专题11 锐角三角函数与尺规作图（6大考点）-【好题汇编】三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（湖南专用）

三年（2022-2024）中考数学真题分项汇编（湖南专用） 专题11 锐角三角函数与尺规作图 考点01 特殊角的三角函数值 1．（2022•岳阳）计算：|﹣3|﹣2tan45°+（﹣1）2022﹣（π）0． 2．（2022•张家界）计算：2cos45°+（π﹣3.14）0+|1|+（）﹣1． 考点02 解直角三角形 1．（2023•益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A（0，1），B（4，1），C（5，6），则sin∠BAC＝（　　） A． B． C． D． 2．（2024•湖南）如图，图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图．已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l．若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为 　 　分米（结果用含根号的式子表示）． 3．（2022•张家界）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形ABCD的面积是100，小正方形EFGH的面积是4，那么tan∠ADF＝　 　． 4．（2022•益阳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，则cosB＝　 　． 5．（2024•湖南）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为4米； ③在点F处用测角仪测得∠CFG＝60.3°，∠BFG＝45°，∠AFG＝21.8°； ④用计算器计算得：sin60.3°≈0.87，cos60.3°≈0.50，tan60.3°≈1.75，sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求线段CE和BC的长度； （2）求底座的底面ABCD的面积． 6．（2023•常德）今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形ABCD是平行四边形，座板CD与地面MN平行，△EBC是等腰三角形且BC＝CE，∠FBA＝114.2°，靠背FC＝57cm，支架AN＝43cm，扶手的一部分BE＝16.4cm．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端F点距地面（MN）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：sin65.8°＝0.91，cos65.8°＝0.41，tan65.8°＝2.23） 7．（2023•湘潭）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t＝0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM＝30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处． 问题解决： （1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数； （2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据1.414，1.732） 8．（2023•娄底）几位同学在老师的指导下到某景区进行户外实践活动，在登山途中发现该景区某两座山之间风景优美，但路陡难行，为了便于建议景区管理处在这两山顶间建观光索道，他们分别在两山顶上取A、B两点，并过点B架设一水平线型轨道CD（如图所示），使得∠ABC＝α，从点B出发按CD方向前进20米到达点E，即BE＝20米，测得∠AEB＝β，已知sinα，tanβ＝3，求A、B两点间的距离． 9．（2022•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F． （1）求证：BC是⊙O的切线． （2）若CF＝2，sinC，求AE的长． 10．（2022•湘潭）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中0.618）：伞柄AH始终平分∠BAC，AB＝AC＝20cm，当∠BAC＝120°时，伞完全打开，此时∠BDC＝90°．请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：1.732） 11．（2022•张家界）阅读下列材料： 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：． 证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则： 在Rt△BCD中，CD＝asinB 在Rt△ACD中，CD＝bsinA ∴asinB＝bsinA ∴ 根据上面的材料解决下列问题： （1）如图2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：； （2）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9） 12．（2022•常德）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳台的跨度FG＝7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）． （参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73） 13．（2022•娄底）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”．墩墩使用握力器（如实物图所示）锻炼手部肌肉．如图，握力器弹簧的一端固定在点P处，在无外力作用下，弹簧的长度为3cm，即PQ＝3cm．开始训练时，将弹簧的端点Q调在点B处，此时弹簧长PB＝4cm，弹力大小是100N，经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点Q调到点C处，使弹力大小变为300N，已知∠PBC＝120°，求BC的长． 注：弹簧的弹力与形变成正比，即F＝k•Δx，k是劲度系数，Δx是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为x0，在外力作用下，弹簧的长度为x，则Δx＝x﹣x0． 考点03 解直角三角形的应用-坡度坡角 1．（2022•株洲）如图（Ⅰ）所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段AC至山谷点C处，再从点C处沿线段CB至山坡②的山顶点B处．如图（Ⅱ）所示，将直线l视为水平面，山坡①的坡角∠ACM＝30°，其高度AM为0.6千米，山坡②的坡度i＝1：1，BN⊥l于N，且CN千米． （1）求∠ACB的度数； （2）求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程． 2．（2022•长沙）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°． （1）求该斜坡的高度BD； （2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线） 3．（2022•郴州）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i1＝1：1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1：，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离． （参考数据：1.41，1.73．结果精确到0.1m） 考点04 解直角三角形的应用-仰角俯角 1．（2023•岳阳）2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°，仪器与气球的水平距离BC为20米，且距地面高度AB为1.5米，则气球顶部离地面的高度EC是 　 　米（结果精确到0.1米，sin21.8°≈0.3714，cos21.8°≈0.9285，tan21.8°≈0.4000）． 2．