范解答】观察图形可知与所在的直角三角形全等， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键． 【举一反三练1】（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（    ）． A．30° B．45° C．55° D．60° 【答案】B 【思路点拨】根据网格特点，可得出，，，进而可求解． 【规范解答】解：如图，则，，， ∴， 故选：B． 【考点评析】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键． 【举一反三练2】（20-21八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3= 度． 【答案】135 【思路点拨】首先利用全等三角形的判定和性质求出的值，即可得出答案； 【规范解答】如图所示， 在△ACB和△DCE中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案是：． 【考点评析】本题主要考查了全等图形的应用，准确分析计算是解题的关键． 考点讲练3：将已知图形分割成几个全等图形 【精讲题】．（23-24八年级上·广西钦州·期中）如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【答案】B 【思路点拨】本题考查了全等图形的性质，由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有是解决问题的关键． 【规范解答】解：∵四边形为梯形，上底，下底，四边形是由8个全等梯形拼接而成， ∴． 故选：B． 【举一反三练1】（20-21七年级下·福建宁德·期末）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于 ． 【答案】7 【思路点拨】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形，画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度． 【规范解答】解：分割方案如图所示： 由图可得，最长分割线的长度等于7． 故答案为：7． 【考点评析】本题主要考查全等形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等形的性质. 【举一反三练2】（21-22八年级上·湖南长沙·期末）试在下列两个图中，沿正方形的网格线（虚线）把这两个图形分别分割成两个全等的图形，将其中一部分涂上阴影． 【答案】见解析（第一个图答案不唯一） 【思路点拨】根据全等图形的定义，利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形． 【规范解答】解：第一个图形分割有如下几种： 第二个图形的分割如下： 【考点评析】本题主要考查了学生的动手操作能力和学生的空间想象能力，牢记全等图形的定义是解题的重点． 【举一反三练3】（21-22八年级上·北京西城·期中）作图题 将的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种（约定某种划分法经过旋转、轴对称得到的划分法与原划分法相同）．    【答案】见解析 【思路点拨】能够完全重合的两个图形叫做全等形，可以利用图形的轴对称性和中心对称性来分割成两个全等的图形． 【规范解答】解：如图所示，（答案不唯一）    【考点评析】本题主要考查了全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义：形状和大小完全相同的两个图形叫全等形． 考点讲练4：全等三角形的概念 【精讲题】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．等边三角形都全等 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是全等三角形的定义和性质，掌握全等形的概念、全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的定义和性质判断即可． 【规范解答】解：A、全等三角形是指形状和大小相同的两个三角形，该选项错误； B、全等三角形的面积相等，该选项正确； C、面积相等的两个三角形不一定都是全等三角形，该选项错误； D、等边三角形不一定都是全等三角形，该选项错误． 故选：B． 【举一反三练1】（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件，和，和是对应边，点与点对应点，点与点是对应点，由此即可得到的对应角，理解其概念是解题的关键． 【规范解答】∵， ∴∠的对应角是， 故选：． 【举一反三练2】（21-22八年级上·陕西西安·阶段练习）下列四个图形中，是全等形的是（    ）      A．①和② B．③和④ C．①和③ D．②和③ 【答案】B 【思路点拨】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，进而分别判断得出答案． 【规范解答】解：A．不是全等形，故此选项不合题意； B．是全等形，故此选项符合题意； C．不是全等形，故此选项不合题意； D．不是全等形，故此选项不合题意； 故选：B． 【考点评析】本题考查的是全等图形，做题时要注意运用定义，注意观察题中图形． 【举一反三练3】（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）作图题：        (1)如图，在图1所给方格纸中，每个小正方形边长都是1，标号为①②③的三个三角形均为格点三角形（顶点在方格顶点处），请按要求将图2中的指定图形分割成三个三角形，使它们与标号为①②③的三个三角形分别对应全等．（分割线画成实线） (2)如图3，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． ①在图中画出与关于直线l成轴对称的； ②请直线l上找到一点P，使得的距离之和最小． ③的面积是________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析；③ 【思路点拨】（1）根据全等三角形的性质即可作图； （2）①先画出点A、B、C的对应点，再依次连接即可；②连接交直线l于点P，点P即为所求；③用割补法求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示： 连接， 与①对应的三角形全等， 与②对应的三角形全等， 与③对应的三角形全等，    （2）解：①如图，即为所求； ②连接交直线l于点P，点P即为所求； 连接， ∵和关于l对称， ∴， ∴，此时最小， 故点P即为所求． ③ ． 故答案为：．    