精品解析：2024年广西初中学业水平考试数学全真模拟试题（九）

2024年广西初中学业水平考试全真模拟试题（九） 数 学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上； 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效； 3．不能使用计算器； 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）． A. B. C. D. 3. 中国信息通信研究院测算，2020-2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 与最接近的整数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如图，比数轴上点A表示数大3的数是（ ） A B. 0 C. 1 D. 2 6. 计算： = （ ） A. B. C. D. 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知a，b，m是实数，且，那么有（ ） A. B. C. D. 9. 如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm，他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为4cm的像，蜡烛与纸筒的距离应该为（ ） A. 60cm B. 65cm C. 70cm D. 75cm 10. 如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的长是（　　） A. 2 B. C. 1 D. 11. 固体的溶解度表示在一定温度下，某固态物质在100g溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量．溶解度受温度的影响较大，如图是a，b两种固态物质溶解度y（g）与温度t（）之间的对应关系图象．下列说法中，错误的是（　　） A. a，b两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大 B. 时，a，b两种物质的溶解度相等 C. 时，b物质的溶解度大于a物质的溶解度 D. 时，a物质在100g溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量为40g 12. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B在反比例函数的图象上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为1，，轴，若的面积为，则k的值为（ ） A. B. 27 C. 3 D. 6 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 4的算术平方根是________． 14. 计算的结果是______． 15. 如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB＝2 cm，则线段BC＝________ cm. 16. 从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到2名同学都是男生概率______． 17. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 18. 如图，在四边形中，，，，，点在线段上运动，点在线段上，，则线段的最小值为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算：． 20 解方程组：． 21. 如图，点是矩形的边上的一点，且． （1）尺规作图：在的延长线上找一点，使平分；（不直接作的角平分线，保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 22. 五四青年节前夕，某校开展了主题为“扬五四精神·展青春风采”的教育主题活动.为了解七、八年级学生的学习情况，从七、八年级中各随机抽取10名学生进行测试，成绩（百分制）统计如下： 七年级：98 96 86 85 84 94 77 69 59 94 八年级：99 96 73 82 96 79 65 96 55 96 请根据以上数据，按要求补全数据描述、数据分析，并进行结论推断． （1）数据整理：根据上面得到的两组数据，分别绘制了如图所示的频数分布直方图，请补全八年级成绩的频数分布直方图． （2）数据分析：两组数据的平均数、中位数、方差如下表所示． 年级 平均数/分 中位数/分 方差 七年级 85.5 144.36 八年级 83.7 215.21 表格中的值为________，的值为________． （3）结论推断：根据以上信息，对七、八两个年级各抽取的10名学生的测试成绩作出评价.（从“平均数”“中位数”“方差”这三个统计量中选择两个统计量进行评价） 23. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点D． （1）求抛物线L的函数表达式； （2）若抛物线与抛物线L关于x轴对称，的顶点为P．请问在抛物线上是否存在点Q，使得？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，与交于点M，与的另一个交点为E，过M作，垂足为N． （1）求证：是的切线； （2）若的直径为5，，求的长． 25. 综合与实践： 如图，生活中的很多工艺品，可以看成是由一些简单的平面图形旋转得到的几何体． 【知识背景】把一个平面图形绕着不同的轴旋转，可以得到一个不同形状的几何体．如图，某数学兴趣小组把周长为的矩形绕它的一条边旋转可以形成一个圆柱体． 请完成下列方案设计中的任务 【方案设计】目标：设计一个侧面积最大的圆柱体． 任务一：把圆柱体的侧面沿着其中一条母线EF剪开并展平，研究圆柱体侧面展开图的形状及边长． （1）圆柱体的侧面展开图是一个什么平面图形？的长度与圆柱体的底面周长有什么关系？ （2）如图，设的长度为，请用含有x的代数式分别表示的长度； 任务二：计算圆柱体侧面积，设圆柱体的侧面积为． （3）在（2）的条件下，求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （4）在（3）条件下，求当x取何值时，圆柱体的侧面积y最大？最大值是多少？ 26. 综合与实践 如图1，在直角三角形纸片中，，，． 【数学活动】 将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：将沿折痕展开，然后将绕点逆时针方向旋转得到，点，的对应点分别是点，，直线与边所在直线交于点（点不与点重合），与边所在直线交于点． 