（2022•衡阳）回雁峰坐落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，AE＝10m，∠BDG＝30°，∠BFG＝60°．已知测角仪DA的高度为1.5m，则大雁雕塑BC的高度约为 　 　m．（结果精确到0.1m．参考数据：1.732） 3．（2023•长沙）2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°． （1）求点A离地面的高度AO； （2）求飞船从A处到B处的平均速度．（结果精确到0.1km/s，参考数据：1.73） 4．（2023•衡阳）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部24米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30°，CD长为49.6米．已知目高CE为1.6米． （1）求教学楼AB的高度． （2）若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以4米/秒的速度继续向前匀速飞行．求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB． 5．（2023•怀化）为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为30°，在B点处测得碑顶D的仰角为60°，已知AB＝35m，测角仪的高度是1.5m（A、B、C在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD．（1.732，结果保留一位小数） 6．（2023•张家界）“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼AB的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P点，测得奇楼顶端A的俯角为15°，再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为45°，求奇楼AB的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27） 7．（2023•邵阳）我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹，中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功．如图，有一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达P处时，地面A处的雷达站测得AP距离是5000m，仰角为23°，9s后，火箭直线到达Q处，此时地面A处雷达站测得Q处的仰角为45°，求火箭从P到Q处的平均速度（结果精确到1m/s）． （参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42） 8．（2023•永州）永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米（如图1所示）．寓意陈树湘为中国革命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段AB代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面BN上D处为陈树湘雕像拍照，相机支架CD高0.9米，在相机C处观测雕像顶端A的仰角为45°，然后将相机支架移到MN处拍照，在相机M处观测雕像顶端A的仰角为30°，求D、N两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：1.732）． 考点05 解直角三角形的应用-方向角 1．（2022•岳阳）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB＝200米，则点P到赛道AB的距离约为 　 　米（结果保留整数，参考数据：1.732）． 2．（2023•株洲）如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿灯”，一辆轿车从被山峰POQ遮挡的道路②的点B处由南向北行驶．已知∠POQ＝30°，BC∥OQ，OC⊥OQ，AO⊥OP，线段AO的延长线交直线BC于点D． （1）求∠COD的大小； （2）若在点B处测得点O在北偏西α方向上，其中，OD＝12米．问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车？（当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车） 3．（2023•郴州）某次军事演习中，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向，2小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西45°方向，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离（参考数据：1.41，1.73．结果精确到0.1km）． 4．（2022•邵阳）如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45°方向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：1.414，1.732） 5．（2022•怀化）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上．C村在B村的正东方向且两村相距2.4km．有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明．（参考数据：1.73，1.41） 考点06 尺规作图 1．（2023•永州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，作DE⊥AB，垂足为E，则下列结论不正确的是（　　） A．BC＝BE B．CD＝DE C．BD＝AD D．BD一定经过△ABC的内心 2．（2022•益阳）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（　　） A．I到AB，AC边的距离相等 B．CI平分∠ACB C．I是△ABC的内心 D．I到A，B，C三点的距离相等 （多选）3．（2022•湘潭）如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段AB＝2，分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点C、D；②连接AC、BC，作直线CD，且CD与AB相交于点H．则下列说法正确的是（　　） A．△ABC是等边三角形 B．AB⊥CD C．AH＝BH D．∠ACD＝45° 4．（2024•湖南）如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE＝BF；分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N．若MN＝2，AD＝4MD，则AM＝　 　， 5．（2023•湘潭）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，在∠BAC内两弧交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则CD的长为 　 　． 6．（2023•益阳）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝4，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接DE，分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF，交DE于点M，过点M作MN∥AB交BC于点N．则MN的长为 　 　． 7．（2023•岳阳）如图，①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD＝OE；②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC．若∠AOB＝60°，则∠AOC＝　 　°． 8．