【考点评析】本题主要考查了全等三角形的性质，轴对称的作图，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，对应角相等；以及轴对称的作图方法． 考点讲练5：全等三角形的性质 【精讲题】（24-25八年级上·江苏·假期作业）如图，，请写出图中的对应角，对应边． ①的对应角为( )；②的对应角为( )；③的对应角为( )；④的对应边为( )；⑤的对应边为( )． 【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形，找准对应边、对应角是解题的关键．根据全等三角形的定义可直接得出答案． 【规范解答】解：∵， ∴①的对应角为； ②的对应角为； ③的对应角为； ④的对应边为； ⑤的对应边为； 故答案为：，，，，． 【举一反三练1】．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图，已知，点是上一点，交于点． （1）与CF的位置关系是 ； （2）若，，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）由，得到，即可得出； （2）由，得到，即可求解． 【规范解答】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，．如果，，那么中边的长是    【答案】6 【思路点拨】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【规范解答】解：∵， ， 故答案为：6． 【举一反三练3】（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持．若点的运动时间为，则当等于几秒时，与全等．    【答案】或或 【思路点拨】本题考查三角形全等的性质；分两种情况：①当在线段上时，②当在上，再分别分成两种情况，进行计算即可． 【规范解答】解：①当在线段上，时，   ， ， ， 点 的运动时间为 秒． ②当在上，时， ， ， ． 点 的运动时间为 秒． ③当在上，时， 点的运动时间为 秒 ④当在线段上，时，这时在点未动，因此时间为秒不符合题意． 故答案为：或或． 中等题真题汇编练 1．（22-23八年级上·河北邢台·期末）与下图全等的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据全等形的定义逐个判定即可得到答案； 【规范解答】解：由题意可得， A选项图形与题干图形形状不一样，故不符合题意； B选项图形与题干图形形状一样，故符合题意； C选项图形与题干图形形状不一样，故不符合题意； D选项图形与题干图形形状不一样，故不符合题意； 故选B． 【考点评析】本题考查全等形的定义：完全重合的两个图形叫全等形，即形状及大小都相同． 2．（22-23八年级上·安徽宣城·期末）下列四个图形中，属于全等图形的是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．③和④ 【答案】A 【思路点拨】 根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案． 【规范解答】解：①、②和④都可以完全重合，因此全等的图形是①和②． 故选：A． 【考点评析】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形． 3．（22-23八年级上·广西河池·期末）对于“全等图形”的描述，下列说法正确的是（    ） A．边长相等的图形 B．面积相等的图形 C．周长相等的图形 D．能够完全重合的图形 【答案】D 【思路点拨】根据全等图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【规范解答】解：A.边长相等的两个图形不一定是全等图形，故本选项不符合题意； B.面积相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项不符合题意； C. 周长相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项不符合题意； D. 能够完全重合的两个图形是全等图形，该说法正确，故本选项符合题意． 故选：D． 【考点评析】本题主要考查了全等形的识别，熟记全等形是能够完全重合的两个图形是解题关键． 4．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，，如果，，那么度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质可得出，，由角的和差关系即可得出，即可求出答案． 【规范解答】解：∵ ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）根据下列条件，能唯一画出的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．， 【答案】C 【思路点拨】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握三角形三边的关系，已知两边夹一角，或者两角夹一边可确定三角形的形状，即可． 【规范解答】A、与两边之差大于第三边，∴A不能作出三角形，不符合题意； B、不是，的夹角，可画出多个三角形，不符合题意； C、两角夹一边，形状固定，可作出唯一三角形，符合题意； D、只有一角一边不能确定三角形，不符合题意； 故选：C． 6．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，若，则 °． 【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 故答案为：． 7．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）已知≌，点与点，点与点分别是对应顶点，若，，，则 ， ． 【答案】 20 【思路点拨】考查“全等三角形对应边相等，对应角相等”，利用全等三角形对应边相等，对应角相等的性质即可解题，正确找出对应边，对应角是解决本题的关键． 【规范解答】在中， ，， ∴， ∵，点A与点D，点B与点E分别是对应顶点， ∴的对应角是， ∴， ∵ ∴的对应边是为， 故答案为， 20． 8．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么x的值是 °． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据全等三角形的对应角相等解答即可． 【规范解答】解：如图， 由题意可得， ∴，即的值为 故答案为：． 9．（17-18七年级下·全国·单元测试）如图，四边形与四边形全等，则 ， ， ， ． 【答案】 /度 /度 12 6 【思路点拨】先根据四边形内角和定理求出，再根据全等图形的性质求解即可． 【规范解答】解：∵在四边形中， ∴， ∵四边形与四边形全等， ∴由图可知， 故答案为：；；12；6． 