【数学思考】 （1）折痕的长为______； （2）绕点旋转至图1的位置时，试判断与的数量关系，并证明你的结论； 【数学探究】 （3）绕点旋转至图2、图3所示位置时，探究下列问题： ①如图2，当直线经过点时，的长为______； ②如图3，当直线时，的长为______； 【问题延伸】 （4）在绕点旋转的过程中，连接，则的取值范围是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年广西初中学业水平考试全真模拟试题（九） 数 学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上； 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效； 3．不能使用计算器； 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较．根据题意，比较各数的绝对值大小，即可解答． 【详解】解：， 则信号最强的是， 故选：D． 2. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不合题意； C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意； D. 是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 3. 中国信息通信研究院测算，2020-2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法． 【详解】解：数据10.6万亿用科学记数法表示为， 故选：D． 4. 与最接近的整数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确估算出的取值范围是解题关键． 直接得出，进而得出最接近的整数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴与无理数最接近的整数是4． 故选：B． 5. 如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴及有理数的加法可进行求解． 【详解】解：由数轴可知点A表示的数是，所以比大3的数是； 故选D． 【点睛】本题主要考查数轴及有理数的加法，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的加法是解题的关键． 6. 计算： = （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，积的乘方，掌握相关的运算法则是解题的关键．先算积的乘方，再算单项式乘以单项式，求解即可． 【详解】原式 故选：A． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘和合并同类项等方面的计算能力，运用相关运算方法进行逐一计算、辨别．关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算． 【详解】解：， 选项A不符合题意； ， 选项B不符合题意； ， 选项C符合题意； ， 选项D不符合题意， 故选：C． 8. 已知a，b，m是实数，且，那么有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由不一定可得，例如，但是，原式错误，不符合题意； B、由可得，原式正确，符合题意； C、由不一定能得到，例如时，，原式错误，不符合题意； D、由不一定能得到，例如时，，原式错误，不符合题意； 故选：B． 9. 如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm，他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为4cm的像，蜡烛与纸筒的距离应该为（ ） A. 60cm B. 65cm C. 70cm D. 75cm 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意得出相似三角形，再利用三角形相似的性质得到相似比，然后根据比例性质计算． 【详解】解：如图，，，， 作过点O作OE⊥AB交AB于E，并反向延长交CD于F，则∠AEO=90°， ∵， ∴∠AEO=∠OFD=90° ∴， ∴， ∴，即， 解得．故选：D． 【点睛】 本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 10. 如图，⊙O半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的长是（　　） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由于∠BAC=60°，OD⊥弦BC，根据圆周角定理和等腰三角形“三线合一”的性质可求出∠BOD=60°，在Rt△BOD中，利用特殊角三角函数值求OD即可． 【详解】解：∵OD⊥弦BC，OB=OC， ∴∠BOD=∠BOC， ∵∠A=∠BOC， ∴∠BOD=∠A=60°， ∵cos∠BOD=， ∴OD=cos60°×OB=×2=1， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形“三线合一”的性质、解直角三角形，解题的关键是熟记特殊角三角函数． 11. 固体的溶解度表示在一定温度下，某固态物质在100g溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量．溶解度受温度的影响较大，如图是a，b两种固态物质溶解度y（g）与温度t（）之间的对应关系图象．下列说法中，错误的是（　　） A. a，b两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大 B. 时，a，b两种物质的溶解度相等 C. 时，b物质的溶解度大于a物质的溶解度 D. 时，a物质在100g溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量为40g 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图象．根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可． 【详解】解：由图象可知： A、a，b两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大， 故选项A说法正确，不符合题意； B、当温度升高至时，a，b两种物质的溶解度相等， 故选项B说法正确，不符合题意； C、时，b物质的溶解度小于a物质的溶解度， 故选项C说法错误，符合题意； D、时，a物质在100g溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量为40g， 故选项D说法正确，不符合题意． 故选：C． 12. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B在反比例函数的图象上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为1，，轴，若的面积为，则k的值为（ ） A. B. 27 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义、应用面积法构造方程，以及反比例函数图象上点的坐标与之间的关系．