（2022•郴州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于DE长为半径作弧，在∠BAC内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G．若AB＝8cm，则△BFG的周长等于 　 　cm． 9．（2022•衡阳）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交CB于点D，连接AD．若AC＝8，BC＝15，则△ACD的周长为 　 　． 10．（2024•长沙）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，AC＝2，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线MN分别交AB，BC于点D，E，连接CD，AE． （1）求CD的长； （2）求△ACE的周长． 11．（2023•郴州）如图，四边形ABCD是平行四边形． （1）尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）； （2）若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三年（2022-2024）中考数学真题分项汇编（湖南专用） 专题11 锐角三角函数与尺规作图 考点01 特殊角的三角函数值 1．（2022•岳阳）计算：|﹣3|﹣2tan45°+（﹣1）2022﹣（π）0． 【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【解答】解：|﹣3|﹣2tan45°+（﹣1）2022﹣（π）0 ＝3﹣2×1+1﹣1 ＝3﹣2+1﹣1 ＝1． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的运算，有理数的乘方，绝对值，准确熟练地化简各式是解题的关键． 2．（2022•张家界）计算：2cos45°+（π﹣3.14）0+|1|+（）﹣1． 【分析】根据特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂的性质进行计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂，掌握特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂的性质是正确解答的前提． 考点02 解直角三角形 1．（2023•益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A（0，1），B（4，1），C（5，6），则sin∠BAC＝（　　） A． B． C． D． 【分析】过C作CD⊥AB交AB延长线于D，计算出CD、AC的长，根据正弦计算方法计算即可． 【解答】解：过C作CD⊥AB交AB延长线于D， ∵A（0，1），B（4，1），C（5，6）， ∴D（5，1）， ∴CD＝6﹣1＝5，AD＝5， ∴AC＝5， ∴sin∠BAC， 故选：C． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，平面直角坐标系，关键是构造直角三角形． 2．（2024•湖南）如图，图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图．已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l．若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为 　 　分米（结果用含根号的式子表示）． 【分析】延长DC交l于点H，连接OC，根据题意及解三角形确定，，再由等面积法即可求解． 【解答】解：延长DC交l于点H，连接OC， 在Rt△OBH中，∠BOH＝90°﹣60°＝30°，OB＝12dm， ∴（dm），（dm）， ∵S△OBH＝S△OCH+S△OBC， ∴， ∴， ∴（dm）， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理，解三角形及利用三角形等面积法求解，作出辅助线是解题关键． 3．（2022•张家界）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形ABCD的面积是100，小正方形EFGH的面积是4，那么tan∠ADF＝　 　． 【分析】根据两个正方形的面积可得AD＝10，DF﹣AF＝2，设AF＝x，则DF＝x+2，由勾股定理得，x2+（x+2）2＝102，解方程可得x的值，从而解决问题． 【解答】解：∵大正方形ABCD的面积是100， ∴AD＝10， ∵小正方形EFGH的面积是4， ∴小正方形EFGH的边长为2， ∴DF﹣AF＝2， 设AF＝x，则DF＝x+2， 由勾股定理得，x2+（x+2）2＝102， 解得x＝6或﹣8（负值舍去）， ∴AF＝6，DF＝8， ∴tan∠ADF， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角函数等知识，利用勾股定理列方程求出AF的长是解题的关键． 4．（2022•益阳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，则cosB＝　 　． 【分析】根据三角函数的定义即可得到cosB＝sinA． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∵sinA， ∴cosB． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角函数的定义，由定义可推出互余两角的三角函数的关系：若∠A+∠B＝90°，则sinA＝cosB，cosA＝sinB．熟知相关定义是解题关键． 5．（2024•湖南）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为4米； ③在点F处用测角仪测得∠CFG＝60.3°，∠BFG＝45°，∠AFG＝21.8°； ④用计算器计算得：sin60.3°≈0.87，cos60.3°≈0.50，tan60.3°≈1.75，sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求线段CE和BC的长度； （2）求底座的底面ABCD的面积． 【分析】（1）根据题意得，即可确定CE长度，再由∠BFG＝45°得出BE＝EF＝4米，即可求解； （2）过点A作AM⊥GH于点M，继续利用正切函数确定AB＝ME＝6米，即可求解面积． 【解答】解：（1）∵GH⊥CE，EF的长为4米，∠CFG＝60.3°， ∴， ∴CE＝7（米）； ∵∠BFG＝45°， ∴BE＝EF＝4米， ∴CB＝CE﹣BE＝3（米）； （2）过点A作AM⊥GH于点M，如图所示： ∵∠AFG＝21.8°， ∴， ∵AM＝BE＝4米， ∴MF＝10米， ∴AB＝ME＝10﹣4＝6米， ∴底座的底面ABCD的面积为：3×6＝18（平方米）． 【点评】本题考查了解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． 6．（2023•常德）今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形ABCD是平行四边形，座板CD与地面MN平行，△EBC是等腰三角形且BC＝CE，∠FBA＝114.2°，靠背FC＝57cm，支架AN＝43cm，扶手的一部分BE＝16.4cm．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端F点距地面（MN）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：sin65.8°＝0.91，cos65.8°＝0.41，tan65.8°＝2.23） 【分析】过点F作FQ⊥CD于点Q，过C作CH⊥AB于点H，求出FQ、BH的值解答即可 【解答】解：过点F作FQ⊥CD于点Q， ∵四边形ABCD是平行四边形，∠FBA＝114.2°， ∴∠FCQ＝180°﹣114.2°＝65.8°，FQ＝FC•sin∠FCQ＝57sin65.8°， 过点A作AP⊥MN于点P， 由题意知AB∥CD∥MN，FC∥AN， 则∠ANP＝∠FCQ＝65.8°，又AN＝43cm， ∴AP＝AN•sin∠ANP＝43sin65.8°， 过C作CH⊥AB于点H， ∵BC＝CE，EB＝16.4， ∴BH＝8.2， ∴CH＝BH•tan∠CBH＝8.2×2.23≈18.29， ∴靠背顶端F点距地面（MN）高度为 FQ+AP﹣HC＝57sin65.8°+43sin65.8°﹣18.29＝100×0.91﹣18.29＝72.71≈72.7cm． 