【考点评析】本题主要考查了全等图形的性质，四边形内角和定理，熟知全等图形对应角相等，对应边相等是解题的关键． 10．（21-22七年级下·陕西榆林·期中）如图是由与四边形全等的6个四边形拼成的图形，若，则的长为 cm． 【答案】 【思路点拨】根据全等图形的性质即可求解． 【规范解答】∵图形与四边形全等的6个四边形拼成的图形 ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【考点评析】本题考查全等图形的性质，注意全等图形的对应边相等是解题的关键． 11．（20-21七年级下·浙江金华·期末）如图，把一张长方形纸板裁去两个边长为3cm的小正方形和两个全等的小长方形，再把剩余部分（阴影部分）四周折起，恰好做成一个有底有盖的长方体纸盒，纸盒底面长方形的长为3kcm，宽为2kcm，则（1）裁去的每个小长方形面积为 cm2；（用k的代数式表示）（2）若长方体纸盒的表面积是底面积的正整数倍，则正整数k的值为 ． 【答案】 （6k+9） 1或5 【思路点拨】（1）求出小长方形的长，宽，可得结论． （2）由长方体纸盒的表面积是底面积的正整数倍，推出侧面4个长方形的面积和是底面积的整数倍，延长构建关系式，可得结论． 【规范解答】解：（1）由题意，小长方形的长为（3+2k ）cm，宽为3cm， ∴裁去的每个小长方形面积为（6k+9）（cm2）， 故答案为：（6k+9）． （2）由题意，12k+18k=n•6k2（n为正整数）， 可得nk=5， ∴n=1，k=5或n=5，k=1， ∴k=1或5， 故答案为：1或5． 【考点评析】本题考查全等图形，列代数式，认识立体图形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 12．（19-20八年级上·山西吕梁·阶段练习）如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形．(要求至少要画出两种方法) ．    【答案】答案见解析 【思路点拨】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形画线即可． 【规范解答】解：如图所示：    故答案是：见解析 【考点评析】本题考查了全等图形的定义以及特征---定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形；特征：形状大小相同，能够完全重合． 13．（19-20七年级下·江苏苏州·期末）如图，用三种不同的方法沿网格线把正方形分割成4个全等的图形（三种方法得到的图形相互间不全等）． 【答案】详见解析 【思路点拨】观察图形发现：这个正方形网格的总面积为16，因此只要将面积分为4，即占4个方格，并且图形要保证为相同即可． 【规范解答】解：如图所示： 【考点评析】本题主要考查了全等图形和作图，准确分析是解题的关键． 14．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，点A、D、C、F在同一直线上，． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质，主要利用了全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等，熟记性质是解题的关键． （1）根据全等三角形对应角相等可得，再根据三角形的内角和定理求出的度数； （2）根据全等三角形对应边相等可得，然后直接计算即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 在中，； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴ 15．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，已知中，，，，点为的中点，如果点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向A点运动，设运动时间为（秒）． (1)用含的代数式表示的长度：__________． (2)若与全等，则点的运动速度为多少？请说明理由． 【答案】(1) (2)或2 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． （1）用的长度减去的长度即可； （2）根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论． 【规范解答】（1）解：点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动，， ； 故答案为：； （2）解： 中，，，点为的中点，， ， ， 当时，， ，， 解得：，； 当时，， ，， 解得：，； 综上所述，或2． 16．（16-17八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，当点P与点C重合时，停止运动．设点P的运动时间为t秒： (1)________．（用t的代数式表示） (2)如图1，当t为何值时，． (3)如图2，当点P从点B开始运动，同时点Q从点C向点D运动（当点Q与点D重合时停止运动）．以秒的速度沿向点D运动．当v为何值，使得与全等？若存在，求出v的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，当或2.4时，与全等 【思路点拨】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键. （1）根据路程速度时间，点的速度，表示出即可； （2）根据全等三角形对应边相等的性质得，即，求解即可； （3）分两种情况讨论，当，，时或当，，时，与全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，分别计算求出的值，再计算的值即可． 【规范解答】（1）解：点从点出发，以秒的速度沿向点运动，点的运动时间为秒， ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ， ∴， 解得， 当时，； （3）解：情况一：当，，时， ， ， ， ， ， ， ∴， ； 情况二：当，，时， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，当或时，与全等． 培优题真题汇编练 17．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，，的延长线交于点，交于点．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查全等三角形的性质、三角形外角的性质，由，则与是一组对应角，与是一组对应角，对于，外角等于除外的两个内角之和，求得，再在中，由三角形内角和即可求得结果． 【规范解答】解：，，， ，． 由三角形外角的性质可得， ． ． ，， ． 故选：B． 18．