根据题意，利用面积法求出，利用等腰三角形三线合一的性质求得，设出点坐标，表示点的坐标．应用反比例函数上点的横纵坐标乘积为构造方程求． 【详解】解：作轴于，交于． 与轴平行， ， ， ， 点的纵坐标为4，点的纵坐标为1， ，， ， 的面积为， ， ， ， 设点的坐标为，则点坐标为， 顶点、在反比例函数的图象上， ， ， 点坐标为， ， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 4的算术平方根是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键； 根据算术平方根的概念即可求出结果． 【详解】解：， 4的算术平方根是2， 故答案为：2． 14. 计算的结果是______． 【答案】2 【解析】 【分析】直接利用二次根式的乘法运算求解即可． 【详解】解：， 故答案是：2． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则． 15. 如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB＝2 cm，则线段BC＝________ cm. 【答案】6 【解析】 【分析】过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，根据平行线分线段成比例可得AB：BC=AD：DE，代入计算即可解答． 【详解】如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D， ∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等， ∴AB：BC=AD：DE， 即2：BC=2：6， ∴BC=6cm． 故答案为6． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 16. 从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到2名同学都是男生的概率______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率．根据题意列表表示抽取的等可能性，再根据题意选出符合条件的情况，再求解即可． 【详解】解：根据题意得： ， 根据列表可知共有12种情况，符合题意得有6种情况， ∴设被抽到2名同学都是男生为事件A， 即：， 故答案为：． 17. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】由方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：m＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 18. 如图，在四边形中，，，，，点在线段上运动，点在线段上，，则线段的最小值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理的推论、勾股定理、三角形内角和定理等知识，根据题意分析得到点的运动轨迹是解题的关键．设的中点为，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，证明，可知点在以为直径的半圆上运动，当点运动到与的交点时，线段有最小值，据此求解即可． 【详解】解：设的中点为，以为直径画圆，连接，如下图， 设与的交点为点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的半圆上运动， ∴当点运动到与的交点时，线段有最小值， ∵，， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：8． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算负整数指数幂，再根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 20. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，掌握加减消元法是解题的关键．用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 方程组的解为：． 21. 如图，点是矩形的边上的一点，且． （1）尺规作图：在的延长线上找一点，使平分；（不直接作的角平分线，保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）四边形是菱形，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）以为圆心，为半径作交的延长线于点，连接即可； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【小问1详解】 解：图形如图所示： 【小问2详解】 结论：四边形是菱形． 理由：四边形是矩形， ∴， ， 平分， ， ， ， ， ， 四边形平行四边形， ， 四边形是平行四边形． 22. 五四青年节前夕，某校开展了主题为“扬五四精神·展青春风采”的教育主题活动.为了解七、八年级学生的学习情况，从七、八年级中各随机抽取10名学生进行测试，成绩（百分制）统计如下： 七年级：98 96 86 85 84 94 77 69 59 94 八年级：99 96 73 82 96 79 65 96 55 96 请根据以上数据，按要求补全数据描述、数据分析，并进行结论推断． （1）数据整理：根据上面得到的两组数据，分别绘制了如图所示的频数分布直方图，请补全八年级成绩的频数分布直方图． （2）数据分析：两组数据的平均数、中位数、方差如下表所示． 年级 平均数/分 中位数/分 方差 七年级 85.5 144.36 八年级 83.7 215.21 表格中的值为________，的值为________． （3）结论推断：根据以上信息，对七、八两个年级各抽取的10名学生的测试成绩作出评价.（从“平均数”“中位数”“方差”这三个统计量中选择两个统计量进行评价） 【答案】（1）见解析 （2）84.2，89 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了补全频数分布直方图、平均数、中位数、方差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由成绩统计可得：八年级成绩在之间的有人，在之间的有人，由此补全八年级频数分布直方图即可； （2）根据平均数和中位数的定义计算即可； （3）根据平均数、中位数以及方差分析即可得出答案． 