【点评】本题考查了解直角三角形，掌握平行四边形是解题的关键． 7．（2023•湘潭）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t＝0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM＝30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处． 问题解决： （1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数； （2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据1.414，1.732） 【分析】（1）求出筒车每秒转过的度数，再根据周角的定义进行计算即可； （2）根据直角三角形的边角关系分别求出OD、OC即可． 【解答】解：（1）由于筒车每旋转一周用时120秒．所以每秒转过360°÷120＝3°， ∴∠BOM＝360°﹣3°×95﹣30°＝45°； （2）如图，过点B、点A分别作OM的垂线，垂足分别为点C、D， 在Rt△AOD中，∠AOD＝30°，OA＝2米， ∴ODOA（米）． 在Rt△BOC中，∠BOC＝45°，OB＝2米， ∴OCOB（米）， ∴CD＝OD﹣OC0.3（米）， 即该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为0.3米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 8．（2023•娄底）几位同学在老师的指导下到某景区进行户外实践活动，在登山途中发现该景区某两座山之间风景优美，但路陡难行，为了便于建议景区管理处在这两山顶间建观光索道，他们分别在两山顶上取A、B两点，并过点B架设一水平线型轨道CD（如图所示），使得∠ABC＝α，从点B出发按CD方向前进20米到达点E，即BE＝20米，测得∠AEB＝β，已知sinα，tanβ＝3，求A、B两点间的距离． 【分析】过点A作AF⊥CD于点F，根据sinα的值设AF＝24x米，AB＝25x米，根据勾股定理求出BF的长，再根据tanβ的值即可求出x的值，从而求出A、B两点间的距离． 【解答】解：过点A作AF⊥CD于点F， ∴∠AFB＝90°， 在Rt△ABF中，， ∴设AF＝24x米，AB＝25x米， 则由勾股定理得米， 在Rt△AFE中，， ∵BE＝20米， ∴， 解得x＝20， ∴AB＝25x＝500米． 答：A、B两点间的距离为500米． 【点评】本题考查了通过作辅助线构建直角三角形，熟练掌握锐角三角函数值的定义是解题的关键． 9．（2022•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F． （1）求证：BC是⊙O的切线． （2）若CF＝2，sinC，求AE的长． 【分析】（1）连接OE，方法一：根据角平分线的性质及同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出∠OEC＝90°即可； 方法二：根据角平分线的性质和等腰三角形的性质得出∠OEC＝90°即可； （2）连接EF，根据三角函数求出AB和半径的长度，再利用三角函数求出AE的长即可． 【解答】（1）证明：连接OE， 方法一：∵AE平分∠BAC交BC于点E， ∴∠BAC＝2∠OAE， ∵∠FOE＝2∠OAE， ∴∠FOE＝∠BAC， ∴OE∥AB， ∵∠B＝90°， ∴OE⊥BC， 又∵OE是⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线； 方法二：∵AE平分∠BAC交BC于点E， ∴∠OAE＝∠BAE， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA， ∴∠BAE＝∠OEA， ∴OE∥AB， ∵∠B＝90°， ∴OE⊥BC， 又∵OE是⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线； （2）解：连接EF， ∵CF＝2，sinC， ∴， ∵OE＝OF， ∴OE＝OF＝3， ∵OA＝OF＝3， ∴AC＝OA+OF+CF＝8， ∴AB＝AC•sinC＝8， ∵∠OAE＝∠BAE， ∴cos∠OAE＝cos∠BAE， 即， ∴， 解得AE（舍去负数）， ∴AE的长为． 【点评】本题主要考查切线的判定和三角函数的应用，熟练掌握切线的判定定理和三角函数是解题的关键． 10．（2022•湘潭）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中0.618）：伞柄AH始终平分∠BAC，AB＝AC＝20cm，当∠BAC＝120°时，伞完全打开，此时∠BDC＝90°．请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：1.732） 【分析】作BE⊥AH于点E，根据三角函数求出AE和EB，再利用等腰直角三角形的性质得出DE，再根据比例关系求出AH的长度即可． 【解答】解：作BE⊥AH于点E， ∵∠BAC＝120°，AH平分∠BAC， ∴∠BAE＝60°， ∴AE＝AB•cos60°＝2010（cm）， BE＝AB•sin60°＝201017.32（cm）， ∵BD＝CD，∠BDC＝90°， ∴∠BDE＝45°， ∴DE＝BE＝17.32cm， ∴AD＝AE+DE＝10+17.32＝27.32（cm）， ∵， 即， 解得AH≈72， ∴最少需要准备72cm长的伞柄． 【点评】本题主要考查解直角三角形的知识，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键． 11．（2022•张家界）阅读下列材料： 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：． 证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则： 在Rt△BCD中，CD＝asinB 在Rt△ACD中，CD＝bsinA ∴asinB＝bsinA ∴ 根据上面的材料解决下列问题： （1）如图2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：； （2）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9） 【分析】（1）根据题目提供的方法进行证明即可； （2）根据（1）的结论，直接进行计算即可． 【解答】（1）证明：如图2，过点A作AD⊥BC于点D， 在Rt△ABD中，AD＝csinB， 在Rt△ACD中，AD＝bsinC， ∴csinB＝bsinC， ∴； （2）解：如图3，过点A作AE⊥BC于点E， ∵∠BAC＝67°，∠B＝53°， ∴∠C＝60°， 在Rt△ACE中，AE＝AC•sin60°＝8040（m）， 又∵， 即， ∴BC＝90m， ∴S△ABC1800（m2）． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． 12．（2022•常德）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳台的跨度FG＝7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）． （参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73） 【分析】过点E作EN⊥BC于点N，交HG于点M，则AB＝AH﹣EM+EN，分别在Rt△AHF中，Rt△FEM和Rt△EMG中，解直角三角形即可得出结论． 【解答】解：如图，过点E作EN⊥BC于点N，交HG于点M，则AB＝AH﹣EM+EN． 根据题意可知，∠AHF＝∠EMF＝∠EMG＝90°，EN＝40（米）， ∵HG∥BC， ∴∠EGM＝∠ECB＝36°， 在Rt△AHF中，∠AFH＝40°，AF＝50， ∴AH＝AF•sin∠AFH≈50×0.64＝32（米）， 在Rt△FEM和Rt△EMG中，设MG＝m米，则FM＝（7﹣m）米， ∴EM＝MG•tan∠EGM＝MG•tan36°≈0.73m， EM＝FM•tan∠EFM＝FM•tan25°≈0.47（7﹣m）， ∴0.73m＝0.47（7﹣m）， 解得m≈2.7， ∴EM≈0.47（7﹣m）＝2.021（米）， ∴AB＝AH﹣EM+EN≈32﹣2.021+40≈70（米）． ∴此大跳台最高点A距地面BD的距离约是70米． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，涉及三角函数值的定义，解一元一次方程，正确作出辅助线，并得出AB＝AH﹣EM+EN是解题关键． 13．（2022•娄底）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”．墩墩使用握力器（如实物图所示）锻炼手部肌肉．如图，握力器弹簧的一端固定在点P处，在无外力作用下，弹簧的长度为3cm，即PQ＝3cm．开始训练时，将弹簧的端点Q调在点B处，此时弹簧长PB＝4cm，弹力大小是100N，经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点Q调到点C处，使弹力大小变为300N，已知∠PBC＝120°，求BC的长． 注：弹簧的弹力与形变成正比，即F＝k•Δx，k是劲度系数，Δx是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为x0，在外力作用下，弹簧的长度为x，则Δx＝x﹣x0． 【分析】由题意可以先求出k的值，然后即可求出PC的长，再根据勾股定理即可得到PA和AB的长，由图可知：BC＝AC﹣AB，代入数据计算即可． 【解答】解：由题意可得， x0＝3cm， 100＝k（4﹣3）， 解得k＝100， ∴F＝100Δx， 当F＝300时，300＝100×（PC﹣3）， 解得PC＝6cm， 由图可得， ∠PAB＝90°，∠PBC＝120°， ∴∠APB＝30°， ∵PB＝4cm， ∴AB＝2cm，PA2（cm）， ∵PC＝6cm， ∴AC2（cm）， ∴BC＝AC﹣AB＝（22）cm， 即BC的长是（22）cm． 【点评】本题考查解直角三角形的应用、正比例函数，解答本题的关键是求出k的值，以及AC和AB的值． 考点03 解直角三角形的应用-坡度坡角 1．（2022•株洲）如图（Ⅰ）所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段AC至山谷点C处，再从点C处沿线段CB至山坡②的山顶点B处．如图（Ⅱ）所示，将直线l视为水平面，山坡①的坡角∠ACM＝30°，其高度AM为0.6千米，山坡②的坡度i＝1：1，BN⊥l于N，且CN千米． （1）求∠ACB的度数； （2）求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程． 【分析】（1）根据坡度的概念求出∠BCN＝45°，根据平角的概念计算即可； （2）根据含30°角的直角三角形的性质求出AC，根据余弦的定义求出BC，进而得到答案． 【解答】解：（1）∵山坡②的坡度i＝1：1， ∴CN＝BN， ∴∠BCN＝45°， ∴∠ACB＝180°﹣30°﹣45°＝105°； （2）在Rt△ACM中，∠AMC＝90°，∠ACM＝30°，AM＝0.6千米， ∴AC＝2AM＝1.2千米， 在Rt△BCN中，∠BNC＝90°，∠BCN＝45°，CN千米， 则BC2（千米）， ∴该登山运动爱好者走过的路程为：1.2+2＝3.2（千米）， 答：该登山运动爱好者走过的路程为3.2千米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．（2022•长沙）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°． （1）求该斜坡的高度BD； （2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线） 【分析】（1）根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求解； （2）在△ACD中，根据∠CBD＝30°，∠CAB＝15°，求出AC＝AB，从而得出AC的长． 【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，BA＝20m， ∴BDBA＝10（m）， 答：该斜坡的高度BD为10m； （2）在△ACB中，∠BAD＝30°，∠BCA＝15°， ∴∠CBA＝15°， ∴AB＝AC＝20（m）， 答：斜坡新起点C与原起点A之间的距离为20m． 【点评】本题主要考查坡度坡角的定义及解直角三角形，得到AB＝AC是解题的关键． 3．（2022•郴州）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i1＝1：1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1：，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离． （参考数据：1.41，1.73．结果精确到0.1m） 【分析】在Rt△BCD中，根据BC的坡度为i1＝1：1，可求出BD的长，再在Rt△ACD中，根据AC的坡度为i2＝1：，可求出AD的长，然后利用AB＝AD﹣BD，进行计算即可解答． 【解答】解：在Rt△BCD中， ∵BC的坡度为i1＝1：1， ∴1， ∴CD＝BD＝20米， 在Rt△ACD中， ∵AC的坡度为i2＝1：， ∴， ∴ADCD＝20（米）， ∴AB＝AD﹣BD＝2020≈14.6（米）， ∴背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握坡度是解题的关键． 考点04 解直角三角形的应用-仰角俯角 1．（2023•岳阳）2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°，仪器与气球的水平距离BC为20米，且距地面高度AB为1.5米，则气球顶部离地面的高度EC是 　 　米（结果精确到0.1米，sin21.8°≈0.3714，cos21.8°≈0.9285，tan21.8°≈0.4000）． 【分析】由题意得，四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质得到AB＝CD＝1.5m，AD＝BC＝20m，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：由题意得，四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝1.5m，AD＝BC＝20m， 在Rt△ADE中， ∵AD＝BC＝20m，∠EAD＝21.8°， ∴DE＝AD•tan21.8°≈20×0.4000＝8（m）， ∴CE＝CD+DE＝1.5+8＝9.5（m）， 答：气球顶部离地面的高度EC是9.5m． 故答案为：9.5． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，矩形的性质，正确地理解仰角的定义是解题的关键． 2．（2022•衡阳）回雁峰坐落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，AE＝10m，∠BDG＝30°，∠BFG＝60°．已知测角仪DA的高度为1.5m，则大雁雕塑BC的高度约为 　 　m．（结果精确到0.1m．参考数据：1.732） 【分析】首先证明BF＝DF＝10，在Rt△BFG中，根据三角函数定义求出BG即可解决问题． 【解答】解：∵∠BFG＝60°，∠BDG＝30°， ∴∠DBF＝60°﹣30°＝30°， ∴∠DBF＝∠BDF， ∴DF＝BF＝AE＝10， Rt△BFG中，sin∠BFG， ∴， ∴BG＝55×1.732≈8.66， ∴BC＝BG+CG＝8.66+1.5≈10.2（m）． 答：大雁雕塑BC的高度约为10.2m． 故答案为：10.2． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 3．（2023•长沙）2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°． （1）求点A离地面的高度AO； （2）求飞船从A处到B处的平均速度．（结果精确到0.1km/s，参考数据：1.73） 【分析】（1）根据直角三角形的性质即可得到结论； （2）在Rt△AOC中，根据直角三角形的性质得到OCAC＝4（km），在Rt△BOC中，根据等腰直角三角形的性质得到OB＝OC＝4km，于是得到结论． 【解答】解：（1）在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8km， ∴AOAC（km）， （2）在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8km， ∴OCAC＝4（km）， 在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠BCO＝45°， ∴∠BCO＝∠OBC＝45°， ∴OB＝OC＝4（km）， ∴AB＝OB﹣OA＝（4）km， ∴飞船从A处到B处的平均速度0.3（km/s）． 