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，与交于点D，与交于点E，，，关于甲、乙、丙的说法正确的是（    ） 甲：；乙：；丙：    A．只有甲 B．甲和乙 C．乙和丙 D．三人均正确 【答案】B 【思路点拨】根据全等三角形的性质可得，结合三角形内角和定理可得，根据根据全等三角形的性质，进而得，即可求解 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， ∵对顶角相等， ∴， ∵，， ∴， ∴， 无法证明， 故甲和乙说法正确， 故选B 【考点评析】本题主要考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握“8字模型”是关键 19．（23-24八年级上·湖北·周测）已知，，，其中．点P以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为 秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的倍； ②当、两点同时到达A点时，； ③若，，时，与垂直； 以上说法正确的选项为（   ）    A．① B．①② C．①②③ D．①③ 【答案】B 【思路点拨】根据路程等于时间乘以速度求出点P和点Q的路程，即可判断①；首先求出点P到达点A时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；首先画出图形，根据题意求出，，，，然后得到和不全等，进而证明出，即可判断③． 【规范解答】解：①∵点P以每秒2个单位长度的速度，运动时间为 t 秒， ∴点P运动路程为， 若，则点Q运动路程为， ∴点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，故①正确； ②当P点到达A点时，秒， ∵P、Q两点同时到达A点， ∴，故②正确； ③如图所示，    当，时， 点P运动的路程为，点Q运动的路程为， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴和不全等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与不垂直，故③错误； 综上所述，正确的选项为①②． 故选：B． 【考点评析】此题考查了动点问题，全等三角形的性质和判定，解题的关键是弄清运动过程，找出符合条件的点的位置． 20．（2021·浙江宁波·二模）百变魔尺，魅力无穷，如图是用24段魔尺（24个等腰直角三角形，把等腰直角三角形最长边看做1）围成的长为4宽为3的长方形．用该魔尺能围出不全等的长方形个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【思路点拨】根据14＝（1+6）×2＝（2+5）×2＝（3+4）×2，可知能围出不全等的长方形有3个． 【规范解答】解：∵长为4、宽为3的长方形， ∴周长为2×（3+4）＝14 14＝（1+6）×2＝（2+5）×2＝（3+4）×2， ∴能围出不全等的长方形有3个， 故选：A． 【考点评析】此题考查了平面图形的规律变化，通过观察图形,分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． 21．（18-19七年级下·全国·课后作业）如图，△EFG≌△NMH，△EFG的周长为15cm，HN=6cm，EF=4cm，FH=1cm，则HG= ． 【答案】4cm 【思路点拨】首先根据全等三角形对应边相等可得MN=EF=4cm，FG=MH，△HMN的周长=△EFG的周长=15cm，再根据等式的性质可得FG-HG=MH-HG，即GM=FH，进而可得答案． 【规范解答】解：∵△EFG≌△NMH， ∴MN=EF=4cm，FG=MH，△HMN的周长=△EFG的周长=15cm， ∴FG-HG=MH-HG，即FH=GM=1cm， ∵△EFG的周长为15cm， ∴HM=15-6-4=5cm， ∴HG=5-1=4cm . 故答案为4cm． 【考点评析】本题考查全等三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形对应边相等． 22．（17-18七年级下·广西贵港·期末）如图，已知正方形中阴影部分的面积为3，则正方形的面积为 ． 【答案】6 【思路点拨】利用割补法，把阴影部分移动到一边. 【规范解答】把阴影部分移动到正方形的一边，恰好是正方形的一半，故正方形面积是6. 【考点评析】割补法，等面积转换,可以简便运算，化复杂为简单. 23．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，，，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以单位秒和单位秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点，于点，则点的运动时间等于 秒时，与全等． 【答案】2或或12 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质，分情况讨论是解题的关键：分四种情况，点在上，点在上；点、都在上；点到上，点在上；点到点，点在上． 【规范解答】解：与全等， 斜边斜边， 分四种情况： 当点在上，点在上，如图： ， ， ， 当点、都在上时，此时、重合，如图： ， ， ， 当点到上，点在上时，如图： ， ， ，不符合题意， 当点到点，点在上时，如图： ， ， ， 综上所述：点的运动时间等于2或或12秒时，与全等， 故答案为：2或或12． 24．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，现有一动点，从点出发沿着三角形的边运动回到点停止，速度为，设运动时间为． （1）如图，当 时，的面积等于面积的一半； （2）如图，在中，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点出发，沿着边运动回到点A停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，则点Q的运动速度是 ． 【答案】 或 或或或 【思路点拨】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、三角形中线的性质；根据题意分类讨论即可求解． （1）根据三角形中线的性质，分点运动到边上时和点运动到边上时两种情况分别讨论即可； （2）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【规范解答】解：的面积等于面积的一半， 点运动到的中点， 此时， 当点运动到边上时， 此时， 此时点在边的中点， 此时， 综上所述，当或时，的面积等于面积的一半； （2）设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时， ， ∴ 解得； ②当点在上，点在上，时， ， ∴， 解得； ③当点P在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得； ④当点P在上，点Q在上，时 ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得； ∴运动的速度为或或或． 