【小问1详解】 解：由成绩统计可得：八年级成绩在之间的有人，在之间的有人， 补全八年级频数分布直方图如答图所示： 【小问2详解】 解：由题意得： ， ， 故答案为：84.2，89； 【小问3详解】 解：答案不唯一，合理即可， 从平均数来看：七年级抽取的10名学生成绩的平均数高于八年级抽取的10名学生成绩的平均数； 从中位数来看：八年级抽取的10名学生成绩的中位数高于七年级抽取的10名学生成绩的中位数； 从方差来看：七年级抽取的10名学生成绩的方差小于八年级抽取的10名学生成绩的方差， 说明七年级抽取的10名学生成绩波动小． 23. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点D． （1）求抛物线L的函数表达式； （2）若抛物线与抛物线L关于x轴对称，的顶点为P．请问在抛物线上是否存在点Q，使得？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线L的函数表达式为； （2）存在，点Q坐标为或． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线L交x轴于，，运用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的解析式，设点，再求得，，根据，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴，解得， ∴抛物线L的函数表达式为； 【小问2详解】 解：抛物线L：， ∵抛物线与抛物线L关于x轴对称， ∴抛物线的函数表达式为， ∴的顶点P的坐标为， 令，则：， ∴； 设点， ∴， ， ∵， ，即， 解即， 得，， ∴点Q的坐标为或； 解即， ∵，此情况不存在， 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，抛物线的翻折变换，三角形的面积等相关知识，灵活运用方程思想是解题关键． 24. 如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，与交于点M，与的另一个交点为E，过M作，垂足为N． （1）求证：是的切线； （2）若的直径为5，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． （1）连接，求出，求出，根据切线的判定推出即可； （2）连接和，求出，解直角三角形求出和，再求出答案即可． 【小问1详解】 证明：连接，如图1， ， ， 在中，是斜边上的中线， ∴， ， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：连接， ∵是的直径， ， 即， 由（1）知：， ∴M为的中点， ， ∴， 在中，， ， 在中， ， ∴． 25. 综合与实践： 如图，生活中的很多工艺品，可以看成是由一些简单的平面图形旋转得到的几何体． 【知识背景】把一个平面图形绕着不同的轴旋转，可以得到一个不同形状的几何体．如图，某数学兴趣小组把周长为的矩形绕它的一条边旋转可以形成一个圆柱体． 请完成下列方案设计中的任务 【方案设计】目标：设计一个侧面积最大的圆柱体． 任务一：把圆柱体的侧面沿着其中一条母线EF剪开并展平，研究圆柱体侧面展开图的形状及边长． （1）圆柱体的侧面展开图是一个什么平面图形？的长度与圆柱体的底面周长有什么关系？ （2）如图，设的长度为，请用含有x的代数式分别表示的长度； 任务二：计算圆柱体侧面积，设圆柱体的侧面积为． （3）在（2）的条件下，求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （4）在（3）的条件下，求当x取何值时，圆柱体的侧面积y最大？最大值是多少？ 【答案】（1）圆柱体侧面展开图是一个矩形，的长度等于圆柱体的底面周长；（2）见解析；（3）；（4）当时，圆柱体的侧面积y最大，最大值是 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、列代数式、圆柱的侧面展开图，根据矩形的面积公式列方程是解题的关键． （1）根据图形求解即可； （2）根据矩形的周长公式和圆的周长公式求解即可； （3）根据矩形的面积公式列函数解析式，再根据矩形的周长确定x的取值范围即可； （4）把（3）中的解析式转化为顶点式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）由图可得，圆柱体的侧面展开图是一个矩形，的长度与圆柱体的底面周长相等； （2）； （3）， 即； （4）由知， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，圆柱体的侧面积最大， 最大面积为：， 所以，当的值为时，圆柱体的侧面积最大，最大面积为． 26. 综合与实践 如图1，在直角三角形纸片中，，，． 【数学活动】 将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：将沿折痕展开，然后将绕点逆时针方向旋转得到，点，的对应点分别是点，，直线与边所在直线交于点（点不与点重合），与边所在直线交于点． 【数学思考】 （1）折痕的长为______； （2）绕点旋转至图1的位置时，试判断与的数量关系，并证明你的结论； 【数学探究】 （3）绕点旋转至图2、图3所示位置时，探究下列问题： ①如图2，当直线经过点时，的长为______； ②如图3，当直线时，的长为______； 【问题延伸】 （4）在绕点旋转的过程中，连接，则的取值范围是______． 【答案】（1）3 （2），证明见解析 （3）①；②3 （4） 【解析】 【分析】（1）由折叠可知，，再证是的中位线，即可得出结论； （2）连接，由旋转知，，，再证，即可得出结论； （3）①由旋转的性质和等腰三角形的性质得，则，设，然后在中，由勾股定理求出的值，即可解决问题； ②过作于，交于．则四边形是矩形，得，再由三角形面积求出，然后证，得，即可得出结论； （4）连接，则，当、、三点共线，且点F在线段上时，，此时最小，由直角三角形的性质得，即可求得最小值为2；当、、三点共线，且点F在延长线上时，，此时最大，即可求得最大值为8；即可解决问题． 【小问1详解】 解：由折叠的性质得：，， ， ， ， 是的中位线， 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图1，连接， 由旋转的性质得：，， 在和中， ， ∴， ； 【小问3详解】 解：①由旋转的性质得：，， ， ， ， ， ， 设， 在中，， 即， 解得：， ； ②如图3，过作于，交于． 则四边形是矩形， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：； 【小问4详解】 解：如图4，连接， 则， 当、、三点共线，且点F在线段上时，， 此时的值最小，最小， ，， ， ， 的最小值， 当、、三点共线，且点F在延长线上时， ， 此时，最大， ∴， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、折叠的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质以及最小值等知识，本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$