【点评】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题，正确地求得结果是解题的关键． 4．（2023•衡阳）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部24米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30°，CD长为49.6米．已知目高CE为1.6米． （1）求教学楼AB的高度． （2）若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以4米/秒的速度继续向前匀速飞行．求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB． 【分析】（1）过点B作BM⊥CD于点M，则∠DBM＝∠BDN＝30°，在Rt△BDM中，通过解直角三角形可得出BM的长度，再结合AB＝CM＝CD﹣DM，即可求出结论； （2）延长EB交DN于点G，则∠DGE＝∠MBE，在Rt△EMB中，利用锐角三角函数的定义求出∠MBE＝30°，从而可得∠DEG＝60°，然后在Rt△EDG中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，最后进行计算即可解答． 【解答】解：（1）过点B作BM⊥CD于点M，则∠DBM＝∠BDN＝30°， 在Rt△BDM中，BM＝AC＝24米，∠DBM＝30°， ∴DM＝BM•tan∠DBM＝2424（米）， ∴AB＝CM＝CD﹣DM＝49.6﹣24＝25.6（米）． 答：教学楼AB的高度为25.6米； （2）延长EB交DN于点G，则∠DGE＝∠MBE， 在Rt△EMB中，BM＝AC＝24米，EM＝CM﹣CE＝24米， ∴tan∠MBE， ∴∠MBE＝30°＝∠DGE， ∵∠EDG＝90°， ∴∠DEG＝90°﹣30°＝60°， 在Rt△EDG中，ED＝CD﹣CE＝48米， ∴DG＝ED•tan60°＝48（米）， ∴48412（秒）， ∴经过12秒时，无人机刚好离开了圆圆的视线． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 5．（2023•怀化）为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为30°，在B点处测得碑顶D的仰角为60°，已知AB＝35m，测角仪的高度是1.5m（A、B、C在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD．（1.732，结果保留一位小数） 【分析】根据题意可得AM＝BN＝CE＝1.5m，AB＝MN＝35m，∠DEM＝90°，∠DNE＝60°，∠DME＝30°，先利用三角形的外角性质可得∠DMN＝∠MDN＝30°，从而可得DN＝MN＝35m，然后在Rt△DNE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，即可得的答案． 【解答】解：由题意得：AM＝BN＝CE＝1.5m，AB＝MN＝35m，∠DEM＝90°，∠DNE＝60°，∠DME＝30°， ∵∠DNE是△DMN的外角， ∴∠MDN＝∠DNE﹣∠DMN＝30°， ∴∠DMN＝∠MDN＝30°， ∴DN＝MN＝35m， 在Rt△DNE中，DE＝DN•sin60°＝35（m）， ∴DC＝DE+CE1.51.5≈31.8（m）． 答：烈士纪念碑的通高CD约为31.8m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 6．（2023•张家界）“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼AB的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P点，测得奇楼顶端A的俯角为15°，再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为45°，求奇楼AB的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27） 【分析】延长BA交PQ的延长线于C，则∠ACQ＝90°，根据题意得到BC＝225m，PQ＝200m，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：延长BA交PQ的延长线于C， 则∠ACQ＝90°， 由题意得，BC＝225m，PQ＝200m， 在Rt△BCQ中，∠BQC＝45°， ∴CQ＝BC＝225m， ∴PC＝PQ+CQ＝425（m）， 在Rt△PCA中，tan∠APC＝tan15°， ∴AC＝114.75m， ∴AB＝BC﹣AC＝225﹣114.75＝110.25≈110（m）， 答：奇楼AB的高度约为110m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． 7．（2023•邵阳）我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹，中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功．如图，有一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达P处时，地面A处的雷达站测得AP距离是5000m，仰角为23°，9s后，火箭直线到达Q处，此时地面A处雷达站测得Q处的仰角为45°，求火箭从P到Q处的平均速度（结果精确到1m/s）． （参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42） 【分析】利用已知结合锐角三角函数关系得出PO以及QO的长，再求出PQ的长，即可得出平均速度． 【解答】解：由题意可得：∠PAO＝23°，∠QAO＝45°，AP＝5000m， 则PO＝APsin23°＝5000×0.39≈1950（m）， AO＝APcos23°＝5000×0.92≈4600（m）， ∴OQ＝AO＝4600m， ∴PQ＝OQ﹣OP＝4600﹣1950＝2650（m）， 则火箭从P处到Q处的平均速度为：2650÷9≈294（m/s）， 答：火箭从P到Q处的平均速度294m/s． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，得出QO的长是解题关键． 8．（2023•永州）永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米（如图1所示）．寓意陈树湘为中国革命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段AB代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面BN上D处为陈树湘雕像拍照，相机支架CD高0.9米，在相机C处观测雕像顶端A的仰角为45°，然后将相机支架移到MN处拍照，在相机M处观测雕像顶端A的仰角为30°，求D、N两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：1.732）． 【分析】根据题意可得：AB⊥BN，AH⊥HN，BH＝CD＝MN＝0.9米，AB＝2.9米，CM＝DN，从而可得AH＝2米，然后在Rt△AHC中，利用锐角三角函数的定义求出CH的长，再在Rt△AHM中，利用锐角三角函数的定义求出HM的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：AB⊥BN，AH⊥HN，BH＝CD＝MN＝0.9米，AB＝2.9米，CM＝DN， ∴AH＝AB﹣BH＝2.9﹣0.9＝2（米）， 在Rt△AHC中，∠ACH＝45°， ∴CH2（米）， 在Rt△AHM中，∠AMH＝30°， ∴HM2（米）， ∴CM＝HM﹣HC＝22≈1.5（米）， ∴DN＝CM＝1.5米， ∴D、N两点间的距离约为1.5米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 考点05 解直角三角形的应用-方向角 1．（2022•岳阳）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB＝200米，则点P到赛道AB的距离约为 　 　米（结果保留整数，参考数据：1.732）． 