故答案为：或或或． 25．（18-19七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，，是的中点．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为（）．设点的运动速度为，若使得与全等，则的值为 ．    【答案】2或 【思路点拨】表示出、、、，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②与是对应边两种情况讨论，即可获得答案． 【规范解答】解：∵，，点为的中点， ∴， ∵点、的运动时间为，则，， ①当时，则有， 解得， 则， 故点的运动速度为：； ②当时，则有， ∵， ∴， ∴， 故点的运动速度为． 综上所述，的值为2或． 故答案为：2或． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的性质以及一元一次方程的应用，解题的关键是要考虑全所有情况，避免遗漏． 26．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知在中，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由出发向点运动，同时点在线段上由点出发向A点运动．设运动时间为． (1)第时，______，______．（用含的代数式表示） (2)当和恰好是以点和为对应点的全等三角形时，求的值． 【答案】(1)， (2)或 【思路点拨】本题考查了动点问题在实际生活中的运用，全等三角形的性质的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时运用全等三角形的性质求解是关键． （1）根据距离速度时间分别求得、即可； （2）分类讨论，当和时，由全等三角形的性质就可以求出结论． 【规范解答】（1）解：依题意得：，； （2）解：当时，． ， ， ． 当时，． 点为的中点， ． ， ， ， ， ． 综上所述，当和恰好是以点和为对应点的全等三角形时，或． 27．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图①，在中，，，，，现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当时，________cm； (2)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】(1)6 (2)或 (3)Q运动的速度为或． 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键． （1）利用速度乘时间即可求解； （2）根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答； （3）设点Q的运动速度为，然后分点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上两种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可． 【规范解答】（1）解：当时，， 故答案为：6； （2）解：如图，当P在上，的面积等于面积的一半， ∴， ∴， 当在上时，如图，的面积等于面积的一半， ∴， ∴， 综上：当为或时，的面积等于面积的一半； 故答案为：或； （3）解：设点Q的运动速度为， ①当点P在上，点Q在上，时，， ∴，解得； ②当点P在上，点Q在上，时，，    ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴，解得； ∴Q运动的速度为或． 28．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为．    (1)______．（用的代数式表示） (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当或2时与全等． 【思路点拨】此题主要考查了全等三角形的性质． （1）根据P点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）此题主要分两种情况①当，时，；当时，，然后分别计算出t的值，进而得到v的值． 【规范解答】（1）解：依题意，得 ∴． 故答案为：； （2）解：①当，时，， ∵， ∴， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：； ②当时，， ∵， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：． 综上所述：当或2时与全等． 29．（23-24八年级·江苏·假期作业）沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．    【答案】见解析 【思路点拨】如图所示，按图中实线部分即可将原图形划分为4个全等的图形，且能拼成一个正方形．（答案不唯一） 【规范解答】    【考点评析】本题考查全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 30．（20-21八年级上·四川广元·阶段练习）把的正方形方格图形分割成两个全等图形，如图，沿着虚线画出种不同的分法，把的正方形方格图形分割成两个全等图形． 【答案】见解析 【思路点拨】利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形． 【规范解答】解：三种不同的分法： 【考点评析】本题主要考查的是作图-应用与设计作图，利用对称性和互补性解题． 31．（17-18七年级下·全国·课后作业）如图，某校有一块正方形花坛，现要把它分成4块全等的部分，分别种植四种不同品种的花卉，图中给出了一种设计方案，请你再给出四种不同的设计方案． 【答案】见解答过程． 【思路点拨】根据正方形的性质，①两条对角线把正方形分成四个全等的三角形；②作一组对边的平行线也能把正方形分成四个全等的矩形；③连接一组对边的中点，把正方形分成两个全等的矩形，再作矩形的对角线就把每个矩形都分成两个全等的三角形，这样就分成了四个全等的三角形；④过正方形的中心做互相垂直的两条线也能把正方形分成四个全等的四边形． 【规范解答】解：设计方案如下： 【考点评析】本题主要考查了全等图形的意义，要利用正方形及全等形的性质求解，方案多种多样，只需要满足要求即就． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$