复数的四则运算 学案-2025届高三数学一轮复习

高考总复习：复数的四则运算 知识点一：复数的加、减法法则 1. 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i, z1－z2＝(a＋c)＋(b＋d)i. 2. 加法运算律： 设z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2+z1， (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 3. 复数加、减法的几何意义 若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是以，为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数，即复数的加法可以按照向量的加法来进行，如图(1)这就是复数加法的几何意义． 这两个复数的差z1－z2与向量－(等于)对应．作＝，则点Z对应复数z1－z2(如图(2))，即复数(a－c)＋(b－d)i. 方法规律： 1．复数加法运算的理解 (1)复数的加法中规定，两复数相加，是实部与实部相加，虚部与虚部相加，复数的加法可推广到多个复数相加的情形． (2)在这个规定中，当b＝0，d＝0时，则与实数的加法法则一致． (3)实数加法的交换律、结合律在复数集C中仍然成立． 2．复数减法的几何定义的实质 (1)根据复数减法的几何意义知，两个复数对应向量的差所对应的复数就是这两个复数的差． (2)在确定两复数的差所对应的向量时，应按照“首同尾连向被减”的方法确定． 知识点二：复数代数形式的乘除运算 1．运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac-bd)+(bc+ad)i; ＝＝＋i(z2≠0). 2．乘法运算律 复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律．即： z1z2＝z2z1; z1(z2z3)＝(z1z2)z3; z1(z2＋z3)＝z1z2+z1z3. 方法规律： 1．复数乘法运算的方法 (1)两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可． (2)复数的乘法可以应用实数运算中的乘法公式．如平方差公式，完全平方公式等． 2．复数的除法运算的实质 (1)复数的除法实质上就是分母实数化的过程，这与实数的除法有所不同． (2)复数除法的法则形式复杂，难于记忆．所以有关复数的除法运算，只要记住利用分母的共轭复数对分母进行“实数化”，然后结果再写成一个复数a＋bi(a，b∈R)的形式即可. 知识点三：共轭复数的概念 1. 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，即复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数＝a-bi，虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数． 2. 共轭复数的特点 (1)任一实数的共轭复数是其本身，反之，若z＝，则z∈R. (2)在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称．并且它们的模相等 题型一：复数的加、减运算 例1. 计算：(1)(1＋3i)＋(－2＋i)＋(2－3i)； (2)(a＋bi)－(3a－4bi)＋5i(a，b∈R)． 解析:(1)原式＝(－1＋4i)＋(2－3i)＝1＋i. (2)原式＝(－2a＋5bi)＋5i＝－2a＋(5b＋5)i. 规律方法： (1)复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合并，虚部与虚部合并，注意符号是易错点； (2)复数的加、减运算结果仍是复数； (3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算； (4)实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用． 变式1. 计算：(1)(－＋i)－[(－)＋(＋)i]； (2)[(a＋b)＋(a－b)i]－[(a－b)－(a＋b)i](a，b∈R)； (3)(i2＋i)＋|－i|＋(i－2)． 解析：(1)(－＋i)－[(－)＋(＋)i] ＝－－(－)＋[－(＋)]i ＝－－i. (2)[(a＋b)＋(a－b)i]－[(a－b)－(a＋b)i] ＝(a＋b)－(a－b)＋[(a－b)＋(a＋b)]i ＝2b＋2ai. (3)(i2＋i)＋|－i|＋(i－2) ＝(－1＋i)＋＋(－2＋i) ＝－1＋i＋2－2＋i ＝－1＋2i. 题型二：复数加、减法的几何意义 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求： (1)A表示的复数； (2)对角线C表示的复数； (3)对角线O表示的复数． 解析：(1)因为A＝－，所以A表示的复数为－3－2i. (2)因为C＝O－O，所以对角线C表示的复数为＝(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为对角线O＝O＋O，所以对角线O表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 规律方法： 1.根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算． 2.利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． 变式2. 已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于O点． (1)求对应的复数； (2)求对应的复数； 解析：(1)由于ABCD是平行四边形，所以＝＋，于是＝－，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，即对应的复数是－2＋2i. (2)由于＝－，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，即对应的复数是5. 题型三：复数的乘除运算 例3.计算下列各题： (1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)； (2)(1＋2i)÷(3－i)； (3)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； 解析: (1) (4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i) ＝(24＋8i－6i＋2)－(28＋21i－4i＋3) ＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i. (2) (1＋2i)÷(3－i)＝＝＝＝＝＋i. (3) (1＋i)(1－i)＋(－1＋i) ＝1－i2＋(－1＋i) ＝2－1＋i＝1＋i. 规律方法： 1.复数的乘法运算法则的记忆： 复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简． 2．复数的除法运算法则的记忆： 复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘以i. 3．复数的乘法可以按照乘法法则进行，对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便，例如平方差公式，完全平方公式等． 变式3. (1)(2＋i)(2－i)； (2)(1＋2i)2； 解析: (1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5； (2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i； 变式4. 设z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2＝________. 解析：　＋z2＝＋(1＋i)2＝＋1＋2i＋i2＝1－i＋2i＝1＋i. 答案：　1＋i 变式5.（多选）已知复数z1=2-i，z2=2i，则（ ） A.z2是纯虚数 B.z1-z2对应的点位于第二象限 C.|z1+z2|=3 D.|z1z2|=2 解析：利用复数的相关概念可判断A正确 z1-z2=2-3i对应的点位于第四象限，故B错； z1+z2=2+i，则|z1+z2|==，故C错； z1z2=（2-i）·2i=2+4i，则|z1z2|==2，故D正确。 答案：AD 题型四：共轭复数 例4. 若z＝，则复数＝(　　) A．－2－i　　 B．－2＋i C．2－i D．2＋i 解析： (1)z＝＝＝2－i，则复数＝2＋i. 变式6. 如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是(　　) A．A B．B C．C D．D 解析：因为x＋yi的共轭复数为x－yi，故选B. 题型五：虚数单位i乘幂的周期性 例5. 计算i＋i2＋i3＋…＋i2 013. 解析：∵in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0， ∴i＋i2＋i3＋…＋i2 013 ＝(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 009＋i2 010＋i2 011＋i2 012)＋i2 013 ＝i2 013＝i2 012＋1＝i2 012·i＝i. 规律方法： 1.虚数单位i的周期性： (1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)． (2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)． 特别提醒：n也可以推广到整数集． 2．记住以下结果，可提高运算速度． (1)(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i. (2)＝－i，＝i. (3)＝－i. 学科网（北京）股份有限公司 $$