【分析】过点P作PC⊥AB，垂足为P，设PC＝x米，然后分别在Rt△APC和Rt△CBP中，利用锐角三角函数的定义求出AC，BC的长，再根据AB＝200米，列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：过点P作PC⊥AB，垂足为C， 设PC＝x米， 在Rt△APC中，∠APC＝30°， ∴AC＝PC•tan30°x（米）， 在Rt△CBP中，∠CPB＝60°， ∴BC＝CP•tan60°x（米）， ∵AB＝200米， ∴AC+BC＝200， ∴xx＝200， ∴x＝5087， ∴PC＝87米， ∴点P到赛道AB的距离约为87米， 故答案为：87． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 2．（2023•株洲）如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿灯”，一辆轿车从被山峰POQ遮挡的道路②的点B处由南向北行驶．已知∠POQ＝30°，BC∥OQ，OC⊥OQ，AO⊥OP，线段AO的延长线交直线BC于点D． （1）求∠COD的大小； （2）若在点B处测得点O在北偏西α方向上，其中，OD＝12米．问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车？（当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车） 【分析】（1）根据垂直的定义得到∠POD＝90°，根据三角形的内角和定理得到∠DOQ＝∠POD﹣∠POQ＝90°﹣30°＝60°，根据垂直的定义得到∠COQ＝90°，于是得到结论； （2）根据平行线的性质得到∠BCO＝180°﹣∠COQ＝90°，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：（1）∵AO⊥OP， ∴∠POD＝90°， ∵∠POQ＝30°， ∴∠DOQ＝∠POD﹣∠POQ＝90°﹣30°＝60°， ∵OC⊥OQ， ∴∠COQ＝90°， ∴∠COD＝∠COQ﹣∠DOQ＝90°﹣60°＝30°， 即∠COD的大小为30°； （2）∵BC∥OQ， ∴∠BCO＝180°﹣∠COQ＝90°， 在Rt△COD中，∠COD＝30°，OD＝12米， ∴（米）， ∴6（米）， ∵tan， ∴BC（米）， ∴BD＝BC﹣CD＝30﹣6＝24（米）， 即轿车至少行驶24米才能发现点A处的货车． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，平行线的性质，正确地求出结果是解题关键． 3．（2023•郴州）某次军事演习中，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向，2小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西45°方向，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离（参考数据：1.41，1.73．结果精确到0.1km）． 【分析】由题意得，AB＝40×2＝80（km），∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，过C作CD⊥AB于D，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：由题意得，AB＝40×2＝80（km），∠CAB＝30°，∠ABC＝45°， 如图，过C作CD⊥AB于D， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∴， ∵AB＝80km， ∴CD+CD＝80， 解得CD＝4040≈29.2（km）， 答：该船在航行过程中与小岛C的最近距离为29.2km． 【点评】本题考查解直角三角形应用﹣方向角问题、勾股定理的应用等知识，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 4．（2022•邵阳）如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45°方向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：1.414，1.732） 【分析】过点C作CD垂直AB，利用特殊角的三角函数值求得CD的长度，从而根据无理数的估算作出判断． 【解答】解：安全，理由如下： 过点C作CD垂直AB， 由题意可得，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，AB＝30×1＝30km， 在Rt△CBD中，设CD＝BD＝x km，则AD＝（x+30）km， 在Rt△ACD中，tan30°， ∴， ∴， 解得：x＝1515≈40.98＞40， 所以，这艘轮船继续向正东方向航行是安全的． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，通过添加辅助线构建直角三角形，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 5．（2022•怀化）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上．C村在B村的正东方向且两村相距2.4km．有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明．（参考数据：1.73，1.41） 【分析】过A点作AD⊥BC于D点，根据题意可得BDAD，CD＝AD，由BC＝2400m可得关于AD的方程，计算可求解AD的长，进而可求解． 【解答】解：过A点作AD⊥BC于D点， 由题意知：∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠ACD＝45°， ∴BDAD，CD＝AD， ∵BC＝2.4km＝2400m， ∴AD+AD＝2400， 解得：AD＝1200（1）≈876＞800， 故该公路不能穿过纪念园． 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣方向角，构造直角三角形是解题的关键． 考点06 尺规作图 1．（2023•永州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，作DE⊥AB，垂足为E，则下列结论不正确的是（　　） A．BC＝BE B．CD＝DE C．BD＝AD D．BD一定经过△ABC的内心 【分析】由作图知，BD平分∠ABC，根据角平分线的性质得到CD＝DE，BD一定经过△ABC的内心，故B不符合题意，故D不符合题意；根据全等三角形的性质得到BC＝BE，故A不符合题意；无法证明BD＝AD，故C符合题意． 【解答】解：由作图知，BD平分∠ABC， ∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴CD＝DE，BD一定经过△ABC的内心，故B不符合题意，故D不符合题意； 在Rt△BCD与Rt△BED中， ， ∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL）， ∴BC＝BE，故A不符合题意；无法证明BD＝AD，故C符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正确地识别图形是解题的关键． 2．（2022•益阳）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（　　） A．I到AB，AC边的距离相等 B．CI平分∠ACB C．I是△ABC的内心 D．I到A，B，C三点的距离相等 【分析】根据作图先判断AE平分∠BAC，再由三角形内心的性质解答即可． 【解答】解：由作图可知，AE是∠BAC的平分线， ∴I到AB，AC边的距离相等，故选项A正确，不符合题意； ∵BD平分∠ABC，三角形三条角平分线交于一点， ∴CI平分∠ACB，故选项B正确，不符合题意； I是△ABC的内心，故选项C正确，不符合题意， ∴I到AB，AC，BC的距离相等，不是到A，B，C三点的距离相等，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查尺规作图，涉及三角形内心的性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和三角形内心的性质． （多选）3．（2022•湘潭）如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段AB＝2，分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点C、D；②连接AC、BC，作直线CD，且CD与AB相交于点H．则下列说法正确的是（　　） A．△ABC是等边三角形 B．AB⊥CD C．AH＝BH D．∠ACD＝45° 【分析】利用基本作图得到CD垂直平分AB，AC＝BC＝AB，则可对A选项、B选项和C选项进行判断；然后根据等边三角形的性质可对D选项进行判断． 【解答】解：由作法得CD垂直平分AB，AC＝BC＝AB， ∴△ABC为等边三角形，AB⊥CD，AH＝BH，所以A、B、C选项符合题意； ∴∠ACD∠ACB＝30°．所以D选项不符合题意； 故选：ABC． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质． 4．（2024•湖南）如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE＝BF；分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N．若MN＝2，AD＝4MD，则AM＝　 　， 【分析】由作图过程可知，BP为∠ABC的平分线，结合角平分线的性质可得MD＝MN＝2，则AD＝4MD＝8，进而可得AM＝AD﹣MD＝6． 【解答】解：由作图过程可知，BP为∠ABC的平分线， ∵AD是边BC上的高， ∴AD⊥BC， ∵MN⊥AB， ∴MD＝MN＝2． ∴AD＝4MD＝8， ∴AM＝AD﹣MD＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． 5．（2023•湘潭）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，在∠BAC内两弧交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则CD的长为 　 　． 【分析】根据角平分线的性质得到CD＝点D到AB的距离＝1． 【解答】解：由作图知AD平分∠BAC， ∵∠C＝90°，点D到AB的距离为1， ∴CD＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质． 6．（2023•益阳）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝4，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接DE，分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF，交DE于点M，过点M作MN∥AB交BC于点N．则MN的长为 　 　． 【分析】延长NM交AD于点Q，再判定四边形CDQN是平行四边形，最后根据三角形的中位线的性质求解． 【解答】解：延长NM交AD于点Q， 由作图得：AD＝AE＝4，AF平分∠BAD， ∴DM＝ME， ∴MN∥AB， ∴DQ＝AQ，CN＝BN， ∴QM＝2， 在▱ABCD中，AD∥BC，CD＝AB＝6， ∴四边形CDQN是平行四边形， ∴QN＝CD＝AB＝6， ∴MN＝NQ﹣MQ＝6﹣2＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了基本作图，掌握平行四边形的性质和三角形的中位线的性质是解题的关键． 7．（2023•岳阳）如图，①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD＝OE；②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC．若∠AOB＝60°，则∠AOC＝　 　°． 【分析】直接根据角平分线的作法即可得出结论． 【解答】解：∵由作法可知，OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOC∠AOB30°． 故答案为：30． 【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键． 8．（2022•郴州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于DE长为半径作弧，在∠BAC内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G．若AB＝8cm，则△BFG的周长等于 　 　cm． 【分析】直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定与性质进而得出AC＝AG，即可得出答案． 【解答】解：在△ABC中， ∵∠C＝90°， ∴FC⊥AC， ∵FG⊥AB， 由作图方法可得：AF平分∠BAC， ∴∠BAF＝∠CAF，FC＝FG， 在Rt△ACF和Rt△AGF中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL）， ∴AC＝AG， ∵AC＝BC， ∴AG＝BC， ∴△BFG的周长＝GF+BF+BG＝CF+BF+BG＝BC+BG＝AG+BG＝AB＝8cm． 故答案为：8． 【点评】此题主要考查了作图﹣基本作图以及全等三角形的判定与性质，正确理解基本作图方法是解题关键． 9．（2022•衡阳）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交CB于点D，连接AD．若AC＝8，BC＝15，则△ACD的周长为 　 　． 【分析】根据作图过程可得MN是线段AB的垂直平分线，得AD＝BD，进而可得△ACD的周长． 【解答】解：根据作图过程可知： MN是线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴△ACD的周长为：AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝8+15＝23． 故答案为：23． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 10．（2024•长沙）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，AC＝2，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线MN分别交AB，BC于点D，E，连接CD，AE． （1）求CD的长； （2）求△ACE的周长． 【分析】（1）由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，点D为AB的中点，根据直角三角形斜边中线定理可得，CD． （2）由勾股定理得，BC4．由线段垂直平分线的性质得EA＝EB，则△ACE的周长可转化为AC+CE+EB＝AC+BC，进而可得答案． 【解答】解：（1）由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线， ∴点D为AB的中点， ∴CD． （2）在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC4． ∵直线MN为线段AB的垂直平分线， ∴EA＝EB． ∴△ACE的周长为AC+CE+EA＝AC+CE+EB＝AC+BC＝2+4＝6． 【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线定理、勾股定理是解答本题的关键． 11．（2023•郴州）如图，四边形ABCD是平行四边形． （1）尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）； （2）若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形． 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可． 【解答】（1）解：如图，直线MN即为所求； （2）证明：设AC与EF交于点O．由作图可知，EF垂直平分线段AC， ∴OA＝OC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥CF， ∴∠OAE＝∠OCF， ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝CF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵AC⊥EF， ∴四边形AFCE是菱形． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$